RL-ADipôle RL

Dipôle RL — établissement du courant

Idée directrice

La bobine s'oppose à toute variation brusque du courant : à $t=0^+$ le courant reste nul même si la tension est appliquée. L'exercice demande d'établir l'équation différentielle en $i(t)$ , de la résoudre (solution $i(t) = I_0(1-e^{-t/\tau})$ avec $\tau = L/R$ ), puis d'exploiter un oscillogramme pour lire $\tau$ et en déduire $L$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Établir l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$ » ; « Montrer que $\tau = L/(R+r)$ » ; « Déterminer graphiquement $\tau$ à partir de l'oscillogramme de $u_R$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Loi des mailles RL : $E = (R+r)i + L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ , d'où $\tau = L/(R+r)$ .
Condition initiale incontournable : $i(0^+) = 0$ (la bobine interdit le saut de courant).
Valeur finale : $I_0 = E/(R+r)$ (la bobine en régime permanent = résistance $r$ ).
Lire $\tau$ sur l'oscillogramme de $u_R$ (tangente ou point à $63\,\%$ ), puis $L = \tau(R+r)$ .
À la rupture avec diode de roue libre : $i=I_0e^{-t/\tau}$ et $u_b(0^+)=-RI_0$ ; sans diode, la surtension $L\,\Delta i/\Delta t$ provoque une étincelle.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans le calcul de $I_0$ et de $\tau$ . Autre erreur : écrire $i(0) = I_0$ (conditions initiales nulles ignorées). Confondre $\tau = L/R$ (sans $r$ ) et $\tau = L/(R+r)$ (avec $r$ ).

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un circuit RL série est composé d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r = 10\,\Omega$ , d'un résistor $R = 90\,\Omega$ et d'un générateur de f.é.m. $E = 10\,\text{V}$ (résistance interne nulle). On ferme l'interrupteur $K$ à $t = 0$ , le courant étant nul avant.

En appliquant la loi des mailles, établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité $i(t)$ .
1. Montrer que $\dfrac{L}{R+r}\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + i = \dfrac{E}{R+r}$ .
2. Vérifier que $i(t) = I_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ , avec $I_0 = \dfrac{E}{R+r}$ et $\tau = \dfrac{L}{R+r}$ , est solution.
Calculer $I_0$ , la valeur finale du courant.
L'oscillogramme de $u_R(t) = Ri(t)$ montre que la tension atteint $63\,\%$ de sa valeur finale à $t = 5{,}0\,\text{ms}$ . En déduire $\tau$ , puis la valeur de $L$ .
Expliquer le rôle de la bobine lors de l'établissement du courant. Que se passe-t-il à $t = 5\tau$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.(a) Idée : loi des mailles + $u_L = L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ , où $u_L$ est la tension aux bornes de la partie inductive ( $L$ et $r$ ).

Loi des mailles : $E = Ri + L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + ri = (R+r)i + L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ . En divisant par $(R+r)$ :

\frac{L}{R+r}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + i = \frac{E}{R+r}.

1.(b) Idée : dériver la solution candidate et substituer.

On a $\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = \dfrac{I_0}{\tau}e^{-t/\tau}$ . En substituant dans l'équation :

\frac{L}{R+r}\cdot\frac{I_0}{\tau}e^{-t/\tau} + I_0(1-e^{-t/\tau}) = I_0\,e^{-t/\tau} + I_0 - I_0\,e^{-t/\tau} = I_0 = \frac{E}{R+r}. \checkmark

Condition initiale : $i(0) = I_0(1-1) = 0$ . $\checkmark$ (Le courant est bien nul à $t=0$ , la bobine s'oppose à la variation.)

2. Idée : régime permanent atteint quand $\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0$ , la bobine se comporte comme un conducteur de résistance $r$ .

I_0 = \frac{E}{R+r} = \frac{10}{90+10} = \boxed{0{,}10\,\text{A}}.

3. Idée : $u_R(\tau) = R\,I_0(1-e^{-1}) = 0{,}632\times R\,I_0$ , donc $\tau$ est la date à $63\,\%$ .

\tau = t_{63} = 5{,}0\,\text{ms}.

L = \tau(R+r) = 5{,}0\times10^{-3}\times100 = \boxed{0{,}50\,\text{H}}.

4. La bobine crée une f.é.m. d'auto-induction $e_L = -L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ qui s'oppose à l'augmentation du courant (loi de Lenz). Le courant croît exponentiellement jusqu'à sa valeur finale $I_0$ . À $t = 5\tau$ , $i(5\tau) = I_0(1-e^{-5}) \approx 0{,}993\,I_0$ : le régime permanent est pratiquement atteint, la bobine se comporte comme un simple conducteur ohmique de résistance $r$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : ouverture du circuit (extinction du courant, $i(t) = I_0\,e^{-t/\tau}$ ) ; calcul de l'énergie magnétique $W_L = \frac{1}{2}Li^2$ en fonction du temps ; comparaison de la durée de charge avec celle d'un circuit RC.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill RL-A.1 — identifier la résistance interne de la bobine

Entraînement 01 / 07

Drill RL-A.1 — identifier la résistance interne de la bobine

3 questionsCorrigé masqué

Un générateur idéal $E=12{,}0\,\text{V}$ alimente en série un résistor $R=80\,\Omega$ et une bobine réelle $(L,r)$ . En régime permanent, on mesure $u_R=9{,}6\,\text{V}$ et $u_b=2{,}4\,\text{V}$ aux bornes de la bobine. Le chronogramme de $u_R(t)$ atteint $63\,\%$ de sa valeur finale à $t=4{,}0\,\text{ms}$ .

Calculer l'intensité finale et montrer que la bobine n'est pas idéale.
Déterminer sa résistance interne $r$ .
Déduire la constante de temps puis l'inductance $L$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Régime permanent. $I_\infty=u_R/R=9{,}6/80=\boxed{0{,}120\,\text{A}}$ . Une bobine idéale aurait alors une tension nulle ; la mesure $u_b=2{,}4\,\text{V}$ révèle une résistance interne.

2. Résistance interne. En régime permanent, $\mathrm{d}i/\mathrm{d}t=0$ et $u_b=rI_\infty$ . Ainsi $r=2{,}4/0{,}120=\boxed{20\,\Omega}$ . La loi des mailles donne bien $(R+r)I_\infty=100\times0{,}120=12{,}0\,\text{V}$ .

3. Paramètre dynamique. La date à $63\,\%$ est la constante de temps : $\tau=4{,}0\,\text{ms}$ . Comme $\tau=L/(R+r)$ , $L=\tau(R+r)=4{,}0\times10^{-3}\times100=\boxed{0{,}40\,\text{H}}$ .

2 Drill RL-A.2 — exploiter la pente initiale

Entraînement 02 / 07

Drill RL-A.2 — exploiter la pente initiale

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans un circuit RL série soumis à un échelon $E=9{,}0\,\text{V}$ , un résistor $R=120\,\Omega$ est associé à une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$ . L'intensité $i$ part de zéro avec une pente initiale $(\mathrm{d}i/\mathrm{d}t)_0=30\,\text{A}\cdot\text{s}^{-1}$ et tend vers $I_\infty=60\,\text{mA}$ .

Écrire la loi des mailles à $t=0^+$ et en déduire $L$ .
Exploiter le régime permanent pour déterminer $r$ .
Calculer $\tau$ de deux façons indépendantes et vérifier leur accord.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Loi des mailles. $E=(R+r)i+L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ . À $t=0^+$ , $i=0$ , donc $E=L(\mathrm{d}i/\mathrm{d}t)_0$ . Ainsi $L=9{,}0/30=\boxed{0{,}30\,\text{H}}$ .

2. Régime permanent. Lorsque la dérivée s'annule, $E=(R+r)I_\infty$ . Donc $R+r=9{,}0/0{,}060=150\,\Omega$ et $r=150-120=\boxed{30\,\Omega}$ .

3. Double contrôle. D'une part $\tau=L/(R+r)=0{,}30/150=\boxed{2{,}0\,\text{ms}}$ . D'autre part la pente initiale de $i=I_\infty(1-e^{-t/\tau})$ vaut $I_\infty/\tau$ , donc $\tau=0{,}060/30=2{,}0\,\text{ms}$ . Les deux déterminations concordent.

3 Drill RL-A.3 — dimensionner la résistance pour respecter un délai

Entraînement 03 / 07

Drill RL-A.3 — dimensionner la résistance pour respecter un délai

3 questionsCorrigé masqué

Une bobine réelle d'inductance $L=0{,}24\,\text{H}$ et de résistance interne $r=20\,\Omega$ est alimentée sous $E=12\,\text{V}$ à travers un résistor réglable $R$ . On veut que le courant atteigne au moins $95\,\%$ de sa valeur finale en $12{,}0\,\text{ms}$ .

À partir de $i(t)=I_\infty(1-e^{-t/\tau})$ , exprimer le temps $t_{95}$ en fonction de $\tau$ .
Déterminer la valeur minimale de $R$ qui respecte le délai.
Choisir une valeur entière pratique de $R$ , puis calculer $\tau$ , $t_{95}$ et le courant final correspondant.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Résolution littérale. À $95\,\%$ , $0{,}95=1-e^{-t_{95}/\tau}$ , donc $e^{-t_{95}/\tau}=0{,}05$ et $t_{95}=-\tau\ln(0{,}05)=\tau\ln20\approx2{,}996\tau$ .

2. Dimensionnement. La condition $t_{95}\leq12{,}0\,\text{ms}$ impose $\tau\leq12{,}0/\ln20=4{,}006\,\text{ms}$ . Or $\tau=L/(R+r)$ , donc $R+r\geq L/\tau=0{,}24/(4{,}006\times10^{-3})=59{,}91\,\Omega$ . Ainsi $R\geq39{,}91\,\Omega$ .

3. Choix et contrôle. On retient $\boxed{R=40\,\Omega}$ . Alors $\tau=0{,}24/(40+20)=\boxed{4{,}00\,\text{ms}}$ et $t_{95}=4{,}00\ln20=\boxed{11{,}98\,\text{ms}}$ , donc le délai est respecté. En régime permanent, $I_\infty=E/(R+r)=12/60=\boxed{0{,}200\,\text{A}}$ .

4 Drill RL-A.4 — rupture du courant : étincelle et diode de roue libre

Entraînement 04 / 07

Drill RL-A.4 — rupture du courant : étincelle et diode de roue libre

3 questionsCorrigé masqué

Une bobine d'inductance $L=0{,}12\,\mathrm{H}$ et de résistance $r=4{,}0\,\Omega$ est en série avec un résistor $R=20\,\Omega$ et un générateur idéal $E=12\,\mathrm{V}$ . Le régime permanent étant atteint, on ouvre l'interrupteur.

Calculer l'intensité $I_0$ du courant en régime permanent et l'énergie magnétique de la bobine.
Sans précaution, le courant s'annule en $0{,}10\,\mathrm{ms}$ . Estimer la tension $L\,\Delta i/\Delta t$ et expliquer l'étincelle observée aux bornes de l'interrupteur.
On place une diode de roue libre en parallèle sur l'ensemble bobine–résistor. Établir l'équation différentielle en $i$ après l'ouverture, donner $i(t)$ et la tension $u_b$ de la bobine juste après l'ouverture.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : la bobine s'oppose à la variation du courant ; à la rupture, elle devient une source de tension.

1. $I_0=\dfrac{E}{R+r}=\dfrac{12}{24}=\boxed{0{,}50\,\mathrm{A}}$ ; $E_L=\tfrac12LI_0^2=\tfrac12\times0{,}12\times0{,}50^2=\boxed{1{,}5\times10^{-2}\,\mathrm{J}}$ .

2. $L\,\Delta i/\Delta t=0{,}12\times\dfrac{-0{,}50}{1{,}0\times10^{-4}}=\boxed{-600\,\mathrm{V}}$ . Cette surtension aux bornes de la bobine force le passage du courant dans l'air entre les contacts : c'est l'étincelle de rupture.

3. La diode passante a une tension négligeable : loi des mailles $u_b+u_R=0$ , soit $L\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+(R+r)\,i=0$ , $\tau=\dfrac{L}{R+r}=5{,}0\,\mathrm{ms}$ . Avec $i(0)=I_0$ : $i(t)=0{,}50\,e^{-t/5{,}0\times10^{-3}}$ (A). Juste après l'ouverture, $u_b=-u_R=-RI_0=\boxed{-10\,\mathrm{V}}$ : une tension modérée, la bobine restitue son énergie dans le circuit sans étincelle.

5 Drill RL-A.5 — droite

e=f(i)

: f.é.m. d'auto-induction,

E

I_0

L

r

Entraînement 05 / 07

Drill RL-A.5 — droite $e=f(i)$ : f.é.m. d'auto-induction, $E$ , $I_0$ , $L$ et $r$

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un dipôle RL est formé d'un conducteur ohmique $R_0=80\ \Omega$ et d'une bobine $(L,r)$ en série, alimentés par un générateur idéal de f.é.m. $E$ . Pendant l'établissement du courant, un logiciel trace la f.é.m. d'auto-induction $e$ de la bobine en fonction de l'intensité $i$ (figure). La constante de temps du circuit, mesurée par ailleurs, vaut $\tau=4{,}0\ \text{ms}$ .

Rappeler l'expression de $e$ en fonction de $L$ et de $\frac{di}{dt}$ .
À partir de l'équation différentielle en $i$ , montrer que $e=\dfrac L\tau\,i-E$ .
Exploiter la droite pour déterminer $E$ et l'intensité $I_0$ du régime permanent ; en déduire $r$ .
Déterminer $L$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $e=-L\dfrac{di}{dt}$ .

2. L'équation différentielle s'écrit $\frac{di}{dt}+\frac1\tau i=\frac EL$ , donc $\frac{di}{dt}=\frac EL-\frac i\tau$ et $e=-L\frac{di}{dt}=\frac L\tau\,i-E$ .

3. Pour $i=0$ : $e=-E=-9\ \text{V}$ , donc $E=9\ \text{V}$ . Pour $e=0$ ( $\frac{di}{dt}=0$ , régime permanent) : $i=I_0=100\ \text{mA}$ . Or $I_0=\frac{E}{R_0+r}$ , d'où $R_0+r=90\ \Omega$ et $r=\boxed{10\ \Omega}$ .

4. La pente vaut $\frac L\tau=\frac{9}{0{,}1}=90\ \Omega$ , donc $L=90\times4\times10^{-3}=\boxed{0{,}36\ \text{H}}$ (en accord avec $\tau=\frac{L}{R_0+r}$ ).

6 Drill RL-A.6 —

e=-\frac LR\cdot

(pente de

u_R

) : inductance par la tangente à l'origine

Entraînement 06 / 07

Drill RL-A.6 — $e=-\frac LR\cdot$ (pente de $u_R$ ) : inductance par la tangente à l'origine

3 questionsCorrigé masqué

Dans un dipôle RL (conducteur ohmique $R=90\ \Omega$ en série avec une bobine $(L,r)$ , générateur idéal $E=12\ \text{V}$ ), on enregistre la tension $u_R(t)$ aux bornes du conducteur ohmique lors de l'établissement du courant. La tangente à la courbe à l'instant $t=0$ a pour coefficient directeur $4{,}0\times10^{3}\ \text{V·s}^{-1}$ .

Montrer que la f.é.m. d'auto-induction s'écrit $e=-\dfrac LR\,\dfrac{du_R}{dt}$ .
Que vaut $e$ à $t=0$ ? Justifier.
En déduire l'inductance $L$ de la bobine.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $u_R=Ri$ , donc $\frac{di}{dt}=\frac1R\frac{du_R}{dt}$ et $e=-L\frac{di}{dt}=-\frac LR\frac{du_R}{dt}$ .

2. À $t=0$ , $i=0$ : la loi des mailles $E=Ri+ri-e$ donne $e(0)=-E=-12\ \text{V}$ (toute la tension du générateur est compensée par l'auto-induction).

3. $-12=-\frac{L}{90}\times4\times10^{3}$ , donc $L=\frac{12\times90}{4\times10^3}=\boxed{0{,}27\ \text{H}}$ .

7 Drill RL-A.7 — deux lampes, une bobine : retard à l'allumage et loi de Lenz

Entraînement 07 / 07

Drill RL-A.7 — deux lampes, une bobine : retard à l'allumage et loi de Lenz

3 questionsCorrigé masqué

Deux lampes identiques $(\ell_1)$ et $(\ell_2)$ sont montées en dérivation aux bornes d'un générateur de tension continue ; l'interrupteur $K$ est placé en série avec le générateur. $(\ell_1)$ est en série avec une bobine d'inductance $L$ élevée et de résistance $r$ ; $(\ell_2)$ est en série avec un conducteur ohmique de même résistance $r$ . On ferme $K$ .

Décrire l'allumage des deux lampes et expliquer la différence à l'aide de la loi de Lenz.
Comparer l'éclat des deux lampes en régime permanent. Justifier.
Le régime permanent étant établi, on ouvre $K$ : les deux branches forment alors à elles seules un circuit fermé. On observe que les deux lampes ne s'éteignent pas instantanément mais brillent encore un bref instant. D'où provient l'énergie correspondante ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $(\ell_2)$ s'allume immédiatement ; $(\ell_1)$ s'allume avec retard. La bobine est le siège d'une f.é.m. d'auto-induction qui, d'après la loi de Lenz, s'oppose à la cause qui lui donne naissance, c'est-à-dire à l'augmentation de l'intensité : le courant dans la branche de $(\ell_1)$ s'établit progressivement.

2. En régime permanent l'intensité est constante, $\frac{di}{dt}=0$ : la bobine se comporte comme une résistance $r$ . Les deux branches sont alors identiques et les lampes brillent du même éclat.

3. De l'énergie magnétique $\frac12Li^2$ emmagasinée dans la bobine : à l'ouverture, la bobine s'oppose à l'annulation du courant (auto-induction) ; le courant continue de circuler dans la boucle formée par les deux branches et l'énergie restituée est dissipée dans les lampes et les résistances.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Autres repères du catalogue · toutes filières

Autres sujets de référence

Bac 2018 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (RC/RL identification)lien confirméIdentification condensateur/bobine via courbes oscilloscope.

Bac 2019 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (RC puis RLC libre)lien confirméCharge condensateur; bascule vers RLC; bobine et régime permanent.

Bac 2020 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (R, L, C détermination)lien confirméDétermination expérimentale de R, L, C; tensions bobine/condensateur.

Bac 2021 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (RC/RL identification)lien confirméTrois dipôles: condensateur, bobine, résistance; charge et auto-induction.

Bac 2023 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (RL puis RLC forcé)lien confirméÉtablissement courant; insertion condensateur; régime forcé.

Bac 2024 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (RL puis condensateur)lien confirméBobine r, condensateur C; charge; loi des mailles.

Bac 2025 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (dipôles RC / RL / régime forcé)à vérifierIdentification condensateur/bobine; charge RC; régime oscillatoire/forcé avec oscilloscope et tensions efficaces.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Dipôle RL — établissement du courant

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill RL-A.1 — identifier la résistance interne de la bobine

Drill RL-A.2 — exploiter la pente initiale

Drill RL-A.3 — dimensionner la résistance pour respecter un délai

Drill RL-A.4 — rupture du courant : étincelle et diode de roue libre

Drill RL-A.5 — droite $e=f(i)$ : f.é.m. d'auto-induction, $E$ , $I_0$ , $L$ et $r$

Drill RL-A.6 — $e=-\frac LR\cdot$ (pente de $u_R$ ) : inductance par la tangente à l'origine

Drill RL-A.7 — deux lampes, une bobine : retard à l'allumage et loi de Lenz

Relier ce raisonnement au bac

Autres sujets de référence