SG-DProduction et conversion de signaux

Convertisseur numérique-analogique à résistances pondérées : tension de sortie, pleine échelle et quantum

Idée directrice

Ce scénario ouvre la boîte noire du convertisseur numérique-analogique : au lieu d'admettre $u_S = q\,N$ , on la démontre. Deux idées suffisent — un amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire impose $\varepsilon = 0$ et $i^+ = i^- = 0$ , donc l'entrée inverseuse est au potentiel de la masse ; chaque branche fermée y injecte alors un courant proportionnel à $1/2^{\,j}$ , et la somme reconstitue exactement l'équivalent décimal du mot binaire. Tout le reste — pleine échelle, quantum, mot binaire à appliquer — se déduit de cette unique expression.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Le circuit de la figure represente un convertisseur a trois bits » ; « Ecrire l'équivalent decimal N du mot binaire d'entree [N] » ; « Exprimer la tension de sortie Us en fonction de a, R et l'intensite I du courant electrique » ; « Etablir l'expression de l'intensite I du courant electrique en fonction de Uref, R et des variables logiques » ; « Determiner les valeurs de la pleine echelle (P.E.) et du quantum du convertisseur » ; « determiner le mot binaire qu'il faut appliquer a l'entree du convertisseur »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Compter les variables logiques d'entrée : leur nombre est le nombre de bits, et $N_{\max} = 2^n - 1$ .
Écrire d'abord les deux hypothèses de l'amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire : $\varepsilon = 0$ et $i^+ = i^- = 0$ — c'est ce qui crée la masse virtuelle.
Sommer les courants de branche avant d'écrire la sortie : chaque résistance $2^{\,j}R$ apporte un courant de poids $2^{-j}$ .
Retenir la relation de sortie sous la forme $U_S = -\,q\,N$ : la pleine échelle vaut $q\,(2^n - 1)$ et le quantum est le pas de sortie pour $\Delta N = 1$ .
Pour trouver un mot binaire à partir d'une tension : diviser par le quantum, puis décomposer l'entier obtenu en puissances de 2.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Prendre $N_{\max} = 2^n$ au lieu de $2^n - 1$ : la pleine échelle et le quantum en sont tous deux faussés.
Oublier le signe moins : le montage est inverseur, la sortie est négative pour $U_{\text{réf}}$ positive.
Attribuer le poids le plus fort à la plus grande résistance : c'est la plus petite ( $R$ ) qui porte le bit de poids fort.
Confondre le quantum (pas de conversion, en volts) et la pleine échelle (tension maximale, en volts) : le rapport entre eux vaut $2^n - 1$ .
Conclure sans vérifier que $|U_S|_{\max}$ reste inférieure à la tension de polarisation : au-delà, l'amplificateur sature et la conversion n'est plus linéaire.

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

9 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le montage de la figure 1 est un convertisseur numérique-analogique (CNA) à résistances pondérées. Il comprend :

une source de tension de référence constante $U_{\text{réf}}$ ;
quatre interrupteurs $K_3$ , $K_2$ , $K_1$ , $K_0$ commandés respectivement par les variables logiques $a_3$ , $a_2$ , $a_1$ , $a_0$ : pour $a_j = 0$ l'interrupteur $K_j$ est ouvert, pour $a_j = 1$ il est fermé ;
quatre résistances pondérées $R$ , $2R$ , $4R$ et $8R$ , placées respectivement dans les branches de $a_3$ , $a_2$ , $a_1$ et $a_0$ ;
un amplificateur opérationnel supposé idéal, polarisé sous $\pm 12\,\text{V}$ et fonctionnant en régime linéaire, dont l'entrée non inverseuse est reliée à la masse ;
une résistance de contre-réaction $R_0 = a\,R$ entre la sortie et l'entrée inverseuse, $a$ étant un coefficient réel positif.

On applique à l'entrée le mot binaire $[N] = [a_3\,a_2\,a_1\,a_0]$ . On note $I$ l'intensité du courant qui arrive au nœud d'entrée inverseuse et $U_S$ la tension de sortie du montage.

Lecture du mot d'entrée :
1. préciser le nombre de bits de ce convertisseur et la valeur maximale $N_{\max}$ de l'équivalent décimal $N$ ;
2. écrire l'équivalent décimal $N$ du mot binaire $[1\,0\,1\,1]$ .
Établissement de la tension de sortie :
1. donner, pour l'amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire, les valeurs de la tension différentielle d'entrée $\varepsilon$ et des courants d'entrée $i^+$ et $i^-$ ; en déduire le potentiel de l'entrée inverseuse ;
2. en appliquant la loi des mailles à la maille contenant $R_0$ , montrer que $U_S = -\,R_0\,I$ ;
3. établir l'expression de $I$ en fonction de $U_{\text{réf}}$ , $R$ et des variables logiques $a_3$ , $a_2$ , $a_1$ , $a_0$ ;
4. en déduire que $U_S = -\,\dfrac{a\,U_{\text{réf}}}{8}\,N$ , puis préciser l'intérêt de ce montage.
On fixe désormais $a = 1$ et $U_{\text{réf}} = 4{,}0\,\text{V}$ .
1. déterminer la pleine échelle du convertisseur, c'est-à-dire la valeur maximale de $|U_S|$ ;
2. définir le quantum $q$ du convertisseur et calculer sa valeur ;
3. vérifier que la tension de sortie reste compatible avec la polarisation de l'amplificateur opérationnel.
Déterminer le mot binaire qu'il faut appliquer à l'entrée pour obtenir une tension de sortie $U_S = -\,3{,}0\,\text{V}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. a. Le mot d'entrée compte quatre variables logiques : le convertisseur est à 4 bits. L'équivalent décimal prend donc $2^4 = 16$ valeurs, de $0$ à $N_{\max} = 2^4 - 1 = \boxed{15}$ .

b. Le poids de $a_j$ est $2^{\,j}$ :

N = 2^3 a_3 + 2^2 a_2 + 2^1 a_1 + 2^0 a_0 = 8 + 0 + 2 + 1 = \boxed{11}

2. a. Idée : « idéal » et « régime linéaire » sont deux hypothèses, chacune donne une équation. L'amplificateur opérationnel est idéal, donc ses courants d'entrée sont nuls : $i^+ = i^- = 0$ . Il fonctionne en régime linéaire, donc $\varepsilon = 0$ . L'entrée non inverseuse étant à la masse, l'entrée inverseuse est elle aussi au potentiel de la masse : c'est une masse virtuelle.

b. La loi des mailles appliquée à la maille formée par $R_0$ , la sortie et les deux entrées s'écrit $U_S + R_0\,I + \varepsilon = 0$ . Comme $\varepsilon = 0$ :

U_S = -\,R_0\,I

c. Chaque branche fermée est soumise à la tension $U_{\text{réf}}$ entre la source et la masse virtuelle. Comme aucun courant n'entre dans l'amplificateur, tous ces courants se retrouvent dans $I$ :

I = a_3\,\dfrac{U_{\text{réf}}}{R} + a_2\,\dfrac{U_{\text{réf}}}{2R} + a_1\,\dfrac{U_{\text{réf}}}{4R} + a_0\,\dfrac{U_{\text{réf}}}{8R} = \dfrac{U_{\text{réf}}}{8R}\,\bigl(8a_3 + 4a_2 + 2a_1 + a_0\bigr) = \dfrac{U_{\text{réf}}\,N}{8R}

d. En reportant dans $U_S = -R_0 I$ avec $R_0 = a\,R$ , la résistance $R$ se simplifie :

U_S = -\,a\,R \times \dfrac{U_{\text{réf}}\,N}{8R} = \boxed{-\,\dfrac{a\,U_{\text{réf}}}{8}\,N}

L'intérêt du montage tient dans cette proportionnalité : à chaque mot binaire d'entrée correspond une tension de sortie qui lui est exactement proportionnelle. Le montage réalise donc une conversion linéaire du numérique vers l'analogique, et le résultat ne dépend pas de la valeur de $R$ , seulement du rapport $a$ .

3. a. Avec $a = 1$ et $U_{\text{réf}} = 4{,}0\,\text{V}$ , on a $U_S = -\,0{,}50\,N$ . La pleine échelle correspond à $N = N_{\max} = 15$ :

|U_S|_{\max} = \dfrac{a\,U_{\text{réf}}}{8}\,(2^4 - 1) = 0{,}50 \times 15 = \boxed{7{,}5\ \text{V}}

b. Le quantum $q$ est l'accroissement de $|U_S|$ obtenu lorsque l'équivalent décimal $N$ augmente d'une unité :

q = \dfrac{a\,U_{\text{réf}}}{8} = \dfrac{|U_S|_{\max}}{2^4 - 1} = \dfrac{7{,}5}{15} = \boxed{0{,}50\ \text{V}}

c. La sortie ne dépasse jamais $7{,}5\,\text{V}$ en valeur absolue, alors que l'amplificateur est polarisé sous $\pm 12\,\text{V}$ : la sortie ne sature pas et le régime linéaire supposé au départ est bien respecté sur toute l'étendue de conversion.

4. Idée : la question s'inverse — on part de la tension et on remonte au mot. De $|U_S| = q\,N$ on tire $N = 3{,}0/0{,}50 = 6$ . En décomposant $6 = 4 + 2$ , soit $a_3 = 0$ , $a_2 = 1$ , $a_1 = 1$ , $a_0 = 0$ , le mot binaire à appliquer est $\boxed{[0\,1\,1\,0]}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill SG-D.1 — dimensionner la contre-réaction pour une pleine échelle imposée

Entraînement 01 / 05

Drill SG-D.1 — dimensionner la contre-réaction pour une pleine échelle imposée

4 questionsCorrigé masqué

Un convertisseur numérique-analogique à résistances pondérées comporte trois branches, de résistances $R$ , $2R$ et $4R$ , commandées par les variables logiques $a_2$ , $a_1$ et $a_0$ . L'amplificateur opérationnel est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire ; la résistance de contre-réaction vaut $R_0 = a\,R$ et la tension de référence est fixée à $U_{\text{réf}} = 8{,}0\,\text{V}$ .

On admet que la tension de sortie s'écrit $U_S = -\,\dfrac{a\,U_{\text{réf}}}{4}\,N$ , où $N$ est l'équivalent décimal du mot binaire d'entrée.

Donner le nombre de bits du convertisseur et la valeur maximale de $N$ .
Déterminer la valeur du coefficient $a$ qui donne une pleine échelle égale à $7{,}0\,\text{V}$ .
Calculer, pour cette valeur de $a$ , le quantum $q$ du convertisseur.
Déterminer le mot binaire donnant une tension de sortie de valeur absolue $3{,}0\,\text{V}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : la pleine échelle est atteinte pour le plus grand mot ; c'est elle qui fixe le seul paramètre libre, $a$ .

1. Trois variables logiques, donc 3 bits, et $N_{\max} = 2^3 - 1 = 7$ .

2. La pleine échelle vaut $|U_S|_{\max} = \dfrac{a\,U_{\text{réf}}}{4}\,N_{\max}$ , soit $7{,}0 = \dfrac{a \times 8{,}0}{4}\times 7$ :

a = \dfrac{4 \times 7{,}0}{8{,}0 \times 7} = \boxed{0{,}50}

3. Le quantum est l'accroissement de $|U_S|$ pour $\Delta N = 1$ :

q = \dfrac{a\,U_{\text{réf}}}{4} = \dfrac{0{,}50 \times 8{,}0}{4} = \boxed{1{,}0\ \text{V}}

On retrouve bien $q = |U_S|_{\max}/(2^3-1) = 7{,}0/7 = 1{,}0\ \text{V}$ , ce qui contrôle la valeur de $a$ .

4. De $|U_S| = q\,N$ on tire $N = 3{,}0/1{,}0 = 3$ , soit $3 = 2 + 1$ : le mot binaire à appliquer est $\boxed{[0\,1\,1]}$ , c'est-à-dire $a_2 = 0$ , $a_1 = 1$ et $a_0 = 1$ .

2 Drill SG-D.2 — remonter à la tension de référence et à la résistance depuis une mesure

Entraînement 02 / 05

Drill SG-D.2 — remonter à la tension de référence et à la résistance depuis une mesure

4 questionsCorrigé masqué

Sur un convertisseur numérique-analogique à résistances pondérées de 4 bits, la tension de sortie obéit à $U_S = -\,R_0\,I$ , où $I$ est l'intensité qui arrive à l'entrée inverseuse d'un amplificateur opérationnel supposé idéal fonctionnant en régime linéaire, et $I = \dfrac{U_{\text{réf}}\,N}{8R}$ .

On applique le mot binaire $[1\,1\,0\,0]$ et on mesure simultanément $U_S = -\,6{,}0\,\text{V}$ et $I = 3{,}0\,\text{mA}$ . La résistance de contre-réaction vaut $R_0 = R$ .

Écrire l'équivalent décimal $N$ du mot binaire appliqué.
Déterminer la valeur de la résistance $R$ .
En déduire la valeur de la tension de référence $U_{\text{réf}}$ .
Calculer le quantum du convertisseur et la pleine échelle correspondante.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : deux mesures simultanées, deux inconnues ; on part de celle qui n'exige qu'une seule relation.

1. $N = 8 \times 1 + 4 \times 1 + 2 \times 0 + 1 \times 0 = \boxed{12}$ .

2. La relation $U_S = -\,R_0\,I$ avec $R_0 = R$ donne directement :

R = \dfrac{|U_S|}{I} = \dfrac{6{,}0}{3{,}0\times10^{-3}} = \boxed{2{,}0\ \text{k}\Omega}

3. On reporte ensuite dans l'expression de l'intensité, $I = \dfrac{U_{\text{réf}}\,N}{8R}$ :

U_{\text{réf}} = \dfrac{8\,R\,I}{N} = \dfrac{8 \times 2{,}0\times10^{3} \times 3{,}0\times10^{-3}}{12} = \boxed{4{,}0\ \text{V}}

4. Avec $R_0 = R$ , soit $a = 1$ , le quantum vaut $q = \dfrac{a\,U_{\text{réf}}}{8} = 0{,}50\ \text{V}$ et la pleine échelle $q\,(2^4 - 1) = 7{,}5\ \text{V}$ . La mesure initiale se retrouve bien : $0{,}50 \times 12 = 6{,}0\ \text{V}$ , ce qui valide les deux valeurs trouvées.

3 Drill SG-D.3 — caractéristique de transfert en escalier : nombre de bits, pleine échelle, quantum, puis

U_{\text{réf}}

Entraînement 03 / 05

Drill SG-D.3 — caractéristique de transfert en escalier : nombre de bits, pleine échelle, quantum, puis $U_{\text{réf}}$

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

La figure représente la caractéristique de transfert $u_s=f(N)$ d'un convertisseur à résistances pondérées ; $N$ est l'équivalent décimal du mot binaire appliqué à son entrée. Son amplificateur opérationnel, supposé idéal, est polarisé sous $\pm12\ \text{V}$ et fonctionne en régime linéaire.

Nature du montage :
1. justifier qu'il s'agit d'un convertisseur numérique-analogique ;
2. expliquer pourquoi cette caractéristique est un escalier et non une droite continue.
Déterminer à partir de la courbe :
1. le nombre de bits $n$ du convertisseur ;
2. la pleine échelle $PE$ ;
3. le quantum $q$ , après en avoir donné la définition.
Le réseau comporte les résistances $R$ , $2R$ , $4R$ et $8R$ et la résistance de contre-réaction $R'$ ; on admet que $u_s=k\,N$ avec $k=\dfrac{R'\,U_{\text{réf}}}{8R}$ .
1. identifier $k$ à une grandeur déterminée à la question 2 ;
2. calculer la tension de référence $U_{\text{réf}}$ sachant que $R=R'=10\ \text{k}\Omega$ .
Conversions :
1. quel mot binaire faut-il appliquer à l'entrée pour obtenir $u_s=2{,}8\ \text{V}$ ?
2. quelle tension de sortie correspond au mot binaire $[1100]$ ?
Vérifier que l'amplificateur opérationnel ne sature pour aucun mot d'entrée.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a À chaque mot binaire, grandeur numérique $N$ , correspond une tension $u_s$ , grandeur analogique, proportionnelle à $N$ : le montage convertit le numérique en analogique.

1.b $N$ ne prend que des valeurs entières : la sortie ne prend qu'un nombre fini de valeurs, séparées par le même pas. Les marches sont alignées sur la droite $u_s=qN$ , mais la tension ne varie pas entre deux mots voisins.

2.a Idée : on compte les marches, c'est-à-dire les valeurs possibles de $N$ . L'escalier compte $16$ marches ( $N=0$ à $15$ ) : $2^n=16$ , donc $n=\boxed{4\ \text{bits}}$ et $N_{\max}=2^4-1=15$ .

2.b La pleine échelle est la tension de sortie maximale, obtenue pour $N=15$ : $PE=\boxed{6{,}0\ \text{V}}$ .

2.c Le quantum est l'accroissement de $u_s$ quand $N$ augmente d'une unité, soit la hauteur d'une marche :

q=\dfrac{PE}{2^n-1}=\dfrac{6{,}0}{15}=\boxed{0{,}40\ \text{V}}

On retrouve une ligne du quadrillage par marche.

3.a $u_s=kN$ et $u_s=qN$ pour tout $N$ : $k=q=0{,}40\ \text{V}$ .

3.b $k=\dfrac{R'\,U_{\text{réf}}}{8R}$ avec $R=R'$ donne $k=\dfrac{U_{\text{réf}}}{8}$ :

U_{\text{réf}}=8k=8\times0{,}40=\boxed{3{,}2\ \text{V}}

4.a $N=\dfrac{2{,}8}{0{,}40}=7=4+2+1$ : le mot est $\boxed{[0111]}$ .

4.b $[1100]$ : $N=8+4=12$ et $u_s=12\times0{,}40=\boxed{4{,}8\ \text{V}}$ .

5. La tension de sortie ne dépasse jamais $PE=6{,}0\ \text{V}$ , inférieure à la tension de polarisation $12\ \text{V}$ : l'amplificateur reste en régime linéaire pour les seize mots.

4 Drill SG-D.4 — courants de branche d'un CNA 4 bits pour un mot donné : bit nul, courant nul

Entraînement 04 / 05

Drill SG-D.4 — courants de branche d'un CNA 4 bits pour un mot donné : bit nul, courant nul

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le convertisseur numérique-analogique (CNA) 4 bits de la figure comprend un amplificateur opérationnel supposé idéal, polarisé sous $\pm15\ \text{V}$ et fonctionnant en régime linéaire, quatre interrupteurs $K_j$ commandés par les variables logiques $a_j$ ( $K_j$ fermé pour $a_j=1$ , ouvert pour $a_j=0$ ) et les résistances $R$ , $2R$ , $4R$ , $8R$ placées dans les branches de $a_3$ , $a_2$ , $a_1$ , $a_0$ . La ligne commune des interrupteurs est au potentiel $-U_{\text{réf}}$ par rapport à la masse. Les intensités $I_j$ sont orientées de l'interrupteur vers l'entrée inverseuse, et $i$ de l'entrée inverseuse vers la sortie, à travers $R'$ .

Données : $U_{\text{réf}}=5{,}0\ \text{V}$ ; $R=10\ \text{k}\Omega$ ; $R'=2{,}0\ \text{k}\Omega$ . On applique à l'entrée le mot binaire $[N]=[a_3\,a_2\,a_1\,a_0]=[1010]$ .

Écrire l'équivalent décimal $N$ en fonction de $a_3$ , $a_2$ , $a_1$ , $a_0$ et calculer $N$ pour le mot appliqué.
Courants de branche :
1. quel est le potentiel de l'entrée inverseuse ? Justifier ;
2. montrer que $I_0=-\dfrac{U_{\text{réf}}}{8R}$ lorsque $a_0=1$ ; que vaut $I_0$ lorsque $a_0=0$ ?
3. en déduire l'expression de chaque intensité $I_j$ en fonction de $a_j$ , $U_{\text{réf}}$ et $R$ .
Pour le mot $[1010]$ , calculer $I_3$ , $I_2$ , $I_1$ et $I_0$ , puis l'intensité $i$ dans $R'$ .
Montrer que $u_s=-R'\,i$ et calculer $u_s$ . Vérifier le résultat avec la relation $u_s=\dfrac{R'\,U_{\text{réf}}}{8R}\,N$ .
Calculer le quantum $q$ et la pleine échelle $PE$ du convertisseur. Pour quel mot binaire l'intensité $i$ est-elle maximale en valeur absolue ? Calculer cette valeur.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $N=8a_3+4a_2+2a_1+a_0$ ; pour $[1010]$ , $N=8+2=\boxed{10}$ .

2.a Idée : « idéal » donne $i^+=i^-=0$ , « régime linéaire » donne $\varepsilon=0$ . L'entrée non inverseuse étant à la masse, l'entrée inverseuse est au potentiel $V^-=0$ : c'est une masse virtuelle.

2.b Pour $a_0=1$ , la résistance $8R$ est placée entre la ligne, au potentiel $-U_{\text{réf}}$ , et l'entrée inverseuse, au potentiel $0$ . La loi d'Ohm dans le sens de $I_0$ donne $I_0=\dfrac{-U_{\text{réf}}-0}{8R}=-\dfrac{U_{\text{réf}}}{8R}$ . Pour $a_0=0$ , la branche est ouverte : $I_0=0$ . Les deux cas s'écrivent $I_0=-a_0\dfrac{U_{\text{réf}}}{8R}$ .

2.c Le même raisonnement s'applique à chaque branche, indépendamment des autres bits puisque l'entrée inverseuse reste à $0$ :

I_1=-a_1\dfrac{U_{\text{réf}}}{4R}\qquad I_2=-a_2\dfrac{U_{\text{réf}}}{2R}

I_3=-a_3\dfrac{U_{\text{réf}}}{R}

3. $\dfrac{U_{\text{réf}}}{R}=\dfrac{5{,}0}{10^4}=0{,}50\ \text{mA}$ . Pour $[1010]$ : $I_3=\boxed{-0{,}50\ \text{mA}}$ , $I_2=\boxed{0}$ ( $a_2=0$ ), $I_1=-\dfrac{0{,}50}{4}=\boxed{-0{,}125\ \text{mA}}$ , $I_0=\boxed{0}$ ( $a_0=0$ ). Aucun courant n'entrant dans l'amplificateur, la loi des nœuds à l'entrée inverseuse donne :

i=I_3+I_2+I_1+I_0=\boxed{-0{,}625\ \text{mA}}

4. D'après la loi des mailles (entrée inverseuse, sortie, masse) : $V^--u_s=R'\,i$ avec $V^-=0$ , donc $u_s=-R'\,i$ :

u_s=-2{,}0\times10^3\times(-0{,}625\times10^{-3})=\boxed{1{,}25\ \text{V}}

Contrôle : $\dfrac{R'\,U_{\text{réf}}}{8R}=\dfrac{2{,}0\times5{,}0}{80}=0{,}125\ \text{V}$ , et $0{,}125\times10=1{,}25\ \text{V}$ .

5. $q=\dfrac{R'\,U_{\text{réf}}}{8R}=\boxed{0{,}125\ \text{V}}$ et $PE=(2^4-1)\,q=15\times0{,}125\approx\boxed{1{,}9\ \text{V}}$ . $|i|$ est maximale quand les quatre branches conduisent, pour le mot $[1111]$ : $i=-\dfrac{15\,U_{\text{réf}}}{8R}\approx\boxed{-0{,}94\ \text{mA}}$ .

5 Drill SG-D.5 — étude d'un document : la conversion numérique-analogique, résolution et nombre de bits

Entraînement 05 / 05

Drill SG-D.5 — étude d'un document : la conversion numérique-analogique, résolution et nombre de bits

3 questionsCorrigé masqué

Étude d'un document scientifique — Du fichier numérique au haut-parleur (texte reconstitué pour l'entraînement).

« Un lecteur audio ne stocke pas le son : il stocke une suite de nombres binaires. Pour qu'un haut-parleur puisse les restituer, chaque nombre doit être transformé en une tension proportionnelle à sa valeur : c'est le rôle du convertisseur numérique-analogique (CNA), placé entre l'unité de traitement et l'amplificateur. On le retrouve aussi dans la commande de vitesse des moteurs, dans les variateurs de lumière ou dans les téléviseurs.

Un CNA à $n$ bits ne peut délivrer que $2^n$ tensions différentes, régulièrement espacées d'un pas appelé quantum. Pour une même pleine échelle, ajouter des bits resserre ces paliers : la tension de sortie suit plus fidèlement le signal à reproduire. C'est pourquoi l'audio de qualité CD code chaque échantillon sur 16 bits, soit 65 536 valeurs possibles, là où un modèle d'entrée de gamme se contente de 8 bits. »

En se référant au texte :
1. préciser le rôle d'un CNA dans une chaîne de restitution du son ;
2. citer deux autres applications d'un CNA ;
3. expliquer pourquoi augmenter le nombre de bits améliore la conversion.
Un CNA à 5 bits reçoit le mot binaire $[N]=[a_4\,a_3\,a_2\,a_1\,a_0]$ et délivre la tension $u_s=0{,}25\,N$ ( $u_s$ en volts).
1. exprimer $N$ en fonction des bits $a_0$ à $a_4$ ;
2. calculer $u_s$ pour le mot $[10110]$ ;
3. déterminer le quantum $q$ et la pleine échelle $PE$ de ce convertisseur.
On remplace ce CNA par un CNA à 8 bits de même pleine échelle. Calculer son quantum et conclure en reliant le résultat au texte.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Le CNA transforme chaque nombre binaire en une tension proportionnelle à sa valeur ; cette tension analogique attaque l'amplificateur puis le haut-parleur : « chaque nombre doit être transformé en une tension proportionnelle à sa valeur ».

1.b Le texte cite « la commande de vitesse des moteurs » et « les variateurs de lumière » (ou les téléviseurs).

1.c Idée : relier le nombre de bits au pas de la sortie. Avec $n$ bits, la sortie prend $2^n$ valeurs ; pour une même pleine échelle, le quantum $q=\frac{PE}{2^n-1}$ diminue quand $n$ augmente. Le texte le dit : « ajouter des bits resserre ces paliers » ; la résolution augmente et la tension suit plus fidèlement le signal.

2.a $N=a_0+2a_1+4a_2+8a_3+16a_4$ .

2.b $[10110]$ : $a_4=1$ , $a_3=0$ , $a_2=1$ , $a_1=1$ , $a_0=0$ , donc $N=16+4+2=22$ et $u_s=0{,}25\times22=\boxed{5{,}5\ \text{V}}$ .

2.c Le quantum est l'accroissement de $u_s$ pour $\Delta N=1$ : $q=\boxed{0{,}25\ \text{V}}$ . La pleine échelle correspond à $N_{\max}=2^5-1=31$ : $PE=31\times0{,}25=\boxed{7{,}75\ \text{V}}$ .

3. Avec 8 bits, $N_{\max}=2^8-1=255$ :

q'=\dfrac{7{,}75}{255}\approx\boxed{3{,}0\times10^{-2}\ \text{V}}

Le pas passe de $250\ \text{mV}$ à environ $30\ \text{mV}$ , soit environ huit fois plus fin ( $\frac{255}{31}\approx8{,}2$ ) : les paliers sont plus serrés, ce que le texte appelle une conversion plus fidèle.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Convertisseur numérique-analogique à résistances pondérées : tension de sortie, pleine échelle et quantum

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill SG-D.1 — dimensionner la contre-réaction pour une pleine échelle imposée

Drill SG-D.2 — remonter à la tension de référence et à la résistance depuis une mesure

Drill SG-D.3 — caractéristique de transfert en escalier : nombre de bits, pleine échelle, quantum, puis $U_{\text{réf}}$

Drill SG-D.4 — courants de branche d'un CNA 4 bits pour un mot donné : bit nul, courant nul

Drill SG-D.5 — étude d'un document : la conversion numérique-analogique, résolution et nombre de bits

Relier ce raisonnement au bac