TH-ATransmission hertzienne : modulation et démodulation d'amplitude

Modulation d'amplitude par multiplieur : porteuse, $u_s=A[1+m\cos(2\pi Nt)]\cos(2\pi N_pt)$ , taux $m$ , qualité, démodulation

Idée directrice

Dans une modulation d'amplitude, le multiplieur fait porter l'information $u(t)$ , de basse fréquence, par une porteuse de haute fréquence : $u_s=k(U_0+u)\,u_p=A[1+m\cos(2\pi Nt)]\cos(2\pi N_pt)$ . Tout l'exercice tourne autour de l'enveloppe : sa période donne $N$ , ses valeurs extrêmes donnent le taux $m=\frac{U_m}{U_0}$ , qui doit rester inférieur à 1 pour que l'enveloppe reste l'image du message — et c'est elle que le détecteur d'enveloppe récupère à la réception.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Identifier, en le justifiant, la courbe qui représente la porteuse » ; « Montrer que la tension de sortie s'écrit $u_s(t)=A[1+m\cos(2\pi Nt)]\cos(2\pi N_pt)$ » ; « Nommer la constante $m$ » ; « préciser s'il s'agit d'une bonne ou d'une mauvaise modulation » ; « Déduire la valeur de la tension de décalage $U_0$ »

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Porteuse = signal de haute fréquence ; signal modulant = basse fréquence ; tension de décalage = continue ; signal modulé = haute fréquence d'amplitude variable.
Développer $u_s=k(U_0+u)\,u_p$ en factorisant $kU_{pm}U_0$ : $A=kU_{pm}U_0$ et $m=\frac{U_m}{U_0}$ .
Sur l'oscillogramme modulé : $N$ par la période de l'enveloppe, $N_p$ en comptant les oscillations rapides, amplitudes lues depuis le zéro.
$m=\frac{(U_{sm})_{max}-(U_{sm})_{min}}{(U_{sm})_{max}+(U_{sm})_{min}}$ , puis $U_0=\frac{U_m}{m}$ , $A=\frac{(U_{sm})_{max}+(U_{sm})_{min}}{2}$ , et $k$ ou $U_{pm}$ par $A=kU_{pm}U_0$ .
Bonne modulation si $m<1$ , c'est-à-dire $U_0>U_m$ ; démodulation : circuit d'accord, détecteur d'enveloppe, filtre passe-haut.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Prendre la courbe de plus grande amplitude pour la porteuse (c'est la fréquence qui décide) ; lire les amplitudes crête à crête, deux fois trop grandes — le rapport $m$ n'en souffre pas, mais $A$ , $k$ et $U_{pm}$ seraient faux ; lire $N_p$ sur l'enveloppe ; oublier que $m=\frac{U_m}{U_0}$ ne dépend ni de $k$ ni de $U_{pm}$ ; croire qu'il faut diminuer $U_0$ pour supprimer une surmodulation (il faut l'augmenter) ; appliquer la formule des extrêmes à un signal surmodulé.

Sujet principal

Exercice — modulation d'amplitude par multiplieur (6 points), dans l'esprit des sessions 2017–2026

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Afin de transmettre à grande distance un signal sonore, on simule au laboratoire une modulation d'amplitude. Un microphone fournit une tension sinusoïdale $u(t)=U_m\cos(2\pi Nt)$ de basse fréquence $N$ . Un circuit électronique (D) lui superpose une tension continue positive $U_0$ , appelée tension de décalage, et la somme $u(t)+U_0$ est appliquée à l'entrée $E_1$ d'un multiplieur X. On applique à l'entrée $E_2$ la tension $u_p(t)=U_{pm}\cos(2\pi N_pt)$ . La sortie S du multiplieur délivre la tension :

u_s(t)=k\,[U_0+u(t)]\,u_p(t)

où $k$ est une constante positive qui caractérise le multiplieur. Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ de la figure 1 représentent, dans un ordre à déterminer, les tensions $u(t)$ et $u_p(t)$ ; la figure 2 donne l'oscillogramme de la tension de sortie $u_s(t)$ .

Exploitation de la figure 1.
1. Déterminer la fréquence et l'amplitude de chacune des tensions représentées par $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ .
2. Identifier, en le justifiant, la courbe qui représente la porteuse $u_p(t)$ . En déduire les valeurs de $N$ , $U_m$ , $N_p$ et $U_{pm}$ .
3. Justifier le recours à la modulation pour transmettre ce signal sonore à grande distance. On admet qu'une antenne a une dimension de l'ordre de $\frac{\lambda}{2}$ , où $\lambda=\frac{c}{N}$ est la longueur d'onde de l'onde émise, avec $c=3\times10^8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ .
Étude théorique.
1. Montrer que la tension de sortie s'écrit $u_s(t)=A\,[1+m\cos(2\pi Nt)]\cos(2\pi N_pt)$ , où $A$ et $m$ sont deux constantes positives à exprimer en fonction de $k$ , $U_0$ , $U_m$ et $U_{pm}$ .
2. Nommer la constante $m$ .
3. On suppose $m<1$ . Exprimer les valeurs maximale $(U_{sm})_{max}$ et minimale $(U_{sm})_{min}$ de l'amplitude de $u_s(t)$ en fonction de $A$ et $m$ . En déduire que $m=\dfrac{(U_{sm})_{max}-(U_{sm})_{min}}{(U_{sm})_{max}+(U_{sm})_{min}}$ .
Exploitation de l'oscillogramme de la figure 2, qui représente la tension $u_s(t)$ .
1. Justifier que $u_s(t)$ est une tension modulée en amplitude.
2. Déterminer la période $T$ de l'enveloppe de $u_s(t)$ . Compter les oscillations rapides pendant une période de l'enveloppe et en déduire $N_p$ . Comparer aux résultats de la question 1.
3. Déterminer graphiquement $(U_{sm})_{max}$ et $(U_{sm})_{min}$ .
4. Calculer le taux de modulation $m$ . La modulation est-elle de bonne qualité ? Justifier.
Grandeurs du montage.
1. En déduire la valeur de la tension de décalage $U_0$ .
2. Calculer $A$ , puis la constante $k$ du multiplieur.
3. Quelle condition doit vérifier $U_0$ pour éviter la surmodulation ? On règle $U_0=2\ \text{V}$ sans rien changer d'autre : calculer le nouveau taux de modulation et décrire l'allure qu'aurait alors l'enveloppe de $u_s(t)$ .
Démodulation. À la réception, la tension modulée traverse trois étages, cités ici dans le désordre : un filtre passe-haut ; un circuit d'accord $(L,C)$ relié à l'antenne ; un détecteur d'enveloppe formé d'une diode suivie d'un dipôle $RC$ .
1. Classer ces trois étages dans l'ordre du trajet du signal et préciser le rôle de chacun.
2. Le détecteur d'enveloppe est supposé idéal et la tension qu'il reçoit est identique à $u_s(t)$ . Donner l'expression numérique de la tension $u_D(t)$ à sa sortie, puis celle de la tension $u_F(t)$ à la sortie du filtre passe-haut. Conclure.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : période = nombre de divisions × base de temps ; amplitude = nombre de divisions × sensibilité verticale. D'après la figure 1 — $\mathcal{C}_1$ : une période occupe 4 divisions, $T_1=4\times0{,}5=2\ \text{ms}$ , d'où $N_1=\frac{1}{T_1}=\boxed{500\ \text{Hz}}$ ; amplitude $3\ \text{div}\times1\ \text{V/div}=3\ \text{V}$ . $\mathcal{C}_2$ : $T_2=2\times0{,}05=0{,}1\ \text{ms}$ , d'où $N_2=\boxed{1{,}0\times10^4\ \text{Hz}}$ ; amplitude $2{,}5\ \text{V}$ .

1.b Idée : la porteuse est le signal de haute fréquence. $N_2=20\,N_1$ : $\mathcal{C}_2$ représente la porteuse $u_p(t)$ et $\mathcal{C}_1$ le signal modulant $u(t)$ . Donc $N=500\ \text{Hz}$ , $U_m=3\ \text{V}$ , $N_p=10\ \text{kHz}$ et $U_{pm}=2{,}5\ \text{V}$ .

1.c Émis directement, le signal de $500\ \text{Hz}$ aurait une longueur d'onde $\lambda=\frac{c}{N}=\frac{3\times10^8}{500}=6\times10^5\ \text{m}$ : il faudrait une antenne de l'ordre de $\frac{\lambda}{2}=300\ \text{km}$ , irréalisable, et le signal serait vite atténué. La modulation confie l'information à une onde de haute fréquence, facile à émettre et à transmettre loin ; chaque émetteur ayant sa propre porteuse, les émissions ne se mélangent pas.

2.a On remplace $u(t)$ et $u_p(t)$ dans la relation du multiplieur, puis on factorise $kU_{pm}U_0$ :

u_s(t)=kU_{pm}U_0\Big[1+\frac{U_m}{U_0}\cos(2\pi Nt)\Big]

\qquad\times\cos(2\pi N_pt)

C'est la forme demandée, avec $\boxed{A=kU_{pm}U_0}$ et $\boxed{m=\dfrac{U_m}{U_0}}$ .

2.b $m$ est le taux de modulation.

2.c L'amplitude de $u_s(t)$ est $U_{sm}(t)=A\,[1+m\cos(2\pi Nt)]$ , positive puisque $m<1$ . Elle est maximale quand $\cos(2\pi Nt)=1$ : $(U_{sm})_{max}=A(1+m)$ ; minimale quand $\cos(2\pi Nt)=-1$ : $(U_{sm})_{min}=A(1-m)$ . Leur différence vaut $2Am$ et leur somme $2A$ ; le quotient de la différence par la somme est donc égal à $m$ .

3.a D'après l'oscillogramme, la fréquence des oscillations rapides reste constante tandis que leur amplitude varie périodiquement, au rythme d'un signal de basse fréquence : il s'agit d'une modulation d'amplitude.

3.b Deux maximums successifs de l'amplitude sont séparés de 8 divisions : $T=8\times0{,}25=2\ \text{ms}$ , soit une fréquence $\frac{1}{T}=500\ \text{Hz}=N$ : l'enveloppe reproduit bien $u(t)$ . On compte 20 oscillations rapides par période de l'enveloppe : $T_p=\frac{T}{20}=0{,}1\ \text{ms}$ et $N_p=\boxed{10\ \text{kHz}}$ , en accord avec $\mathcal{C}_2$ .

3.c $(U_{sm})_{max}=3{,}5\ \text{div}\times1\ \text{V/div}=\boxed{3{,}5\ \text{V}}$ et $(U_{sm})_{min}=\boxed{0{,}5\ \text{V}}$ (amplitudes mesurées depuis la ligne du zéro, et non crête à crête).

3.d $m=\dfrac{3{,}5-0{,}5}{3{,}5+0{,}5}=\boxed{0{,}75}$ . Idée : la qualité se juge sur $m<1$ . Ici $m<1$ : l'amplitude ne s'annule jamais et l'enveloppe a la forme de $u(t)$ ; la modulation est de bonne qualité.

4.a $m=\frac{U_m}{U_0}$ donne $U_0=\frac{U_m}{m}=\frac{3}{0{,}75}=\boxed{4\ \text{V}}$ .

4.b $A=\frac{(U_{sm})_{max}+(U_{sm})_{min}}{2}=\frac{3{,}5+0{,}5}{2}=2\ \text{V}$ . Puis $k=\frac{A}{U_{pm}U_0}=\frac{2}{2{,}5\times4}=\boxed{0{,}2\ \text{V}^{-1}}$ ; l'unité $\text{V}^{-1}$ fait bien de $u_s$ une tension.

4.c Idée : pas de surmodulation tant que $m<1$ . $m<1\iff U_0>U_m$ : il faut $U_0>3\ \text{V}$ . Avec $U_0=2\ \text{V}$ , $m'=\frac{3}{2}=1{,}5>1$ : surmodulation. Le facteur $1+m'\cos(2\pi Nt)$ devient négatif pendant une partie de chaque période (dès que $\cos(2\pi Nt)<-\frac{2}{3}$ ) : l'amplitude de $u_s$ s'annule deux fois par période, l'enveloppe se croise et n'est plus l'image de $u(t)$ ; le message reçu serait déformé.

5.a Ordre : circuit d'accord $(L,C)$ , puis détecteur d'enveloppe, puis filtre passe-haut. Le circuit d'accord, réglé sur $N_p$ , sélectionne l'émission voulue parmi toutes celles que capte l'antenne ; le détecteur d'enveloppe (diode et dipôle $RC$ ) élimine les oscillations de la porteuse et ne garde que l'enveloppe ; le filtre passe-haut supprime la composante continue due à $U_0$ et ne laisse passer que le signal de basse fréquence.

5.b Un détecteur idéal restitue l'enveloppe : $u_D(t)=A\,[1+m\cos(2\pi Nt)]$ , soit $u_D(t)=2+1{,}5\cos(1000\pi t)$ (en V). Le filtre passe-haut élimine la composante continue $2\ \text{V}$ : $\boxed{u_F(t)=1{,}5\cos(1000\pi t)}$ (en V). Comme $u_F(t)=kU_{pm}\,u(t)$ , on récupère un signal de même fréquence que $u(t)$ et proportionnel à lui : le message sonore est restitué.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : « Montrer que » $m=\frac{(U_{sm})_{max}-(U_{sm})_{min}}{(U_{sm})_{max}+(U_{sm})_{min}}$ et spectre de fréquences à trois raies $N_p-N$ , $N_p$ , $N_p+N$ (principale 2019) ; choisir, entre deux oscillogrammes, celui qui représente $u_s$ , puis calculer $k$ (principale 2025) ; $U_0$ déduit de $m$ et $U_{pm}$ déduit de $k$ (contrôle 2026) ; deux tensions de décalage, bonne modulation et valeur limite $U_{0L}$ (principale 2016) ; porteuse, signal modulant, signal modulé et tension de décalage à reconnaître, étages du récepteur à associer à leurs tensions de sortie (contrôle 2017) ; étude de document sur la transmission hertzienne, la radio AM/FM ou la démodulation (contrôle 2016, 2020 et 2023).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill TH-A.1 — taux de modulation à partir des seules amplitudes extrêmes, lues crête à crête

Entraînement 01 / 06

Drill TH-A.1 — taux de modulation à partir des seules amplitudes extrêmes, lues crête à crête

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un multiplieur de constante $k=0{,}1\ \text{V}^{-1}$ reçoit la porteuse $u_p(t)=U_{pm}\cos(2\pi N_pt)$ et la tension $U_0+u(t)$ , où $u(t)=U_m\cos(2\pi Nt)$ avec $U_m=2\ \text{V}$ . La tension de sortie $u_s(t)=A\,[1+m\cos(2\pi Nt)]\cos(2\pi N_pt)$ , avec $A=kU_{pm}U_0$ et $m=\frac{U_m}{U_0}$ , est visualisée sur l'écran d'un oscilloscope (figure).

Déterminer la fréquence $N$ du signal modulant.
Mesurer sur l'écran l'écart vertical, crête à crête, entre les bords supérieur et inférieur de l'enveloppe là où il est le plus grand, puis là où il est le plus petit. En déduire $(U_{sm})_{max}$ et $(U_{sm})_{min}$ .
Calculer le taux de modulation $m$ et conclure sur la qualité de la modulation.
Montrer que $\dfrac{(U_{sm})_{max}}{(U_{sm})_{min}}=\dfrac{1+m}{1-m}$ et vérifier le résultat de la question 3.
En déduire la tension de décalage $U_0$ , puis l'amplitude $U_{pm}$ de la porteuse.

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1. La période de l'enveloppe occupe 5 divisions : $T=5\times0{,}2=1\ \text{ms}$ , donc $N=\boxed{1\ \text{kHz}}$ .

2. Idée : l'écart crête à crête entre les bords supérieur et inférieur de l'enveloppe vaut deux fois l'amplitude. Au plus large : $5{,}6\ \text{div}\times0{,}5\ \text{V/div}=2{,}8\ \text{V}=2(U_{sm})_{max}$ , d'où $(U_{sm})_{max}=\boxed{1{,}4\ \text{V}}$ . Au plus étroit : $2{,}4\times0{,}5=1{,}2\ \text{V}$ , d'où $(U_{sm})_{min}=\boxed{0{,}6\ \text{V}}$ .

3. $m=\dfrac{1{,}4-0{,}6}{1{,}4+0{,}6}=\dfrac{0{,}8}{2}=\boxed{0{,}4}$ . $m<1$ : pas de surmodulation, la modulation est de bonne qualité.

4. $(U_{sm})_{max}=A(1+m)$ et $(U_{sm})_{min}=A(1-m)$ : leur quotient ne dépend plus de $A$ et vaut $\frac{1+m}{1-m}$ . Ici $\frac{1{,}4}{0{,}6}=\frac{7}{3}$ ; $\frac{1+m}{1-m}=\frac{7}{3}$ donne $3+3m=7-7m$ , soit $m=0{,}4$ : même résultat.

5. $U_0=\frac{U_m}{m}=\frac{2}{0{,}4}=\boxed{5\ \text{V}}$ . $A=\frac{1{,}4+0{,}6}{2}=1\ \text{V}=kU_{pm}U_0$ , d'où $U_{pm}=\frac{A}{kU_0}=\frac{1}{0{,}1\times5}=\boxed{2\ \text{V}}$ .

2 Drill TH-A.2 — choisir la tension de décalage : ni surmodulation, ni saturation du multiplieur

Entraînement 02 / 06

Drill TH-A.2 — choisir la tension de décalage : ni surmodulation, ni saturation du multiplieur

6 questionsCorrigé masqué

On veut moduler en amplitude le signal $u(t)=U_m\cos(2\pi Nt)$ , d'amplitude $U_m=2{,}0\ \text{V}$ , délivré par un microphone. Le multiplieur utilisé, de constante $k=0{,}10\ \text{V}^{-1}$ , reçoit sur une entrée la porteuse d'amplitude $U_{pm}=8{,}0\ \text{V}$ et sur l'autre la tension $U_0+u(t)$ , où $U_0$ est une tension de décalage réglable. Sa sortie $u_s(t)=k\,[U_0+u(t)]\,u_p(t)$ ne peut pas dépasser $10\ \text{V}$ en valeur absolue : au-delà, le multiplieur sature.

Montrer que le taux de modulation s'écrit $m=\dfrac{U_m}{U_0}$ .
Quelle condition doit vérifier $U_0$ pour que la modulation soit de bonne qualité ? Déterminer la valeur limite $U_{0L}$ correspondante.
Montrer que l'amplitude maximale de $u_s(t)$ vaut $(U_{sm})_{max}=kU_{pm}(U_0+U_m)$ . En déduire la plus grande valeur de $U_0$ qui évite la saturation.
Un élève règle $U_0=1{,}5\ \text{V}$ . Calculer $m$ . Faut-il augmenter ou diminuer $U_0$ ? Justifier.
On veut $m=0{,}40$ . Calculer $U_0$ , puis $(U_{sm})_{max}$ et $(U_{sm})_{min}$ ; vérifier l'absence de saturation.
Pourquoi n'a-t-on pas intérêt à choisir $U_0=10\ \text{V}$ , bien que cette valeur évite à la fois la surmodulation et la saturation ?

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1. En factorisant $kU_{pm}U_0$ dans $u_s=kU_{pm}(U_0+U_m\cos 2\pi Nt)\cos 2\pi N_pt$ , on obtient $u_s=A\,[1+\frac{U_m}{U_0}\cos(2\pi Nt)]\cos(2\pi N_pt)$ avec $A=kU_{pm}U_0$ : $\boxed{m=\frac{U_m}{U_0}}$ .

2. Idée : bonne modulation si $m<1$ . $\frac{U_m}{U_0}<1\iff U_0>U_m$ : $\boxed{U_{0L}=U_m=2{,}0\ \text{V}}$ , il faut $U_0>2{,}0\ \text{V}$ .

3. L'amplitude $U_{sm}(t)=kU_{pm}[U_0+U_m\cos(2\pi Nt)]$ est maximale pour $\cos(2\pi Nt)=1$ : $(U_{sm})_{max}=kU_{pm}(U_0+U_m)$ . Pas de saturation si $kU_{pm}(U_0+U_m)\le10\ \text{V}$ , soit $U_0\le\frac{10}{0{,}10\times8{,}0}-2{,}0=\boxed{10{,}5\ \text{V}}$ .

4. $m=\frac{2{,}0}{1{,}5}\approx1{,}33>1$ : surmodulation. Comme $m=\frac{U_m}{U_0}$ diminue quand $U_0$ augmente, il faut augmenter $U_0$ , au-delà de $2{,}0\ \text{V}$ .

5. $U_0=\frac{U_m}{m}=\frac{2{,}0}{0{,}40}=\boxed{5{,}0\ \text{V}}$ . $(U_{sm})_{max}=0{,}80\times7{,}0=\boxed{5{,}6\ \text{V}}$ et $(U_{sm})_{min}=kU_{pm}(U_0-U_m)=0{,}80\times3{,}0=\boxed{2{,}4\ \text{V}}$ . $5{,}6\ \text{V}<10\ \text{V}$ : pas de saturation (et $\frac{5{,}6-2{,}4}{5{,}6+2{,}4}=0{,}40$ ).

6. Avec $U_0=10\ \text{V}$ , $m=0{,}20$ : l'amplitude ne varie plus qu'entre $0{,}80\times8{,}0=6{,}4\ \text{V}$ et $0{,}80\times12=9{,}6\ \text{V}$ . L'information, portée par les variations de l'enveloppe, devient faible devant l'amplitude moyenne et plus sensible aux parasites, et la sortie frôle la saturation. On choisit donc un décalage qui donne un taux assez grand, mais inférieur à 1.

3 Drill TH-A.3 — reconnaître porteuse, signal modulant et signal modulé parmi trois oscillogrammes

Entraînement 03 / 06

Drill TH-A.3 — reconnaître porteuse, signal modulant et signal modulé parmi trois oscillogrammes

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans une chaîne de modulation d'amplitude, un multiplieur de constante $k$ reçoit sur une entrée la tension $U_0+u(t)$ , somme d'une tension de décalage $U_0$ et d'un signal sinusoïdal $u(t)=U_m\cos(2\pi Nt)$ , et sur l'autre une tension sinusoïdale $u_p(t)=U_{pm}\cos(2\pi N_pt)$ . Il délivre $u_s(t)=k\,[U_0+u(t)]\,u_p(t)$ . Les oscillogrammes (a), (b) et (c) représentent, dans le désordre, $U_0+u(t)$ , $u_p(t)$ et $u_s(t)$ ; attention, leurs réglages ne sont pas les mêmes.

Attribuer chaque oscillogramme à la tension qu'il représente, en justifiant, et nommer le rôle de chacune dans la chaîne : porteuse, signal modulant décalé, signal modulé.
Déterminer $N$ et $N_p$ . Vérifier sur l'oscillogramme (a) le nombre d'oscillations rapides par période de l'enveloppe.
À partir de l'oscillogramme (c), déterminer $U_0$ et $U_m$ ; calculer $\frac{U_m}{U_0}$ .
À partir de l'oscillogramme (a), déterminer $(U_{sm})_{max}$ et $(U_{sm})_{min}$ , puis le taux de modulation $m$ . Comparer au résultat de la question 3.
Déterminer $U_{pm}$ , puis la constante $k$ du multiplieur.

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1. Idée : on classe par la fréquence et par la forme. (b) est une sinusoïde rapide d'amplitude constante : c'est la porteuse $u_p(t)$ . (c) est une sinusoïde lente, toujours positive, qui oscille autour d'une valeur non nulle : c'est $U_0+u(t)$ , le signal modulant $u(t)$ décalé de $U_0$ . (a) oscille rapidement avec une amplitude qui varie au rythme de (c) : c'est le signal modulé $u_s(t)$ .

2. (c) : période $5\ \text{div}\times1\ \text{ms/div}=5\ \text{ms}$ , donc $N=\boxed{200\ \text{Hz}}$ . (b) : $T_p=2{,}5\times0{,}1=0{,}25\ \text{ms}$ , donc $N_p=\boxed{4{,}0\ \text{kHz}}$ . $\frac{N_p}{N}=20$ : on compte bien 20 oscillations rapides par période de l'enveloppe de (a), qui occupe 5 divisions.

3. (c) varie entre $1{,}5\ \text{V}$ et $4{,}5\ \text{V}$ : sa valeur moyenne est $U_0=\frac{4{,}5+1{,}5}{2}=\boxed{3{,}0\ \text{V}}$ et son amplitude $U_m=\frac{4{,}5-1{,}5}{2}=\boxed{1{,}5\ \text{V}}$ ; $\frac{U_m}{U_0}=0{,}50$ .

4. (a), à $0{,}5\ \text{V/div}$ : $(U_{sm})_{max}=3{,}6\times0{,}5=1{,}8\ \text{V}$ et $(U_{sm})_{min}=1{,}2\times0{,}5=0{,}6\ \text{V}$ . $m=\frac{1{,}8-0{,}6}{1{,}8+0{,}6}=\boxed{0{,}50}$ : c'est bien $\frac{U_m}{U_0}$ , comme le prévoit l'écriture $u_s=kU_{pm}U_0\,[1+\frac{U_m}{U_0}\cos(2\pi Nt)]\cos(2\pi N_pt)$ .

5. (b) : $U_{pm}=2\ \text{div}\times1\ \text{V/div}=2{,}0\ \text{V}$ . $A=\frac{1{,}8+0{,}6}{2}=1{,}2\ \text{V}=kU_{pm}U_0$ , d'où $k=\frac{1{,}2}{2{,}0\times3{,}0}=\boxed{0{,}20\ \text{V}^{-1}}$ .

4 Drill TH-A.4 — diagnostiquer une surmodulation : l'enveloppe qui se croise

Entraînement 04 / 06

Drill TH-A.4 — diagnostiquer une surmodulation : l'enveloppe qui se croise

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un multiplieur de constante $k=0{,}10\ \text{V}^{-1}$ reçoit la porteuse $u_p(t)=U_{pm}\cos(2\pi N_pt)$ , avec $U_{pm}=5{,}0\ \text{V}$ , et la tension $U_0+u(t)$ , où $u(t)=U_m\cos(2\pi Nt)$ . Sa sortie est $u_s(t)=k\,[U_0+u(t)]\,u_p(t)$ . Pour les mêmes tensions $u(t)$ et $u_p(t)$ , on obtient les oscillogrammes (a) et (b) avec deux valeurs différentes $U_{01}$ et $U_{02}$ de la tension de décalage.

Préciser, en le justifiant par l'allure de l'enveloppe, l'oscillogramme qui correspond à une surmodulation.
Montrer que l'amplitude de $u_s(t)$ s'écrit $\left|kU_{pm}\,[U_0+U_m\cos(2\pi Nt)]\right|$ . Expliquer pourquoi elle s'annule, pendant chaque période, lorsque $U_0<U_m$ .
Oscillogramme (a) : déterminer $(U_{sm})_{max}$ et $(U_{sm})_{min}$ , puis le taux $m_1$ et $U_{01}$ , sachant que $U_m=2{,}0\ \text{V}$ .
Oscillogramme (b) : l'amplitude vaut $U_1$ au plus grand de ses maximums et $U_2$ au plus petit. Montrer que $U_1=kU_{pm}(U_{02}+U_m)$ et $U_2=kU_{pm}(U_m-U_{02})$ , puis en déduire $U_{02}$ et $m_2$ . Vérifier que l'on retrouve $U_m$ .
Un élève applique à (b) la formule $m=\frac{(U_{sm})_{max}-(U_{sm})_{min}}{(U_{sm})_{max}+(U_{sm})_{min}}$ en lisant $(U_{sm})_{min}=0$ . Quel résultat obtient-il ? Pourquoi est-il faux ?

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1. Idée : en surmodulation l'amplitude s'annule et l'enveloppe se croise. Sur (b), l'amplitude s'annule deux fois par période de l'enveloppe puis remonte : l'enveloppe supérieure et l'enveloppe inférieure se croisent, elle n'a plus la forme sinusoïdale de $u(t)$ . (b) correspond à la surmodulation ; (a), dont l'amplitude varie sans jamais s'annuler, à une bonne modulation.

2. $u_s(t)=kU_{pm}[U_0+U_m\cos(2\pi Nt)]\cos(2\pi N_pt)$ : l'amplitude est la valeur absolue du facteur qui multiplie $\cos(2\pi N_pt)$ . Si $U_0<U_m$ , le facteur $U_0+U_m\cos(2\pi Nt)$ change de signe (il vaut $U_0-U_m<0$ quand $\cos(2\pi Nt)=-1$ ) : il s'annule deux fois par période, et l'amplitude avec lui.

3. (a) : $(U_{sm})_{max}=2{,}5\ \text{V}$ et $(U_{sm})_{min}=0{,}5\ \text{V}$ . $m_1=\frac{2{,}5-0{,}5}{2{,}5+0{,}5}=\boxed{\frac{2}{3}\approx0{,}67}$ et $U_{01}=\frac{U_m}{m_1}=\frac{2{,}0}{2/3}=\boxed{3{,}0\ \text{V}}$ (contrôle : $A=kU_{pm}U_{01}=1{,}5\ \text{V}=\frac{2{,}5+0{,}5}{2}$ ).

4. Le plus grand maximum a lieu pour $\cos(2\pi Nt)=1$ : $U_1=kU_{pm}(U_{02}+U_m)$ ; le plus petit pour $\cos(2\pi Nt)=-1$ , où le facteur vaut $U_{02}-U_m<0$ : $U_2=kU_{pm}(U_m-U_{02})$ . On lit $U_1=1{,}5\ \text{V}$ et $U_2=0{,}5\ \text{V}$ , avec $kU_{pm}=0{,}50$ . Par différence, $U_{02}=\frac{U_1-U_2}{2kU_{pm}}=\frac{1{,}0}{1{,}0}=\boxed{1{,}0\ \text{V}}$ ; par somme, $U_m=\frac{U_1+U_2}{2kU_{pm}}=2{,}0\ \text{V}$ : on retrouve bien $U_m$ . $m_2=\frac{2{,}0}{1{,}0}=\boxed{2}>1$ .

5. Il trouve $m=\frac{1{,}5-0}{1{,}5+0}=1$ , ce qui est faux. La formule suppose que l'amplitude vaut $A(1-m)$ quand $\cos(2\pi Nt)=-1$ , ce qui n'est vrai que si $m<1$ ; en surmodulation, cet instant correspond au petit maximum $U_2$ , pas à un zéro. Le vrai taux est $m_2=2$ .

5 Drill TH-A.5 — étude d'un document : émettre la voix par ondes radio, AM ou FM

Entraînement 05 / 06

Drill TH-A.5 — étude d'un document : émettre la voix par ondes radio, AM ou FM

5 questionsCorrigé masqué

Étude d'un document scientifique — Émettre la voix par ondes radio (texte reconstitué pour l'entraînement).

« Un microphone transforme la voix en un signal électrique dont les fréquences vont, pour la parole, de quelques centaines de hertz à quelques kilohertz. Ce signal ne peut pas être émis tel quel : une antenne n'émet efficacement que si sa longueur est de l'ordre de la moitié de la longueur d'onde de l'onde, ce qui imposerait des antennes de plusieurs dizaines de kilomètres. De plus, toutes les stations émettraient dans la même bande de fréquences et le récepteur ne pourrait pas les séparer.

On confie donc l'information à une onde de haute fréquence, la porteuse, propre à chaque station. En modulation d'amplitude (AM), l'amplitude de la porteuse varie au rythme du signal sonore ; en modulation de fréquence (FM), c'est sa fréquence qui varie, son amplitude restant constante. Les parasites électriques modifient surtout l'amplitude d'un signal : la réception en FM est moins bruitée. Qu'elle soit AM ou FM, l'onde modulée est rayonnée par l'antenne de l'émetteur.

Au récepteur, un circuit d'accord (L, C) sélectionne la station dont la fréquence de porteuse est égale à sa fréquence propre. Un détecteur d'enveloppe restitue ensuite l'enveloppe du signal, dont un filtre élimine la composante continue avant l'amplification. »

Données : célérité des ondes électromagnétiques $c=3\times10^8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ ; longueur d'onde $\lambda=\frac{c}{N}$ .

Relever du texte deux raisons pour lesquelles on ne peut pas émettre directement le signal sonore.
Calculer la longueur d'une antenne adaptée à un son de fréquence $2\ \text{kHz}$ , puis à une porteuse AM de fréquence $1\ \text{MHz}$ . Conclure.
En se référant au texte, expliquer la différence entre la modulation d'amplitude et la modulation de fréquence, puis indiquer la plus fiable des deux en justifiant.
Le circuit d'accord comporte une bobine d'inductance $L=0{,}25\ \text{mH}$ . Calculer la capacité $C$ qui permet de recevoir la station dont la porteuse a pour fréquence $1\ \text{MHz}$ .
Citer, dans l'ordre, les opérations que le texte attribue au récepteur après l'antenne.

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1. Idée : on cite le texte, sans rien inventer. D'après le texte, « une antenne n'émet efficacement que si sa longueur est de l'ordre de la moitié de la longueur d'onde » : il faudrait des antennes de plusieurs dizaines de kilomètres ; et « toutes les stations émettraient dans la même bande de fréquences », que le récepteur ne pourrait pas séparer.

2. Son : $\lambda=\frac{3\times10^8}{2\times10^3}=1{,}5\times10^5\ \text{m}$ , antenne $\frac{\lambda}{2}=\boxed{75\ \text{km}}$ . Porteuse : $\lambda=\frac{3\times10^8}{10^6}=300\ \text{m}$ , antenne $\frac{\lambda}{2}=\boxed{150\ \text{m}}$ . Seule l'onde de haute fréquence permet une antenne réalisable : c'est l'intérêt de la porteuse.

3. En AM, l'information est portée par l'amplitude de la porteuse, qui varie au rythme du son ; en FM, par sa fréquence, l'amplitude restant constante. La FM est la plus fiable : « les parasites électriques modifient surtout l'amplitude d'un signal », ils perturbent donc peu une information portée par la fréquence.

4. Idée : la station est reçue quand la fréquence propre du circuit est égale à la fréquence de la porteuse. $N_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=N_p$ donne $C=\frac{1}{4\pi^2N_p^2L}=\frac{1}{4\pi^2\times10^{12}\times2{,}5\times10^{-4}}$ , soit $C\approx\boxed{1{,}0\times10^{-10}\ \text{F}}$ , environ $100\ \text{pF}$ .

5. Sélection de la station par le circuit d'accord (L, C), détection de l'enveloppe par le détecteur d'enveloppe, élimination de la composante continue par un filtre, puis amplification.

6 Drill TH-A.6 — démodulation : attribuer à chaque étage du récepteur sa tension de sortie

Entraînement 06 / 06

Drill TH-A.6 — démodulation : attribuer à chaque étage du récepteur sa tension de sortie

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

L'antenne d'un récepteur capte les ondes de plusieurs stations, chacune avec sa porteuse. Pour restituer le message porté par l'une d'elles, onde modulée en amplitude, un récepteur de radio AM simplifié réalise la démodulation en trois étages : l'étage (1), une bobine et un condensateur montés en parallèle, reliés à l'antenne ; l'étage (2), une diode suivie d'un condensateur monté en parallèle avec un conducteur ohmique ; l'étage (3), un condensateur en série suivi d'un conducteur ohmique aux bornes duquel on recueille la tension de sortie. Les oscillogrammes (a), (b) et (c) représentent, dans le désordre, les tensions de sortie des trois étages ; le détecteur est supposé idéal.

Nommer chaque étage et préciser son rôle.
Associer à chaque étage l'oscillogramme de sa tension de sortie, en justifiant.
À partir de la tension de sortie de l'étage (1), déterminer le taux de modulation $m$ du signal reçu.
Déterminer la composante continue éliminée par l'étage (3), puis l'amplitude et la fréquence du signal finalement recueilli.

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1. Étage (1) : circuit d'accord $(L,C)$ ; il sélectionne, parmi les émissions captées par l'antenne, celle dont la porteuse a sa fréquence propre. Étage (2) : détecteur d'enveloppe ; la diode ne laisse passer que les alternances positives et le dipôle $RC$ suit l'enveloppe. Étage (3) : filtre passe-haut ; il bloque la composante continue et laisse passer le signal de basse fréquence.

2. Idée : on suit la transformation du signal d'un étage à l'autre. (c), de haute fréquence et d'amplitude variable, est le signal modulé sélectionné : sortie de l'étage (1). (a), l'enveloppe, positive et de basse fréquence, est la sortie du détecteur, l'étage (2). (b), sinusoïde de basse fréquence centrée sur zéro, a perdu la composante continue : sortie de l'étage (3).

3. Sur (c), à $1\ \text{V/div}$ : $(U_{sm})_{max}=3\ \text{V}$ et $(U_{sm})_{min}=1\ \text{V}$ , donc $m=\frac{3-1}{3+1}=\boxed{0{,}5}$ : pas de surmodulation, l'enveloppe est fidèle au message.

4. (a) varie entre $1\ \text{V}$ et $3\ \text{V}$ : sa composante continue vaut $\frac{3+1}{2}=\boxed{2\ \text{V}}$ , c'est elle que l'étage (3) élimine. Sur (b) : amplitude $\boxed{1\ \text{V}}$ ; période $5\times0{,}2=1\ \text{ms}$ , donc fréquence $\boxed{1\ \text{kHz}}$ , celle du signal modulant transmis.

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Modulation d'amplitude par multiplieur : porteuse, $u_s=A[1+m\cos(2\pi Nt)]\cos(2\pi N_pt)$ , taux $m$ , qualité, démodulation

Exercice — modulation d'amplitude par multiplieur (6 points), dans l'esprit des sessions 2017–2026

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill TH-A.1 — taux de modulation à partir des seules amplitudes extrêmes, lues crête à crête

Drill TH-A.2 — choisir la tension de décalage : ni surmodulation, ni saturation du multiplieur

Drill TH-A.3 — reconnaître porteuse, signal modulant et signal modulé parmi trois oscillogrammes

Drill TH-A.4 — diagnostiquer une surmodulation : l'enveloppe qui se croise

Drill TH-A.5 — étude d'un document : émettre la voix par ondes radio, AM ou FM

Drill TH-A.6 — démodulation : attribuer à chaque étage du récepteur sa tension de sortie

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Modulation d'amplitude par multiplieur : porteuse, us=A[1+mcos⁡(2πNt)]cos⁡(2πNpt)u_s=A[1+m\cos(2\pi Nt)]\cos(2\pi N_pt)us​=A[1+mcos(2πNt)]cos(2πNp​t), taux mmm, qualité, démodulation

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

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Modulation d'amplitude par multiplieur : porteuse, $u_s=A[1+m\cos(2\pi Nt)]\cos(2\pi N_pt)$ , taux $m$ , qualité, démodulation