Choix du consommateur : utilité, courbe d'indifférence et panier d'équilibre

1. Poser la définition. Idée : une courbe d'indifférence est le lieu des paniers de même utilité ; on écrit donc $U(x, y) = niveau donné, puis on exprime y en fonction de x$.

2. Le calcul. On pose 3·x^(1/3)·y^(2/3) = 3, d'où x^(1/3)·y^(2/3) = 1, puis y^(2/3) = 1 / x^(1/3). En élevant les deux membres à la puissance 3/2 : y = (1 / x^(1/3))^(3/2) = 1 / x^(1/2).

3. Réponse et interprétation. La proposition correcte est la première : y = 1 / x^(1/2). La fonction obtenue est bien décroissante et convexe sur les quantités positives, ce qui est la forme attendue d'une courbe d'indifférence : pour conserver la même satisfaction, il faut compenser toute unité de x abandonnée par un supplément de y de plus en plus grand.

1. Même courbe d'indifférence. Idée : si tous les paniers procurent la même utilité, le produit x·y doit être constant lorsque l'utilité dépend de xy. On calcule : 1 × 18 = 18 ; 2 × 9 = 18 ; 3 × 6 = 18 ; 6 × 3 = 18 ; 9 × 2 = 18. Le produit est constant, égal à 18 : les cinq paniers sont bien sur une même courbe d'indifférence, d'équation y = 18/x, décroissante et convexe.

2. Niveau d'utilité. U = √(2xy) = √(2 × 18) = √36 = 6. La valeur est la même en tout point de la courbe, ce qui confirme le résultat précédent.

3. Prix du bien X et budget. Idée : à l'équilibre, la droite de budget est tangente à la courbe d'indifférence, donc les deux pentes sont égales. La pente de la courbe y = 18/x vaut −18/x² ; au panier C (x = 3), elle vaut −18/9 = −2. La pente de la droite de budget vaut −Px/Py, d'où Px/Py = 2 et Px = 2 × 4 = 8 D. Le budget vaut alors R = Px·x + Py·y = 8 × 3 + 4 × 6 = 24 + 24 = 48 D.

1. Poser la contrainte. Idée : un panier est accessible si et seulement s'il coûte exactement le budget, puisque l'énoncé dit « en dépensant la totalité ». La condition s'écrit 0,600·x + 1,500·y = 24.

2. Tester les propositions.

• 20 pots et 8 paquets : 0,600 × 20 + 1,500 × 8 = 12,000 + 12,000 = 24,000 D — la contrainte est vérifiée.
• 16 paquets seuls : 1,500 × 16 = 24,000 D — la contrainte est vérifiée elle aussi.
• 45 pots seuls : 0,600 × 45 = 27,000 D — dépense supérieure au budget, panier inaccessible.
• 15 pots et 10 paquets : 0,600 × 15 + 1,500 × 10 = 9,000 + 15,000 = 24,000 D — vérifiée également.

3. Réponse et justification du choix. Trois paniers épuisent exactement le budget ; seul le troisième le dépasse. La proposition à écarter est donc « 45 pots de yaourt », et l'item n'a de réponse unique que si l'on ajoute une condition : ici, le panier qui utilise les deux biens dans la proportion la plus équilibrée entre yaourt et lait est « 20 pots de yaourt et 8 paquets de lait ». La leçon de méthode est celle du barème : sur ce genre d'item, on ne devine pas — on écrit la droite de budget et on teste chaque proposition.

1. Prix du bien X. Idée : la contrainte budgétaire est une équation à une inconnue une fois le panier connu. On écrit Px × 4 + 6 × 6 = 60, soit 4·Px = 60 − 36 = 24 et Px = 6 D.

2. Nouveau budget. R' = 6 × 6 + 6 × 9 = 36 + 54 = 90 D. Le taux de croissance du budget vaut (90 − 60) / 60 × 100 = 50,00 %.

3. Niveaux d'utilité. U initial = √(4 × 6) = √24 ≈ 4,90. U final = √(6 × 9) = √54 ≈ 7,35. La satisfaction progresse de (7,35 − 4,90) / 4,90 × 100 ≈ 50,00 %. Interprétation : la hausse du budget déplace la droite de budget parallèlement vers l'extérieur — sa pente, égale à −Px/Py = −1, est inchangée puisque les prix n'ont pas bougé — et permet d'atteindre une courbe d'indifférence plus élevée. Les deux quantités augmentent simultanément, ce qui est la marque de deux biens normaux.

1. Prix et budget. Idée : une courbe de demande associe à chaque prix la quantité que le consommateur choisit lorsqu'il maximise sa satisfaction ; on part de la quantité achetée et on remonte au prix, sur la courbe du bon bien.

• Pommes : la quantité de 6 kg correspond au point A (6 ; 10) de la courbe de demande de pommes, donc Px = 10 DT le kg.
• Dattes : la quantité de 5 kg correspond au point D (5 ; 18) de la courbe de demande de dattes, donc Py = 18 DT le kg.
• Le budget est entièrement dépensé : R = 10 × 6 + 18 × 5 = 60 + 90, soit $\boxed{R=150\text{ DT}}$ par mois.

2. Une dépense constante le long de chaque courbe. Idée : en un point d'une courbe de demande, prix × quantité donne la dépense consacrée au bien.

• Pommes : 10 × 6 = 6 × 10 = 4 × 15 = 60 DT aux points A, B et C.
• Dattes : 18 × 5 = 9 × 10 = 5 × 18 = 90 DT aux points D, E et F.
• Parts du budget : 60/150 = 40 % pour les pommes et 90/150 = 60 % pour les dattes.

Ce partage vient de la fonction d'utilité. $Um_x=\frac{2}{5}\cdot\frac{U}{x}$ et $Um_y=\frac{3}{5}\cdot\frac{U}{y}$, donc $\text{TMS}=\dfrac{Um_x}{Um_y}=\dfrac{2y}{3x}$. À l'équilibre, TMS = Px/Py, soit 2·y·Py = 3·x·Px : la dépense en dattes vaut 1,5 fois la dépense en pommes. Avec x·Px + y·Py = R, il vient 2,5·x·Px = R, d'où x·Px = (2/5) × R = 60 DT et y·Py = (3/5) × R = 90 DT, quels que soient les prix. Chaque courbe de demande est donc une hyperbole : $x=\dfrac{60}{P_x}$ et $y=\dfrac{90}{P_y}$ — les exposants de l'utilité donnent directement les parts du budget.

3. Baisse du prix des pommes. Idée : quand seul le prix d'un bien change, on se déplace le long de sa courbe de demande ; la courbe elle-même ne bouge pas.

À Px = 6 DT, la courbe de demande de pommes donne le point B (10 ; 6) : « Salma » achète 10 kg de pommes. La demande de dattes ne dépend que de Py et de R, qui n'ont pas changé : elle reste au point D, soit 5 kg de dattes. Nouveau panier d'équilibre : (10 ; 5). Contrôle : 6 × 10 + 18 × 5 = 60 + 90 = 150 DT, le budget est toujours épuisé.

Constat : la baisse de 40 % du prix des pommes fait passer la quantité demandée de 6 à 10 kg, soit une hausse d'environ 66,67 % : c'est la loi de la demande. La dépense en pommes reste de 60 DT et la quantité de dattes ne change pas, parce que « Salma » consacre toujours 40 % de son budget aux pommes. Avec plus de pommes et autant de dattes, elle atteint une satisfaction plus élevée : la baisse du prix a accru son pouvoir d'achat.

1. Signification des points A et B. Idée : situer chaque point par rapport aux deux courbes — la droite de budget sépare ce qui est accessible de ce qui ne l'est pas, la courbe d'indifférence donne le niveau de satisfaction.

• Point A (16 ; 8) : il est sur la courbe d'indifférence U = 16, donc il procure la même satisfaction que le panier d'équilibre E ; mais il est situé au-dessus de la droite de budget : c'est un panier inaccessible, que le budget de « Rim » ne permet pas d'acheter.
• Point B (10 ; 4) : il est sur la droite de budget, donc c'est un panier accessible qui épuise le budget ; mais il est situé au-dessous de la courbe d'indifférence U = 16 : il procure une satisfaction inférieure à celle de E. B n'est donc pas optimal : avec le même budget, « Rim » peut atteindre E.

2. Vérification par le calcul. Idée : la dépense se compare au budget de 240 DT, l'utilité se compare au niveau 16 de la courbe. Comme $2^{2/3}=4^{1/3}$, l'utilité s'écrit $U=(4\,x\,y^2)^{1/3}$.

• E (4 ; 16) : dépense 20 × 4 + 10 × 16 = 80 + 160 = 240 DT ; $U=(4\times4\times256)^{1/3}=4\,096^{1/3}$ = 16, puisque 16³ = 4 096.
• A (16 ; 8) : dépense 20 × 16 + 10 × 8 = 320 + 80 = 400 DT, soit 160 DT de plus que le budget ; $U=(4\times16\times64)^{1/3}=4\,096^{1/3}$ = 16. Même satisfaction que E pour une dépense impossible : A est bien inaccessible.
• B (10 ; 4) : dépense 20 × 10 + 10 × 4 = 200 + 40 = 240 DT ; $U=(4\times10\times16)^{1/3}=640^{1/3}$ ≈ 8,62, inférieur à 16. B épuise le budget mais se trouve sur une courbe d'indifférence plus basse que celle de E.

3. TMS au point B. Idée : le TMS mesure le nombre d'entrées à la piscine que « Rim » accepte de céder pour une place de plus ; le rapport des prix mesure ce que le marché lui en demande.

$Um_x=\frac{1}{3}\cdot\frac{U}{x}$ et $Um_y=\frac{2}{3}\cdot\frac{U}{y}$, donc $\text{TMS}=\dfrac{Um_x}{Um_y}=\dfrac{y}{2x}$. En B : TMS = 4/20 = 0,2, alors que Px/Py = 20/10 = 2. Pour une place de plus, « Rim » ne céderait que 0,2 entrée, mais le marché lui en fait payer 2 : la dernière place achetée lui coûte plus qu'elle ne lui apporte. Elle a intérêt à acheter moins de places et plus d'entrées, en remontant le long de sa droite de budget jusqu'à E, où TMS = 16/8 = 2 = Px/Py : cette égalité est la condition de tangence qui caractérise l'équilibre du consommateur.

Réponse : b. Idée : une fonction de demande donne la quantité choisie à l'équilibre en fonction du prix du bien et du budget ; on l'obtient en combinant la condition d'équilibre TMS = Px/Py et la contrainte budgétaire.

$Um_x=\frac{2}{3}\cdot\frac{U}{x}$ et $Um_y=\frac{1}{3}\cdot\frac{U}{y}$, donc $\text{TMS}=\dfrac{Um_x}{Um_y}=\dfrac{2y}{x}$. À l'équilibre, 2y/x = Px/Py, soit x·Px = 2·y·Py : « Leila » dépense deux fois plus pour X que pour Y. En reportant dans la contrainte x·Px + y·Py = 360, on trouve 3·y·Py = 360, d'où y·Py = 120 et $\boxed{y=\dfrac{120}{P_y}}$ ; puis x·Px = 240 et $\boxed{x=\dfrac{240}{P_x}}$. Le coefficient 3 de la fonction d'utilité ne joue aucun rôle dans ce calcul.

La proposition a n'est que la contrainte budgétaire réécrite : chaque quantité y dépend encore de l'autre, ce n'est pas un choix d'équilibre. La proposition c inverse les parts du budget : elle correspondrait à $U=x^{1/3}\,y^{2/3}$. La proposition d suppose que tout le budget va à chacun des deux biens : la dépense totale serait de 720 DT, le double du budget.

Interprétation : la demande de X ne dépend que de son propre prix et du budget. Elle décroît quand Px augmente — si Px double, x est divisé par deux — tandis que la dépense en X reste fixée aux deux tiers du budget, 240 DT. Dans un repère (quantité, prix), cette demande se représente par une courbe de demande en forme d'hyperbole.