MI-AMicroéconomie : choix du consommateur et du producteur

Choix du consommateur : utilité, courbe d'indifférence et panier d'équilibre

Idée directrice

Depuis 2023, la question 2 de l'épreuve (6 points) est une situation de microéconomie. Côté consommateur, la trajectoire est fixe : le consommateur est rationnel, il affecte totalement son budget R à deux biens X et Y de prix Px et Py, et il maximise sa satisfaction.

Trois outils suffisent. La droite de budget : Px·x + Py·y = R, de pente −Px/Py. La courbe d'indifférence : l'ensemble des paniers procurant la même utilité, décroissante et convexe. Le panier d'équilibre : le point de tangence, où le TMS égale le rapport des prix. Pour une utilité de forme U = A·x^a·y^b, l'équilibre se lit directement : x = (a/(a+b))·R/Px et y = (b/(a+b))·R/Py.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Retrouvez analytiquement le panier d'équilibre » ; « Étant rationnel, il cherche à maximiser son utilité en affectant la totalité de son budget » ; « Que constatez-vous ? »

Sujet principal

Exercice 1 — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsCorrigé masqué

Question 2 (6 points). « Sarra » consacre la totalité d'un budget mensuel R à l'achat de deux biens : des places de cinéma, désignées par « x », au prix Px = 12 D, et des livres, désignés par « y », au prix Py = 24 D. Ses préférences sont représentées par la fonction d'utilité $U(x, y) = x^(1/3) · y^(2/3)$ . Son budget mensuel est de 288 D.

Écrivez l'équation de sa droite de budget et donnez sa pente. Que représente économiquement cette pente ?
Déterminez analytiquement le panier d'équilibre (x, y) de « Sarra » et le niveau d'utilité atteint.
Le prix de la place de cinéma passe de 12 D à 18 D, le reste inchangé. Déterminez le nouveau panier d'équilibre. Que constatez-vous ?
« Sarra » décide de maintenir sa consommation de livres au niveau de la question 2 malgré la hausse. Quel budget lui faudrait-il ?

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1. Droite de budget. Idée : le budget est entièrement dépensé, donc l'égalité et non l'inégalité. La contrainte s'écrit 12x + 24y = 288, soit, en isolant y : y = 12 − 0,5x. Sa pente vaut −Px/Py = −12/24 = −0,5. Économiquement, elle mesure le prix relatif du cinéma en livres : renoncer à un livre permet d'acheter deux places, ou encore acheter une place coûte un demi-livre.

2. Panier d'équilibre. Idée : pour une utilité de forme x^a·y^b, chaque bien reçoit une part fixe du budget, égale à son exposant rapporté à la somme des exposants. Ici a = 1/3 et b = 2/3, donc a + b = 1.

x* = (a/(a+b)) × R/Px = (1/3) × 288/12 = (1/3) × 24 = 8 places.
y* = (b/(a+b)) × R/Py = (2/3) × 288/24 = (2/3) × 12 = 8 livres.
Contrôle de la contrainte : 12 × 8 + 24 × 8 = 96 + 192 = 288 D — le budget est bien épuisé.
Utilité atteinte : U = 8^(1/3) × 8^(2/3) = 8^(1/3 + 2/3) = 8.

3. Effet de la hausse du prix. Avec Px = 18 D, les parts de budget ne changent pas, seul le pouvoir d'achat en cinéma change : x = (1/3) × 288/18 = (1/3) × 16 = 5,33 places et y = (2/3) × 288/24 = 8 livres. Contrôle : 18 × 5,33 + 24 × 8 = 96 + 192 = 288 D. On constate que la quantité de cinéma baisse de 8 à 5,33 places, soit un recul de 33,33 %, alors que la quantité de livres reste inchangée : avec cette forme d'utilité, la hausse du prix d'un bien n'affecte que ce bien, parce que la dépense consacrée à chaque bien reste une part constante du budget.

4. Budget nécessaire pour maintenir les livres. Maintenir y = 8 livres, c'est maintenir une dépense de 24 × 8 = 192 D en livres, laquelle doit rester les deux tiers du budget. Le budget requis vaut donc R' = 192 × 3/2 = 288 D : le même. Le constat est important — c'est la structure des préférences, non le budget, qui protège ici la consommation de livres ; ce qui recule, c'est le nombre de places de cinéma.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 04

Drill MI-A.1 — Équation de la courbe d'indifférence

4 questionsCorrigé masqué

Question 1, item (1 point). Pour une fonction d'utilité du type $U(x, y) = 3·x^(1/3)·y^(2/3) et un niveau d'**utilité** égal à 3 — c'est-à-dire pour un mêm$ e niveau de satisfaction procuré par tous les paniers concernés — l'équation de la courbe d'indifférence est :

y = 1 / x^(1/2)
y = 1 / x^(1/3)
y = 1 / x^(2/3)
y = 3 / x^(1/2)

Consigne : choisissez la proposition correcte, puis justifiez votre choix par le calcul.

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1. Poser la définition. Idée : une courbe d'indifférence est le lieu des paniers de même utilité ; on écrit donc $U(x, y) = niveau donné, puis on exprime y en fonction de x$ .

2. Le calcul. On pose 3·x^(1/3)·y^(2/3) = 3, d'où x^(1/3)·y^(2/3) = 1, puis y^(2/3) = 1 / x^(1/3). En élevant les deux membres à la puissance 3/2 : y = (1 / x^(1/3))^(3/2) = 1 / x^(1/2).

3. Réponse et interprétation. La proposition correcte est la première : y = 1 / x^(1/2). La fonction obtenue est bien décroissante et convexe sur les quantités positives, ce qui est la forme attendue d'une courbe d'indifférence : pour conserver la même satisfaction, il faut compenser toute unité de x abandonnée par un supplément de y de plus en plus grand.

Entraînement 02 / 04

Drill MI-A.2 — Lire un tableau de paniers et tracer la courbe

8 questionsCorrigé masqué

Question 2 (3 points). Les quantités des biens « X » et « Y » consommées par « Nadia » pour un même niveau de satisfaction sont les suivantes :

Panier A : x = 1 ; y = 18
Panier B : x = 2 ; y = 9
Panier C : x = 3 ; y = 6
Panier D : x = 6 ; y = 3
Panier E : x = 9 ; y = 2

Vérifiez que ces cinq paniers appartiennent bien à une même courbe d'indifférence, et donnez sa forme.
Ses préférences sont exprimées par la fonction d'utilité $U(x, y) = √(2xy)$ . Calculez le niveau d'utilité correspondant.
Sachant que le prix du bien « Y » est de 4 D et que son équilibre s'établit au panier C, déterminez le prix du bien « X » et le budget de « Nadia ».

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1. Même courbe d'indifférence. Idée : si tous les paniers procurent la même utilité, le produit x·y doit être constant lorsque l'utilité dépend de xy. On calcule : 1 × 18 = 18 ; 2 × 9 = 18 ; 3 × 6 = 18 ; 6 × 3 = 18 ; 9 × 2 = 18. Le produit est constant, égal à 18 : les cinq paniers sont bien sur une même courbe d'indifférence, d'équation y = 18/x, décroissante et convexe.

2. Niveau d'utilité. U = √(2xy) = √(2 × 18) = √36 = 6. La valeur est la même en tout point de la courbe, ce qui confirme le résultat précédent.

3. Prix du bien X et budget. Idée : à l'équilibre, la droite de budget est tangente à la courbe d'indifférence, donc les deux pentes sont égales. La pente de la courbe y = 18/x vaut −18/x² ; au panier C (x = 3), elle vaut −18/9 = −2. La pente de la droite de budget vaut −Px/Py, d'où Px/Py = 2 et Px = 2 × 4 = 8 D. Le budget vaut alors R = Px·x + Py·y = 8 × 3 + 4 × 6 = 24 + 24 = 48 D.

Entraînement 03 / 04

Drill MI-A.3 — Ce que le budget permet d'acheter

4 questionsCorrigé masqué

Question 1, item (1 point). « Ines » détient un budget de 24 D qu'elle affecte totalement à deux biens, sous contrainte budgétaire. Le prix d'un pot de yaourt est de 0,600 D et le prix d'un paquet de lait est de 1,500 D. Parmi les paniers suivants, lequel est accessible en dépensant la totalité de son revenu, et procure donc la satisfaction la plus élevée que son budget permette ?

20 pots de yaourt et 8 paquets de lait
16 paquets de lait
45 pots de yaourt
15 pots de yaourt et 10 paquets de lait

Consigne : choisissez la proposition correcte, puis justifiez votre choix par le calcul.

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1. Poser la contrainte. Idée : un panier est accessible si et seulement s'il coûte exactement le budget, puisque l'énoncé dit « en dépensant la totalité ». La condition s'écrit 0,600·x + 1,500·y = 24.

2. Tester les propositions.

20 pots et 8 paquets : 0,600 × 20 + 1,500 × 8 = 12,000 + 12,000 = 24,000 D — la contrainte est vérifiée.
16 paquets seuls : 1,500 × 16 = 24,000 D — la contrainte est vérifiée elle aussi.
45 pots seuls : 0,600 × 45 = 27,000 D — dépense supérieure au budget, panier inaccessible.
15 pots et 10 paquets : 0,600 × 15 + 1,500 × 10 = 9,000 + 15,000 = 24,000 D — vérifiée également.

3. Réponse et justification du choix. Trois paniers épuisent exactement le budget ; seul le troisième le dépasse. La proposition à écarter est donc « 45 pots de yaourt », et l'item n'a de réponse unique que si l'on ajoute une condition : ici, le panier qui utilise les deux biens dans la proportion la plus équilibrée entre yaourt et lait est « 20 pots de yaourt et 8 paquets de lait ». La leçon de méthode est celle du barème : sur ce genre d'item, on ne devine pas — on écrit la droite de budget et on teste chaque proposition.

Entraînement 04 / 04

Drill MI-A.4 — Un budget en hausse : nouvel équilibre et prix implicite

3 questionsCorrigé masqué

Question 2 (3 points). « Karim » affecte la totalité de son budget à deux biens X et Y, sous contrainte budgétaire. Son équilibre du consommateur initial s'établit au panier (4 ; 6), pour un budget de 60 D et un prix du bien Y égal à 6 D.

Déterminez le prix du bien X.
Son budget augmente et son nouvel équilibre s'établit au panier (6 ; 9), les prix restant inchangés. Calculez le nouveau budget puis le taux de croissance du budget.
Ses préférences sont données par $U(x, y) = √(xy)$ . Calculez et interprétez le niveau d'utilité correspondant à chacun des deux équilibres.

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1. Prix du bien X. Idée : la contrainte budgétaire est une équation à une inconnue une fois le panier connu. On écrit Px × 4 + 6 × 6 = 60, soit 4·Px = 60 − 36 = 24 et Px = 6 D.

2. Nouveau budget. R' = 6 × 6 + 6 × 9 = 36 + 54 = 90 D. Le taux de croissance du budget vaut (90 − 60) / 60 × 100 = 50,00 %.

3. Niveaux d'utilité. U initial = √(4 × 6) = √24 ≈ 4,90. U final = √(6 × 9) = √54 ≈ 7,35. La satisfaction progresse de (7,35 − 4,90) / 4,90 × 100 ≈ 50,00 %. Interprétation : la hausse du budget déplace la droite de budget parallèlement vers l'extérieur — sa pente, égale à −Px/Py = −1, est inchangée puisque les prix n'ont pas bougé — et permet d'atteindre une courbe d'indifférence plus élevée. Les deux quantités augmentent simultanément, ce qui est la marque de deux biens normaux.

Méthode / Automatismes

Écrire la contrainte avec un signe « = » : l'énoncé dit toujours « affecte totalement son budget ».
Pour U = A·x^a·y^b, appliquer directement x* = a/(a+b) × R/Px : le coefficient A ne change ni l'équilibre ni le classement des paniers.
Vérifier systématiquement que le panier trouvé épuise le budget — c'est le contrôle que le barème récompense.
Après chaque nouveau panier, répondre au « Que constatez-vous ? » par une phrase : le chiffre seul ne vaut pas la question.

Pièges classiques

Traiter le coefficient A comme s'il modifiait l'équilibre ; confondre la pente de la droite de budget (−Px/Py) et celle de la courbe d'indifférence (le TMS), qui ne sont égales qu'au point d'équilibre ; oublier que la courbe d'indifférence est décroissante et convexe, jamais croissante ; conclure sur une quantité non entière sans le signaler quand le bien est indivisible.