MI-BMicroéconomie : choix du consommateur et du producteur

Choix du producteur : fonction de production, isoquant et combinaison optimale

Idée directrice

Étudier les choix de production d’une entreprise. L'entreprise mobilise un input travail L et un input capital K pour un output Q, avec une fonction de production de la forme Q = A·L^α·K^β. Elle dispose d'un budget de production C = w·L + r·K, dont la représentation est l'isocoût, de pente −w/r ; les combinaisons donnant le même Q forment l'isoquant.

Pour étudier les rendements d’échelle, multiplier les deux inputs par un même facteur positif et comparer la variation de la production à ce facteur. Pour la forme Cobb-Douglas, la somme des exposants guide cette comparaison.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Déterminez analytiquement la combinaison productive optimale (L, K) » ; « exprimez le TMST puis déterminez analytiquement l'équilibre du producteur » ; « Dans le cas d'un doublement du panier d'input, le produit doit alors doubler »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Contrôler la somme des exposants avant tout : elle vaut 1 pour des rendements d'échelle constants, plus de 1 pour des rendements croissants, moins de 1 pour des rendements décroissants.
Pour une fonction Cobb-Douglas Q = A·L^α·K^β, avec A, α, β, C, w et r strictement positifs et une solution intérieure, justifier par le TMST la répartition optimale du budget : L* = α/(α+β) × C/w. Vérifier les hypothèses et la contrainte budgétaire avant de retenir le résultat.
Vérifier que la combinaison trouvée épuise le budget de production.
Pour écrire un isoquant, égaler la fonction de production au niveau d'output trouvé, puis isoler K.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Inverser le TMST et le rapport des prix ; confondre isoquant (même output, courbe convexe) et isocoût (même dépense, droite) ; oublier le coefficient A dans le calcul de l'output alors qu'il ne joue aucun rôle dans la combinaison productive ; conclure sur les rendements d'échelle à partir d'un seul facteur — c'est alors la productivité marginale, pas un rendement d'échelle.

Sujet principal

Exercice 1 — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsCorrigé masqué

L'entreprise « Fajr » fabrique des lampes en céramique. Elle mobilise une quantité de travail « L » et une quantité de capital « K », qui constituent les inputs nécessaires à son activité ; « Q » désigne la quantité d'output. Sa fonction de production s'écrit $Q(L, K) = 4 · L^(1/2) · K^(1/2)$ . L'entreprise consacre un budget de 400 UM à la rémunération des facteurs, dont les prix unitaires sont w = 20 UM pour le travail et r = 10 UM pour le capital. Le modèle est continu : L, K et Q peuvent prendre des valeurs réelles positives ; Q représente un volume moyen de production.

Écrivez l'équation de l'isocoût et donnez sa pente. Que mesure-t-elle ?
Exprimez le TMST du travail au capital, puis déterminez analytiquement la combinaison productive optimale (L, K) et le niveau d'output correspondant.
Écrivez l'équation de l'isoquant passant par cette combinaison optimale.
L'entreprise double simultanément les deux inputs. Que devient l'output ? Concluez sur les rendements d'échelle.

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1. Isocoût. Idée : le budget de production est entièrement affecté aux deux facteurs. L'isocoût s'écrit 20·L + 10·K = 400, soit K = 40 − 2L. Sa pente vaut −w/r = −20/10 = −2. Elle mesure le taux auquel le marché permet d'échanger les facteurs à coût constant : renoncer à une unité de travail libère de quoi acheter deux unités de capital.

2. TMST et combinaison optimale. Idée : le TMST est le rapport des productivités marginales. Pour Q = 4·L^(1/2)·K^(1/2), la productivité marginale du travail vaut PmL = 2·K^(1/2)/L^(1/2) et celle du capital PmK = 2·L^(1/2)/K^(1/2). Donc TMST = PmL / PmK = K/L. L'équilibre du producteur impose TMST = w/r, soit K/L = 2, c'est-à-dire K = 2L.

En reportant dans l'isocoût : 20L + 10 × 2L = 400, soit 40L = 400 et *L\ = 10 unités de travail.
D'où *K\ = 20 unités de capital. Contrôle : 20 × 10 + 10 × 20 = 200 + 200 = 400 UM — le budget est épuisé.
Formule directe : L = (α/(α+β)) × C/w = 0,5 × 400/20 = 10 et K = 0,5 × 400/10 = 20 — même résultat.
Output correspondant : $Q^*=4\sqrt{10}\sqrt{20}=4\sqrt{200}\approx56{,}57$ lampes en volume moyen.

3. Équation de l’isoquant. L’isoquant rassemble les combinaisons donnant exactement le même volume de production. Au point optimal, $Q^*=4\sqrt{200}$ ; on conserve cette valeur exacte avant de transformer l’équation : $4\sqrt{LK}=4\sqrt{200}$ , donc $LK=200$ et $K=200/L$ pour $L>0$ . Le nombre 56,57 est seulement un arrondi de $Q^*$ . La courbe est décroissante et convexe : $K'(L)=-200/L^2<0$ et $K''(L)=400/L^3>0$ . Produire autant avec moins de travail exige davantage de capital.

4. Rendements d'échelle. En remplaçant L par 2L et K par 2K : $Q(2L, 2K) = 4·(2L)^(1/2)·(2K)^(1/2) = 4 · 2^(1/2) · 2^(1/2) · L^(1/2)·K^(1/2) = 2 × Q(L, K)$ . Doubler les deux inputs double exactement l'output : les rendements d'échelle sont constants. Ce résultat était prévisible sans calcul, puisque la somme des exposants vaut 1/2 + 1/2 = 1.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill MI-B.1 — Équation de l'isoquant à partir de la fonction de production

Entraînement 01 / 05

Drill MI-B.1 — Équation de l'isoquant à partir de la fonction de production

4 questionsCorrigé masqué

Question 1, item (1 point). Pour produire 6 unités d'output, l'entreprise « Amal » combine les inputs travail L et capital K selon la fonction de production $Q(L, K) = 3 · L^(2/3) · K^(1/3)$ . L'équation de la courbe d'isoquant correspondante est :

K = 8 / L²
K = 6 / L²
K = 8 / L^(2/3)
K = 6 / L^(2/3)

Consigne : choisissez la proposition correcte, puis justifiez votre choix par le calcul.

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1. Poser la définition. Idée : l'isoquant est le lieu des combinaisons (L, K) donnant un output donné ; on égale donc la fonction de production à ce niveau et on isole K.

2. Le calcul. On pose 3 · L^(2/3) · K^(1/3) = 6, d'où L^(2/3) · K^(1/3) = 2, puis K^(1/3) = 2 / L^(2/3). En élevant les deux membres au cube : K = 2³ / (L^(2/3))³ = 8 / L².

3. Réponse et lecture. La proposition correcte est la première : K = 8 / L². La fonction est décroissante et convexe sur les quantités positives, ce qui est la forme attendue : maintenir la production de 6 unités en réduisant le travail exige un supplément de capital de plus en plus important. Noter que le coefficient 3 de la fonction de production ne disparaît pas — il est absorbé dans le passage de 6 à 2 — ce qui est précisément l'erreur que l'item cherche à détecter.

2 Drill MI-B.2 — Calculer un output et lire les rendements d'échelle

Entraînement 02 / 05

Drill MI-B.2 — Calculer un output et lire les rendements d'échelle

3 questionsCorrigé masqué

Question 1, item (2 points). Pour produire un bien donné, une entreprise utilise la fonction de production $Q(L, K) = 2 · L^(1/3) · K^(2/3)$ .

Si L = 8 unités de travail et K = 27 unités de capital, calculez la quantité produite.
L'entreprise triple simultanément les deux inputs. Calculez le nouvel output et concluez sur les rendements d'échelle.
L'entreprise n'agit désormais que sur le facteur travail, qu'elle porte de 8 à 64 unités, le capital restant à 27. Calculez le nouvel output et dites en quoi ce cas diffère du précédent.

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1. Quantité produite. Q = 2 × 8^(1/3) × 27^(2/3). Or 8^(1/3) = 2 et 27^(2/3) = (27^(1/3))² = 3² = 9. Donc Q = 2 × 2 × 9 = 36 unités.

2. Triplement des deux inputs. $Q(3L, 3K) = 2 × (3L)^(1/3) × (3K)^(2/3) = 2 × 3^(1/3) × 3^(2/3) × L^(1/3) × K^(2/3) = 3 × Q($ L, K) = 3 × 36 = 108 unités. L'output est multiplié exactement par 3, comme les inputs : les rendements d'échelle sont constants. La somme des exposants, 1/3 + 2/3 = 1, l'annonçait.

3. Hausse du seul facteur travail. Q = 2 × 64^(1/3) × 27^(2/3) = 2 × 4 × 9 = 72 unités. Le travail est multiplié par 8 (de 8 à 64) mais l'output seulement par 2 (de 36 à 72). La différence avec la question précédente est essentielle : ici un seul facteur varie, on observe donc la productivité marginale décroissante du travail — chaque unité de travail supplémentaire ajoute moins que la précédente parce qu'elle se combine à un capital inchangé — et non un rendement d'échelle, notion qui suppose la variation simultanée et proportionnelle de tous les inputs.

3 Drill MI-B.3 — Lire l'isoquant et l'isocoût sur un graphique

Entraînement 03 / 05

Drill MI-B.3 — Lire l'isoquant et l'isocoût sur un graphique

3 questionsCorrigé masqué

Question 2 (3 points). L'isocoût d'une entreprise, qui combine le facteur travail et le facteur capital, coupe l'axe du capital au point E (L = 0 ; K = 3) et l'axe du travail au point F (L = 12 ; K = 0). Il touche l'isoquant au point C (L = 4 ; K = 2), qui est son équilibre du producteur. Le coût total de production est de 60 UM.

Déterminez les prix des facteurs, w pour le travail et r pour le capital.
Donnez la signification économique du point C.
Vérifiez que le point C respecte bien la contrainte de coût.

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1. Prix des facteurs. Idée : chaque point d'intersection avec un axe dit combien d'un seul facteur le budget permet d'acheter.

Au point F, tout le budget va au travail : 12 × w = 60, donc w = 5 UM.
Au point E, tout le budget va au capital : 3 × r = 60, donc r = 20 UM.
Contrôle par la pente : −w/r = −5/20 = −0,25 ; la pente lue sur le graphique vaut (0 − 3)/(12 − 0) = −0,25 — les deux concordent.

2. Signification du point C. Le point C est le point de tangence entre l'isoquant et l'isocoût : c'est l'équilibre du producteur. Il représente la combinaison productive optimale, celle qui permet d'obtenir le niveau d'output de cet isoquant au coût le plus faible — ou, ce qui revient au même, le plus grand output possible pour un coût de 60 UM. En ce point, le TMST égale le rapport des prix des facteurs w/r = 0,25.

3. Vérification de la contrainte. Coût du point C = 5 × 4 + 20 × 2 = 20 + 40 = 60 UM : la contrainte est exactement saturée, ce qui confirme que C appartient bien à l'isocoût.

4 Drill MI-B.4 — Retrouver les exposants d'une fonction de production

Entraînement 04 / 05

Drill MI-B.4 — Retrouver les exposants d'une fonction de production

3 questionsCorrigé masqué

Question 2 (3 points). Une entreprise produit selon la fonction de production $Q(L, K) = A · L^α · K^β, avec α + β = 1, α égal au double de β, et A = 12$ . Elle consacre un budget de 300 UM à la rémunération des facteurs, dont les prix sont w = 25 UM et r = 20 UM.

Déterminez les valeurs de α et de β, puis dites ce que leur somme indique sur les rendements d'échelle.
Déterminez la combinaison productive optimale (L, K).
Calculez l'output optimal.

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1. Exposants et rendements. Idée : deux conditions, deux inconnues. De α = 2β et α + β = 1, on tire 2β + β = 1, soit 3β = 1 et β = 1/3, d'où α = 2/3. Leur somme vaut 1 : les rendements d'échelle sont constants, c'est-à-dire que multiplier les deux inputs par un même nombre multiplie l'output par ce même nombre.

2. Combinaison optimale. Chaque facteur reçoit une part du budget égale à son exposant rapporté à leur somme :

L* = α/(α+β) × C/w = (2/3) × 300/25 = (2/3) × 12 = 8 unités de travail.
K* = β/(α+β) × C/r = (1/3) × 300/20 = (1/3) × 15 = 5 unités de capital.
Contrôle : 25 × 8 + 20 × 5 = 200 + 100 = 300 UM — le budget est bien épuisé.

3. Output optimal. Q = 12 × 8^(2/3) × 5^(1/3). Or 8^(2/3) = (8^(1/3))² = 2² = 4 et 5^(1/3) ≈ 1,710. Donc Q ≈ 12 × 4 × 1,710 = 82,08 unités. On vérifie au passage que le TMST vaut bien w/r au point trouvé : TMST = (α/β) × (K/L) = 2 × (5/8) = 1,25 et w/r = 25/20 = 1,25 — les deux coïncident, ce qui confirme l'équilibre du producteur.

5 Drill MI-B.5 — Produire 50 % de plus : facteurs, budget et choix du seul travail

Entraînement 05 / 05

Drill MI-B.5 — Produire 50 % de plus : facteurs, budget et choix du seul travail

3 questionsCorrigé masqué

Question 2 (situation). L'entreprise artisanale « Nakhla » fabrique des couffins en feuilles de palmier destinés au marché local. Elle mobilise une quantité de travail « L » et une quantité de capital « K », qui constituent ses inputs ; « Q » désigne la quantité d'output. Sa fonction de production est $Q(L,K)=4^{1/3}\,L^{2/3}\,K^{1/3}$ . Elle consacre un budget de 270 UM à la rémunération des facteurs, dont les prix sont w = 15 UM pour le travail et r = 30 UM pour le capital. Le modèle est continu : L, K et Q peuvent prendre des valeurs non entières.

Vérifiez que la combinaison productive optimale est (L = 12 ; K = 3) et que la production correspondante est de 12 couffins.
Pour honorer la commande d'une chaîne hôtelière, « Nakhla » envisage d'augmenter sa production de 50 %, les prix des facteurs restant constants. Déterminez les nouvelles quantités optimales des facteurs, puis déduisez le nouveau budget. Que constatez-vous ?
« Nakhla » décide finalement d'atteindre ce même niveau de production en agissant uniquement sur le facteur travail, le capital restant égal à 3.
1. Montrez qu'il lui faudrait alors employer environ 22,05 unités de travail, puis comparez le coût total de cette solution à celui obtenu à la question 2.
2. Quel serait l'impact de cette décision sur l'environnement socio-économique de « Nakhla » ?

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1. Combinaison productive optimale. Idée : à l'équilibre du producteur, le TMST égale le rapport des prix des facteurs et le budget est entièrement dépensé.

$Pm_L=\frac{2}{3}\cdot\frac{Q}{L}$ et $Pm_K=\frac{1}{3}\cdot\frac{Q}{K}$ , donc $\text{TMST}=\dfrac{Pm_L}{Pm_K}=\dfrac{2K}{L}$ . La condition TMST = w/r s'écrit 2K/L = 15/30 = 1/2, soit L = 4K. En reportant dans l'isocoût 15L + 30K = 270 : 60K + 30K = 90K = 270, d'où K = 3 et L = 12. Production : $Q=4^{1/3}\times12^{2/3}\times3^{1/3}$ $=(4\times144\times3)^{1/3}=1\,728^{1/3}$ , soit 12 couffins, puisque 12³ = 1 728.

2. Hausse de la production de 50 %. Idée : les prix des facteurs ne changent pas, donc la combinaison optimale reste sur la relation L = 4K ; il suffit de trouver le K qui donne la nouvelle production.

Nouvelle production : Q' = 12 × 1,5 = 18 couffins.
Sur la relation L = 4K : $Q=4^{1/3}(4K)^{2/3}K^{1/3}$ $=(4\times16)^{1/3}K=4K$ . Donc 4K = 18, d'où $\boxed{K'=4{,}5}$ et $\boxed{L'=18}$ .
Nouveau budget : C' = 15 × 18 + 30 × 4,5 = 270 + 135, soit $\boxed{C'=405\text{ UM}}$ .

Constat : la production, les deux quantités de facteurs et le budget augmentent tous de 50 % (12 → 18 ; 3 → 4,5 ; 270 → 405 UM). C'est la marque de rendements d'échelle constants, puisque 2/3 + 1/3 = 1 : le coût par couffin reste de 270/12 = 405/18 = 22,5 UM.

3.a Hausse par le seul facteur travail. Idée : le capital est bloqué à 3 ; on cherche la quantité de travail qui donne 18 couffins.

Avec K = 3 : $Q=4^{1/3}\times3^{1/3}\times L^{2/3}$ $=12^{1/3}L^{2/3}$ . L'égalité $12^{1/3}L^{2/3}=18$ donne, en élevant au cube, $12\,L^2=18^3=5\,832$ , soit $L^2=486$ et $\boxed{L=\sqrt{486}\approx22{,}05}$ unités de travail. Coût total : 15 × √486 + 30 × 3 ≈ 330,68 + 90 = 420,68 UM, contre 405 UM à la question 2 : produire les 18 couffins avec le seul travail coûte environ 15,68 UM de plus, soit près de 3,9 %.

Cette solution n'est plus optimale : au point (22,05 ; 3), TMST = 2 × 3/22,05 ≈ 0,27, alors que w/r = 0,5. Chaque unité de travail ajoutée à un capital inchangé produit de moins en moins de couffins : c'est la productivité marginale décroissante du travail.

3.b Impact socio-économique. Idée : mettre en balance les effets sur l'emploi et sur la région avec le coût supporté par l'entreprise.

Effets favorables : « Nakhla » crée davantage d'emplois — environ 10,05 unités de travail de plus qu'au départ, contre 6 dans la solution optimale — ce qui réduit le chômage local ; les revenus distribués soutiennent la consommation et l'activité des autres entreprises de la région ; un savoir-faire artisanal est préservé et transmis ; l'entreprise adopte un comportement citoyen en privilégiant l'emploi plutôt que la mécanisation.
Limites : le coût par couffin monte à environ 23,37 UM au lieu de 22,5 UM, ce qui réduit la marge ou oblige à relever les prix ; à terme, un investissement en capital (outils, ateliers) deviendra nécessaire pour préserver la compétitivité de l'entreprise.

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Drill MI-B.1 — Équation de l'isoquant à partir de la fonction de production

Drill MI-B.2 — Calculer un output et lire les rendements d'échelle

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Drill MI-B.4 — Retrouver les exposants d'une fonction de production

Drill MI-B.5 — Produire 50 % de plus : facteurs, budget et choix du seul travail

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