MI-BMicroéconomie : choix du consommateur et du producteur

Choix du producteur : fonction de production, isoquant et combinaison optimale

Idée directrice

Face de l'entreprise du même exercice de 6 points. L'entreprise mobilise un input travail L et un input capital K pour un output Q, avec une fonction de production de la forme Q = A·L^α·K^β. Elle dispose d'un budget de production C = w·L + r·K, dont la représentation est l'isocoût, de pente −w/r ; les combinaisons donnant le même Q forment l'isoquant.

L'équilibre du producteur est le point de tangence entre isoquant et isocoût : le TMST y égale le rapport des prix des facteurs. Pour Q = A·L^α·K^β, il se lit directement : L = (α/(α+β))·C/w et K = (β/(α+β))·C/r. Dernière question quasi systématique : les rendements d'échelle — si l'on double les deux inputs, que devient l'output ?

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Déterminez analytiquement la combinaison productive optimale (L, K) » ; « exprimez le TMST puis déterminez analytiquement l'équilibre du producteur » ; « Dans le cas d'un doublement du panier d'input, le produit doit alors doubler »

Sujet principal

Exercice 1 — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsCorrigé masqué

Question 2 (6 points). L'entreprise « Fajr » fabrique des lampes en céramique. Elle mobilise une quantité de travail « L » et une quantité de capital « K », qui constituent les inputs nécessaires à son activité ; « Q » désigne la quantité d'output. Sa fonction de production s'écrit $Q(L, K) = 4 · L^(1/2) · K^(1/2)$ . L'entreprise consacre un budget de 400 UM à la rémunération des facteurs, dont les prix unitaires sont w = 20 UM pour le travail et r = 10 UM pour le capital.

Écrivez l'équation de l'isocoût et donnez sa pente. Que mesure-t-elle ?
Exprimez le TMST du travail au capital, puis déterminez analytiquement la combinaison productive optimale (L, K) et le niveau d'output correspondant.
Écrivez l'équation de l'isoquant passant par cette combinaison optimale.
L'entreprise double simultanément les deux inputs. Que devient l'output ? Concluez sur les rendements d'échelle.

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1. Isocoût. Idée : le budget de production est entièrement affecté aux deux facteurs. L'isocoût s'écrit 20·L + 10·K = 400, soit K = 40 − 2L. Sa pente vaut −w/r = −20/10 = −2. Elle mesure le taux auquel le marché permet d'échanger les facteurs à coût constant : renoncer à une unité de travail libère de quoi acheter deux unités de capital.

2. TMST et combinaison optimale. Idée : le TMST est le rapport des productivités marginales. Pour Q = 4·L^(1/2)·K^(1/2), la productivité marginale du travail vaut PmL = 2·K^(1/2)/L^(1/2) et celle du capital PmK = 2·L^(1/2)/K^(1/2). Donc TMST = PmL / PmK = K/L. L'équilibre du producteur impose TMST = w/r, soit K/L = 2, c'est-à-dire K = 2L.

En reportant dans l'isocoût : 20L + 10 × 2L = 400, soit 40L = 400 et *L\ = 10 unités de travail.
D'où *K\ = 20 unités de capital. Contrôle : 20 × 10 + 10 × 20 = 200 + 200 = 400 UM — le budget est épuisé.
Formule directe : L = (α/(α+β)) × C/w = 0,5 × 400/20 = 10 et K = 0,5 × 400/10 = 20 — même résultat.
Output correspondant : Q* = 4 × 10^(1/2) × 20^(1/2) = 4 × √200 ≈ 4 × 14,142 = 56,57 lampes.

3. Équation de l'isoquant. Idée : l'isoquant est le lieu des combinaisons donnant le même output. On pose 4·L^(1/2)·K^(1/2) = 56,57, d'où L^(1/2)·K^(1/2) = 14,142, puis, en élevant au carré, L·K = 200 et K = 200 / L. La courbe est décroissante et convexe : produire autant avec moins de travail exige de plus en plus de capital.

4. Rendements d'échelle. En remplaçant L par 2L et K par 2K : $Q(2L, 2K) = 4·(2L)^(1/2)·(2K)^(1/2) = 4 · 2^(1/2) · 2^(1/2) · L^(1/2)·K^(1/2) = 2 × Q(L, K)$ . Doubler les deux inputs double exactement l'output : les rendements d'échelle sont constants. Ce résultat était prévisible sans calcul, puisque la somme des exposants vaut 1/2 + 1/2 = 1.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 04

Drill MI-B.1 — Équation de l'isoquant à partir de la fonction de production

4 questionsCorrigé masqué

Question 1, item (1 point). Pour produire 6 unités d'output, l'entreprise « Amal » combine les inputs travail L et capital K selon la fonction de production $Q(L, K) = 3 · L^(2/3) · K^(1/3)$ . L'équation de la courbe d'isoquant correspondante est :

K = 8 / L²
K = 6 / L²
K = 8 / L^(2/3)
K = 6 / L^(2/3)

Consigne : choisissez la proposition correcte, puis justifiez votre choix par le calcul.

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1. Poser la définition. Idée : l'isoquant est le lieu des combinaisons (L, K) donnant un output donné ; on égale donc la fonction de production à ce niveau et on isole K.

2. Le calcul. On pose 3 · L^(2/3) · K^(1/3) = 6, d'où L^(2/3) · K^(1/3) = 2, puis K^(1/3) = 2 / L^(2/3). En élevant les deux membres au cube : K = 2³ / (L^(2/3))³ = 8 / L².

3. Réponse et lecture. La proposition correcte est la première : K = 8 / L². La fonction est décroissante et convexe sur les quantités positives, ce qui est la forme attendue : maintenir la production de 6 unités en réduisant le travail exige un supplément de capital de plus en plus important. Noter que le coefficient 3 de la fonction de production ne disparaît pas — il est absorbé dans le passage de 6 à 2 — ce qui est précisément l'erreur que l'item cherche à détecter.

Entraînement 02 / 04

Drill MI-B.2 — Calculer un output et lire les rendements d'échelle

3 questionsCorrigé masqué

Question 1, item (2 points). Pour produire un bien donné, une entreprise utilise la fonction de production $Q(L, K) = 2 · L^(1/3) · K^(2/3)$ .

Si L = 8 unités de travail et K = 27 unités de capital, calculez la quantité produite.
L'entreprise triple simultanément les deux inputs. Calculez le nouvel output et concluez sur les rendements d'échelle.
L'entreprise n'agit désormais que sur le facteur travail, qu'elle porte de 8 à 64 unités, le capital restant à 27. Calculez le nouvel output et dites en quoi ce cas diffère du précédent.

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1. Quantité produite. Q = 2 × 8^(1/3) × 27^(2/3). Or 8^(1/3) = 2 et 27^(2/3) = (27^(1/3))² = 3² = 9. Donc Q = 2 × 2 × 9 = 36 unités.

2. Triplement des deux inputs. $Q(3L, 3K) = 2 × (3L)^(1/3) × (3K)^(2/3) = 2 × 3^(1/3) × 3^(2/3) × L^(1/3) × K^(2/3) = 3 × Q($ L, K) = 3 × 36 = 108 unités. L'output est multiplié exactement par 3, comme les inputs : les rendements d'échelle sont constants. La somme des exposants, 1/3 + 2/3 = 1, l'annonçait.

3. Hausse du seul facteur travail. Q = 2 × 64^(1/3) × 27^(2/3) = 2 × 4 × 9 = 72 unités. Le travail est multiplié par 8 (de 8 à 64) mais l'output seulement par 2 (de 36 à 72). La différence avec la question précédente est essentielle : ici un seul facteur varie, on observe donc la productivité marginale décroissante du travail — chaque unité de travail supplémentaire ajoute moins que la précédente parce qu'elle se combine à un capital inchangé — et non un rendement d'échelle, notion qui suppose la variation simultanée et proportionnelle de tous les inputs.

Entraînement 03 / 04

Drill MI-B.3 — Lire l'isoquant et l'isocoût sur un graphique

3 questionsCorrigé masqué

Question 2 (3 points). L'isocoût d'une entreprise, qui combine le facteur travail et le facteur capital, coupe l'axe du capital au point E (L = 0 ; K = 3) et l'axe du travail au point F (L = 12 ; K = 0). Il touche l'isoquant au point C (L = 4 ; K = 2), qui est son équilibre du producteur. Le coût total de production est de 60 UM.

Déterminez les prix des facteurs, w pour le travail et r pour le capital.
Donnez la signification économique du point C.
Vérifiez que le point C respecte bien la contrainte de coût.

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1. Prix des facteurs. Idée : chaque point d'intersection avec un axe dit combien d'un seul facteur le budget permet d'acheter.

Au point F, tout le budget va au travail : 12 × w = 60, donc w = 5 UM.
Au point E, tout le budget va au capital : 3 × r = 60, donc r = 20 UM.
Contrôle par la pente : −w/r = −5/20 = −0,25 ; la pente lue sur le graphique vaut (0 − 3)/(12 − 0) = −0,25 — les deux concordent.

2. Signification du point C. Le point C est le point de tangence entre l'isoquant et l'isocoût : c'est l'équilibre du producteur. Il représente la combinaison productive optimale, celle qui permet d'obtenir le niveau d'output de cet isoquant au coût le plus faible — ou, ce qui revient au même, le plus grand output possible pour un coût de 60 UM. En ce point, le TMST égale le rapport des prix des facteurs w/r = 0,25.

3. Vérification de la contrainte. Coût du point C = 5 × 4 + 20 × 2 = 20 + 40 = 60 UM : la contrainte est exactement saturée, ce qui confirme que C appartient bien à l'isocoût.

Entraînement 04 / 04

Drill MI-B.4 — Retrouver les exposants d'une fonction de production

3 questionsCorrigé masqué

Question 2 (3 points). Une entreprise produit selon la fonction de production $Q(L, K) = A · L^α · K^β, avec α + β = 1, α égal au double de β, et A = 12$ . Elle consacre un budget de 300 UM à la rémunération des facteurs, dont les prix sont w = 25 UM et r = 20 UM.

Déterminez les valeurs de α et de β, puis dites ce que leur somme indique sur les rendements d'échelle.
Déterminez la combinaison productive optimale (L, K).
Calculez l'output optimal.

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1. Exposants et rendements. Idée : deux conditions, deux inconnues. De α = 2β et α + β = 1, on tire 2β + β = 1, soit 3β = 1 et β = 1/3, d'où α = 2/3. Leur somme vaut 1 : les rendements d'échelle sont constants, c'est-à-dire que multiplier les deux inputs par un même nombre multiplie l'output par ce même nombre.

2. Combinaison optimale. Chaque facteur reçoit une part du budget égale à son exposant rapporté à leur somme :

L* = α/(α+β) × C/w = (2/3) × 300/25 = (2/3) × 12 = 8 unités de travail.
K* = β/(α+β) × C/r = (1/3) × 300/20 = (1/3) × 15 = 5 unités de capital.
Contrôle : 25 × 8 + 20 × 5 = 200 + 100 = 300 UM — le budget est bien épuisé.

3. Output optimal. Q = 12 × 8^(2/3) × 5^(1/3). Or 8^(2/3) = (8^(1/3))² = 2² = 4 et 5^(1/3) ≈ 1,710. Donc Q ≈ 12 × 4 × 1,710 = 82,08 unités. On vérifie au passage que le TMST vaut bien w/r au point trouvé : TMST = (α/β) × (K/L) = 2 × (5/8) = 1,25 et w/r = 25/20 = 1,25 — les deux coïncident, ce qui confirme l'équilibre du producteur.

Méthode / Automatismes

Contrôler la somme des exposants avant tout : elle vaut 1 pour des rendements d'échelle constants, plus de 1 pour des rendements croissants, moins de 1 pour des rendements décroissants.
Pour Q = A·L^α·K^β, appliquer L* = α/(α+β) × C/w : la démonstration par le TMST rapporte les points, la formule sécurise le résultat.
Vérifier que la combinaison trouvée épuise le budget de production.
Pour écrire un isoquant, égaler la fonction de production au niveau d'output trouvé, puis isoler K.

Pièges classiques

Inverser le TMST et le rapport des prix ; confondre isoquant (même output, courbe convexe) et isocoût (même dépense, droite) ; oublier le coefficient A dans le calcul de l'output alors qu'il ne joue aucun rôle dans la combinaison productive ; conclure sur les rendements d'échelle à partir d'un seul facteur — c'est alors la productivité marginale, pas un rendement d'échelle.