Détection de niveaux par plusieurs comparateurs : chaîne de résistances, tableau des sorties et des voyants, seuils physiques

L'afficheur de charge d'une trottinette électrique (batterie 36 V : $42\,\text{V}$ chargée, $35\,\text{V}$ déchargée) comporte cinq A.L.I parfaits A1 à A5, polarisés entre $0$ et $5\,\text{V}$ et montés en comparateurs. Leurs entrées inverseuses reçoivent toutes $V^-$, prise aux bornes de $R_e=2\,\text{k}\Omega$ d'un pont $R_h=14\,\text{k}\Omega$ – $R_e$ branché sur $V_{bat}$.

Leurs entrées non inverseuses reçoivent $V_1$ à $V_5$, prises sur une chaîne alimentée par $V_S=5\,\text{V}$ : du $+5\,\text{V}$ vers la masse, quatre résistances $R=1\,\text{k}\Omega$ puis $R_b=36\,\text{k}\Omega$, avec $V_1=5\,\text{V}$ au sommet et $V_5$ aux bornes de $R_b$. Chaque diode $H_i$ est branchée, avec sa résistance, entre le $+5\,\text{V}$ et la sortie $V_{si}$ de son A.L.I.

1. Exprimer $V^-$ en fonction de $V_{bat}$, $R_h$ et $R_e$, puis la calculer pour $V_{bat}=42\,\text{V}$ et $V_{bat}=35\,\text{V}$.

2. Démontrer que le courant dans la chaîne est $I=\dfrac{V_S}{4R+R_b}$ et calculer sa valeur.

3. Exprimer $V_5$ en fonction de $R_b$ et $I$, puis calculer $V_5$, $V_4$, $V_3$, $V_2$ et $V_1$.

6. Montrer que $H_i$ change d'état pour $V_{bat}=8\,V_i$. Quelle diode s'éteint la première quand la batterie se décharge ? Combien de diodes sont allumées pour $V_{bat}=37{,}5\,\text{V}$ ?

Le niveau $h$ d'un réservoir d'eau (0 à 5 m) est mesuré par un capteur de pression qui délivre $V_n=2\,h$ ($V_n$ en V, $h$ en m). Un pont de trois résistances alimenté sous $12\,\text{V}$ — du $+12\,\text{V}$ vers la masse : $R_a=2\,\text{k}\Omega$, $R_m=3\,\text{k}\Omega$, $R_b=1\,\text{k}\Omega$ — délivre $V_a$ (aux bornes de $R_m+R_b$) et $V_b$ (aux bornes de $R_b$).

Deux A.L.I idéaux, alimentés entre 0 et 12 V et sans contre-réaction, reçoivent : A1, $V_n$ sur l'entrée + et $V_a$ sur l'entrée − (sortie $V_{s1}$) ; A2, $V_b$ sur l'entrée + et $V_n$ sur l'entrée − (sortie $V_{s2}$). $V_{s1}=12\,\text{V}$ excite, par un transistor, le contacteur KM2 de la pompe de vidange ; $V_{s2}=12\,\text{V}$ excite le contacteur KM1 de la pompe de remplissage.

1. Calculer le courant dans le pont, puis $V_a$ et $V_b$.

2. À quelles hauteurs d'eau correspondent $V_a$ et $V_b$ ?

4. Les deux pompes peuvent-elles fonctionner en même temps ? Justifier.

5. Le réservoir se vide jusqu'à $0{,}9$ m, la pompe de remplissage démarre. Décrire ce qui se passe quand l'eau atteint 1 m. Quel défaut présente ce montage et quelle fonction faudrait-il lui ajouter ?

Le niveau $N$ (en %) du gel dans une cuve est mesuré par un capteur qui délivre $V_{SN}=0{,}12\,N$ (en V). Deux A.L.I idéaux, alimentés entre 0 et 12 V et sans contre-réaction, reçoivent $V_{SN}$ sur leur entrée non inverseuse ; ALI1 reçoit $V_{\text{réf1}}$ sur l'entrée − et délivre $V_h$, ALI2 reçoit $V_{\text{réf2}}$ et délivre $V_b$.

Les références sont prises sur un pont alimenté sous $12\,\text{V}$ : du $+12\,\text{V}$ vers la masse, $1\,\text{k}\Omega$, $2\,\text{k}\Omega$ puis $1\,\text{k}\Omega$ ; $V_{\text{réf1}}$ aux bornes des deux dernières résistances ($3\,\text{k}\Omega$), $V_{\text{réf2}}$ aux bornes de la dernière.

$V_h$ attaque l'entrée $A_1$ et $V_b$ l'entrée $A_0$ d'un démultiplexeur 4555 (sorties actives à l'état haut, alimenté sous $12\,\text{V}$, $\overline{E}=0$ ; $12\,\text{V}$ = niveau 1). Voyants : R (rouge, niveau très bas) sur $Q_0$, Niv1 (niveau moyen) sur $Q_1$, Niv2 (niveau suffisant) sur $Q_3$ ; $Q_2$ n'est pas relié.\n\n| $\overline{E}$ | $A_1$ | $A_0$ | $Q_3$ | $Q_2$ | $Q_1$ | $Q_0$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | x | x | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |

1. Donner le régime de fonctionnement des deux A.L.I. Justifier.

2. Calculer $V_{\text{réf1}}$ et $V_{\text{réf2}}$, puis les niveaux $N$ correspondants.

4. Pourquoi la sortie $Q_2$ n'est-elle jamais activée ?

5. On remplace le 4555 par des portes logiques. En notant $h$ et $b$ les niveaux logiques de $V_h$ et $V_b$, écrire les équations de R, Niv1 et Niv2 et les simplifier.

La température $T$ de l'eau d'un ballon doit rester entre $40$ et $60\,^\circ\text{C}$. Un capteur LM35 délivre $U_T=0{,}01\,T$ (V, °C), amplifiée par un amplificateur non inverseur ($R_1=10\,\text{k}\Omega$ de l'entrée − à la masse, $R_2=90\,\text{k}\Omega$ de la sortie à l'entrée −) qui délivre $U_1$.

Une chaîne alimentée sous $V_{CC}=12\,\text{V}$, parcourue par le courant $i$ — du $+12\,\text{V}$ vers la masse : $6\,\text{k}\Omega$, $2\,\text{k}\Omega$, $4\,\text{k}\Omega$ — fournit $V_A$ (aux bornes de la résistance de $4\,\text{k}\Omega$) et $V_B$ (aux bornes de l'ensemble $2\,\text{k}\Omega+4\,\text{k}\Omega$). ALI2 (entrée + : $V_A$ ; entrée − : $U_1$) délivre $U_S$ ; ALI3 (entrée + : $U_1$ ; entrée − : $V_B$) délivre $U_R$ ; tous deux sont alimentés entre 0 et 12 V.

Après adaptation de niveau, $S=1$ quand $U_S=12\,\text{V}$ et $R=1$ quand $U_R=12\,\text{V}$. S et R commandent une bascule RS dont la sortie $Q=1$ excite, par un transistor, le relais de la résistance chauffante.

1. Exprimer $U_1$ en fonction de $U_T$, puis de $T$.

2. Exprimer $i$, $V_A$ et $V_B$, puis les calculer. À quelles températures correspondent $V_A$ et $V_B$ ?

4. L'eau est à $30\,^\circ\text{C}$ à la mise en service. Décrire l'état de la résistance chauffante pendant que $T$ monte jusqu'à $60\,^\circ\text{C}$, puis pendant qu'elle redescend.

5. Que se passerait-il si la résistance était commandée directement par $U_S$, sans bascule ?