C-KNombres complexes

Valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{12}$ et $\sin\frac{\pi}{12}$ (ou $\frac{5\pi}{12}$ ) : un même nombre complexe écrit sous forme algébrique et sous forme exponentielle

Idée directrice

Pour obtenir le cosinus et le sinus d'un angle qui n'est pas remarquable, comme $\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}$ , on fabrique un nombre complexe dont on connaît les deux écritures : l'écriture exponentielle, par le produit (ou le quotient) de deux nombres d'arguments remarquables — les arguments s'ajoutent (ou se retranchent) —, et l'écriture algébrique, par le développement du même produit. L'égalité $r\,(\cos\theta+i\sin\theta)=x+iy$ donne alors $\cos\theta=\frac xr$ et $\sin\theta=\frac yr$ . Dans les sujets, cette question ferme l'exercice de complexes (Sciences expérimentales : cinq sessions sur vingt-quatre, dont trois en 2024–2026 ; Techniques : deux).

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Écrire les nombres complexes $1+i\sqrt3$ et $1-i$ sous forme exponentielle » ; « En déduire la valeur exacte de $\cos\frac{\pi}{12}$ » ; « Donner alors les valeurs exactes de $\cos\frac{5\pi}{12}$ et $\sin\frac{5\pi}{12}$ » ; « Justifier que la demi-droite $[OI)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{AOB}$ » ; « En déduire que $z_E=\sqrt5\,e^{i\theta}$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Écrire l'angle cherché comme somme ou différence d'angles remarquables : $\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}$ .
Écriture exponentielle d'un produit : modules multipliés, arguments ajoutés ; d'un quotient : modules divisés, arguments retranchés.
Écriture algébrique du même nombre : développer (ou multiplier par le conjugué du dénominateur).
Identifier $r\cos\theta=\mathrm{Re}(z)$ et $r\sin\theta=\mathrm{Im}(z)$ , puis rendre le dénominateur rationnel : $\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$ .
Contrôler l'ordre de grandeur : $\cos\frac{\pi}{12}\approx0{,}966$ et $\sin\frac{\pi}{12}\approx0{,}259$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Ajouter les modules au lieu de les multiplier ; identifier sans diviser par le module (écrire $\cos\frac{\pi}{12}=\frac{1+\sqrt3}{2}$ , qui dépasse $1$ ) ; prendre $\frac{\pi}{6}$ au lieu de $-\frac{\pi}{6}$ pour argument de $\sqrt3-i$ ; laisser $\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}$ alors que l'énoncé attend la forme $\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$ ; oublier, pour $z_I^{\,n}$ réel, les multiples impairs de $\pi$ .

Sujet principal

Exercice 2 — nombres complexes (4 points), dans l'esprit des sessions 2016–2026 (Sc. exp., Techniques)

4 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ .

On considère dans $\C$ l'équation

(E)\ :\ z^2-(1-i)\left(1+i\sqrt3\right)z+2\sqrt3+2i=0.

Équation.
1. Vérifier que le discriminant de $(E)$ est $\Delta=-4\sqrt3-4i$ et que $\delta=\left(1-\sqrt3\right)+i\left(1+\sqrt3\right)$ est une racine carrée de $\Delta$ .
2. Résoudre dans $\C$ l'équation $(E)$ .
On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=1+i\sqrt3$ et $z_B=\sqrt3-i$ .
1. Déterminer le module et un argument de $z_A$ et de $z_B$ , puis leur écriture exponentielle.
2. Vérifier que $z_A=i\,z_B$ . En déduire que le triangle $OAB$ est rectangle et isocèle en $O$ .
Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$ et $z_I$ son affixe.
1. Écrire $z_I$ sous forme algébrique.
2. Montrer que $z_I=\dfrac{1+i}{2}\,z_B$ . En déduire l'écriture exponentielle de $z_I$ .
3. En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et de $\sin\dfrac{\pi}{12}$ .
Autour de $\dfrac{\pi}{12}$ .
1. Montrer que $\tan\dfrac{\pi}{12}=2-\sqrt3$ .
2. Déterminer les entiers naturels non nuls $n$ pour lesquels $z_I^{\,n}$ est un réel, puis calculer $z_I^{\,12}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $(1-i)\left(1+i\sqrt3\right)=\left(1+\sqrt3\right)+i\left(\sqrt3-1\right)$ et son carré vaut $(1-i)^2\left(1+i\sqrt3\right)^2=(-2i)\left(-2+2i\sqrt3\right)=4\sqrt3+4i$ . Donc $\Delta=4\sqrt3+4i-4\left(2\sqrt3+2i\right)=-4\sqrt3-4i$ .

Et $\delta^2=\left(1-\sqrt3\right)^2-\left(1+\sqrt3\right)^2+2i\left(1-\sqrt3\right)\left(1+\sqrt3\right)=-4\sqrt3+2i\,(1-3)=-4\sqrt3-4i$ : $\delta$ est une racine carrée de $\Delta$ .

1.b $z_1=\dfrac{\left(1+\sqrt3\right)+i\left(\sqrt3-1\right)+\delta}{2}=\dfrac{2+2i\sqrt3}{2}=1+i\sqrt3$ et $z_2=\dfrac{\left(1+\sqrt3\right)+i\left(\sqrt3-1\right)-\delta}{2}=\dfrac{2\sqrt3-2i}{2}=\sqrt3-i$ . Contrôle : $z_1z_2=\sqrt3-i+3i+\sqrt3=2\sqrt3+2i$ . Les solutions sont $1+i\sqrt3$ et $\sqrt3-i$ .

2.a $|z_A|=2$ , $\cos\theta=\frac12$ , $\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}$ : $z_A=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ . $|z_B|=2$ , $\cos\theta'=\frac{\sqrt3}{2}$ , $\sin\theta'=-\frac12$ : $z_B=2e^{-i\frac{\pi}{6}}$ .

2.b $i\,z_B=i\sqrt3-i^2=1+i\sqrt3=z_A$ . Donc $\frac{z_A}{z_B}=i=e^{i\frac{\pi}{2}}$ : $OA=OB$ et $\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}\right)\equiv\frac{\pi}{2}\,[2\pi]$ , le triangle $OAB$ est rectangle et isocèle en $O$ .

3.a $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{1+\sqrt3}{2}+i\,\dfrac{\sqrt3-1}{2}$ .

3.b $\dfrac{(1+i)\left(\sqrt3-i\right)}{2}=\dfrac{\sqrt3-i+i\sqrt3+1}{2}=z_I$ . Idée : le module d'un produit est le produit des modules, les arguments s'ajoutent. Avec $1+i=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}$ :

z_I=\tfrac12\cdot\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\cdot2e^{-i\frac{\pi}{6}}

soit $\boxed{z_I=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{12}}}$ . Contrôle : $OI=\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2$ dans le triangle rectangle isocèle $OAB$ .

3.c $\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)=\frac{1+\sqrt3}{2}+i\,\frac{\sqrt3-1}{2}$ . En identifiant parties réelles et parties imaginaires :

\cos\frac{\pi}{12}=\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}

\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}

4.a $\tan\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2}=\dfrac{\left(\sqrt6-\sqrt2\right)^2}{6-2}=\dfrac{8-4\sqrt3}{4}=2-\sqrt3$ .

4.b $z_I^{\,n}=\left(\sqrt2\right)^n e^{i\frac{n\pi}{12}}$ est réel si et seulement si $\frac{n\pi}{12}=k\pi$ ( $k\in\Z$ ), c'est-à-dire si $n$ est un multiple de $12$ . Et $z_I^{\,12}=\left(\sqrt2\right)^{12}e^{i\pi}=-64$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : $1+i\sqrt3$ et $1-i$ écrits sous forme exponentielle pour obtenir $\cos\frac{\pi}{12}$ (Sc. exp. principale 2022) ; affixe $d=(1+\sqrt3)(1+i)$ d'un point d'un cercle d'équation polaire $r=4\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)$ (Sc. exp. principale 2026) ; nombre écrit $2e^{i\frac{11\pi}{12}}$ , puis $\cos\frac{11\pi}{12}$ et $\sin\frac{11\pi}{12}$ (Sc. exp. principale 2019) ; bissectrice $[OI)$ de l'angle $\widehat{AOB}$ et valeurs exactes de $\cos\frac{5\pi}{12}$ , $\sin\frac{5\pi}{12}$ (Techniques contrôle 2016) ; angle $\theta$ défini par $\tan\theta=\frac12$ et $z_E=\sqrt5\,e^{i\theta}$ (Sc. exp. principale 2024).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill C-K.1 —

\cos\frac{5\pi}{12}

par la bissectrice et un module calculé

Entraînement 01 / 03

Drill C-K.1 — $\cos\frac{5\pi}{12}$ par la bissectrice et un module calculé

5 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ . On considère dans $\C$ l'équation $(E)\ :\ z^2-\left(2-\sqrt3+i\right)z-2\sqrt3+2i=0$ .

Vérifier que $2$ est une solution de $(E)$ , puis déterminer l'autre solution.
On note $A$ et $B$ les points d'affixes $z_A=2$ et $z_B=-\sqrt3+i$ . Donner l'écriture exponentielle de $z_B$ et vérifier que $OA=OB$ .
Soit $I$ le milieu de $[AB]$ . Justifier que la demi-droite $[OI)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{AOB}$ et en déduire qu'un argument de $z_I$ est $\dfrac{5\pi}{12}$ .
Calculer le carré du module $|z_I|^2$ . Vérifier que $\left(\sqrt6-\sqrt2\right)^2=4\left(2-\sqrt3\right)$ et en déduire $|z_I|$ .
En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{5\pi}{12}$ et de $\sin\dfrac{5\pi}{12}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $4-2\left(2-\sqrt3+i\right)-2\sqrt3+2i=4-4+2\sqrt3-2i-2\sqrt3+2i=0$ . Le produit des solutions vaut $-2\sqrt3+2i$ , donc l'autre solution est $\dfrac{-2\sqrt3+2i}{2}=-\sqrt3+i$ .

2. $|z_B|=2$ , $\cos\theta=-\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\theta=\frac12$ : $z_B=2e^{i\frac{5\pi}{6}}$ . $OA=|z_A|=2=OB$ .

3. Idée : dans le triangle $OAB$ isocèle en $O$ , la médiane issue de $O$ est aussi la bissectrice. Donc $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OI}\right)\equiv\frac12\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=\frac{5\pi}{12}\,[2\pi]$ , et comme $\overrightarrow{OA}$ dirige l'axe des réels, $\arg z_I\equiv\frac{5\pi}{12}\,[2\pi]$ .

4. $z_I=\dfrac{2-\sqrt3}{2}+\dfrac12\,i$ , donc $|z_I|^2=\dfrac{\left(2-\sqrt3\right)^2+1}{4}=\dfrac{8-4\sqrt3}{4}=2-\sqrt3$ . $\left(\sqrt6-\sqrt2\right)^2=6-2\sqrt{12}+2=8-4\sqrt3=4\left(2-\sqrt3\right)$ ; comme $\sqrt6-\sqrt2>0$ , $|z_I|=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{2}$ .

5. $\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\mathrm{Re}(z_I)}{|z_I|}=\dfrac{2-\sqrt3}{\sqrt6-\sqrt2}=\dfrac{\left(2-\sqrt3\right)\left(\sqrt6+\sqrt2\right)}{4}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ , en développant $2\sqrt6+2\sqrt2-3\sqrt2-\sqrt6$ .

De même $\sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\mathrm{Im}(z_I)}{|z_I|}=\dfrac{1}{\sqrt6-\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ .

2 Drill C-K.2 — cercle passant par

O

, équation polaire et

\cos\frac{\pi}{12}

Entraînement 02 / 03

Drill C-K.2 — cercle passant par $O$ , équation polaire et $\cos\frac{\pi}{12}$

4 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ . On considère le point $\Omega$ d'affixe $\omega=1+i$ et le cercle $\zeta$ de centre $\Omega$ passant par $O$ .

Calculer le module $|\omega|$ . Montrer qu'un point $M$ d'affixe $z$ appartient à $\zeta$ si et seulement si $z\overline z=\overline\omega\,z+\omega\,\overline z$ , où $\overline z$ désigne le conjugué de $z$ .
Soit $M$ un point de $\zeta$ d'affixe non nulle $z=re^{i\theta}$ , avec $r>0$ . Montrer que $r=2\sqrt2\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$ .
Soit $D$ le point d'affixe $d=\dfrac{1+\sqrt3}{2}\left(1+i\sqrt3\right)$ . Écrire $d$ sous forme algébrique et vérifier que $D$ appartient à $\zeta$ .
Donner l'écriture exponentielle de $d$ . En déduire que $\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $|\omega|=\sqrt2=O\Omega$ : c'est le rayon de $\zeta$ . $M\in\zeta\iff|z-\omega|^2=2\iff(z-\omega)(\overline z-\overline\omega)=2\iff z\overline z-\overline\omega z-\omega\overline z+\omega\overline\omega=2$ ; comme $\omega\overline\omega=2$ , cela équivaut à $z\overline z=\overline\omega\,z+\omega\,\overline z$ .

2. $z\overline z=r^2$ et $\overline\omega z+\omega\overline z=r\left[(1-i)e^{i\theta}+(1+i)e^{-i\theta}\right]$ . Les deux termes sont conjugués, donc la somme vaut $2r\,\mathrm{Re}\left((1-i)e^{i\theta}\right)=2r\,\mathrm{Re}\left(\sqrt2\,e^{i\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)}\right)=2\sqrt2\,r\cos\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ . En divisant par $r>0$ : $r=2\sqrt2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ .

3. $d=\dfrac{1+\sqrt3}{2}+i\,\dfrac{\sqrt3+3}{2}$ , puis $d-\omega=\dfrac{\sqrt3-1}{2}+i\,\dfrac{\sqrt3+1}{2}$ et $|d-\omega|^2=\dfrac{\left(4-2\sqrt3\right)+\left(4+2\sqrt3\right)}{4}=2$ : $D\in\zeta$ .

4. $1+i\sqrt3=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $\frac{1+\sqrt3}{2}>0$ , donc $d=\left(1+\sqrt3\right)e^{i\frac{\pi}{3}}$ . Idée : le module $r=1+\sqrt3$ et l'argument $\theta=\frac{\pi}{3}$ vérifient l'équation polaire de 2. $1+\sqrt3=2\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=2\sqrt2\cos\frac{\pi}{12}$ , d'où $\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$ .

3 Drill C-K.3 — angle

\theta

défini par

\tan\theta=\frac13

3+i=\sqrt{10}\,e^{i\theta}

, puis

\cos2\theta

\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)

Entraînement 03 / 03

Drill C-K.3 — angle $\theta$ défini par $\tan\theta=\frac13$ : $3+i=\sqrt{10}\,e^{i\theta}$ , puis $\cos2\theta$ et $\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$

4 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ .

Montrer que la fonction $x\mapsto\tan x$ réalise une bijection de $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ sur $[0,+\infty[$ . En déduire qu'il existe un unique réel $\theta\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $\tan\theta=\dfrac13$ .
Soit $E$ et $H$ les points d'affixes $z_E=3+i$ et $z_H=3$ . Calculer $\dfrac{HE}{OH}$ ; en déduire le module et un argument de $z_E$ , puis que $z_E=\sqrt{10}\,e^{i\theta}$ .
Calculer $z_E^{\,2}$ sous forme algébrique. En déduire $\cos2\theta$ et $\sin2\theta$ .
Soit $F$ le point d'affixe $z_F=(1+i)\,z_E$ . Écrire $z_F$ sous forme algébrique et sous forme exponentielle. En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$ et de $\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\tan$ est continue et strictement croissante sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right[$ (sa dérivée $1+\tan^2x$ est strictement positive), avec $\tan0=0$ et $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\tan x=+\infty$ : c'est une bijection de $\left[0,\frac{\pi}{2}\right[$ sur $[0,+\infty[$ . Comme $\frac13\in\,]0,+\infty[$ , il existe un unique $\theta\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ tel que $\tan\theta=\frac13$ .

2. Le triangle $OHE$ est rectangle en $H$ , avec $OH=3$ et $HE=1$ : $\tan\widehat{HOE}=\frac{HE}{OH}=\frac13$ , donc $\widehat{HOE}=\theta$ . $E$ étant dans le premier quadrant, $\theta$ est un argument de $z_E$ ; et $|z_E|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ . Donc $z_E=\sqrt{10}\,e^{i\theta}$ .

3. $z_E^{\,2}=9+6i+i^2=8+6i$ , et aussi $z_E^{\,2}=10e^{2i\theta}=10\cos2\theta+10i\sin2\theta$ . En identifiant : $\cos2\theta=\dfrac45$ et $\sin2\theta=\dfrac35$ .

4. $z_F=(1+i)(3+i)=3+i+3i+i^2=2+4i$ . Sous forme exponentielle, $z_F=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\cdot\sqrt{10}\,e^{i\theta}=2\sqrt5\,e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}$ (contrôle : $|2+4i|=\sqrt{20}=2\sqrt5$ ). En identifiant :

\cos\left(\theta+\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{2}{2\sqrt5}=\tfrac{\sqrt5}{5}

\sin\left(\theta+\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{4}{2\sqrt5}=\tfrac{2\sqrt5}{5}

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{12}$ et $\sin\frac{\pi}{12}$ (ou $\frac{5\pi}{12}$ ) : un même nombre complexe écrit sous forme algébrique et sous forme exponentielle

Exercice 2 — nombres complexes (4 points), dans l'esprit des sessions 2016–2026 (Sc. exp., Techniques)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill C-K.1 — $\cos\frac{5\pi}{12}$ par la bissectrice et un module calculé

Drill C-K.2 — cercle passant par $O$ , équation polaire et $\cos\frac{\pi}{12}$

Drill C-K.3 — angle $\theta$ défini par $\tan\theta=\frac13$ : $3+i=\sqrt{10}\,e^{i\theta}$ , puis $\cos2\theta$ et $\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$

Relier ce raisonnement au bac

Valeurs exactes de cos⁡π12\cos\frac{\pi}{12}cos12π​ et sin⁡π12\sin\frac{\pi}{12}sin12π​ (ou 5π12\frac{5\pi}{12}125π​) : un même nombre complexe écrit sous forme algébrique et sous forme exponentielle

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{12}$ et $\sin\frac{\pi}{12}$ (ou $\frac{5\pi}{12}$ ) : un même nombre complexe écrit sous forme algébrique et sous forme exponentielle