C-JNombres complexes

Point inconnu défini géométriquement : poser $z_D=ia$ , $z_H=x+3i$ ou $z_D=t\,z_A$ , puis traduire un alignement (produit réel) ou une perpendicularité (produit imaginaire pur)

Idée directrice

Quand un point est défini par une construction (intersection d'une droite avec un axe, pied d'une perpendiculaire, second point d'intersection avec un cercle), on ne calcule pas son affixe d'un coup : on la pose avec une inconnue réelle que la construction impose — $ia$ sur l'axe des imaginaires, $x+3i$ sur la droite $y=3$ , $t\,z_A$ sur la droite $(OA)$ — puis on traduit la condition restante. Les points $M$ , $N$ , $P$ sont alignés si et seulement si $(z_N-z_M)\overline{(z_P-z_M)}$ est réel ; $(MN)\perp(MP)$ si et seulement si ce produit est imaginaire pur ; appartenir à un cercle est une condition de module. On sépare partie réelle et partie imaginaire et l'on résout une équation réelle. Cette question ferme de plus en plus souvent l'exercice de complexes : deux sessions-sections entre 2015 et 2020, dix entre 2021 et 2026.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« On pose $z_D=ia$ où $a$ est un réel. Montrer que … » ; « Justifier que l'affixe du point $E$ s'écrit $z_E=x-2i$ » ; « Pour quelle valeur du réel $x$ le point $D$ appartient-il à la droite $(BE)$ ? » ; « Soit $t$ le réel tel que $z_D=t\,z_A$ » ; « Déterminer alors l'affixe du point $H$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Lire la construction pour poser l'affixe : axe des imaginaires → $z=ia$ ; axe des réels → $z=a$ ; droite $y=k$ → $z=x+ik$ ; droite $(OA)$ → $z=t\,z_A$ ( $t$ réel).
Alignement de $M$ , $N$ , $P$ : $(z_N-z_M)\overline{(z_P-z_M)}$ réel (ou $\frac{z_P-z_M}{z_N-z_M}$ réel) → partie imaginaire nulle.
Perpendicularité de $(MN)$ et $(MP)$ : ce produit est imaginaire pur → partie réelle nulle.
Point d'un cercle de centre $K$ et de rayon $r$ : $|z-z_K|^2=r^2$ , équation du second degré en l'inconnue ; garder la solution qui correspond à la figure.
Contrôler le résultat : milieu, point connu, position sur la figure.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Poser $z_D=a$ au lieu de $z_D=ia$ pour un point de l'axe des imaginaires ; confondre les deux conditions (réel pour l'alignement, imaginaire pur pour la perpendicularité) ; oublier le conjugué sur le second facteur, ce qui change la partie imaginaire ; écrire $\overline{3+(4-a)i}=3+(4-a)i$ ; conclure à un angle droit sans vérifier que le produit est non nul.

Sujet principal

Exercice 1 — nombres complexes (5 points), dans l'esprit des sessions 2023–2026

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ .

On considère dans $\C$ l'équation

(E)\ :\ z^2-(8+4i)\,z+15+20i=0.

Équation.
1. Vérifier que $5$ est une solution de $(E)$ .
2. En déduire l'autre solution de $(E)$ .
On considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=3+4i$ , $z_B=5$ et $z_C=-z_B$ . Dans la figure de l'annexe, on a tracé le cercle $(\mathcal C)$ de centre $O$ passant par $B$ .
1. Calculer le module de $z_A$ . En déduire que $A$ appartient au cercle $(\mathcal C)$ .
2. Construire les points $A$ et $C$ .
3. Montrer que $(z_B-z_A)\,\overline{(z_C-z_A)}$ est un imaginaire pur. En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .
La droite $(AC)$ coupe l'axe des imaginaires en un point $D$ .
1. Placer le point $D$ . Justifier qu'il existe un réel $a$ tel que $z_D=ia$ .
2. Donner l'écriture algébrique de $(z_A-z_C)\,\overline{(z_A-z_D)}$ : montrer que sa partie réelle est $40-4a$ et sa partie imaginaire $8a-20$ .
3. En déduire que $a=\dfrac52$ .
Soit $E$ le point d'affixe $z_E=10i$ .
1. Montrer que les points $A$ , $B$ et $E$ sont alignés.
2. Montrer que $D$ est l'orthocentre du triangle $BCE$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $5^2-(8+4i)\times5+15+20i=25-40-20i+15+20i=0$ .

1.b Idée : le produit des solutions vaut $\frac ca$ . Si $z_2$ est l'autre solution, $5z_2=15+20i$ , d'où $z_2=3+4i$ (contrôle : $5+3+4i=8+4i$ , la somme $-\frac ba$ ). Les solutions de $(E)$ sont $5$ et $3+4i$ .

2.a $|z_A|=\sqrt{9+16}=5=OB$ : $A$ appartient au cercle $(\mathcal C)$ de centre $O$ et de rayon $5$ .

2.b $A$ est le point de $(\mathcal C)$ d'abscisse $3$ situé au-dessus de l'axe des réels (intersection de $(\mathcal C)$ et de la droite $x=3$ avec $y>0$ ). $C$ est le symétrique de $B$ par rapport à $O$ : l'autre extrémité du diamètre issu de $B$ .

2.c $z_B-z_A=2-4i$ et $z_C-z_A=-8-4i$ , donc $(z_B-z_A)\,\overline{(z_C-z_A)}=(2-4i)(-8+4i)=-16+8i+32i+16=40i$ : imaginaire pur non nul, donc $(AB)\perp(AC)$ et le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ (on retrouve que $[BC]$ est un diamètre de $(\mathcal C)$ ).

3.a $D$ est sur l'axe des imaginaires, donc $\mathrm{Re}(z_D)=0$ : $z_D=ia$ avec $a$ réel.

3.b $z_A-z_C=8+4i$ et $z_A-z_D=3+(4-a)i$ , d'où $\overline{(z_A-z_D)}=3-(4-a)i$ . En développant :

(8+4i)\left(3-(4-a)i\right)=24+4(4-a)

\qquad+\,i\left(12-8(4-a)\right)

soit $(40-4a)+i\,(8a-20)$ .

3.c Idée : $A$ , $C$ , $D$ alignés si et seulement si ce produit est réel. $D\in(AC)$ , donc la partie imaginaire est nulle : $8a-20=0$ , $a=\dfrac52$ et $\boxed{z_D=\dfrac52\,i}$ . Contrôle : $z_D-z_C=5+\frac52i=\frac58\,(z_A-z_C)$ , et $D$ est bien entre $C$ et $A$ .

4.a $z_A-z_B=-2+4i$ et $z_A-z_E=3-6i$ , donc $(z_A-z_B)\,\overline{(z_A-z_E)}=(-2+4i)(3+6i)=-6-12i+12i-24=-30$ : ce produit est réel, les points $A$ , $B$ , $E$ sont alignés.

4.b Idée : exhiber deux hauteurs du triangle $BCE$ passant par $D$ . $(ED)$ est l'axe des imaginaires, perpendiculaire à $(BC)$ (axe des réels) : c'est la hauteur issue de $E$ . D'après 4.a, $(BE)=(AB)$ ; or $(CD)=(CA)$ et $(CA)\perp(AB)$ d'après 2.c : $(CD)$ est la hauteur issue de $C$ . $D$ est l'intersection de deux hauteurs, c'est l'orthocentre du triangle $BCE$ (et $(z_D-z_B)\overline{(z_E-z_C)}=\frac{125}{2}\,i$ confirme que la troisième hauteur passe par $D$ ).

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : $z_D=ia$ et $(z_A-z_C)\overline{(z_A-z_D)}=2+a\sqrt3+i(2\sqrt3-a)$ , puis $C$ milieu de $[AD]$ (Informatique principale 2026) ; $z_H=x+iy$ avec $y=3$ imposé par une droite, puis $\frac{z_H}{z_B}$ réel (Techniques contrôle 2026) ; valeur du réel $x$ pour laquelle $D$ appartient à la droite $(BE)$ (Informatique contrôle 2023) ; $z_E=x-2i$ sur une tangente (Informatique principale 2024) ; $z_F=a$ sur l'axe des réels (Informatique principale 2021) ; $\mathrm{Re}(z_K)=\sqrt3$ sur une perpendiculaire à l'axe des abscisses (Sc. exp. principale 2025) ; $z_D=t\,z_A$ et $KD^2=4(t^2-\sqrt3t+1)$ pour le second point d'un cercle (Sc. exp. contrôle 2026).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill C-J.1 — point de la droite

y=3

z_H=x+3i

et quotient réel

Entraînement 01 / 04

Drill C-J.1 — point de la droite $y=3$ : $z_H=x+3i$ et quotient réel

4 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ . On considère les points $A$ et $B$ d'affixes $z_A=3i$ et $z_B=2+i$ , et la droite $\Delta$ d'équation $y=3$ . La droite $(OB)$ coupe $\Delta$ en un point $H$ .

Vérifier que $A$ appartient à $\Delta$ . On pose $z_H=x+iy$ , avec $x$ et $y$ réels : justifier que $y=3$ .
Écrire le nombre complexe $\dfrac{z_H}{z_B}$ sous forme algébrique : vérifier que sa partie réelle est $\dfrac{2x+3}{5}$ et sa partie imaginaire $\dfrac{6-x}{5}$ .
Sachant que $O$ , $B$ et $H$ sont alignés, déterminer l'affixe du point $H$ .
Calculer $|z_H-z_A|$ et le module de $z_A$ . Montrer que le triangle $OAH$ est rectangle en $A$ et calculer son aire.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\mathrm{Im}(z_A)=3$ : $A\in\Delta$ . $H\in\Delta$ donc son ordonnée vaut $3$ : $y=3$ et $z_H=x+3i$ .

2. $\dfrac{z_H}{z_B}=\dfrac{(x+3i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\dfrac{2x-xi+6i+3}{5}=\dfrac{2x+3}{5}+i\,\dfrac{6-x}{5}$ .

3. Idée : $O$ , $B$ , $H$ alignés équivaut à $\overrightarrow{OH}$ colinéaire à $\overrightarrow{OB}$ , c'est-à-dire $\frac{z_H}{z_B}$ réel. $\frac{6-x}{5}=0$ donne $x=6$ : $\boxed{z_H=6+3i}$ (contrôle : $z_H=3\,z_B$ ).

4. $z_H-z_A=6$ est réel : $(AH)$ est parallèle à l'axe des réels, tandis que $(OA)$ est l'axe des imaginaires ; le triangle $OAH$ est rectangle en $A$ . $|z_H-z_A|=6$ et $|z_A|=3$ , donc $\mathcal A(OAH)=\frac{6\times3}{2}=9$ .

2 Drill C-J.2 — pied de la perpendiculaire sur

(OA)

z_D=t\,z_A

et partie réelle nulle

Entraînement 02 / 04

Drill C-J.2 — pied de la perpendiculaire sur $(OA)$ : $z_D=t\,z_A$ et partie réelle nulle

4 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ . On considère les points $A$ et $B$ d'affixes $z_A=2+i$ et $z_B=3+4i$ , et le point $D$ de la droite $(OA)$ tel que les droites $(BD)$ et $(OA)$ soient perpendiculaires.

Justifier qu'il existe un réel $t$ tel que $z_D=t\,z_A$ .
Montrer que $(z_D-z_B)\,\overline{z_A}=5t-10-5i$ , où $\overline{z_A}$ est le conjugué de $z_A$ .
Ce nombre doit être imaginaire pur : en utilisant sa partie réelle, déterminer $t$ puis l'affixe du point $D$ .
Calculer le module de $z_A$ et la distance du point $B$ à la droite $(OA)$ , puis l'aire du triangle $OAB$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $D$ appartient à la droite $(OA)$ et $O\neq A$ : $\overrightarrow{OD}=t\,\overrightarrow{OA}$ pour un réel $t$ , soit $z_D=t\,z_A$ .

2. $(t\,z_A-z_B)\,\overline{z_A}=t\,|z_A|^2-z_B\,\overline{z_A}=5t-(3+4i)(2-i)=5t-(6-3i+8i+4)=5t-10-5i$ .

3. Idée : $(BD)\perp(OA)$ si et seulement si $(z_D-z_B)\overline{(z_A-z_O)}$ est imaginaire pur, c'est-à-dire de partie réelle nulle. $5t-10=0$ donne $t=2$ et $\boxed{z_D=4+2i}$ .

4. $|z_A|=\sqrt5$ . La distance de $B$ à $(OA)$ est $BD=|z_D-z_B|=|1-2i|=\sqrt5$ . Donc $\mathcal A(OAB)=\dfrac{OA\times BD}{2}=\dfrac{\sqrt5\times\sqrt5}{2}=\dfrac52$ .

3 Drill C-J.3 — second point d'une droite et d'un cercle :

z_D=t\,z_A

et condition de module

Entraînement 03 / 04

Drill C-J.3 — second point d'une droite et d'un cercle : $z_D=t\,z_A$ et condition de module

4 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ . On considère les points $A$ et $K$ d'affixes $z_A=1+i$ et $z_K=3$ , et le cercle $\Gamma$ de centre $K$ et de rayon $\sqrt5$ .

Donner l'écriture exponentielle de $z_A$ . Calculer le module de $z_A-z_K$ et en déduire que $A$ appartient à $\Gamma$ .
La droite $(OA)$ recoupe $\Gamma$ en un point $D$ . On pose $z_D=t\,z_A$ , où $t$ est un réel. Montrer que $KD^2=2t^2-6t+9$ .
En déduire $t$ , puis l'affixe du point $D$ .
Soit $M$ le milieu du segment $[AD]$ . Montrer que $(z_M-z_K)\,\overline{z_A}$ a une partie réelle nulle et interpréter ce résultat.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $z_A=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}$ . $|z_A-z_K|=|-2+i|=\sqrt5$ : $KA=\sqrt5$ , donc $A\in\Gamma$ .

2. $D\in(OA)$ donne $z_D=t\,z_A=t+ti$ , puis $z_D-z_K=(t-3)+ti$ et $KD^2=(t-3)^2+t^2=2t^2-6t+9$ .

3. $D\in\Gamma$ équivaut à $KD^2=5$ , soit $2t^2-6t+4=0$ , ou $t^2-3t+2=0$ : $t=1$ ou $t=2$ . La valeur $t=1$ donne le point $A$ ; $D$ est l'autre point, donc $t=2$ et $\boxed{z_D=2+2i}$ .

4. $z_M=\dfrac{3+3i}{2}$ , $z_M-z_K=-\dfrac32+\dfrac32i$ et $(z_M-z_K)\,\overline{z_A}=\left(-\frac32+\frac32i\right)(1-i)=-\frac32+\frac32i+\frac32i+\frac32=3i$ : partie réelle nulle, donc $(KM)\perp(OA)$ . On retrouve que la perpendiculaire menée du centre à une corde passe par le milieu de cette corde.

4 Drill C-J.4 — point de l'axe des imaginaires sur une perpendiculaire :

z_T=ia

et partie réelle nulle

Entraînement 04 / 04

Drill C-J.4 — point de l'axe des imaginaires sur une perpendiculaire : $z_T=ia$ et partie réelle nulle

4 questionsCorrigé masqué

Dans le plan complexe, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes $z_A=1+2i$ et $z_B=4+3i$ . La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $A$ coupe l'axe des imaginaires en un point $T$ .

Justifier qu'il existe un réel $a$ tel que $z_T=ia$ .
Montrer que $(z_T-z_A)\,\overline{(z_B-z_A)}$ a pour partie réelle $a-5$ et pour partie imaginaire $3a-5$ .
En déduire l'affixe du point $T$ .
Vérifier que $z_T-z_A=i\,(z_B-z_A)$ . En déduire la nature du triangle $ABT$ et calculer son aire à l'aide du module de $z_B-z_A$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $T$ est sur l'axe des imaginaires : $\mathrm{Re}(z_T)=0$ , donc $z_T=ia$ avec $a$ réel.

2. $z_T-z_A=-1+(a-2)i$ et $\overline{(z_B-z_A)}=3-i$ . Le produit vaut $(-1+(a-2)i)(3-i)=-3+i+3(a-2)i+(a-2)=(a-5)+i\,(3a-5)$ .

3. Idée : $(AT)\perp(AB)$ si et seulement si ce produit est imaginaire pur. $a-5=0$ donne $a=5$ et $\boxed{z_T=5i}$ ; le produit vaut alors $10i\neq0$ .

4. $i\,(z_B-z_A)=i\,(3+i)=-1+3i=5i-(1+2i)=z_T-z_A$ . Donc $AT=AB$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AT}\right)\equiv\frac{\pi}{2}\,[2\pi]$ : $ABT$ est rectangle et isocèle en $A$ . Avec $AB=|3+i|=\sqrt{10}$ : $\mathcal A(ABT)=\frac{AB^2}{2}=5$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

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Point inconnu défini géométriquement : poser $z_D=ia$ , $z_H=x+3i$ ou $z_D=t\,z_A$ , puis traduire un alignement (produit réel) ou une perpendicularité (produit imaginaire pur)

Exercice 1 — nombres complexes (5 points), dans l'esprit des sessions 2023–2026

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill C-J.1 — point de la droite $y=3$ : $z_H=x+3i$ et quotient réel

Drill C-J.2 — pied de la perpendiculaire sur $(OA)$ : $z_D=t\,z_A$ et partie réelle nulle

Drill C-J.3 — second point d'une droite et d'un cercle : $z_D=t\,z_A$ et condition de module

Drill C-J.4 — point de l'axe des imaginaires sur une perpendiculaire : $z_T=ia$ et partie réelle nulle

Relier ce raisonnement au bac

Point inconnu défini géométriquement : poser zD=iaz_D=iazD​=ia, zH=x+3iz_H=x+3izH​=x+3i ou zD=t zAz_D=t\,z_AzD​=tzA​, puis traduire un alignement (produit réel) ou une perpendicularité (produit imaginaire pur)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Point inconnu défini géométriquement : poser $z_D=ia$ , $z_H=x+3i$ ou $z_D=t\,z_A$ , puis traduire un alignement (produit réel) ou une perpendicularité (produit imaginaire pur)