C-INombres complexes

Points d'affixes données sur un cercle : équation à discriminant fourni, construction justifiée, losange et aire, perpendicularité, orthocentre (Sc. exp., Techniques, Informatique)

Idée directrice

Dans les sections Sciences expérimentales, Techniques et Informatique, l'exercice de nombres complexes suit presque toujours le même fil : une équation du second degré dont le discriminant est fourni sous forme de carré ; ses solutions deviennent des points d'affixes connues ; l'écriture exponentielle (module et argument) place ces points sur un cercle et justifie leur construction ; une relation entre affixes ( $z_D=z_A+z_B$ , milieu, $z_A=i\,z_B$ ) donne la nature d'un quadrilatère puis son aire ; enfin un argument, un quotient ou un produit $(z_1)\,\overline{(z_2)}$ imaginaire pur traduit une perpendicularité, jusqu'à l'orthocentre d'un triangle.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Vérifier que le discriminant de $(E)$ est égal à $(\dots)^2$ » ; « Montrer que $A$ appartient au cercle $\Gamma$ » ; « Construire les points … » ; « Montrer que le quadrilatère … est un losange (un carré, un parallélogramme) et calculer son aire » ; « En déduire que les droites … sont perpendiculaires » ; « Déduire que $H$ est l'orthocentre du triangle … »

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Discriminant fourni sous forme de carré : calculer $\Delta=b^2-4ac$ , développer le carré proposé, puis $z=\frac{-b\pm\delta}{2a}$ ; contrôler avec la somme $-\frac ba$ et le produit $\frac ca$ .
Point du cercle de centre $O$ et de rayon $r$ : $|z|=r$ . Pour le construire, ajouter une seconde ligne qui le porte (droite $y=k$ , symétrique d'un point déjà placé, demi-droite d'angle connu).
$z_D=z_A+z_B$ : $OADB$ est un parallélogramme ; avec $OA=OB$ c'est un losange, avec un angle droit un rectangle, avec les deux un carré.
Perpendicularité : différence d'arguments égale à $\frac{\pi}{2}$ , quotient imaginaire pur, ou produit $(z_1)\overline{(z_2)}$ imaginaire pur non nul ; l'angle droit est au sommet commun aux deux différences.
Orthocentre : montrer que le point appartient à deux hauteurs ; aire d'un quadrilatère : le découper en deux triangles (ou demi-produit des diagonales d'un losange).

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Donner $z_A=2e^{i\frac{\pi}{6}}$ en oubliant le signe de la partie imaginaire ; « construire » $A$ en le plaçant à vue sur le cercle sans dire quelle seconde ligne le détermine ; conclure « losange » sans avoir établi le parallélogramme (ou « parallélogramme » sans vérifier $OA=OB$ pour le losange) ; placer l'angle droit en $H$ alors que le produit $(z_D-z_B)\overline{(z_H-z_B)}$ parle du sommet $B$ ; affirmer que $H$ est l'orthocentre en n'exhibant qu'une seule hauteur.

Sujet principal

Exercice 1 — nombres complexes (5 points), dans l'esprit des sujets 2017–2026 (Sc. exp., Techniques, Informatique)

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ .

On considère dans $\C$ l'équation

(E)\ :\ z^2-\left(\sqrt3+i\right)z+2+2i\sqrt3=0.

Équation.
1. Calculer le discriminant de $(E)$ et vérifier que $\sqrt3-3i$ en est une racine carrée.
2. Résoudre dans $\C$ l'équation $(E)$ .
On considère les points $A$ , $B$ et $D$ d'affixes respectives $z_A=\sqrt3-i$ , $z_B=2i$ et $z_D=z_A+z_B$ . Dans la figure de l'annexe, on a tracé le cercle $\Gamma$ de centre $O$ et de rayon $2$ et placé le point $B$ .
1. Déterminer le module et un argument de $z_A$ et de $z_D$ , puis leur écriture exponentielle. En déduire que les points $A$ et $D$ appartiennent au cercle $\Gamma$ .
2. Construire les points $A$ et $D$ en justifiant la construction.
Le quadrilatère $OADB$ .
1. Montrer que le quadrilatère $OADB$ est un losange.
2. Montrer que $z_B-z_A=2\sqrt3\,e^{i\frac{2\pi}{3}}$ . Retrouver que les droites $(AB)$ et $(OD)$ sont perpendiculaires.
3. Montrer que le triangle $OAD$ est équilatéral, puis calculer l'aire du losange $OADB$ .
Soit $H$ le point d'affixe $z_H=-z_D$ .
1. Vérifier que $H$ appartient à $\Gamma$ et construire le point $H$ .
2. Montrer que $(z_D-z_B)\,\overline{(z_H-z_B)}$ est un imaginaire pur. En déduire la nature du triangle $BDH$ .
3. En utilisant la question 3.a, montrer que la droite $(BH)$ est perpendiculaire à la droite $(OA)$ .
4. Justifier que les droites $(AH)$ et $(OB)$ sont perpendiculaires. En déduire que $H$ est l'orthocentre du triangle $OAB$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : calculer $\Delta=b^2-4ac$ , puis développer le carré proposé. $\Delta=\left(\sqrt3+i\right)^2-4\left(2+2i\sqrt3\right)=3+2i\sqrt3-1-8-8i\sqrt3=-6-6i\sqrt3$ . Et $\left(\sqrt3-3i\right)^2=3-6i\sqrt3-9=-6-6i\sqrt3$ : $\delta=\sqrt3-3i$ est bien une racine carrée de $\Delta$ .

1.b $z_1=\dfrac{\sqrt3+i+\sqrt3-3i}{2}=\sqrt3-i$ et $z_2=\dfrac{\sqrt3+i-\sqrt3+3i}{2}=2i$ . Contrôle : $z_1+z_2=\sqrt3+i$ et $z_1z_2=2i\sqrt3+2$ . Les solutions de $(E)$ sont $\sqrt3-i$ et $2i$ .

2.a $|z_A|=\sqrt{3+1}=2$ ; un argument $\theta$ vérifie $\cos\theta=\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\theta=-\frac12$ , donc $\theta\equiv-\frac{\pi}{6}\,[2\pi]$ et $z_A=2e^{-i\frac{\pi}{6}}$ . Ensuite $z_D=\sqrt3-i+2i=\sqrt3+i$ , de module $2$ et d'argument $\frac{\pi}{6}$ : $z_D=2e^{i\frac{\pi}{6}}$ . Comme $OA=OD=2$ , les points $A$ et $D$ sont sur $\Gamma$ .

2.b Idée : un point du cercle est fixé par une seconde ligne qui le porte. $\mathrm{Im}(z_A)=-1$ et $\mathrm{Re}(z_A)>0$ : $A$ est le point d'intersection de $\Gamma$ et de la droite d'équation $y=-1$ situé dans le demi-plan $x>0$ . Et $z_D=\overline{z_A}$ : $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à l'axe $\left(O,\vec u\right)$ (c'est aussi le point de $\Gamma$ sur la droite $y=1$ , du côté $x>0$ ).

3.a $z_D=z_A+z_B$ signifie $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ : $OADB$ est un parallélogramme. De plus $OA=|z_A|=2$ et $OB=|z_B|=2$ : deux côtés consécutifs sont égaux, donc $OADB$ est un losange.

3.b $z_B-z_A=-\sqrt3+3i$ , de module $\sqrt{3+9}=2\sqrt3$ , et $-\sqrt3+3i=2\sqrt3\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=2\sqrt3\,e^{i\frac{2\pi}{3}}$ . Alors $\left(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{AB}\right)\equiv\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\,[2\pi]$ : $(AB)\perp(OD)$ . On retrouve que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

3.c $OA=OD=2$ et $AD=|z_D-z_A|=|2i|=2$ : le triangle $OAD$ est équilatéral. Le losange est formé des triangles $OAD$ et $ODB$ , symétriques par rapport à $(OD)$ , tous deux équilatéraux de côté $2$ , d'aire $\frac{\sqrt3}{4}\times2^2=\sqrt3$ . L'aire du losange vaut donc $\boxed{2\sqrt3}$ (contrôle : $\frac{OD\times AB}{2}=\frac{2\times2\sqrt3}{2}$ ).

4.a $z_H=-\sqrt3-i$ et $|z_H|=2$ : $H\in\Gamma$ . $H$ est le symétrique de $D$ par rapport à $O$ : on le construit comme second point d'intersection de la droite $(OD)$ avec $\Gamma$ ( $[DH]$ est un diamètre).

4.b $z_D-z_B=\sqrt3-i$ et $z_H-z_B=-\sqrt3-3i$ , donc $\overline{(z_H-z_B)}=-\sqrt3+3i$ et

(z_D-z_B)\,\overline{(z_H-z_B)}=\left(\sqrt3-i\right)\left(-\sqrt3+3i\right)

$=-3+3i\sqrt3+i\sqrt3+3=4i\sqrt3$ . Idée : un produit $(z_1)\overline{(z_2)}$ imaginaire pur non nul traduit un angle droit au sommet commun. Ici le sommet commun est $B$ : $(BD)\perp(BH)$ , le triangle $BDH$ est rectangle en $B$ (ce que confirme $B\in\Gamma$ , cercle de diamètre $[DH]$ ).

4.c $OADB$ est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{OA}$ (d'ailleurs $z_D-z_B=z_A$ ) : $(BD)\parallel(OA)$ . Comme $(BH)\perp(BD)$ , on a $(BH)\perp(OA)$ : $(BH)$ est la hauteur issue de $B$ du triangle $OAB$ .

4.d $z_A$ et $z_H$ ont la même partie imaginaire $-1$ : $(AH)$ est parallèle à l'axe $\left(O,\vec u\right)$ , alors que $(OB)$ est l'axe des imaginaires. Donc $(AH)\perp(OB)$ : $(AH)$ est la hauteur issue de $A$ . $H$ est le point commun de deux hauteurs du triangle $OAB$ : c'est son orthocentre. La troisième hauteur passe bien par $H$ : $H\in(OD)$ et $(OD)\perp(AB)$ d'après 3.b.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées (sujets Sc. exp., Techniques, Informatique) : point $C$ de la droite $y=3$ d'argument $\frac{\pi}{3}$ , perpendiculaire $(AB)\perp(HC)$ en $H$ puis aire du quadrilatère $OACB$ comme somme de deux triangles (Techniques principale 2026) ; carré par $|z_B-z_A|=|z_D-z_A|$ et un produit avec le conjugué (Informatique principale 2017) ; parallélogramme par le symétrique d'un point, puis son aire (Informatique contrôle 2025) ; rectangle $OACB$ ou $OBCA$ et son aire (Sc. exp. contrôle 2024, Techniques contrôle 2024) ; orthocentre par deux perpendiculaires (Informatique principale 2025) ; droite tangente à un cercle (Techniques principale 2021) ; losange $ABDC$ d'aire $4\sqrt3$ (Techniques principale 2023).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill C-I.1 — parallélogramme par le symétrique d'un point, aire

AB\times AC

Entraînement 01 / 05

Drill C-I.1 — parallélogramme par le symétrique d'un point, aire $AB\times AC$

4 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ . On considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=1+i$ , $z_B=3+5i$ et $z_C=-1+2i$ .

Calculer $(z_B-z_A)\,\overline{(z_C-z_A)}$ et montrer que ce nombre est un imaginaire pur. En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .
Soit $K$ le milieu du segment $[AC]$ et $D$ le symétrique de $B$ par rapport à $K$ . Déterminer les affixes $z_K$ et $z_D$ .
Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
Calculer les modules $|z_B-z_A|$ et $|z_C-z_A|$ , puis l'aire du parallélogramme $ABCD$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $z_B-z_A=2+4i$ et $z_C-z_A=-2+i$ , donc $(z_B-z_A)\,\overline{(z_C-z_A)}=(2+4i)(-2-i)=-4-2i-8i+4=-10i$ : c'est un imaginaire pur non nul, donc $(AB)\perp(AC)$ et le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

2. $z_K=\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{3i}{2}$ . Comme $K$ est le milieu de $[BD]$ : $z_D=2z_K-z_B=3i-3-5i=-3-2i$ .

3. Idée : un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme. Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $K$ : $ABCD$ est un parallélogramme (contrôle : $z_A+z_C=3i=z_B+z_D$ ).

4. $|z_B-z_A|=\sqrt{4+16}=2\sqrt5$ et $|z_C-z_A|=\sqrt{4+1}=\sqrt5$ . La diagonale $[AC]$ partage $ABCD$ en deux triangles $ABC$ et $CDA$ de même aire (symétrie de centre $K$ ), et $ABC$ est rectangle en $A$ : $\mathcal A(ABC)=\frac{AB\times AC}{2}=\frac{2\sqrt5\times\sqrt5}{2}=5$ . L'aire de $ABCD$ vaut $\boxed{10}$ .

2 Drill C-I.2 — triangle rectangle isocèle par un produit avec le conjugué, milieu de l'hypoténuse

Entraînement 02 / 05

Drill C-I.2 — triangle rectangle isocèle par un produit avec le conjugué, milieu de l'hypoténuse

4 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ . On donne les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=2-i$ , $z_B=5+i$ et $z_C=2i$ .

Calculer $(z_B-z_A)\,\overline{(z_C-z_A)}$ et montrer que ce nombre est un imaginaire pur. Calculer les modules $|z_B-z_A|$ et $|z_C-z_A|$ .
En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$ .
Déterminer l'affixe du point $\Omega$ milieu du segment $[BC]$ et montrer que $\Omega A=\Omega B=\Omega C$ .
Calculer l'aire du triangle $ABC$ .

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1. $z_B-z_A=3+2i$ et $z_C-z_A=-2+3i$ , d'où $(z_B-z_A)\,\overline{(z_C-z_A)}=(3+2i)(-2-3i)=-6-9i-4i+6=-13i$ , imaginaire pur. $|z_B-z_A|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ et $|z_C-z_A|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ .

2. Le produit est imaginaire pur et non nul : $(AB)\perp(AC)$ . Avec $AB=AC=\sqrt{13}$ , le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$ (on peut aussi remarquer que $z_C-z_A=i\,(z_B-z_A)$ ).

3. $z_\Omega=\dfrac{5+i+2i}{2}=\dfrac52+\dfrac32i$ . $\Omega B=\Omega C=\dfrac{|z_C-z_B|}{2}=\dfrac{|-5+i|}{2}=\dfrac{\sqrt{26}}{2}$ et $\Omega A=\left|-\frac12-\frac52i\right|=\sqrt{\frac14+\frac{25}{4}}=\dfrac{\sqrt{26}}{2}$ . Idée : dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit : ce cercle a pour centre $\Omega$ et pour rayon $\frac{\sqrt{26}}{2}$ .

4. $\mathcal A(ABC)=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{13}{2}$ .

3 Drill C-I.3 — carré par la relation

z_D-z_A=i\,(z_B-z_A)

, aire

Entraînement 03 / 05

Drill C-I.3 — carré par la relation $z_D-z_A=i\,(z_B-z_A)$ , aire

4 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ . On considère les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_A=1-i$ , $z_B=5+i$ , $z_C=3+5i$ et $z_D=-1+3i$ .

Placer les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .
Le triangle $ABD$ .
1. Vérifier que $z_D-z_A=i\,(z_B-z_A)$ .
2. En déduire le module et un argument du quotient $\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}$ , puis la nature du triangle $ABD$ .
Montrer que $z_A+z_C=z_B+z_D$ .
Déduire que $ABCD$ est un carré et calculer son aire.

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1. $A(1\,;-1)$ , $B(5\,;1)$ , $C(3\,;5)$ et $D(-1\,;3)$ .

2.a $z_B-z_A=4+2i$ et $i\,(4+2i)=-2+4i=(-1+3i)-(1-i)=z_D-z_A$ .

2.b $\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}=i=e^{i\frac{\pi}{2}}$ : module $1$ , donc $AD=AB$ ; argument $\frac{\pi}{2}$ , donc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)\equiv\frac{\pi}{2}\,[2\pi]$ . Le triangle $ABD$ est rectangle et isocèle en $A$ .

3. $z_A+z_C=4+4i$ et $z_B+z_D=4+4i$ .

4. D'après 3, les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu : $ABCD$ est un parallélogramme. Il a un angle droit en $A$ et deux côtés consécutifs égaux ( $AB=AD$ ) : c'est un carré. $AB=|4+2i|=\sqrt{20}=2\sqrt5$ , donc son aire vaut $AB^2=\boxed{20}$ .

4 Drill C-I.4 — orthocentre par deux hauteurs, pied d'une hauteur et aire

Entraînement 04 / 05

Drill C-I.4 — orthocentre par deux hauteurs, pied d'une hauteur et aire

4 questionsCorrigé masqué

Dans le plan complexe, on considère les points $A$ , $B$ , $C$ et $H$ d'affixes respectives $z_A=-1+i$ , $z_B=5+i$ , $z_C=1+5i$ et $z_H=1+3i$ .

Comparer la partie réelle de $z_C$ et celle de $z_H$ , puis les parties imaginaires de $z_A$ et de $z_B$ . En déduire que les droites $(CH)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires en un point $J$ dont on donnera l'affixe.
Donner l'écriture algébrique de $(z_H-z_A)\,\overline{(z_C-z_B)}$ . En déduire que les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
Déduire que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$ .
Calculer les modules $|z_B-z_A|$ et $|z_C-z_J|$ , puis l'aire du triangle $ABC$ .

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1. $\mathrm{Re}(z_C)=\mathrm{Re}(z_H)=1$ : $(CH)$ est la droite d'équation $x=1$ , parallèle à l'axe des imaginaires. $\mathrm{Im}(z_A)=\mathrm{Im}(z_B)=1$ : $(AB)$ est la droite d'équation $y=1$ , parallèle à l'axe des réels. Donc $(CH)\perp(AB)$ , en $J$ d'affixe $z_J=1+i$ .

2. $z_H-z_A=2+2i$ et $z_C-z_B=-4+4i$ , donc $(z_H-z_A)\,\overline{(z_C-z_B)}=(2+2i)(-4-4i)=-8-8i-8i+8=-16i$ : imaginaire pur non nul, d'où $(AH)\perp(BC)$ .

3. $(CH)$ est la hauteur issue de $C$ et $(AH)$ la hauteur issue de $A$ ; elles se coupent en $H$ , qui est donc l'orthocentre du triangle $ABC$ .

4. $AB=|z_B-z_A|=6$ et $CJ=|z_C-z_J|=|4i|=4$ . Comme $[CJ]$ est la hauteur relative à $[AB]$ : $\mathcal A(ABC)=\dfrac{AB\times CJ}{2}=\boxed{12}$ .

5 Drill C-I.5 — droite tangente à un cercle en un point, aire d'un quadrilatère symétrique

Entraînement 05 / 05

Drill C-I.5 — droite tangente à un cercle en un point, aire d'un quadrilatère symétrique

4 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ . On note $\Gamma$ le cercle de centre $O$ et de rayon $2$ . On considère les points $A$ et $T$ d'affixes $z_A=1+i\sqrt3$ et $z_T=4$ , et le point $A'$ d'affixe $\overline{z_A}$ , conjugué de $z_A$ .

Déterminer le module et un argument de $z_A$ , puis son écriture exponentielle. Vérifier que $A$ appartient à $\Gamma$ .
Montrer que $\dfrac{z_T-z_A}{z_A}=-i\sqrt3$ ; ce quotient est donc imaginaire pur. En déduire que la droite $(AT)$ est tangente à $\Gamma$ en $A$ .
Justifier que la droite $(A'T)$ est tangente à $\Gamma$ en $A'$ .
Calculer $AT$ , puis l'aire du quadrilatère $OATA'$ .

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1. $|z_A|=\sqrt{1+3}=2$ , $\cos\theta=\frac12$ et $\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}$ donnent $\theta\equiv\frac{\pi}{3}\,[2\pi]$ : $z_A=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ . $OA=2$ , donc $A\in\Gamma$ .

2. $\dfrac{z_T-z_A}{z_A}=\dfrac{3-i\sqrt3}{1+i\sqrt3}=\dfrac{\left(3-i\sqrt3\right)\left(1-i\sqrt3\right)}{4}=\dfrac{3-3i\sqrt3-i\sqrt3-3}{4}=-i\sqrt3$ . Idée : quotient imaginaire pur non nul, donc angle droit. $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AT}\right)\equiv-\frac{\pi}{2}\,[2\pi]$ : $(AT)$ est perpendiculaire en $A$ au rayon $[OA]$ , c'est la tangente à $\Gamma$ en $A$ .

3. $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à l'axe des réels, qui laisse $T$ et $\Gamma$ invariants : la symétrie envoie la tangente $(AT)$ sur la droite $(A'T)$ , tangente à $\Gamma$ en $A'$ . (Par le calcul : $\frac{z_T-z_{A'}}{z_{A'}}=i\sqrt3$ , imaginaire pur.)

4. $AT=|z_T-z_A|=\left|3-i\sqrt3\right|=\sqrt{12}=2\sqrt3$ . Le quadrilatère $OATA'$ est formé des triangles $OAT$ et $OA'T$ , symétriques par rapport à $(OT)$ et rectangles en $A$ et $A'$ : $\mathcal A(OAT)=\frac{OA\times AT}{2}=2\sqrt3$ . L'aire de $OATA'$ vaut $\boxed{4\sqrt3}$ .

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Drill C-I.1 — parallélogramme par le symétrique d'un point, aire $AB\times AC$

Drill C-I.2 — triangle rectangle isocèle par un produit avec le conjugué, milieu de l'hypoténuse

Drill C-I.3 — carré par la relation $z_D-z_A=i\,(z_B-z_A)$ , aire

Drill C-I.4 — orthocentre par deux hauteurs, pied d'une hauteur et aire

Drill C-I.5 — droite tangente à un cercle en un point, aire d'un quadrilatère symétrique

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