C-HNombres complexes

L'exercice de complexes paramétré de la principale : racine à vérifier, triangle sur le cercle unité, angle moitié, lieu d'un milieu, valeurs du paramètre

Idée directrice

L'exercice de complexes de la principale suit presque toujours le même fil : une équation du second degré à paramètre $\theta$ dont on vérifie une racine puis dont on obtient l'autre par le produit (ou la somme) ; les deux racines placent des points sur un cercle, qu'on construit en justifiant ; la factorisation par l'angle moitié ( $e^{ia}-e^{ib}$ ) donne distances et angles ; on termine par un lieu quand $\theta$ varie et par la valeur de $\theta$ qui rend une figure isocèle ou rectangle.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Vérifier que … est une solution de $(E_\theta)$ ; déterminer l'autre solution sous forme exponentielle » ; « construire le point … » ; « montrer que $z_M-z_N=2\sin\frac{\theta}{2}\,e^{i(\dots)}$ » ; « déterminer l'ensemble des points $I$ lorsque $\theta$ varie » ; « pour quelle valeur de $\theta$ le triangle est-il rectangle ? »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Racine à vérifier : remplacer, factoriser la puissance commune ; l'autre racine par le produit $\frac ca$ ou la somme $-\frac ba$ .
Points sur le cercle unité : module $1$ ; le quotient des affixes donne l'angle (rotation) et justifie la construction.
$e^{ia}\pm e^{ib}$ : mettre $e^{i\frac{a+b}{2}}$ en facteur ; vérifier le signe du coefficient réel avant de lire module et argument.
Lieu d'un point d'affixe $r\,e^{i\varphi(\theta)}$ : un arc de cercle, bornes données par l'intervalle de $\theta$ (ouvert ou fermé).
Triangle isocèle / rectangle : comparer les distances ou appliquer Pythagore en testant chaque sommet.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Donner $2\sin\frac{\theta}{2}$ comme module sans vérifier que $\sin\frac{\theta}{2}>0$ ; oublier que le lieu de $I$ est un arc ouvert (les extrémités correspondent à $\theta=0$ et $\theta=\pi$ , exclus) ; chercher l'angle droit seulement en $A$ ; construire $M_2$ « à vue » au lieu de le justifier par la rotation.

Sujet principal

Exercice 1 — nombres complexes (4,5 points), dans l'esprit des sessions 2015–2024

6 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ . Soit $\theta\in\,]0,\pi[$ et l'équation

(E_\theta)\ :\ z^2-(1+i)\,e^{i\theta}z+i\,e^{2i\theta}=0.

Vérifier que $e^{i\theta}$ est une racine de $(E_\theta)$ et déterminer l'autre racine sous forme exponentielle.
On note $A$ , $M_1$ et $M_2$ les points d'affixes respectives $1$ , $e^{i\theta}$ et $i\,e^{i\theta}$ , et $\mathcal C$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ (voir la figure).
1. Montrer que le triangle $OM_1M_2$ est rectangle isocèle en $O$ .
2. Sur la figure, construire le point $M_2$ en justifiant la construction.
Montrer que $e^{i\theta}-1=2\sin\frac{\theta}{2}\,e^{i\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}$ . En déduire le module et un argument de $e^{i\theta}-1$ , puis $AM_1$ et une mesure de l'angle $\left(\vec u,\overrightarrow{AM_1}\right)$ .
Soit $I$ le milieu du segment $[M_1M_2]$ .
1. Montrer que l'affixe de $I$ est $\frac{\sqrt2}{2}\,e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}$ .
2. Déterminer l'ensemble des points $I$ lorsque $\theta$ décrit $]0,\pi[$ .
3. Montrer que la droite $(M_1M_2)$ est tangente en $I$ au cercle de centre $O$ et de rayon $\frac{\sqrt2}{2}$ .
Montrer que $AM_2=2\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$ et déterminer $\theta$ pour que le triangle $AM_1M_2$ soit isocèle en $A$ .
Pour quelle valeur de $\theta$ le triangle $AM_1M_2$ est-il rectangle ? Préciser le sommet de l'angle droit.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\left(e^{i\theta}\right)^2-(1+i)e^{i\theta}e^{i\theta}+ie^{2i\theta}=e^{2i\theta}(1-1-i+i)=0$ . Idée : le produit des racines vaut $\frac ca$ . L'autre racine $z_2$ vérifie $e^{i\theta}z_2=ie^{2i\theta}$ , d'où $z_2=ie^{i\theta}=e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}$ .

2.a $OM_1=\left|e^{i\theta}\right|=1=OM_2$ et $\dfrac{z_{M_2}}{z_{M_1}}=i=e^{i\frac{\pi}{2}}$ , donc $\left(\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_2}\right)\equiv\frac{\pi}{2}\,[2\pi]$ : $OM_1M_2$ est rectangle isocèle en $O$ .

2.b $M_2$ est l'image de $M_1$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ : c'est le point du cercle $\mathcal C$ tel que $(OM_2)\perp(OM_1)$ , obtenu en tournant de $+\frac{\pi}{2}$ (on trace la perpendiculaire à $(OM_1)$ en $O$ , qui coupe $\mathcal C$ en deux points, et l'on garde celui qui correspond au sens direct).

3. Idée : mettre $e^{i\theta/2}$ en facteur. $e^{i\theta}-1=e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)=e^{i\frac{\theta}{2}}\cdot2i\sin\frac{\theta}{2}=2\sin\frac{\theta}{2}\,e^{i\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}$ . Comme $\frac{\theta}{2}\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ , $\sin\frac{\theta}{2}>0$ : c'est une écriture exponentielle, donc $AM_1=2\sin\frac{\theta}{2}$ et $\left(\vec u,\overrightarrow{AM_1}\right)\equiv\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\,[2\pi]$ .

4.a $z_I=\dfrac{e^{i\theta}+ie^{i\theta}}{2}=\dfrac{1+i}{2}\,e^{i\theta}=\dfrac{\sqrt2}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}e^{i\theta}=\dfrac{\sqrt2}{2}\,e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}$ .

4.b $OI=\frac{\sqrt2}{2}$ et $\left(\vec u,\overrightarrow{OI}\right)\equiv\theta+\frac{\pi}{4}$ décrit $\left]\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right[$ : l'ensemble des points $I$ est l'arc ouvert du cercle de centre $O$ et de rayon $\frac{\sqrt2}{2}$ formé des points d'argument compris strictement entre $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{5\pi}{4}$ .

4.c Le triangle $OM_1M_2$ est isocèle en $O$ et $I$ est le milieu de $[M_1M_2]$ , donc $(OI)\perp(M_1M_2)$ . La droite $(M_1M_2)$ est perpendiculaire en $I$ au rayon $[OI]$ du cercle de centre $O$ et de rayon $OI=\frac{\sqrt2}{2}$ : elle lui est tangente en $I$ .

5. De même $ie^{i\theta}-1=e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}-1=2\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)e^{i\left(\frac{\theta}{2}+\frac{3\pi}{4}\right)}$ avec $\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\in\left]\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right[$ , donc $AM_2=2\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$ . Isocèle en $A$ : $\sin\frac{\theta}{2}=\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$ ; les deux angles, dans $\left]0,\frac{3\pi}{4}\right[$ et distincts, doivent être supplémentaires : $\frac{\theta}{2}+\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}=\pi$ , soit $\boxed{\theta=\frac{3\pi}{4}}$ .

6. Idée : Pythagore avec $M_1M_2^2=2$ , $AM_1^2=2-2\cos\theta$ , $AM_2^2=2+2\sin\theta$ . Angle droit en $A$ : $4-2\cos\theta+2\sin\theta=2$ , soit $\sin\theta-\cos\theta=-1$ , impossible sur $]0,\pi[$ ( $\sin\theta>0$ et $-\cos\theta>-1$ ). En $M_2$ : $2-2\cos\theta=4+2\sin\theta$ , soit $\sqrt2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=-1$ , impossible car $\theta+\frac{\pi}{4}\in\left]\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right[$ où $\sin>-\frac{\sqrt2}{2}$ . En $M_1$ : $2+2\sin\theta=4-2\cos\theta$ , soit $\sin\theta+\cos\theta=1$ , c'est-à-dire $\sqrt2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=1$ , d'où $\boxed{\theta=\frac{\pi}{2}}$ : le triangle est alors rectangle en $M_1$ (et $[AM_2]$ est un diamètre de $\mathcal C$ ).

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : racine réelle $\frac{2}{\sqrt3}$ à vérifier, tangente au cercle et triangle rectangle en $M$ (principale 2024) ; équation $z^2-2e^{i\theta}z+e^{2i\theta}-4=0$ et points à distance $2$ (principale 2022) ; extremum d'une distance $AF^2=4-2\sqrt3\cos\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)$ (principale 2015) ; construction d'un point d'affixe $\sqrt{ab}$ par un demi-cercle (principales 2016 et 2018).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill C-H.1 — aire du triangle

AM_1M_2

en fonction de

\theta

et valeur maximale

Entraînement 01 / 01

Drill C-H.1 — aire du triangle $AM_1M_2$ en fonction de $\theta$ et valeur maximale

3 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ . Pour $\theta\in\,]0,\pi[$ , on considère les points $A$ , $M_1$ , $M_2$ d'affixes $1$ , $e^{i\theta}$ et $ie^{i\theta}$ .

Donner l'écriture algébrique du nombre complexe $P=\overline{\left(z_{M_1}-1\right)}\left(z_{M_2}-1\right)$ .
On admet que l'aire du triangle $AM_1M_2$ est la moitié de la valeur absolue de la partie imaginaire de $P$ . Montrer que cette aire vaut $\mathcal A(\theta)=\frac12\left(1+\sqrt2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ .
Déterminer la valeur de $\theta$ pour laquelle l'aire est maximale, et cette aire maximale.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\left(e^{-i\theta}-1\right)\left(ie^{i\theta}-1\right)=i-e^{-i\theta}-ie^{i\theta}+1$ . Avec $e^{\pm i\theta}=\cos\theta\pm i\sin\theta$ : $-e^{-i\theta}-ie^{i\theta}=-\cos\theta+i\sin\theta-i\cos\theta+\sin\theta$ . Donc le produit vaut $(1+\sin\theta-\cos\theta)+i\,(1+\sin\theta-\cos\theta)$ : partie réelle et partie imaginaire sont toutes deux égales à $1+\sin\theta-\cos\theta$ .

2. $\sin\theta-\cos\theta=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin\theta-\frac{\sqrt2}{2}\cos\theta\right)=\sqrt2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ . Pour $\theta\in\,]0,\pi[$ , $\theta-\frac{\pi}{4}\in\left]-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right[$ et $\sqrt2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)>-1$ : la partie imaginaire $1+\sin\theta-\cos\theta$ de $P$ est strictement positive, donc $\mathcal A(\theta)=\frac12\left(1+\sqrt2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ .

3. L'aire est maximale quand $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=1$ , soit $\theta=\frac{3\pi}{4}$ (qui est bien dans $]0,\pi[$ ) : $\boxed{\mathcal A_{\max}=\frac{1+\sqrt2}{2}}$ . Pour cette valeur, $AM_1^2=2-2\cos\frac{3\pi}{4}=2+\sqrt2$ et $AM_2^2=|ie^{i\theta}-1|^2=2+2\sin\frac{3\pi}{4}=2+\sqrt2$ : le triangle d'aire maximale est isocèle en $A$ .

Relier ce raisonnement au bac

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