C-GNombres complexes

Application $M\mapsto M'$ non affine ( $z'=\frac{z}{z-1}$ ) : relation clé, points invariants, involution, $AM\cdot AM'=1$ , images d'un cercle et d'une droite, construction de $M'$

Idée directrice

Quand l'énoncé associe à $M(z)$ un point $M'(z')$ par une formule qui n'est pas de la forme $az+b$ ou $a\bar z+b$ , ce n'est pas une similitude : tout repose sur une relation clé entre $z$ et $z'$ (ici $(z-1)(z'-1)=1$ ). En passant aux modules et aux arguments, elle donne $AM\cdot AM'=1$ et $\left(\vec u,\overrightarrow{AM'}\right)\equiv-\left(\vec u,\overrightarrow{AM}\right)$ , d'où la construction de $M'$ , l'alignement, et les images de cercles centrés en $A$ ou de droites.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« À tout point $M$ d'affixe $z\ne a$ on associe le point $M'$ d'affixe $z'=\dots$ » ; « montrer que $(z-a)(z'-a)=\dots$ » ; « montrer que les points $A$ , $M$ et $M'$ sont alignés si, et seulement si … est réel » ; « déterminer l'ensemble des points $M'$ lorsque $M$ décrit … »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Chercher une relation clé en retranchant l'affixe du point particulier : $z'-1=\frac{1}{z-1}$ , puis passer aux modules ( $AM\cdot AM'=1$ ) et aux arguments.
Points invariants : résoudre $z'=z$ ; involution : même relation clé lue dans l'autre sens.
Alignement de $A$ , $M$ , $M'$ : le quotient $\frac{z'-1}{z-1}$ est réel.
Image d'un ensemble : traduire l'appartenance ( $|z-1|=1$ , $|z|=|z-1|$ …) et vérifier la réciproque pour obtenir l'ensemble exact (points exclus compris).

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Traiter $f$ comme une similitude (elle ne l'est pas : elle ne conserve pas les rapports de distances) ; oublier d'exclure $A$ (aucun point n'a $A$ pour image) ; ne donner qu'une inclusion pour l'image de $\mathcal D$ ; confondre « $(z-1)^2$ réel » avec « $z-1$ réel » en oubliant le cas imaginaire pur.

Sujet principal

Exercice 2 — nombres complexes (4,5 points), dans l'esprit des sessions 2023–2026

4 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ . On note $A$ le point d'affixe $1$ . À tout point $M$ d'affixe $z\ne1$ , on associe le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{z}{z-1}$ ; on note $f$ l'application $M\mapsto M'$ définie sur le plan privé de $A$ .

Relation clé.
1. Montrer que, pour tout $z\ne1$ , $(z-1)(z'-1)=1$ . En déduire que $M'\ne A$ .
2. Déterminer les points $M$ tels que $M'=M$ .
3. Montrer que $f\circ f(M)=M$ pour tout point $M\ne A$ .
Modules et arguments.
1. Montrer que $AM\cdot AM'=1$ et que $\left(\vec u,\overrightarrow{AM'}\right)\equiv-\left(\vec u,\overrightarrow{AM}\right)\,[2\pi]$ .
2. Montrer que les points $A$ , $M$ et $M'$ sont alignés si et seulement si $(z-1)^2$ est réel. En déduire l'ensemble des points $M$ tels que $A$ , $M$ , $M'$ soient alignés.
Images.
1. On suppose que $M$ décrit le cercle $\Gamma$ de centre $A$ et de rayon $1$ . Montrer que $z'=\bar z$ , où $\bar z$ est le conjugué de $z$ , et en déduire que $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe $\left(O,\vec u\right)$ .
2. On suppose que $M$ décrit la médiatrice $\mathcal D$ du segment $[OA]$ . Montrer que $|z'|=1$ , puis déterminer l'ensemble des points $M'$ lorsque $M$ décrit $\mathcal D$ .
Soit $M$ un point extérieur au cercle $\Gamma$ . Expliquer comment construire le point $N$ de $[AM)$ tel que $AN=\dfrac{1}{AM}$ , puis le point $M'$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $z'-1=\dfrac{z}{z-1}-1=\dfrac{1}{z-1}$ , donc $(z-1)(z'-1)=1$ . En particulier $z'-1\ne0$ : $M'\ne A$ .

1.b $z'=z\iff z=z(z-1)\iff z^2-2z=0\iff z=0$ ou $z=2$ : les points invariants sont $O$ et le point $B$ d'affixe $2$ .

1.c Idée : la relation clé est symétrique en $z$ et $z'$ . Si $z''$ est l'affixe de $f(M')$ , alors $(z'-1)(z''-1)=1=(z'-1)(z-1)$ ; comme $z'-1\ne0$ , $z''=z$ : $f\circ f(M)=M$ ( $f$ est une involution).

2.a En modules : $|z-1|\,|z'-1|=1$ , soit $AM\cdot AM'=1$ . En arguments : $\arg(z-1)+\arg(z'-1)\equiv\arg1=0\,[2\pi]$ , soit $\left(\vec u,\overrightarrow{AM'}\right)\equiv-\left(\vec u,\overrightarrow{AM}\right)\,[2\pi]$ .

2.b $A$ , $M$ , $M'$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{z'-1}{z-1}$ est réel ; or $\dfrac{z'-1}{z-1}=\dfrac{1}{(z-1)^2}$ , réel si et seulement si $(z-1)^2$ est réel. Cela a lieu si et seulement si $z-1$ est réel ou imaginaire pur : $M$ appartient à la droite $\left(O,\vec u\right)$ ou à la droite d'équation $x=1$ , privées du point $A$ .

3.a Si $|z-1|=1$ , alors $z'-1=\dfrac{1}{z-1}=\dfrac{\overline{z-1}}{|z-1|^2}=\overline{z-1}=\bar z-1$ , donc $z'=\bar z$ : $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses (et reste sur $\Gamma$ ).

3.b $M\in\mathcal D\iff OM=AM\iff|z|=|z-1|$ , donc $|z'|=\dfrac{|z|}{|z-1|}=1$ : $M'$ est sur le cercle $\mathcal C$ de centre $O$ et de rayon $1$ , et $M'\ne A$ . Réciproquement, si $M'\in\mathcal C\setminus\{A\}$ , son antécédent $M=f(M')$ (involution) vérifie $|z|=\dfrac{|z'|}{|z'-1|}$ et $|z-1|=\dfrac{1}{|z'-1|}$ , donc $|z|=|z-1|$ et $M\in\mathcal D$ . L'ensemble des points $M'$ est $\boxed{\mathcal C\setminus\{A\}}$ .

4. Idée : 2.a dit que $M'$ est l'image de $N$ par la symétrie d'axe $\left(O,\vec u\right)$ , puisque $A$ est sur cet axe. Comme $AM>1$ , on peut mener de $M$ une tangente à $\Gamma$ ; soit $T$ son point de contact : le pied $N$ de la perpendiculaire à $(AM)$ issue de $T$ vérifie $AN\cdot AM=AT^2=1$ (relation métrique dans le triangle $ATM$ rectangle en $T$ ). Puis $AM'=AN$ et $\left(\vec u,\overrightarrow{AM'}\right)\equiv-\left(\vec u,\overrightarrow{AN}\right)$ : $M'$ est le symétrique de $N$ par rapport à l'axe $\left(O,\vec u\right)$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : relation $(z-i)(z'-i)=1$ , alignement par $(z-i)^2$ réel et image d'une demi-droite (principale 2023) ; $z'=\frac{z+1}{iz+1}$ avec factorisation de $z'-i$ (principale 2025) ; point d'affixe $\frac1m$ et cercle stable (principale 2026) ; $z'=\frac{z+i}{z-i}$ et image d'un cercle (contrôle 2018).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill C-G.1 —

z'=\frac{1}{\bar z}

: points invariants, alignement, image de la droite

x=\frac12

Entraînement 01 / 01

Drill C-G.1 — $z'=\frac{1}{\bar z}$ : points invariants, alignement, image de la droite $x=\frac12$

4 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\vec u,\vec v\right)$ . À tout point $M$ d'affixe $z\ne0$ on associe le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{1}{\bar z}$ , où $\bar z$ est le conjugué de $z$ . On note $A$ le point d'affixe $1$ et $\mathcal C$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ .

Montrer que $z'=\dfrac{z}{|z|^2}$ . En déduire que $M'$ appartient à $[OM)$ et que $OM\cdot OM'=1$ .
Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M'=M$ .
Soit $\mathcal D$ l'ensemble des points d'abscisse $\frac12$ et $M\in\mathcal D$ d'affixe $z=\frac12+iy$ ( $y\in\R$ ). Exprimer $z'-1$ en fonction de $y$ , puis calculer son module : montrer que $|z'-1|=1$ .
En déduire que l'image de $\mathcal D$ est contenue dans le cercle $\Gamma$ de centre $A$ et de rayon $1$ , et montrer que tout point de $\Gamma$ autre que $O$ est l'image d'un point de $\mathcal D$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\dfrac{1}{\bar z}=\dfrac{z}{z\bar z}=\dfrac{z}{|z|^2}$ . Donc $z'=\lambda z$ avec $\lambda=\frac{1}{|z|^2}>0$ : $M'$ est sur la demi-droite $[OM)$ , et $OM'=\frac{|z|}{|z|^2}=\frac{1}{OM}$ , soit $OM\cdot OM'=1$ .

2. $M'=M\iff\frac{z}{|z|^2}=z\iff|z|^2=1$ (car $z\ne0$ ) : l'ensemble des points invariants est le cercle $\mathcal C$ .

3. $z'=\dfrac{1}{\frac12-iy}=\dfrac{\frac12+iy}{\frac14+y^2}$ , donc $z'-1=\dfrac{\frac14-y^2+iy}{\frac14+y^2}$ et $|z'-1|^2=\dfrac{\left(\frac14-y^2\right)^2+y^2}{\left(\frac14+y^2\right)^2}=\dfrac{\left(\frac14+y^2\right)^2}{\left(\frac14+y^2\right)^2}=1$ .

4. D'après 3, l'image de $\mathcal D$ est dans $\Gamma$ ; elle ne contient pas $O$ ( $z'\ne0$ ). Réciproquement, $f\circ f=\mathrm{id}$ (car $\frac{1}{\overline{1/\bar z}}=z$ ). Si $w\in\Gamma$ , $w\ne0$ , posons $z=\frac{1}{\bar w}$ : $z'=w$ et $\mathrm{Re}(z)=\mathrm{Re}\left(\frac{w}{|w|^2}\right)$ . Avec $w=1+e^{i\alpha}$ , $|w|^2=2+2\cos\alpha$ et $\mathrm{Re}(w)=1+\cos\alpha$ , donc $\mathrm{Re}(z)=\frac12$ : $z\in\mathcal D$ . L'image de $\mathcal D$ est $\boxed{\Gamma\setminus\{O\}}$ .

Relier ce raisonnement au bac

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Application $M\mapsto M'$ non affine ( $z'=\frac{z}{z-1}$ ) : relation clé, points invariants, involution, $AM\cdot AM'=1$ , images d'un cercle et d'une droite, construction de $M'$

Exercice 2 — nombres complexes (4,5 points), dans l'esprit des sessions 2023–2026

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill C-G.1 — $z'=\frac{1}{\bar z}$ : points invariants, alignement, image de la droite $x=\frac12$

Relier ce raisonnement au bac

Application M↦M′M\mapsto M'M↦M′ non affine (z′=zz−1z'=\frac{z}{z-1}z′=z−1z​) : relation clé, points invariants, involution, AM⋅AM′=1AM\cdot AM'=1AM⋅AM′=1, images d'un cercle et d'une droite, construction de M′M'M′

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Application $M\mapsto M'$ non affine ( $z'=\frac{z}{z-1}$ ) : relation clé, points invariants, involution, $AM\cdot AM'=1$ , images d'un cercle et d'une droite, construction de $M'$