Le problème de fonction Économie-Gestion : étude de $f(x)=x\,e^{3-x}$, primitive donnée, bénéfice maximal, bénéfice moyen et seuil de production

1. $\lim\limits_{x\to+\infty}(4-x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}e^{x-1}=+\infty$, donc le produit tend vers $-\infty$ et $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$.

2.a $f'(x)=-e^{x-1}+(4-x)\,e^{x-1}=(3-x)\,e^{x-1}$.

2.b $e^{x-1}>0$, donc $f'(x)$ a le signe de $3-x$ : $f$ est strictement croissante sur $[1,3]$ et strictement décroissante sur $[3,+\infty[$ ; $f(1)=3-2=1$ et $f(3)=e^{2}-2\approx5{,}39$.

3.a Idée : $f$ reste positive sur $[1,3]$, la seule annulation possible est sur $[3,+\infty[$. Sur $[1,3]$, $f(x)\ge f(1)=1>0$ : pas de solution. Sur $[3,+\infty[$, $f$ est continue et strictement décroissante, de $e^{2}-2>0$ vers $-\infty$ : l'équation $f(x)=0$ y admet une unique solution $\alpha$. De plus $f(3{,}88)\approx0{,}138>0$ et $f(3{,}89)\approx-0{,}021<0$, donc $\boxed{3{,}88<\alpha<3{,}89}$.

3.b $f(x)>0$ sur $[1,\alpha[$, $f(\alpha)=0$ et $f(x)<0$ sur $]\alpha,+\infty[$.

4. $F'(x)=-e^{x-1}+(5-x)\,e^{x-1}-2=(4-x)\,e^{x-1}-2=f(x)$. Donc

5.a Sur $[1,5]$, le maximum de $f$ est atteint en $x=3$ : il faut produire $300$ objets par jour ; le bénéfice vaut $e^{2}-2\approx5{,}389056$ milliers de dinars, soit $\boxed{5\,389\text{ dinars}}$.

5.b Idée : « ne pas perdre » signifie un bénéfice positif ou nul, c'est-à-dire $f(x)\ge0$. D'après 3.b, $f(x)\ge0\iff1\le x\le\alpha$. Pour $388$ objets, $x=3{,}88<\alpha$ : pas de perte ; pour $389$ objets, $x=3{,}89>\alpha$ : perte. Le nombre maximal est $\boxed{388\text{ objets}}$.

5.c La valeur moyenne du bénéfice est $\dfrac{1}{3-1}I=e^{2}-4\approx3{,}389056$ milliers de dinars, soit $\boxed{3\,389\text{ dinars}}$.

1. $\lim\limits_{x\to+\infty}e^{2-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$, donc $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$.

2.a $f$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables et $f'(x)=1-e^{2-x}$. Idée : comparer $e^{2-x}$ à $1=e^{0}$, la fonction exponentielle étant strictement croissante. $e^{2-x}<1\iff2-x<0\iff x>2$ : $f'(x)>0$ si $x>2$, $f'(2)=0$ et $f'(x)<0$ si $x<2$. Donc $f'(x)$ a le signe de $x-2$.

2.b $f$ est strictement décroissante sur $[0,2]$ et strictement croissante sur $[2,+\infty[$, avec $f(0)=e^{2}\approx7{,}39$ et $f(2)=3$ (coût minimal : $3\,000$ dinars pour $200$ pièces).

3.a Idée : bénéfice $=$ recette $-$ coût ; $x$ centaines de pièces rapportent $1{,}5x$ milliers de dinars. $g(x)=1{,}5x-\left(x+e^{2-x}\right)=\dfrac{x}{2}-e^{2-x}$.

3.b $\dfrac{x-2}{2}+f'(x)=\dfrac{x}{2}-1+1-e^{2-x}=\dfrac{x}{2}-e^{2-x}=g(x)$.

3.c Idée : $g(x)$ est la somme de deux termes qui ont tous les deux le signe de $x-2$. Si $0\le x<2$, $\dfrac{x-2}{2}<0$ et $f'(x)<0$, donc $g(x)<0$ ; $g(2)=0$ ; si $x>2$, les deux termes sont positifs et $g(x)>0$.

3.d L'entreprise réalise un bénéfice si et seulement si $g(x)>0$, c'est-à-dire $x>2$ : elle doit fabriquer plus de $200$ pièces (à $200$ pièces, le bénéfice est nul). Le nombre minimal est $\boxed{201\text{ pièces}}$.

1.a $\lim\limits_{x\to-\infty}e^{x-3}=0$, donc $\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}$.

1.b $f(x)-x=-e^{x-3}$ tend vers $0$ quand $x\to-\infty$ : la droite $\Delta : y=x$ est une asymptote oblique à $(C)$ au voisinage de $-\infty$.

1.c Pour tout réel $x$, $f(x)-x=-e^{x-3}<0$ : $(C)$ est strictement au-dessous de $\Delta$.

2.a Pour $x\neq0$, $x\left(1-\dfrac{e^{x-3}}{x}\right)=x-e^{x-3}=f(x)$.

2.b Idée : la forme « $+\infty-\infty$ » se lève par la croissance comparée $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$. $\dfrac{e^{x-3}}{x}=e^{-3}\times\dfrac{e^x}{x}\to+\infty$, donc $1-\dfrac{e^{x-3}}{x}\to-\infty$ et $f(x)\to-\infty$ ; de même $\dfrac{f(x)}{x}=1-\dfrac{e^{x-3}}{x}\to-\infty$. La courbe $(C)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées.

3.a $f'(x)=1-e^{x-3}$ ; $f'(x)>0\iff e^{x-3}<1\iff x<3$. Donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty,3]$ et strictement décroissante sur $[3,+\infty[$, avec $f(3)=3-1=2$.

3.b Idée : un théorème des valeurs intermédiaires par intervalle de monotonie. Sur $]-\infty,3]$, $f$ est continue et strictement croissante de $-\infty$ à $2>0$ : une unique solution $\alpha$ ; $f(0{,}05)\approx-0{,}0023<0$ et $f(0{,}06)\approx0{,}0071>0$, donc $0{,}05<\alpha<0{,}06$. Sur $[3,+\infty[$, $f$ est strictement décroissante de $2$ à $-\infty$ : une unique solution $\beta$ ; $f(4{,}50)\approx0{,}018>0$ et $f(4{,}51)\approx-0{,}017<0$, donc $4{,}50<\beta<4{,}51$.

4.a Le gain est maximal au maximum de $f$ sur $]0,6]$, atteint en $x=3$ : $\boxed{300\text{ composants}}$ par jour, pour un gain $f(3)=2$ milliers de dinars, soit $2\,000$ dinars.

4.b L'entreprise gagne lorsque $f(x)>0$, c'est-à-dire $\alpha<x<\beta$. Pour $6$ composants, $x=0{,}06>\alpha$ ; pour $5$, $x=0{,}05<\alpha$. Pour $450$ composants, $x=4{,}50<\beta$ ; pour $451$, $x=4{,}51>\beta$. Elle réalise un gain pour une production de $\boxed{6\text{ à }450\text{ composants}}$ par jour.

1.a $\Gamma$ passe par $A(0\,;1)$, donc $g(0)=1$ ; la droite $y=5$ est asymptote à $\Gamma$ en $+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=5$.

1.b $\Gamma$ est au-dessus de $\Delta$ sur $]0,\beta[$, les deux se coupent en $x=0$ et $x=\beta$, et $\Gamma$ est au-dessous de $\Delta$ sur $]\beta,6]$.

2.a $\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}=0$, donc $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$.

2.b $f'(x)=-2+4e^{-x}=e^{-x}\left(4-2e^x\right)=2\left(2-e^x\right)e^{-x}$.

2.c $e^{-x}>0$, donc $f'(x)$ a le signe de $2-e^x$, positif si et seulement si $x<\ln2$. $f$ est strictement croissante sur $[0,\ln2]$ et strictement décroissante sur $[\ln2,+\infty[$ ; $f(0)=0$ et $f(\ln2)=4-2\ln2-4\times\dfrac12=2-2\ln2\approx0{,}614$.

3. $g(x)-h(x)=5-4e^{-x}-2x-1=4-2x-4e^{-x}=f(x)$ : $f=g-h$ est le bénéfice journalier.

4.a Idée : le bénéfice est $f=g-h$ ; son maximum se lit dans le tableau de variation. Le maximum est atteint en $x=\ln2\approx0{,}693$, soit environ $\boxed{69\text{ pièces}}$ par jour ($f(0{,}69)>f(0{,}70)$). Le bénéfice maximal vaut $2-2\ln2\approx0{,}613706$ milliers de dinars, soit $\boxed{614\text{ dinars}}$.

4.b $f(1{,}5)=1-4e^{-1{,}5}\approx0{,}107>0$ : la recette ($g(1{,}5)\approx4{,}107$) dépasse le coût ($h(1{,}5)=4$). Fabriquer $150$ pièces est rentable, pour un bénéfice d'environ $107$ dinars (graphiquement, $1{,}5<\beta$).

4.c $f$ est positive sur $]0,\ln2]$ puis strictement décroissante jusqu'à $-\infty$ : elle s'annule une seule fois après $\ln2$, en $\beta$, et $f(x)<0\iff x>\beta$. Pour $159$ pièces, $x=1{,}59<\beta$ : bénéfice ; pour $160$ pièces, $x=1{,}60>\beta$ : perte. L'usine devient perdante à partir de $\boxed{160\text{ pièces}}$ par jour.

1.a $f(x)=2\times\dfrac{x}{e^x}+e^{-x}$ ; comme $\dfrac{x}{e^x}\to0$ et $e^{-x}\to0$, $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}$ : l'axe des abscisses est une asymptote horizontale.

1.b $f'(x)=2e^{-x}-(2x+1)\,e^{-x}=(1-2x)\,e^{-x}$, du signe de $1-2x$. $f$ est strictement croissante sur $\left[0,\frac12\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\frac12,+\infty\right[$ ; $f(0)=1$ et $f\left(\frac12\right)=2e^{-\frac12}\approx1{,}21$.

1.c Idée : écarter l'intervalle où $f$ reste au-dessus de $\frac12$, puis appliquer le théorème des valeurs intermédiaires là où $f$ est strictement monotone. Sur $\left[0,\frac12\right]$, $f(x)\ge f(0)=1>\frac12$ : pas de solution. Sur $\left[\frac12,+\infty\right[$, $f$ est continue, strictement décroissante, de $2e^{-\frac12}\approx1{,}21$ vers $0$ : l'équation $f(x)=\frac12$ y a une unique solution $\alpha$. Comme $f(2{,}477)\approx0{,}50011>0{,}5$ et $f(2{,}478)\approx0{,}49977<0{,}5$, on a $\boxed{2{,}477<\alpha<2{,}478}$.