EX-HFonctions exponentielles et puissances

Fonction $f(x)=e^{ax+b}$ en section Lettres : valeurs, limites, dérivée, tangente, choix de la bonne figure et résolution graphique

Idée directrice

L'exercice de fonction des Lettres étudie une seule fonction simple, $f(x)=e^{ax+b}$ (ou $\ln(ax+b)$ ), et se termine sur une figure. On calcule deux valeurs, les deux limites (la limite de $ax+b$ suffit), la dérivée $a\,e^{ax+b}$ dont le signe est celui de $a$ , le tableau de variation et l'équation de la tangente $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ . Puis on choisit la bonne figure parmi deux (ou on attribue deux courbes à $f$ et à $g$ ) avec des critères vérifiables — sens de variation, limites, point de passage, pente de la tangente — et la dernière question se lit sur la figure : résoudre graphiquement $f(x)>k$ ou comparer une courbe et une droite.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Calculer $f(0)$ et $f(1)$ » ; « justifier que $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ » ; « montrer qu'une équation de la tangente $T$ … est $y=\ldots$ » ; « l'une des deux figures suivantes représente la courbe $(C)$ de $f$ et sa tangente $T$ . Laquelle ? » ; « préciser, parmi ces deux courbes, celle de $f$ et celle de $g$ » ; « résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)>1$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Limites de $e^{ax+b}$ : regarder la limite de $ax+b$ ; si elle vaut $+\infty$ , $e^{ax+b}\to+\infty$ ; si elle vaut $-\infty$ , $e^{ax+b}\to0$ .
Dérivée : $\left(e^{ax+b}\right)'=a\,e^{ax+b}$ ; comme $e^{ax+b}>0$ , $f$ est strictement croissante si $a>0$ et strictement décroissante si $a<0$ .
Tangente au point d'abscisse $x_0$ : $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ ; sur une figure, deux points de la droite donnent sa pente et son ordonnée à l'origine.
Choisir une figure : éliminer par le sens de variation et les limites, puis par un point de passage calculé à la question 1, enfin par la pente de la tangente.
Résoudre graphiquement $f(x)>k$ : repérer où la courbe est au-dessus de la droite horizontale $y=k$ et donner l'intervalle des abscisses.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Choisir une figure sur une impression visuelle (« elle descend ») alors que les deux courbes descendent ; oublier le facteur $a$ en dérivant ( $f'(x)=e^{1-2x}$ au lieu de $-2e^{1-2x}$ ) ; confondre le point $(0\,;e)$ avec le point de contact de la tangente ; donner des ordonnées au lieu d'abscisses en résolvant graphiquement ; inclure la borne $\frac12$ dans la solution de l'inéquation stricte $f(x)>1$ .

Sujet principal

Exercice 3 — fonction exponentielle (7 points), dans l'esprit des sessions Lettres 2015–2026

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=e^{1-2x}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ .

1. Calculer $f(0)$ et $f\left(\frac12\right)$ .
2. Justifier que $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ et que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ .
1. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ .
2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$ .
3. Dresser le tableau de variation de $f$ .
1. Vérifier que $f'\left(\frac12\right)=-2$ .
2. Montrer qu'une équation de la tangente $T$ à $(C)$ au point d'abscisse $\frac12$ est $y=-2x+2$ .
L'une des deux figures suivantes représente la courbe $(C)$ de $f$ et sa tangente $T$ . Laquelle ? Justifier.
En utilisant la figure choisie :
1. résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)>1$ ;
2. résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\ge-2x+2$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $f(0)=e^{1}=e$ et $f\left(\frac12\right)=e^{1-1}=e^{0}=1$ .

1.b Quand $x\to-\infty$ , $1-2x\to+\infty$ , donc $e^{1-2x}\to+\infty$ . Quand $x\to+\infty$ , $1-2x\to-\infty$ , donc $e^{1-2x}\to0$ : l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à $(C)$ au voisinage de $+\infty$ .

2.a Idée : la dérivée de $e^{u}$ est $u'\,e^{u}$ , ici avec $u(x)=1-2x$ et $u'(x)=-2$ . $\boxed{f'(x)=-2\,e^{1-2x}}$ .

2.b Pour tout réel $x$ , $e^{1-2x}>0$ , donc $f'(x)<0$ : $f$ est strictement décroissante sur $\R$ .

2.c Tableau de variation :

\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & \\ \hline f(x) & +\infty & \searrow & 0 \end{array}

3.a $f'\left(\frac12\right)=-2\,e^{0}=-2$ .

3.b $T : y=f'\left(\frac12\right)\left(x-\frac12\right)+f\left(\frac12\right)=-2\left(x-\frac12\right)+1$ , soit $\boxed{y=-2x+2}$ .

4. Idée : chercher un critère qui sépare vraiment les deux figures. Les deux courbes sont décroissantes, tendent vers $0$ en $+\infty$ et passent par le point $(0\,;e)$ : sens de variation, limites et $f(0)$ ne suffisent pas. Le point de contact et la tangente décident. Sur la figure 1, la courbe passe par $(1\,;1)$ et non par $\left(\frac12\,;1\right)$ , et la droite passe par $(0\,;2)$ et $(2\,;0)$ : sa pente est $-1\neq-2$ . Sur la figure 2, la courbe passe par $\left(\frac12\,;1\right)$ et la droite passe par $(0\,;2)$ et $(1\,;0)$ , c'est-à-dire $y=-2x+2$ . C'est donc la figure 2.

5.a Sur la figure 2, la courbe est au-dessus de la droite horizontale d'ordonnée $1$ exactement à gauche du point $\left(\frac12\,;1\right)$ : $\boxed{S=\left]-\infty\,;\tfrac12\right[}$ . (Par le calcul : $e^{1-2x}>e^{0}\iff1-2x>0\iff x<\frac12$ .)

5.b La courbe reste au-dessus de sa tangente $T$ et ne la touche qu'au point $\left(\frac12\,;1\right)$ : l'inéquation $f(x)\ge-2x+2$ est vérifiée pour tout réel $x$ , $\boxed{S=\R}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : tableau de variation fourni, questions vrai ou faux, tangente $y=-x+3$ à vérifier, tableau de valeurs à compléter puis choix de la figure et $f(x)<1$ lu graphiquement (principale 2015) ; version logarithme : $\ln(x+2)$ avec le même choix de figure (principale 2017), $\ln(e-x)$ tracée sur l'annexe puis $f(x)<1$ lu graphiquement (principale 2020) ; deux fonctions exponentielles $f$ et $g$ et deux courbes à attribuer, puis $g(x)<0$ (principale 2022) ; $f(x)=\ln(ex)$ et une fonction exponentielle $g$ : attribuer les courbes et résoudre $f(x)=g(x)$ graphiquement (principale 2023) ; courbe et droite $y=1$ tracées, $f(x)=1$ et $f(x)>1$ lus graphiquement (principale 2024) ; $e^{1-x}$ et sa tangente $y=-x+2$ , choix entre deux figures (principale 2026).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill EX-H.1 — deux fonctions

f

g

: attribuer les deux courbes, puis lire un signe

Entraînement 01 / 04

Drill EX-H.1 — deux fonctions $f$ et $g$ : attribuer les deux courbes, puis lire un signe

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par $f(x)=e^x-2$ et $g(x)=1-e^{-x}$ . Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ .

Calculer $f(0)$ et $g(0)$ .
Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes (aucune justification n'est demandée) :
1. $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-2$ ;
2. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ ;
3. $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$ ;
4. $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=1$ .
1. Déterminer $f'(x)$ et $g'(x)$ pour tout réel $x$ , puis en déduire le sens de variation de $f$ et de $g$ .
2. Montrer qu'une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ est $y=x-1$ .
On a représenté ci-dessous deux courbes $C_1$ et $C_2$ .
1. Préciser, parmi ces deux courbes, celle de $f$ et celle de $g$ .
2. Résoudre graphiquement, dans $\R$ , l'inéquation $g(x)<0$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $f(0)=e^{0}-2=-1$ et $g(0)=1-e^{0}=0$ .

2.a Vrai : $e^x\to0$ en $-\infty$ , donc $f(x)\to-2$ . 2.b Faux : $e^x\to+\infty$ , donc $f(x)\to+\infty$ . 2.c Vrai : $-x\to+\infty$ , donc $e^{-x}\to+\infty$ et $g(x)\to-\infty$ . 2.d Vrai : $e^{-x}\to0$ , donc $g(x)\to1$ .

3.a $f'(x)=e^x>0$ et $g'(x)=-(-1)\,e^{-x}=e^{-x}>0$ : $f$ et $g$ sont toutes les deux strictement croissantes sur $\R$ .

3.b $f(0)=-1$ et $f'(0)=1$ : $T : y=1\times(x-0)-1$ , soit $y=x-1$ .

4.a Idée : les deux fonctions sont croissantes, on les sépare par un point de passage ou une limite. $C_1$ passe par l'origine, or $g(0)=0$ ; $C_2$ passe par $(0\,;-1)$ , or $f(0)=-1$ . Les limites confirment : $C_1$ se rapproche de $y=1$ à droite ( $\lim\limits_{x\to+\infty}g=1$ ) et $C_2$ de $y=-2$ à gauche ( $\lim\limits_{x\to-\infty}f=-2$ ). Donc $C_1$ est la courbe de $g$ et $C_2$ celle de $f$ .

4.b $C_1$ est au-dessous de l'axe des abscisses exactement pour les abscisses négatives : $\boxed{S=\,]-\infty\,;0[}$ .

2 Drill EX-H.2 — résoudre graphiquement

f(x)=1

f(x)>1

puis

1<f(x)<e

avec deux droites horizontales

Entraînement 02 / 04

Drill EX-H.2 — résoudre graphiquement $f(x)=1$ , $f(x)>1$ puis $1<f(x)<e$ avec deux droites horizontales

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=e^{x-1}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Calculer $f(0)$ , $f(1)$ et $f(2)$ .
2. Déterminer $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
1. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ .
2. Dresser le tableau de variation de $f$ .
3. Vérifier qu'une équation de la tangente $T$ à $(C)$ au point d'abscisse $1$ est $y=x$ .
On a tracé ci-dessous la courbe $(C)$ et les droites $D : y=1$ et $D' : y=e$ .
1. Résoudre graphiquement, dans $\R$ , l'équation $f(x)=1$ .
2. Résoudre graphiquement, dans $\R$ , l'inéquation $f(x)>1$ .
3. Résoudre graphiquement, dans $\R$ , l'inéquation $1<f(x)<e$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $f(0)=e^{-1}=\dfrac1e$ , $f(1)=e^{0}=1$ et $f(2)=e^{1}=e$ .

1.b Quand $x\to-\infty$ , $x-1\to-\infty$ et $e^{x-1}\to0$ ; quand $x\to+\infty$ , $e^{x-1}\to+\infty$ . Donc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

2.a $f'(x)=e^{x-1}$ (ici $a=1$ ).

2.b $f'(x)>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\R$ .

\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & +\infty \end{array}

2.c $f(1)=1$ et $f'(1)=1$ : $y=1\times(x-1)+1=x$ .

3.a $(C)$ coupe la droite $D$ au seul point d'abscisse $1$ : $S=\{1\}$ .

3.b $(C)$ est au-dessus de $D$ à droite de ce point : $S=\,]1\,;+\infty[$ .

3.c Idée : la courbe doit être à la fois au-dessus de $D$ et au-dessous de $D'$ . $(C)$ coupe $D'$ au point d'abscisse $2$ ; elle est entre les deux droites pour les abscisses comprises entre $1$ et $2$ : $\boxed{S=\,]1\,;2[}$ . (Par le calcul : $e^{0}<e^{x-1}<e^{1}\iff0<x-1<1$ .)

3 Drill EX-H.3 — tableau de variation fourni, vrai ou faux, tangente à vérifier et tableau de valeurs

Entraînement 03 / 04

Drill EX-H.3 — tableau de variation fourni, vrai ou faux, tangente à vérifier et tableau de valeurs

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=e^{3-x}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On donne ci-dessous le tableau de variation de $f$ .

Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes, en justifiant :
1. $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$ ;
2. pour tout réel $x$ , $f'(x)=-e^{3-x}$ ;
3. pour tout réel $x$ , $f(x)>0$ .
Soit $T$ la tangente à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $3$ . Montrer qu'une équation de $T$ est $y=-x+4$ .
1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (valeurs arrondies à $10^{-2}$ ) :
2. Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x)<1$ .

\begin{array}{c|ccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline f(x) & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{array}

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Faux : quand $x\to-\infty$ , $3-x\to+\infty$ , donc $f(x)\to+\infty$ (c'est d'ailleurs ce qu'indique le tableau).

1.b Vrai : la dérivée de $3-x$ est $-1$ , donc $f'(x)=-e^{3-x}$ .

1.c Vrai : une exponentielle est toujours strictement positive, donc $f(x)=e^{3-x}>0$ pour tout réel $x$ ; la courbe $(C)$ est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.

2. $f(3)=e^{0}=1$ et $f'(3)=-1$ , donc $T : y=-1\times(x-3)+1$ , soit $y=-x+4$ .

3.a $f(1)=e^{2}\approx7{,}39$ ; $f(2)=e\approx2{,}72$ ; $f(3)=1$ ; $f(4)=e^{-1}\approx0{,}37$ ; $f(5)=e^{-2}\approx0{,}14$ .

\begin{array}{c|ccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline f(x) & 7{,}39 & 2{,}72 & 1 & 0{,}37 & 0{,}14 \end{array}

3.b Idée : écrire $1=e^{0}$ et utiliser la croissance stricte de l'exponentielle. $e^{3-x}<e^{0}\iff3-x<0\iff x>3$ : $\boxed{S=\,]3\,;+\infty[}$ , ce que confirment le tableau de valeurs et la décroissance de $f$ .

4 Drill EX-H.4 — deux figures avec la même courbe : seule la tangente permet de choisir

Entraînement 04 / 04

Drill EX-H.4 — deux figures avec la même courbe : seule la tangente permet de choisir

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=e^{2x-2}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Calculer $f(1)$ et $f(0)$ .
Déterminer $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
1. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ et dresser le tableau de variation de $f$ .
2. Montrer qu'une équation de la tangente $T$ à $(C)$ au point d'abscisse $1$ est $y=2x-1$ .
L'une des deux figures suivantes représente $(C)$ et sa tangente $T$ . Laquelle ? Justifier.
Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)<1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $f(1)=e^{0}=1$ et $f(0)=e^{-2}\approx0{,}14$ .

2. $2x-2\to-\infty$ quand $x\to-\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$ ; $2x-2\to+\infty$ quand $x\to+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

3.a $f'(x)=2\,e^{2x-2}>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\R$ .

\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & +\infty \end{array}

3.b $f'(1)=2$ et $f(1)=1$ : $T : y=2(x-1)+1$ , soit $y=2x-1$ .

4. Idée : les deux figures montrent la même courbe ; seule la droite diffère, il faut donc comparer les droites à $T : y=2x-1$ . La droite de la figure 1 passe par $(0\,;-1)$ et $(1\,;1)$ : sa pente est $2$ et son ordonnée à l'origine $-1$ , c'est $T$ . La droite de la figure 2 passe par l'origine et $(1\,;1)$ : c'est $y=x$ , de pente $1\neq f'(1)$ ; elle recoupe d'ailleurs la courbe une seconde fois, ce qui la disqualifie comme tangente. C'est la figure 1.

5. La courbe est au-dessous de la droite horizontale d'ordonnée $1$ à gauche du point $(1\,;1)$ : $\boxed{S=\,]-\infty\,;1[}$ (par le calcul : $2x-2<0$ ).

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Fonction $f(x)=e^{ax+b}$ en section Lettres : valeurs, limites, dérivée, tangente, choix de la bonne figure et résolution graphique

Exercice 3 — fonction exponentielle (7 points), dans l'esprit des sessions Lettres 2015–2026

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill EX-H.1 — deux fonctions $f$ et $g$ : attribuer les deux courbes, puis lire un signe

Drill EX-H.2 — résoudre graphiquement $f(x)=1$ , $f(x)>1$ puis $1<f(x)<e$ avec deux droites horizontales

Drill EX-H.3 — tableau de variation fourni, vrai ou faux, tangente à vérifier et tableau de valeurs

Drill EX-H.4 — deux figures avec la même courbe : seule la tangente permet de choisir

Relier ce raisonnement au bac

Fonction f(x)=eax+bf(x)=e^{ax+b}f(x)=eax+b en section Lettres : valeurs, limites, dérivée, tangente, choix de la bonne figure et résolution graphique

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Fonction $f(x)=e^{ax+b}$ en section Lettres : valeurs, limites, dérivée, tangente, choix de la bonne figure et résolution graphique