Fonction Économie-Gestion donnée d'abord par sa courbe : lecture de $f(a)$, $f'(a)$, des limites et du tableau, puis expression donnée, primitive, aire et bénéfice

1.a $B(0\,;1)$ et $D(1\,;1+\e)$ sont sur $(C_f)$ : $f(0)=1$ et $f(1)=1+\e$. La tangente en $A$ est parallèle à l'axe des abscisses : $f'(-1)=0$. $B$ est aussi sur $(C_g)$ : $g(0)=1$.

1.b L'asymptote $y=1$ donne $\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=1}$. La branche parabolique de direction l'axe des ordonnées, la courbe montant vers la droite, donne $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$ et $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$.

1.c Idée : $f(x)=g(x)$ correspond aux points communs des deux courbes, $f(x)\ge g(x)$ aux abscisses où $(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$. Les courbes n'ont que le point $B$ en commun : $f(x)=g(x)\iff x=0$. Partout ailleurs $(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$ : l'inéquation $f(x)\ge g(x)$ a pour ensemble de solutions $\boxed{\R}$.

1.d Idée : une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle sur son image. Sur $I=[-1,+\infty[$, $f$ est dérivable donc continue, et $(C_f)$ monte depuis $A$ : $h$ est strictement croissante, de $h(-1)=1-\e^{-1}$ jusqu'à $+\infty$. Elle réalise donc une bijection de $I$ sur $\boxed{J=\left[1-\e^{-1},+\infty\right[}$. Comme $h(0)=1$ et $h(1)=1+\e$ : $h^{-1}(1)=0$ et $h^{-1}(1+\e)=1$.

2.a $\varphi(x)=x\,\e^{x}+1-\e^{x}=(x-1)\,\e^{x}+1$, puis $\varphi'(x)=\e^{x}+(x-1)\,\e^{x}=x\,\e^{x}$.

2.b Idée : le signe de $\varphi$ se déduit de son minimum. $\e^{x}>0$, donc $\varphi'(x)$ a le signe de $x$ : $\varphi$ est strictement décroissante sur $]-\infty,0]$ et strictement croissante sur $[0,+\infty[$. Son minimum est $\varphi(0)=-1+1=0$. Donc $\varphi(x)>0$ pour $x\neq0$ et $\varphi(0)=0$ : $f(x)\ge g(x)$ pour tout réel $x$, avec égalité seulement en $x=0$. On retrouve les résultats lus en 1.c.

2.c $F'(x)=\e^{x}+(x-1)\,\e^{x}+1=x\,\e^{x}+1=f(x)$.

2.d Idée : sur $[0,1]$, $(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$, donc $\mathcal A=\int_0^1\left(f(x)-g(x)\right)dx$. Une primitive de $f-g$ est $F(x)-\e^{x}$ :

$\boxed{\mathcal A=3-\e\approx0{,}28\text{ u.a.}}$

1.a $A(0\,;5)\in(C)$, donc $f(0)=5$. Idée : $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $(T)$, c'est-à-dire de la droite $(AB)$.

1.b $(T) : y=f'(0)(x-0)+f(0)$, soit $\boxed{(T) : y=-2x+5}$.

1.c La droite $y=2$ est une asymptote à $(C)$ au voisinage de $+\infty$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$.

1.d Idée : coincer le domaine entre deux figures dont on sait calculer l'aire, toutes deux lues sur le graphique. Sur $[0,1]$, $(C)$ est au-dessus de $(T)$, et $(T)$ reste au-dessus de l'axe des abscisses (elle passe de $5$ à $3$) : le domaine contient le trapèze situé sous $(T)$, d'aire $\dfrac{5+3}{2}\times1=4$. D'autre part, $f$ est décroissante et $f(x)<5$ pour $x\in\,]0,1]$ : le domaine est contenu dans le rectangle $[0,1]\times[0,5]$, d'aire $5$. Donc $\boxed{4<\mathcal A<5}$.

2.a $f'(x)=\e^{-x}-(x+3)\,\e^{-x}=(1-x-3)\,\e^{-x}=-(x+2)\,\e^{-x}$, et $f'(0)=-2$ : la lecture de 1.a est confirmée.

2.b $F'(x)=2-\e^{-x}+(x+4)\,\e^{-x}=2+(x+3)\,\e^{-x}=f(x)$.

2.c Sur $[0,1]$, $(C)$ est au-dessus de l'axe des abscisses ($f(x)>2$), donc

$\boxed{\mathcal A=6-\dfrac5\e\approx4{,}16\text{ u.a.}}$, qui est bien compris entre $4$ et $5$.

1.a Les points $A$ et $B$ sont sur $(C)$ : $f(-2)=1+5\e^{-2}$ et $f(1)=1-\e$. Le point $E(\alpha\,;0)$ est sur $(C)$ : $f(\alpha)=0$. La tangente en $B$ est parallèle à l'axe des abscisses : $f'(1)=0$.

1.b L'asymptote $y=1$ donne $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=1$ ; la branche parabolique de direction l'axe des ordonnées, la courbe montant, donne $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

1.c Entre $O$ et $E$, la courbe descend jusqu'à $B$ puis remonte : elle est au-dessous de l'axe des abscisses. Donc $f(x)\le0$ sur $[0,\alpha]$, avec $f(0)=f(\alpha)=0$.

2.a Idée : traduire $f(\alpha)=0$ et isoler $\e^{\alpha}$. $f(\alpha)=0\iff(\alpha^{2}-\alpha-1)\,\e^{\alpha}=-1\iff(1+\alpha-\alpha^{2})\,\e^{\alpha}=1$. Le produit vaut $1$, donc $1+\alpha-\alpha^{2}\neq0$ et $\boxed{\e^{\alpha}=\dfrac{1}{1+\alpha-\alpha^{2}}}$.

2.b $F'(x)=(2x-3)\,\e^{x}+(x^{2}-3x+2)\,\e^{x}+1=(x^{2}-x-1)\,\e^{x}+1=f(x)$.

2.c Idée : $f\le0$ sur $[0,\alpha]$, donc $\mathcal A=-\int_0^{\alpha}f(x)\,dx=F(0)-F(\alpha)$, puis on remplace $\e^{\alpha}$ grâce à 2.a. $F(0)=2$ et

donc

On réduit au même dénominateur $1+\alpha-\alpha^{2}$. Le numérateur vaut

d'où $\boxed{\mathcal A=\dfrac{\alpha(\alpha-2)^{2}}{1+\alpha-\alpha^{2}}}$. (Pour information, $1{,}51<\alpha<1{,}52$ et $\mathcal A\approx1{,}62$ u.a.)