EX-JFonctions exponentielles et puissances

Le problème exponentielle des sections Sciences techniques et Informatique : asymptote $y=x$ en $-\infty$ , $x$ et $f'(x)$ de signes contraires, courbe sous une tangente parallèle via $g$ , aire $A_n$ entre la courbe et l'asymptote et sa limite

Idée directrice

En Sciences techniques et en Sciences de l'informatique, le dernier exercice est souvent un long problème sur une fonction de la forme $f(x)=x+p(x)\,e^{ax}$ , avec $p$ affine (dans le relevé 2015–2026 : 14 sessions de Sciences techniques et 11 d'Informatique sur 24 chacune ont un problème d'exponentielle). Tout tourne autour de la différence $f(x)-x=p(x)\,e^{ax}$ : sa limite nulle donne l'asymptote $y=x$ , son signe donne la position, et son intégrale sur $[-n,0]$ , calculée par parties, donne l'aire $A_n$ qu'on fait tendre vers une limite. Entre les deux, la dérivée donnée sous forme factorisée se signe sans développer, la tangente parallèle à l'asymptote se repère par $f'(x)=1$ , et la courbe est au-dessous d'elle parce que $g=f-T$ a un maximum nul.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Montrer que la droite $D : y=x$ est une asymptote à $(C)$ au voisinage de $-\infty$ » ; « montrer que $x$ et $f'(x)$ sont de signes contraires » ; « calculer $g(-1)$ , en déduire que $(C)$ est au-dessous de $T$ » ; « déterminer $A_n$ , puis calculer $\lim A_n$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Asymptote oblique $y=ax+b$ : étudier la différence $f(x)-(ax+b)$ ; sa limite nulle prouve l'asymptote, son signe donne la position (ici $-x\,e^{2x}$ , du signe de $-x$ ).
Dérivée donnée factorisée : ne pas développer ; regrouper les termes qui ont le signe de $x$ (ici $2x\,e^{2x}$ et $e^{2x}-1$ ) pour conclure « $x$ et $f'(x)$ sont de signes contraires ».
Tangente parallèle à une droite de pente $a$ : résoudre $f'(x)=a$ . Position par rapport à une tangente $T$ : étudier $g=f-T$ ; si le maximum de $g$ vaut $0$ (au point de contact), la courbe est au-dessous de $T$ .
Aire entre la courbe et l'asymptote sur $[-n,0]$ : choisir le sens de la différence grâce à la position, intégrer par parties quand un facteur est polynomial, puis passer à la limite avec $X\,e^{-X}\to0$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Écrire que $x\,e^{2x}\to0$ en $+\infty$ (c'est en $-\infty$ ) ; confondre la position par rapport à $D$ (signe de $-x$ ) et la position par rapport à $T$ (signe de $g$ ) ; intégrer $x-f(x)$ sur $[-n,0]$ sans regarder la position, ce qui donne une « aire » négative ; mettre la borne $-n$ en haut de l'intégrale ; oublier, pour la limite de $A_n$ , d'écrire $(2n+1)\,e^{-2n}$ comme $X\,e^{-X}+e^{-X}$ afin d'utiliser la croissance comparée ; tracer $(C)$ en coupant $T$ au point $B$ alors qu'elle y est seulement tangente, en restant au-dessous.

Sujet principal

Exercice 4 — problème (7 points), dans l'esprit des sessions 2019–2026 de Sciences techniques et de Sciences de l'informatique

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x-x\,e^{2x}$ . On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ . L'annexe ci-dessous sert à la question 4.

1. Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ (on pourra poser $X=2x$ et utiliser $\lim\limits_{X\to-\infty}X\,e^X=0$ ).
2. Montrer que la droite $D : y=x$ est une asymptote à $(C)$ au voisinage de $-\infty$ .
3. Étudier la position relative de $(C)$ et $D$ .
4. Montrer que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ et calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ . Interpréter graphiquement les résultats.
1. Montrer que, pour tout réel $x$ , $f'(x)=-\left(2x\,e^{2x}+e^{2x}-1\right)$ .
2. Résoudre dans $\R$ l'inéquation $e^{2x}-1\ge0$ .
3. Montrer que, pour tout réel $x$ , $x$ et $f'(x)$ sont de signes contraires.
4. Dresser le tableau de variation de $f$ .
1. Montrer que $(C)$ admet un seul point $B$ en lequel la tangente est parallèle à $D$ , et que $B$ a pour abscisse $-\dfrac12$ .
2. Vérifier que la tangente $T$ à $(C)$ au point $B$ a pour équation $y=x+\dfrac{1}{2e}$ .
3. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=-x\,e^{2x}-\dfrac{1}{2e}$ . Montrer que $g'(x)=-(2x+1)\,e^{2x}$ et dresser le tableau de variation de $g$ .
4. Calculer $g\left(-\dfrac12\right)$ . Vérifier que $f(x)-\left(x+\dfrac1{2e}\right)=g(x)$ , puis en déduire que $(C)$ est au-dessous de $T$ .
Dans le repère de l'annexe, où la droite $D$ est tracée et le point $B$ placé, tracer la tangente $T$ et la courbe $(C)$ (on prendra $\dfrac1{2e}\approx0{,}18$ et $f\left(-\dfrac12\right)\approx-0{,}32$ ).
Soit $n$ un entier naturel non nul.
1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_{-n}^{0}x\,e^{2x}\,\dd x=\dfrac{(2n+1)\,e^{-2n}-1}{4}$ .
2. On désigne par $A_n$ l'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre $(C)$ , la droite $D$ et les droites d'équations $x=-n$ et $x=0$ . Déterminer $A_n$ , puis calculer $\lim\limits_{n\to+\infty}A_n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : en $-\infty$ , le produit $x\,e^{2x}$ tend vers $0$ (croissance comparée). En posant $X=2x$ , on a $x\,e^{2x}=\dfrac12\,X\,e^{X}$ et $X\to-\infty$ , donc $x\,e^{2x}\to0$ . Ainsi $f(x)=x-x\,e^{2x}\to\boxed{-\infty}$ .

1.b $f(x)-x=-x\,e^{2x}\to0$ quand $x\to-\infty$ : la droite $D : y=x$ est une asymptote à $(C)$ au voisinage de $-\infty$ .

1.c Idée : la position se lit sur le signe de $f(x)-x$ . Comme $e^{2x}>0$ , $f(x)-x=-x\,e^{2x}$ a le signe de $-x$ :

pour $x<0$ , $(C)$ est au-dessus de $D$ ;
pour $x=0$ , $(C)$ et $D$ se coupent en $O$ ;
pour $x>0$ , $(C)$ est au-dessous de $D$ .

1.d Pour $x>0$ , $f(x)=x\,(1-e^{2x})$ avec $x\to+\infty$ et $1-e^{2x}\to-\infty$ : $f(x)\to-\infty$ . De plus $\dfrac{f(x)}{x}=1-e^{2x}\to\boxed{-\infty}$ . La courbe $(C)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction $(O,\vec j)$ , orientée vers le bas.

2.a La dérivée de $x\,e^{2x}$ est $e^{2x}+2x\,e^{2x}$ , donc $f'(x)=1-e^{2x}-2x\,e^{2x}=\boxed{-\left(2x\,e^{2x}+e^{2x}-1\right)}$ .

2.b L'exponentielle est strictement croissante et $e^0=1$ : $e^{2x}-1\ge0\iff 2x\ge0\iff x\ge0$ . L'ensemble des solutions est $[0,+\infty[$ .

2.c Idée : ne pas développer ; $f'(x)$ est l'opposé d'une somme de deux termes qui ont tous deux le signe de $x$ .

Si $x>0$ : $2x\,e^{2x}>0$ et, d'après 2.b, $e^{2x}-1>0$ ; la somme est positive, donc $f'(x)<0$ .
Si $x<0$ : $2x\,e^{2x}<0$ et $e^{2x}-1<0$ ; la somme est négative, donc $f'(x)>0$ .
Si $x=0$ : $f'(0)=-(0+1-1)=0$ .

Ainsi $x$ et $f'(x)$ sont de signes contraires (et s'annulent ensemble en $0$ ).

2.d $f$ est strictement croissante sur $]-\infty,0]$ et strictement décroissante sur $[0,+\infty[$ , avec $f(0)=0$ :

\begin{array}{c|ccccc} x&-\infty&&0&&+\infty\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline f(x)&-\infty&\nearrow&0&\searrow&-\infty\end{array}

3.a Idée : la tangente est parallèle à $D$ quand son coefficient directeur vaut $1$ , c'est-à-dire quand $f'(x)=1$ .

f'(x)=1\iff-(2x+1)\,e^{2x}=0

Comme $e^{2x}\ne0$ , cela équivaut à $x=-\dfrac12$ : il y a un seul point $B$ , d'abscisse $-\dfrac12$ et d'ordonnée $f\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac12+\dfrac12\,e^{-1}=-\dfrac12+\dfrac1{2e}$ .

3.b Avec $f'\left(-\frac12\right)=1$ :

y=\left(x+\tfrac12\right)-\tfrac12+\tfrac1{2e}

donc $T : \boxed{y=x+\dfrac1{2e}}$ .

3.c $g'(x)=-\left(e^{2x}+2x\,e^{2x}\right)=-(2x+1)\,e^{2x}$ , du signe de $-(2x+1)$ : positive sur $\left]-\infty,-\frac12\right[$ , négative sur $\left]-\frac12,+\infty\right[$ . En $-\infty$ , $x\,e^{2x}\to0$ donc $g(x)\to-\dfrac1{2e}$ ; en $+\infty$ , $g(x)\to-\infty$ :

\begin{array}{c|ccccc} x&-\infty&&-\frac12&&+\infty\\\hline g'(x)&&+&0&-&\\\hline g(x)&-\frac1{2e}&\nearrow&g\left(-\frac12\right)&\searrow&-\infty\end{array}

3.d $g\left(-\dfrac12\right)=\dfrac12\,e^{-1}-\dfrac1{2e}=\boxed{0}$ . D'autre part $f(x)-\left(x+\dfrac1{2e}\right)=x-x\,e^{2x}-x-\dfrac1{2e}=g(x)$ .

Idée : le maximum de $g$ vaut $0$ , donc $g\le0$ . D'après le tableau, $g(x)\le g\left(-\frac12\right)=0$ pour tout réel $x$ , avec égalité seulement en $-\frac12$ . Donc $f(x)\le x+\dfrac1{2e}$ : $(C)$ est au-dessous de $T$ et ne la touche qu'au point $B$ .

4. On trace $T$ , parallèle à $D$ , par $B\left(-\frac12\,;-0{,}32\right)$ et le point $(0\,;0{,}18)$ . La courbe part le long de $D$ (au-dessus d'elle), reste sous $T$ en la touchant en $B$ , atteint son maximum $0$ en $O$ avec une tangente horizontale ( $f'(0)=0$ ), puis plonge vers $-\infty$ .

5.a Idée : intégrer par parties en dérivant le facteur $x$ : $u(x)=x$ , $v'(x)=e^{2x}$ , donc $u'(x)=1$ , $v(x)=\dfrac{e^{2x}}2$ .

L'intégrale cherchée est égale à $\big[u\,v\big]_{-n}^{0}-\displaystyle\int_{-n}^{0}u'\,v\,\dd x$ , avec :

\Big[\tfrac{x\,e^{2x}}{2}\Big]_{-n}^{0}=\tfrac{n\,e^{-2n}}{2}

\int_{-n}^{0}\tfrac{e^{2x}}{2}\,\dd x=\tfrac{1-e^{-2n}}{4}

donc $\displaystyle\int_{-n}^{0}x\,e^{2x}\,\dd x=\dfrac{n\,e^{-2n}}2-\dfrac{1-e^{-2n}}4=\boxed{\dfrac{(2n+1)\,e^{-2n}-1}{4}}$ .

5.b Idée : sur $[-n,0]$ , $(C)$ est au-dessus de $D$ (question 1.c), donc l'aire est l'intégrale de $f(x)-x$ .

A_n=\int_{-n}^{0}\left(-x\,e^{2x}\right)\dd x

d'où $A_n=\boxed{\dfrac{1-(2n+1)\,e^{-2n}}{4}}$ (par exemple $A_1\approx0{,}15$ ). Or $(2n+1)\,e^{-2n}=X\,e^{-X}+e^{-X}$ avec $X=2n\to+\infty$ , et $X\,e^{-X}\to0$ , $e^{-X}\to0$ . Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}A_n=\boxed{\dfrac14}$ : le domaine illimité compris entre $(C)$ et son asymptote, à gauche de l'axe des ordonnées, a une aire finie égale à $\dfrac14$ unité d'aire.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : asymptote $y=x$ en $-\infty$ , tangente en $B(-1,f(-1))$ parallèle à l'asymptote, fonction $g$ donnée par son tableau, aire sur $[0,\ln2]$ , puis une fin sur la suite $u_{n+1}=u_n\,e^{u_n}=u_n-f(u_n)$ et la somme télescopique $\sum f(u_k)$ , qui relève du chapitre des suites (Sciences techniques, contrôle 2026) ; fonction auxiliaire $g>0$ avec $f'=g$ , point d'inflexion, aire $A_n$ sur $[-n,0]$ (Informatique, principale 2026) ; asymptote $y=x$ en $-\infty$ pour une fonction en $e^{2x}$ et aire entre la courbe et l'asymptote (Sciences techniques, contrôle 2017) ; asymptote $y=x-1$ en $+\infty$ et aire $A(\lambda)$ avec limite (Sciences techniques, contrôle 2019) ; courbe de $f'$ fournie en annexe et $g(x)=f(x)-2x$ pour la position par rapport à la tangente (Sciences techniques, contrôle 2024) ; asymptote $y=-x$ en $-\infty$ et aire $A(\lambda)$ (Informatique, contrôle 2019 ; Sciences techniques, contrôle 2025, qui finit sur une suite).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill EX-J.1 — asymptote

y=x-1

+\infty

, minoration de

f'

par une fonction auxiliaire et aire

\mathcal A(\lambda)

quand

\lambda\to+\infty

Entraînement 01 / 01

Drill EX-J.1 — asymptote $y=x-1$ en $+\infty$ , minoration de $f'$ par une fonction auxiliaire et aire $\mathcal A(\lambda)$ quand $\lambda\to+\infty$

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x-1+x\,e^{-x}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ .

1. Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ (on pourra écrire $x\,e^{-x}=\dfrac{x}{e^x}$ ).
2. Montrer que la droite $\Delta : y=x-1$ est une asymptote à $(C)$ au voisinage de $+\infty$ .
3. Étudier la position relative de $(C)$ et $\Delta$ .
4. Montrer que $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ . Interpréter graphiquement.
1. Montrer que, pour tout réel $x$ , $f'(x)=1+(1-x)\,e^{-x}$ .
2. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=(1-x)\,e^{-x}$ . Étudier les variations de $h$ et en déduire que, pour tout réel $x$ , $h(x)\ge-e^{-2}$ .
3. En déduire le signe de $f'(x)$ , puis dresser le tableau de variation de $f$ .
Soit $\lambda$ un réel strictement positif. On désigne par $\mathcal A(\lambda)$ l'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre $(C)$ , la droite $\Delta$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=\lambda$ .
1. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $\mathcal A(\lambda)=1-(1+\lambda)\,e^{-\lambda}$ .
2. Calculer $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\mathcal A(\lambda)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $x\,e^{-x}=\dfrac{x}{e^x}\to0$ en $+\infty$ (croissance comparée) et $x-1\to+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\boxed{+\infty}$ .

1.b $f(x)-(x-1)=x\,e^{-x}\to0$ quand $x\to+\infty$ : $\Delta : y=x-1$ est une asymptote à $(C)$ au voisinage de $+\infty$ .

1.c Idée : signe de $f(x)-(x-1)=x\,e^{-x}$ , qui est celui de $x$ . $(C)$ est au-dessous de $\Delta$ pour $x<0$ , au-dessus pour $x>0$ , et elles se coupent au point $(0\,;-1)$ .

1.d En $-\infty$ : $x\to-\infty$ et $e^{-x}\to+\infty$ , donc $x\,e^{-x}\to-\infty$ et $f(x)\to-\infty$ . Puis $\dfrac{f(x)}{x}=1-\dfrac1x+e^{-x}\to+\infty$ : $(C)$ admet au voisinage de $-\infty$ une branche parabolique de direction $(O,\vec j)$ .

2.a $f'(x)=1+e^{-x}-x\,e^{-x}=\boxed{1+(1-x)\,e^{-x}}$ .

2.b $h'(x)=-e^{-x}-(1-x)\,e^{-x}=(x-2)\,e^{-x}$ , du signe de $x-2$ : $h$ est décroissante sur $]-\infty,2]$ et croissante sur $[2,+\infty[$ , avec $\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=0$ (croissance comparée). Son minimum est $h(2)=-e^{-2}$ , donc $h(x)\ge-e^{-2}$ pour tout réel $x$ .

2.c Idée : $f'=1+h$ et le minimum de $h$ est plus grand que $-1$ . $f'(x)\ge1-e^{-2}>0$ car $e^{-2}<1$ . $f$ est donc strictement croissante sur $\R$ :

\begin{array}{c|ccc} x&-\infty&&+\infty\\\hline f'(x)&&+&\\\hline f(x)&-\infty&\nearrow&+\infty\end{array}

3.a Idée : sur $[0,\lambda]$ , $(C)$ est au-dessus de $\Delta$ (1.c), donc $\mathcal A(\lambda)=\int_0^\lambda\left(f(x)-(x-1)\right)\dd x=\int_0^\lambda x\,e^{-x}\,\dd x$ . Par parties avec $u(x)=x$ , $v'(x)=e^{-x}$ ( $u'(x)=1$ , $v(x)=-e^{-x}$ ) :

\mathcal A(\lambda)=\Big[-x\,e^{-x}\Big]_0^\lambda+\int_0^\lambda e^{-x}\,\dd x

soit $\mathcal A(\lambda)=-\lambda\,e^{-\lambda}+1-e^{-\lambda}=\boxed{1-(1+\lambda)\,e^{-\lambda}}$ .

3.b $\lambda\,e^{-\lambda}\to0$ et $e^{-\lambda}\to0$ quand $\lambda\to+\infty$ , donc $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\mathcal A(\lambda)=\boxed{1}$ : le domaine illimité compris entre $(C)$ et son asymptote, à droite de l'axe des ordonnées, a une aire finie égale à $1$ unité d'aire.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Le problème exponentielle des sections Sciences techniques et Informatique : asymptote $y=x$ en $-\infty$ , $x$ et $f'(x)$ de signes contraires, courbe sous une tangente parallèle via $g$ , aire $A_n$ entre la courbe et l'asymptote et sa limite

Exercice 4 — problème (7 points), dans l'esprit des sessions 2019–2026 de Sciences techniques et de Sciences de l'informatique

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill EX-J.1 — asymptote $y=x-1$ en $+\infty$ , minoration de $f'$ par une fonction auxiliaire et aire $\mathcal A(\lambda)$ quand $\lambda\to+\infty$

Relier ce raisonnement au bac

Le problème exponentielle des sections Sciences techniques et Informatique : asymptote y=xy=xy=x en −∞-\infty−∞, xxx et f′(x)f'(x)f′(x) de signes contraires, courbe sous une tangente parallèle via ggg, aire AnA_nAn​ entre la courbe et l'asymptote et sa limite

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Le problème exponentielle des sections Sciences techniques et Informatique : asymptote $y=x$ en $-\infty$ , $x$ et $f'(x)$ de signes contraires, courbe sous une tangente parallèle via $g$ , aire $A_n$ entre la courbe et l'asymptote et sa limite