Famille d'objets à paramètre dans l'espace : sphère $S_\alpha$ de centre variable, points et cercle communs, rayon minimal, tangence à un plan parallèle

1. $1+2-2-1=0$ : $A\in P$ ; $\alpha=0$ donne $A$ : $A\in\Delta$. $\Delta$ est dirigée par $(1,2,2)$, qui est un vecteur normal $\vec n$ de $P$ : $\Delta$ est perpendiculaire à $P$ (en $A$).

2. $d(I_\alpha,P)=\dfrac{|(1+\alpha)+2(1+2\alpha)+2(-1+2\alpha)-1|}{3}$, c'est-à-dire $d(I_\alpha,P)=\dfrac{|9\alpha|}3=3|\alpha|$.

3.a Idée : comparer la distance du centre au plan et le rayon $9$. $3|\alpha|<9\iff|\alpha|<3$. Donc :

• si $-3<\alpha<3$, $S_\alpha$ et $P$ sont sécants suivant un cercle de centre $A$ (projeté orthogonal de $I_\alpha$, car $\Delta\perp P$ en $A$) et de rayon $\sqrt{81-9\alpha^2}$ ;
• si $\alpha=3$ ou $\alpha=-3$, $S_\alpha$ et $P$ sont tangents ;
• si $\alpha<-3$ ou $\alpha>3$, $S_\alpha$ et $P$ n'ont aucun point commun.

3.b Pour $\alpha=\pm3$, $d(I_\alpha,P)=9$ : tangence. Le point de contact est le projeté orthogonal du centre sur $P$ ; $I_3(4,7,5)$ et $I_{-3}(-2,-5,-7)$ sont tous deux sur $\Delta$, perpendiculaire à $P$ en $A$ : les deux sphères sont tangentes à $P$ au même point $\boxed{A(1,1,-1)}$, de part et d'autre du plan.

4.a $-5+8-2-1=0$ : $B\in P$. Idée : $I_\alpha$ se projette en $A$, donc le triangle $I_\alpha AB$ est rectangle en $A$. Avec $\overrightarrow{AB}(-6,3,0)$, $AB^2=45$ et

$B\in S_\alpha\iff9\alpha^2+45=81\iff\alpha^2=4$ : $\boxed{\alpha=2\ \text{ou}\ \alpha=-2}$.

4.b Pour $\alpha=\pm2$, $d(I_\alpha,P)=6<9$ : $S_\alpha\cap P$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $\sqrt{81-36}=3\sqrt5=AB$, c'est-à-dire le cercle du plan $P$ de centre $A$ passant par $B$ (le même pour les deux valeurs).

1.a $\overrightarrow{AB}(2,0,-1)$, $\overrightarrow{AC}(0,2,-1)$. Composantes : $0\times(-1)-(-1)\times2=2$, $(-1)\times0-2\times(-1)=2$ et $2\times2-0\times0=4$ : $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(2,2,4)\neq\vec 0$, donc $A$, $B$, $C$ déterminent un plan $P$.

1.b $(2,2,4)=2(1,1,2)$ : $P$ a une équation $x+y+2z+d=0$ et $A\in P$ donne $0+1+2+d=0$, soit $d=-3$.

2. $1+1+4-3=3\neq0$ : $E\notin P$. Avec $\overrightarrow{AE}(1,0,1)$ : $\mathcal V(EABC)=\dfrac16\,|2+0+4|=\boxed{1}$.

3.a $M_\alpha\in P$ si et seulement si $\alpha+(1-\alpha)+2(2+\alpha)-3=0$, c'est-à-dire $2\alpha+2=0$, soit $\alpha=-1$. La droite $D$ coupe donc $P$ en un seul point, $\boxed{K(-1,2,1)}$ (son vecteur directeur $(1,-1,1)$ n'est pas orthogonal à $(1,1,2)$).

3.b Pour $\alpha\neq-1$, $M_\alpha\notin P$ et $M_\alpha ABC$ est un vrai tétraèdre. $\overrightarrow{AM_\alpha}(\alpha,-\alpha,1+\alpha)$, donc

et $V(\alpha)=\dfrac16\times4|\alpha+1|=\boxed{\dfrac23|\alpha+1|}$.

3.c $V(\alpha)=2\times1\iff|\alpha+1|=3\iff\alpha=2$ ou $\alpha=-4$. Les points cherchés sont $\boxed{M(2,-1,4)}$ et $\boxed{M(-4,5,-2)}$ ; ils sont symétriques par rapport à $K$, point où la droite traverse le plan.

1. $(x-3)^2-9+(y+1)^2-1+(z-2)^2-4-4=0$, soit $(x-3)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=18$ : sphère de centre $\Omega(3,-1,2)$ et de rayon $\sqrt{18}=3\sqrt2$.

2. $d(\Omega,P)=\dfrac{|6+2+2-1|}{3}=3<3\sqrt2$ : cercle de rayon $\sqrt{18-9}=3$. Son centre est le projeté orthogonal de $\Omega$ : le point $\Omega+t(2,-2,1)$ est dans $P$ lorsque $9t+9=0$, soit $t=-1$, ce qui donne $H(1,1,1)$.

3. $B\in P$ ($4-6+3-1=0$) et $C\in P$ ($0+2-1-1=0$) ; le milieu de $[BC]$ est $(1,1,1)=H$ et $HB=\sqrt{1+4+4}=3$. Donc $B$ et $C$ sont deux points de $\zeta$ symétriques par rapport au centre : $[BC]$ est un diamètre de $\zeta$.

4.a Pour $B$ : $4(1+a)-3(2+a)+3-(1+a)$ vaut $4+4a-6-3a+3-1-a=0$. Pour $C$ : $0+(2+a)-1-(1+a)=0$. Le plan $P_a$ (le coefficient de $z$ vaut $1$, c'est bien un plan) contient les deux points distincts $B$ et $C$, donc toute la droite $(BC)$.

4.b $B$ et $C$ sont sur $\zeta$, donc sur $S$, et sur $P_a$ : l'intersection $S\cap P_a$ contient au moins deux points distincts. Elle n'est ni vide ni réduite à un point : c'est un cercle.

4.c Idée : une corde d'un cercle ne dépasse jamais son diamètre. $B$ et $C$ sont deux points du cercle de rayon $r_a$, donc $BC\leq2r_a$. Comme $BC=2\times3=6$, on obtient $\boxed{r_a\geq3}$ (avec égalité pour $a=0$, où $[BC]$ est un diamètre).

4.d $r_a=\sqrt{18-d(\Omega,P_a)^2}\leq\sqrt{18}=3\sqrt2$, avec égalité si et seulement si $d(\Omega,P_a)=0$, c'est-à-dire $\Omega\in P_a$ :

soit $6a+9=0$, d'où $\boxed{a=-\dfrac32}$ : le plan $P_{-3/2}$ passe par le centre et coupe $S$ suivant un grand cercle.

1.a Idée : compléter les carrés en gardant $m$ comme une constante. $x^2-4mx=(x-2m)^2-4m^2$, $y^2+(2m-2)y=(y-1+m)^2-(m-1)^2$ et $z^2+(4m+2)z=(z+1+2m)^2-(2m+1)^2$. La constante qui passe au second membre vaut

donc $M\in S_m$ si et seulement si

Pour $m\neq0$, $S_m$ est la sphère de centre $I_m(2m,1-m,-1-2m)$ et de rayon $\boxed{R_m=3|m|}$. Pour $m=0$, l'équation devient $x^2+(y-1)^2+(z+1)^2=0$ : $S_0$ est réduit au point $A$.

1.b $I_m=A+m\,\vec v$ avec $\vec v(2,-1,-2)$ : $I_m$ décrit la droite $D:\ x=2m$, $y=1-m$, $z=-1-2m$ ($m\in\R$), privée du point $A$ obtenu pour $m=0$.

2. $A\in P$ ($0-1+2-1=0$) et $I_mA^2=4m^2+m^2+4m^2=9m^2=R_m^2$ : $A\in S_m$. De plus $\overrightarrow{I_mA}=-m\,\vec v$ et $\vec v(2,-1,-2)$ est normal à $P$ : le plan $P$ passe par le point $A$ de la sphère et est orthogonal au rayon $[I_mA]$, c'est le plan tangent à $S_m$ en $A$. Contrôle : $d(I_m,P)=\dfrac{|9m|}3=3|m|=R_m$.

3. On remplace $(1,2,-1)$ dans l'équation : $6-4m+(4m-4)-(4m+2)+2m+2=0$, soit $2-2m=0$, d'où $\boxed{m=1}$. La sphère $S_1$ a pour centre $I_1(2,0,-3)$ et pour rayon $3$ (contrôle : $\overrightarrow{I_1E}(-1,2,2)$, $I_1E=3$).

4. Idée : soustraire les deux équations fait disparaître $x^2+y^2+z^2$. Si $M\in S_m\cap S_{m'}$, la différence des équations donne

et comme $m\neq m'$, $M\in P$. Or $P$ est tangent à $S_m$ en $A$ : $P\cap S_m=\{A\}$, donc $M=A$. Réciproquement $A$ est sur toutes les sphères. Donc $S_m\cap S_{m'}=\{A\}$ : deux sphères distinctes de la famille sont tangentes en $A$.