IN-IPrimitivisation et calcul intégral

Suite d'intégrales $U_n=\int\left(f(x)\right)^n dx$ des puissances de la fonction étudiée : majoration tirée de la partie A, minoration par découpage, racine $n$ -ième

Idée directrice

La dernière partie du problème intègre les puissances de la fonction que l'on vient d'étudier : $U_n=\int_a^b\left(f(x)\right)^n dx$ . On ne calcule jamais $U_n$ : tout se lit sur la partie A. Si $0\le f\le1$ , la suite est positive et décroissante ; une majoration de $f$ par une fonction simple (corde d'une fonction convexe, $f(x)\le x$ …) donne $U_n\le\frac{c}{n+1}$ , donc $U_n\to0$ ; pour aller plus loin (racine $n$ -ième, équivalent), on minore sur un petit intervalle près du point où $f=1$ et l'on passe par $\ln$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Pour tout $n\ge1$ , on pose $U_n=\int_a^b\left(f(x)\right)^n dx$ » ; « montrer que $0\le U_n\le\frac{\alpha}{n+1}$ » ; « montrer que la suite $(U_n)$ est décroissante et en déduire qu'elle est convergente » ; « justifier que $\sqrt[n]{n}=e^{\frac{\ln n}{n}}$ puis montrer que $\lim\sqrt[n]{U_n}=1$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Positivité et décroissance de $U_n$ se lisent sur $0\le f\le1$ : comparer $f^{n+1}$ et $f^n$ avant d'intégrer.
Majoration : remplacer $f$ par une fonction qu'on sait intégrer ( $f(x)\le x$ par convexité, $f\le$ une corde, $f'\ge c$ …), puis $\int_0^1x^n dx=\frac{1}{n+1}$ .
Minoration : restreindre l'intégrale à un petit intervalle $\left[1-\frac1n,1\right]$ où $f$ est proche de son maximum, et minorer par longueur × minimum.
Limite de $\left[f(a_n)\right]^n$ ou de $\sqrt[n]{U_n}$ : écrire sous la forme $e^{n\ln(\cdots)}$ et utiliser $\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Intégrer $f(x)\le x$ sans avoir élevé à la puissance $n$ (il faut $0\le f$ pour garder le sens de l'inégalité) ; conclure la décroissance de $U_n$ à partir de celle de $f$ au lieu de $0\le f\le1$ ; croire que $\left(1-\frac1n\right)^n\to1$ (c'est $e^{-1}$ ) ; oublier que $\sqrt[n]{n}\to1$ demande une justification par $\frac{\ln n}{n}\to0$ .

Sujet principal

Exercice — partie B du problème d'analyse (4 points), dans l'esprit des sessions 2020–2025

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $f(x)=x^2e^{x-1}$ .

Partie A.
1. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$ et calculer $f(0)$ et $f(1)$ .
2. Montrer que $f$ est convexe sur $[0,1]$ et en déduire que $0\le f(x)\le x$ pour tout $x\in[0,1]$ .
Pour tout entier $n\ge1$ , on pose $U_n=\displaystyle\int_0^1\left(f(x)\right)^n dx$ .
1. Déterminer, à l'aide de deux intégrations par parties, une primitive de $f$ sur $[0,1]$ ; en déduire $U_1$ et interpréter ce nombre comme une aire.
2. Montrer que $0\le U_n\le\dfrac{1}{n+1}$ et en déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n$ .
3. Montrer que la suite $(U_n)$ est décroissante.
On se propose de déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{U_n}$ .
1. Montrer que pour tout $n\ge2$ , $U_n\ge\dfrac1n\left[f\left(1-\dfrac1n\right)\right]^n$ (on minorera l'intégrale sur l'intervalle $\left[1-\frac1n,1\right]$ ).
2. Montrer que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left[f\left(1-\dfrac1n\right)\right]^n=e^{-3}$ (on étudiera $n\ln\left(1-\frac1n\right)$ ).
3. Justifier que $\sqrt[n]{n}=e^{\frac{\ln n}{n}}$ et que $\sqrt[n]{n+1}$ tend vers $1$ , puis montrer que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{U_n}=1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $f'(x)=2x\,e^{x-1}+x^2e^{x-1}=x(x+2)\,e^{x-1}$ : $f'(x)>0$ sur $]0,1]$ et $f'(0)=0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$ ; $f(0)=0$ et $f(1)=1$ .

1.b Idée : une fonction convexe est sous ses cordes. $f''(x)=\left(x^2+4x+2\right)e^{x-1}>0$ sur $[0,1]$ : $f$ est convexe sur $[0,1]$ , donc sa courbe est au-dessous de la corde joignant $(0,0)$ et $(1,1)$ , c'est-à-dire de la droite $y=x$ . Avec la croissance, $0=f(0)\le f(x)\le x$ pour $x\in[0,1]$ .

2.a Par parties ( $u=x^2$ , $v'=e^{x-1}$ ) : $\int x^2e^{x-1}dx=x^2e^{x-1}-2\int x\,e^{x-1}dx$ ; puis ( $u=x$ , $v'=e^{x-1}$ ) : $\int x\,e^{x-1}dx=(x-1)\,e^{x-1}$ . Donc $F(x)=\left(x^2-2x+2\right)e^{x-1}$ est une primitive de $f$ , et $U_1=F(1)-F(0)=1-2e^{-1}=\boxed{1-\frac2e}\approx0{,}264$ : c'est l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe de $f$ (positive sur $[0,1]$ ), l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=1$ .

2.b D'après 1.b, $0\le\left(f(x)\right)^n\le x^n$ sur $[0,1]$ ; en intégrant (bornes dans l'ordre croissant) : $0\le U_n\le\int_0^1x^n dx=\dfrac{1}{n+1}$ . Par encadrement, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n=0$ .

2.c Pour $x\in[0,1]$ , $0\le f(x)\le1$ , donc $\left(f(x)\right)^{n+1}=\left(f(x)\right)^n f(x)\le\left(f(x)\right)^n$ . En intégrant, $U_{n+1}\le U_n$ : la suite est décroissante.

3.a Idée : garder seulement le morceau où $f$ est proche de $1$ . L'intégrande étant positif, $U_n\ge\int_{1-1/n}^{1}\left(f(x)\right)^n dx$ . Sur cet intervalle, $f$ croissante donne $f(x)\ge f\left(1-\frac1n\right)\ge0$ , donc l'intégrale est au moins la longueur $\frac1n$ fois $\left[f\left(1-\frac1n\right)\right]^n$ .

3.b Posons $a_n=\left[f\left(1-\frac1n\right)\right]^n$ . $f\left(1-\frac1n\right)=\left(1-\frac1n\right)^2e^{-1/n}$ , donc $a_n=e^{\,2n\ln\left(1-\frac1n\right)}\cdot e^{-1}$ . Avec $h=-\frac1n\to0$ : $n\ln\left(1-\frac1n\right)=-\dfrac{\ln(1+h)}{h}\to-1$ . Donc $a_n\to e^{-2}\cdot e^{-1}=e^{-3}$ .

3.c $\sqrt[n]{n}=n^{1/n}=e^{\frac{\ln n}{n}}\to e^0=1$ car $\frac{\ln n}{n}\to0$ ; de même $\sqrt[n]{n+1}=e^{\frac{\ln(n+1)}{n}}\to1$ . Des questions 2.b et 3.a, $\frac{a_n}{n}\le U_n\le\frac{1}{n+1}$ , donc, par croissance de $t\mapsto t^{1/n}$ :

\frac{\sqrt[n]{a_n}}{\sqrt[n]{n}}\le\sqrt[n]{U_n}\le\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}

D'après 3.b, $a_n\to e^{-3}>0$ , donc $\ln a_n\to-3$ et $\sqrt[n]{a_n}=e^{\frac{\ln a_n}{n}}\to e^0=1$ . Le membre de gauche tend donc vers $1$ , celui de droite aussi : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{U_n}=\boxed{1}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : majoration par la corde d'une fonction convexe $g$ sur $[0,\alpha]$ , soit $J_n\le\frac{\alpha}{n+1}$ , puis $\sqrt[n]{J_n}\to1$ (contrôle 2021) ; découpage $\left[0,1-\frac{1}{\sqrt n}\right]\cup\left[1-\frac{1}{\sqrt n},1\right]$ avec une inégalité des accroissements finis (principale 2024) ; $f>1$ sur l'intervalle et limite de $U_n/\alpha^n$ (principale 2022) ; suite décroissante donc convergente, sans calculer la limite (principale 2025) ; $V_n=\int_0^1f(t^n)\,dt$ (contrôle 2020).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill IN-I.1 —

J_n=\int_0^{\ln2}\left(e^x-1\right)^n dx

: corde, relation

J_{n+1}+J_n=\frac{1}{n+1}

, limite de

nJ_n

Entraînement 01 / 02

Drill IN-I.1 — $J_n=\int_0^{\ln2}\left(e^x-1\right)^n dx$ : corde, relation $J_{n+1}+J_n=\frac{1}{n+1}$ , limite de $nJ_n$

5 questionsCorrigé masqué

Soit $g$ la fonction définie sur $[0,\ln2]$ par $g(x)=e^x-1$ et, pour tout $n\ge1$ , $J_n=\displaystyle\int_0^{\ln2}\left(g(x)\right)^n dx$ .

Montrer que $g$ est convexe sur $[0,\ln2]$ et que $0\le g(x)\le\dfrac{x}{\ln2}$ pour tout $x\in[0,\ln2]$ .
En déduire que $0\le J_n\le\dfrac{\ln2}{n+1}$ , puis la limite de $(J_n)$ .
Calculer $J_1$ et l'interpréter comme une aire. Montrer que $(J_n)$ est décroissante.
Montrer que $J_{n+1}+J_n=\dfrac{1}{n+1}$ pour tout $n\ge1$ (on remarquera que $g+1=g'$ et on cherchera une primitive de $g^n g'$ ).
En déduire que $\dfrac{1}{2(n+1)}\le J_n\le\dfrac{1}{2n}$ pour $n\ge2$ , puis $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}nJ_n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $g''(x)=e^x>0$ : $g$ est convexe, donc au-dessous de sa corde entre $(0,0)$ et $(\ln2,1)$ , d'équation $y=\frac{x}{\ln2}$ . Et $g(x)\ge g(0)=0$ ( $g$ croissante).

2. $0\le g^n\le\left(\frac{x}{\ln2}\right)^n$ , et $\int_0^{\ln2}\frac{x^n}{(\ln2)^n}dx=\frac{(\ln2)^{n+1}}{(n+1)(\ln2)^n}=\frac{\ln2}{n+1}$ . Par encadrement, $J_n\to0$ .

3. $J_1=\left[e^x-x\right]_0^{\ln2}=2-\ln2-1=1-\ln2$ : c'est l'aire de la partie du plan limitée par la courbe de $g$ (positive), l'axe des abscisses et les droites $x=0$ , $x=\ln2$ . Comme $0\le g\le1$ sur $[0,\ln2]$ , $g^{n+1}\le g^n$ et $J_{n+1}\le J_n$ .

4. Idée : $g^n(g+1)=g^n g'$ est de la forme $u^n u'$ . $J_{n+1}+J_n=\int_0^{\ln2}g^n(g+1)\,dx=\int_0^{\ln2}g^n g'\,dx=\left[\frac{g^{n+1}}{n+1}\right]_0^{\ln2}=\frac{1}{n+1}$ .

5. Par décroissance, $2J_{n+1}\le J_{n+1}+J_n=\frac{1}{n+1}\le2J_n$ . La relation de gauche, écrite au rang $n-1$ , donne $J_n\le\frac{1}{2n}$ ; celle de droite donne $J_n\ge\frac{1}{2(n+1)}$ . Donc $\frac{n}{2(n+1)}\le nJ_n\le\frac12$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}nJ_n=\boxed{\frac12}$ .

2 Drill IN-I.2 —

f>1

sur l'intervalle :

V_n=\int_1^e(1+\ln x)^n dx

, changement de variable et encadrement

Entraînement 02 / 02

Drill IN-I.2 — $f>1$ sur l'intervalle : $V_n=\int_1^e(1+\ln x)^n dx$ , changement de variable et encadrement

4 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier $n\ge0$ , on pose $V_n=\displaystyle\int_1^{e}(1+\ln x)^n dx$ .

Pour $x\ge1$ , on pose $F(x)=\displaystyle\int_1^{x}(1+\ln t)^n dt$ et $G(x)=\displaystyle\int_0^{\ln x}(1+s)^n e^s ds$ . Montrer que $F=G$ sur $[1,+\infty[$ et en déduire que l'intégrale $V_n$ s'écrit $V_n=\displaystyle\int_0^1(1+s)^n e^s ds$ .
Calculer $V_0$ et l'interpréter comme une aire. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $V_n=2^n e-1-nV_{n-1}$ pour tout $n\ge1$ , puis calculer $V_1$ .
Montrer que $\dfrac{2^{n+1}-1}{n+1}\le V_n\le e\,\dfrac{2^{n+1}-1}{n+1}$ .
En déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}V_n$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{V_n}{2^n}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $F'(x)=(1+\ln x)^n$ et $G'(x)=\frac1x(1+\ln x)^n e^{\ln x}=(1+\ln x)^n$ ; $F(1)=G(1)=0$ , donc $F=G$ sur l'intervalle $[1,+\infty[$ . Avec $x=e$ : $V_n=F(e)=G(e)=\int_0^1(1+s)^n e^s ds$ .

2. $V_0=\int_0^1e^s ds=e-1$ ; c'est aussi $\int_1^e1\,dx$ , l'aire du rectangle $[1,e]\times[0,1]$ . En dérivant $(1+s)^n$ et en intégrant $e^s$ : $V_n=\left[(1+s)^n e^s\right]_0^1-n\int_0^1(1+s)^{n-1}e^s ds=2^n e-1-nV_{n-1}$ . Donc $V_1=2e-1-(e-1)=\boxed{e}$ .

3. Sur $[0,1]$ , $1\le e^s\le e$ , donc $(1+s)^n\le(1+s)^n e^s\le e\,(1+s)^n$ , et $\int_0^1(1+s)^n ds=\left[\frac{(1+s)^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$ . On intègre l'encadrement.

4. $\frac{2^{n+1}-1}{n+1}=\frac{2^{n+1}}{n+1}-\frac{1}{n+1}$ et $\frac{2^{n+1}}{n+1}=2\,\frac{e^{n\ln2}}{n+1}\to+\infty$ (croissances comparées), donc $V_n\to+\infty$ . Et $\frac{V_n}{2^n}\le e\,\frac{2-2^{-n}}{n+1}\to0$ , avec $\frac{V_n}{2^n}\ge0$ : $\displaystyle\lim\frac{V_n}{2^n}=0$ .

Relier ce raisonnement au bac

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Suite d'intégrales $U_n=\int\left(f(x)\right)^n dx$ des puissances de la fonction étudiée : majoration tirée de la partie A, minoration par découpage, racine $n$ -ième

Exercice — partie B du problème d'analyse (4 points), dans l'esprit des sessions 2020–2025

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill IN-I.1 — $J_n=\int_0^{\ln2}\left(e^x-1\right)^n dx$ : corde, relation $J_{n+1}+J_n=\frac{1}{n+1}$ , limite de $nJ_n$

Drill IN-I.2 — $f>1$ sur l'intervalle : $V_n=\int_1^e(1+\ln x)^n dx$ , changement de variable et encadrement

Relier ce raisonnement au bac

Suite d'intégrales Un=∫(f(x))ndxU_n=\int\left(f(x)\right)^n dxUn​=∫(f(x))ndx des puissances de la fonction étudiée : majoration tirée de la partie A, minoration par découpage, racine nnn-ième

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Suite d'intégrales $U_n=\int\left(f(x)\right)^n dx$ des puissances de la fonction étudiée : majoration tirée de la partie A, minoration par découpage, racine $n$ -ième