IN-HPrimitivisation et calcul intégral

Fonction définie par une intégrale à borne variable : dérivée d'une composée, identification $F=H$ , aire et limites

Idée directrice

Quand l'énoncé définit $F(x)=\displaystyle\int_a^{u(x)}f(t)\,dt$ sans que l'on sache calculer une primitive de $f$ , on ne calcule pas l'intégrale : on dérive ( $F'(x)=u'(x)\,f(u(x))$ ), on reconnaît la dérivée d'une fonction $H$ donnée par l'énoncé, puis deux fonctions de même dérivée sur un intervalle qui prennent la même valeur en un point sont égales. L'égalité $F=H+c$ sert ensuite à tout : valeur exacte d'une intégrale, aire d'un domaine non borné par passage à la limite, comportement aux bornes.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Soit $F$ la fonction définie sur … par $F(x)=\int_0^{\ln x}f(t)\,dt$ . Montrer que $F$ est dérivable et calculer $F'(x)$ » ; « montrer que pour tout $x>0$ , $F(x)=H(x)$ » ; « montrer que $F'(x)=G'(x)$ » ; « en déduire la valeur de l'intégrale » ; « montrer que $\mathcal A(\lambda)=F(e^{\lambda})$ »

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$F(x)=\int_a^{u(x)}f(t)\,dt$ avec $f$ continue et $u$ dérivable : $F'(x)=u'(x)\,f\left(u(x)\right)$ — justifier par « $G:y\mapsto\int_a^y f$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ , et $F=G\circ u$ ».
Pour prouver $F=H$ (ou $F=H+c$ ) : dériver les deux, constater $F'=H'$ sur un intervalle, puis évaluer en un point simple (souvent celui où la borne vaut $a$ , donc $F=0$ ).
Une aire $\int_0^{\lambda}$ s'écrit $F(\text{quelque chose})$ ; sa limite quand $\lambda\to+\infty$ se lit sur la forme explicite $H+c$ .
Encadrer l'intégrande ( $e^{-t/2}/\sqrt2\le\varphi\le e^{-t/2}$ ), intégrer en respectant l'ordre des bornes, puis confronter l'encadrement au résultat exact.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Écrire $F'(x)=\varphi(\ln x)$ en oubliant le facteur $u'(x)=\frac1x$ ; conclure $F=H$ sans vérifier la valeur en un point (deux fonctions de même dérivée diffèrent d'une constante) ; oublier que l'égalité des dérivées ne vaut que sur un intervalle ; intégrer une inégalité avec des bornes dans le mauvais ordre (question 5.a : $\ln x\le0$ ) ; confondre $\lim_{x\to+\infty}F(x)$ et $\lim_{\lambda\to+\infty}\mathcal A(\lambda)$ sans le changement $x=e^{\lambda}$ .

Sujet principal

Exercice — partie B du problème d'analyse (5 points), dans l'esprit des sessions 2019–2026

5 questionsCorrigé masqué

On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par $\varphi(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+e^t}}$ et la fonction $F$ définie sur $]0,+\infty[$ par

F(x)=\int_0^{\ln x}\varphi(t)\,dt.

Dérivée de $F$ .
1. Justifier que $F$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et que, pour tout $x>0$ , $F'(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{1+x}}$ .
2. Calculer $F(1)$ et en déduire le signe de $F(x)$ selon les valeurs de $x$ .
Soit $H$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $H(x)=\ln\left(\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}\right)$ .
1. Montrer que $H$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et que $H'(x)=F'(x)$ pour tout $x>0$ .
2. Vérifier que $\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=\left(\sqrt2-1\right)^2$ et en déduire $H(1)$ .
3. Montrer que, pour tout $x>0$ , $F(x)=H(x)+2\ln\left(1+\sqrt2\right)$ .
En déduire la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_0^{\ln8}\frac{dt}{\sqrt{1+e^t}}$ .
Pour $\lambda>0$ , on note $\mathcal A(\lambda)$ l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe de $\varphi$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\lambda$ .
1. Montrer que $\mathcal A(\lambda)=F\left(e^{\lambda}\right)$ , puis calculer $\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}\mathcal A(\lambda)$ .
2. Montrer que, pour tout $t\ge0$ , $\dfrac{e^{-t/2}}{\sqrt2}\le\varphi(t)\le e^{-t/2}$ .
3. En déduire un encadrement de $\mathcal A(\lambda)$ et vérifier qu'il est cohérent avec la limite trouvée en 4.a.
Comportement en $0$ .
1. Montrer que $\varphi(t)\ge\dfrac{1}{\sqrt2}$ pour tout $t\le0$ et en déduire que $F(x)\le\dfrac{\ln x}{\sqrt2}$ pour tout $x\in\,]0,1]$ .
2. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to0^+}F(x)$ , puis retrouver ce résultat à l'aide de la question 2.c.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : dérivée d'une fonction $x\mapsto\int_0^{u(x)}\varphi$ avec $u$ dérivable. $\varphi$ est continue sur $\R$ , donc $G:y\mapsto\int_0^y\varphi(t)\,dt$ est la primitive de $\varphi$ sur $\R$ qui s'annule en $0$ . $\ln$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ , donc $F=G\circ\ln$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et

F'(x)=\frac1x\,\varphi(\ln x)=\frac{1}{x\sqrt{1+e^{\ln x}}}

soit $F'(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{1+x}}$ .

1.b $F(1)=\int_0^0\varphi=0$ . Comme $F'(x)>0$ , $F$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ : $F(x)<0$ pour $0<x<1$ et $F(x)>0$ pour $x>1$ .

2.a Posons $v(x)=\sqrt{1+x}$ : $v(x)>1$ pour $x>0$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}$ . Alors $H(x)=\ln\left(v(x)-1\right)-\ln\left(v(x)+1\right)$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et

H'(x)=v'(x)\left(\frac{1}{v-1}-\frac{1}{v+1}\right)

H'(x)=\frac{2\,v'(x)}{v(x)^2-1}

avec $v(x)^2-1=x$ et $2v'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}$ ,

soit $H'(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{1+x}}=F'(x)$ .

2.b $\left(\sqrt2-1\right)\left(\sqrt2+1\right)=1$ , donc $\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=\left(\sqrt2-1\right)^2$ et $H(1)=2\ln\left(\sqrt2-1\right)=-2\ln\left(1+\sqrt2\right)$ (car $\sqrt2-1=\frac{1}{\sqrt2+1}$ ).

2.c Idée : même dérivée sur un intervalle ⇒ différence constante ; la constante se lit en $x=1$ . $(F-H)'=0$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$ , donc $F-H$ est constante ; en $x=1$ : $F(1)-H(1)=0+2\ln\left(1+\sqrt2\right)$ . D'où $F(x)=H(x)+2\ln\left(1+\sqrt2\right)$ pour tout $x>0$ .

3. L'intégrale demandée est $F(e^{\ln8})=F(8)$ . Or $\sqrt{1+8}=3$ , donc $H(8)=\ln\dfrac{3-1}{3+1}=\ln\dfrac12=-\ln2$ et, d'après 2.c, $F(8)=H(8)+2\ln\left(1+\sqrt2\right)$ . L'intégrale vaut donc

\boxed{2\ln\left(1+\sqrt2\right)-\ln2\approx1{,}070}

4.a $\varphi$ est continue et positive, donc $\mathcal A(\lambda)=\int_0^{\lambda}\varphi(t)\,dt=F\left(e^{\lambda}\right)$ (car $\ln e^{\lambda}=\lambda$ ). Quand $\lambda\to+\infty$ , $x=e^{\lambda}\to+\infty$ et $\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}=1-\dfrac{2}{\sqrt{1+x}+1}\to1$ , donc $H(x)\to0$ et

\boxed{\lim_{\lambda\to+\infty}\mathcal A(\lambda)=2\ln\left(1+\sqrt2\right)\approx1{,}763}

C'est l'aire du domaine non borné compris entre la courbe de $\varphi$ , l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées, pour $x\ge0$ .

4.b Pour $t\ge0$ : $e^t\le1+e^t\le2e^t$ (car $1\le e^t$ ). La fonction $y\mapsto\frac{1}{\sqrt y}$ étant décroissante sur $]0,+\infty[$ , $\dfrac{1}{\sqrt{2e^t}}\le\varphi(t)\le\dfrac{1}{\sqrt{e^t}}$ , c'est-à-dire $\dfrac{e^{-t/2}}{\sqrt2}\le\varphi(t)\le e^{-t/2}$ .

4.c On intègre sur $[0,\lambda]$ (bornes dans le bon ordre) : $\int_0^{\lambda}e^{-t/2}dt=2\left(1-e^{-\lambda/2}\right)$ , donc

\sqrt2\left(1-e^{-\lambda/2}\right)\le\mathcal A(\lambda)\le2\left(1-e^{-\lambda/2}\right).

Quand $\lambda\to+\infty$ , la limite de $\mathcal A(\lambda)$ est comprise entre $\sqrt2\approx1{,}414$ et $2$ : c'est bien le cas de $2\ln\left(1+\sqrt2\right)\approx1{,}763$ .

5.a Pour $t\le0$ , $0<e^t\le1$ , donc $1+e^t\le2$ et $\varphi(t)\ge\dfrac{1}{\sqrt2}$ . Pour $0<x\le1$ , $\ln x\le0$ et $F(x)=-\int_{\ln x}^{0}\varphi(t)\,dt\le-\int_{\ln x}^{0}\frac{dt}{\sqrt2}=\dfrac{\ln x}{\sqrt2}$ .

5.b $\dfrac{\ln x}{\sqrt2}\to-\infty$ quand $x\to0^+$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to0^+}F(x)=-\infty$ (comparaison). Avec 2.c : quand $x\to0^+$ , $\sqrt{1+x}-1\to0^+$ et $\sqrt{1+x}+1\to2$ , donc $H(x)\to-\infty$ et l'on retrouve $\lim_{x\to0^+}F(x)=-\infty$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : borne $\ln x$ et identification avec une réciproque $g^{-1}-\frac{\pi}{4}$ pour $g=\tan$ (contrôle 2022) ; borne $\ln\left(x^2-1\right)$ et intégrande $\sqrt{1+f'^2}$ (principale 2026) ; $\varphi(x)=\int_0^x f$ identifiée à $-2x+\ln\frac{1+x}{1-x}$ puis aire entre deux courbes (principale 2019) ; $F=H$ sur $]0,+\infty[$ puis $F(0)$ par continuité (principale 2021) ; $F'=G'$ avec deux fonctions intégrales (principale 2017).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill IN-H.1 —

F=H

sur

]0,+\infty[

, puis

F(0)

par continuité au bord

Entraînement 01 / 04

Drill IN-H.1 — $F=H$ sur $]0,+\infty[$ , puis $F(0)$ par continuité au bord

5 questionsCorrigé masqué

Soit $F$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $F(x)=\displaystyle\int_1^{x}\left(1+\sqrt t\right)e^{-\sqrt t}\,dt$ et $H$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $H(x)=\dfrac{14}{e}-2\left(x+3\sqrt x+3\right)e^{-\sqrt x}$ .

Justifier que $F$ est la primitive sur $[0,+\infty[$ de la fonction $t\mapsto\left(1+\sqrt t\right)e^{-\sqrt t}$ qui s'annule en $1$ .
Montrer que $H$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et que $H'(x)=\left(1+\sqrt x\right)e^{-\sqrt x}$ pour tout $x>0$ .
En déduire que $F(x)=H(x)$ pour tout $x>0$ .
En utilisant la continuité de $F$ et de $H$ en $0$ , montrer que $F(0)=H(0)$ et en déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_0^1\left(1+\sqrt t\right)e^{-\sqrt t}\,dt$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)$ et interpréter ce résultat comme l'aire d'un domaine non borné (on rappelle que $\lim_{u\to+\infty}u^2e^{-u}=0$ ).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $t\mapsto\left(1+\sqrt t\right)e^{-\sqrt t}$ est continue sur $[0,+\infty[$ ; $F(x)=\int_1^x$ en est donc la primitive qui s'annule en $1$ : $F$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et $F'(x)=\left(1+\sqrt x\right)e^{-\sqrt x}$ .

2. Idée : $\sqrt x$ n'est dérivable que pour $x>0$ — c'est pourquoi l'égalité se prouve d'abord sur $]0,+\infty[$ . Pour $x>0$ :

H'(x)=-2\left(1+\frac{3}{2\sqrt x}\right)e^{-\sqrt x}

\qquad+\,2\left(x+3\sqrt x+3\right)\frac{e^{-\sqrt x}}{2\sqrt x}

$=e^{-\sqrt x}\left(-2-\dfrac{3}{\sqrt x}+\sqrt x+3+\dfrac{3}{\sqrt x}\right)=\left(1+\sqrt x\right)e^{-\sqrt x}$ .

3. $F'=H'$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$ , donc $F-H$ y est constante ; or $F(1)=0$ et $H(1)=\frac{14}{e}-\frac{2\times7}{e}=0$ . Donc $F(x)=H(x)$ pour tout $x>0$ .

4. $F$ est continue en $0$ (dérivable) et $H$ aussi (somme et produit de fonctions continues). En passant à la limite en $0^+$ dans $F(x)=H(x)$ : $F(0)=H(0)=\frac{14}{e}-6$ . Or $F(0)=\int_1^0\left(1+\sqrt t\right)e^{-\sqrt t}dt=-\int_0^1\left(1+\sqrt t\right)e^{-\sqrt t}dt$ , donc

\boxed{\int_0^1\left(1+\sqrt t\right)e^{-\sqrt t}dt=6-\frac{14}{e}\approx0{,}850}

5. Avec $u=\sqrt x\to+\infty$ : $\left(x+3\sqrt x+3\right)e^{-\sqrt x}=\left(u^2+3u+3\right)e^{-u}\to0$ . Donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)=\frac{14}{e}\approx5{,}150$ . C'est l'aire du domaine non borné limité par la courbe de $t\mapsto\left(1+\sqrt t\right)e^{-\sqrt t}$ (positive), l'axe des abscisses et la droite $t=1$ , pour $t\ge1$ .

2 Drill IN-H.2 — borne

x^2

: dériver, identifier, obtenir une intégrale sans primitive évidente

Entraînement 02 / 04

Drill IN-H.2 — borne $x^2$ : dériver, identifier, obtenir une intégrale sans primitive évidente

4 questionsCorrigé masqué

Soit $F$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $F(x)=\displaystyle\int_0^{x^2}\frac{dt}{1+\sqrt t}$ .

Montrer que $F$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et que $F'(x)=\dfrac{2x}{1+x}$ pour tout $x\ge0$ .
On pose $G(x)=2x-2\ln(1+x)$ pour $x\ge0$ . Montrer que $F'(x)=G'(x)$ pour tout $x\ge0$ , puis que $F=G$ .
En déduire la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_0^4\frac{dt}{1+\sqrt t}$ et l'interpréter comme une aire.
Montrer que $F(x)\le2x$ pour tout $x\ge0$ et calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}{x}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : $F=\Phi\circ u$ avec $\Phi(y)=\int_0^y\frac{dt}{1+\sqrt t}$ et $u(x)=x^2$ . $t\mapsto\frac{1}{1+\sqrt t}$ est continue sur $[0,+\infty[$ et $u$ est dérivable à valeurs dans $[0,+\infty[$ , donc $F'(x)=u'(x)\cdot\dfrac{1}{1+\sqrt{x^2}}=\dfrac{2x}{1+x}$ (car $\sqrt{x^2}=x$ pour $x\ge0$ ).

2. $G'(x)=2-\dfrac{2}{1+x}=\dfrac{2x}{1+x}=F'(x)$ . Sur l'intervalle $[0,+\infty[$ , $F-G$ est donc constante, et $F(0)=\int_0^0=0=G(0)$ : $F=G$ .

3. $\int_0^4\frac{dt}{1+\sqrt t}=F(2)=G(2)$ , donc

\boxed{\int_0^4\frac{dt}{1+\sqrt t}=4-2\ln3\approx1{,}803}

La fonction $t\mapsto\frac{1}{1+\sqrt t}$ est continue et positive : c'est l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par sa courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $t=0$ et $t=4$ .

4. $\ln(1+x)\ge0$ pour $x\ge0$ , donc $F(x)=2x-2\ln(1+x)\le2x$ . Et $\dfrac{F(x)}{x}=2-2\,\dfrac{\ln(1+x)}{x}$ ; comme $\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}\cdot\dfrac{1+x}{x}\to0\times1$ , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}{x}=2$ .

3 Drill IN-H.3 — borne

\ln x

et réciproque de

2\tan

F=\frac12\left(g^{-1}-\frac{\pi}{4}\right)

Entraînement 03 / 04

Drill IN-H.3 — borne $\ln x$ et réciproque de $2\tan$ : $F=\frac12\left(g^{-1}-\frac{\pi}{4}\right)$

5 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t)=\dfrac{e^t}{4+e^{2t}}$ et $F$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $F(x)=\displaystyle\int_{\ln2}^{\ln x}f(t)\,dt$ .

Justifier que $F$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et que $F'(x)=\dfrac{1}{4+x^2}$ .
Soit $g$ la fonction définie sur $\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ par $g(x)=2\tan x$ .
1. Montrer que $g$ réalise une bijection de $\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ sur $]0,+\infty[$ . On note $g^{-1}$ sa réciproque.
2. Montrer que $g^{-1}$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et que $\left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac{2}{4+x^2}$ .
3. Calculer $g^{-1}(2)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g^{-1}(x)$ .
Montrer que $x\mapsto\dfrac12\,g^{-1}(x)$ est une primitive de $x\mapsto\dfrac{1}{4+x^2}$ sur $]0,+\infty[$ , puis que $F(x)=\dfrac12\left(g^{-1}(x)-\dfrac{\pi}{4}\right)$ pour tout $x>0$ .
En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)$ et l'aire du domaine limité par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et la droite $x=\ln2$ , pour $x\ge\ln2$ .
Calculer $g^{-1}\left(2\sqrt3\right)$ et en déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_{\ln2}^{\ln\left(2\sqrt3\right)}\frac{e^t}{4+e^{2t}}\,dt$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $f$ est continue sur $\R$ et $\ln$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ : $F'(x)=\dfrac1x\,f(\ln x)=\dfrac1x\cdot\dfrac{x}{4+x^2}=\dfrac{1}{4+x^2}$ .

2.a $g$ est dérivable et $g'(x)=2\left(1+\tan^2x\right)>0$ : $g$ est continue et strictement croissante sur $\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ , avec $\lim_{0^+}g=0$ et $\lim_{(\pi/2)^-}g=+\infty$ . Elle réalise donc une bijection de $\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ sur $]0,+\infty[$ .

2.b Idée : dérivée d'une réciproque, $\left(g^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{g'\left(g^{-1}(x)\right)}$ , puis exprimer $\tan\left(g^{-1}(x)\right)=\frac x2$ . $g'$ ne s'annule pas, donc $g^{-1}$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $\left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{2\left(1+\frac{x^2}{4}\right)}=\dfrac{2}{4+x^2}$ .

2.c $g\left(\frac{\pi}{4}\right)=2$ , donc $g^{-1}(2)=\frac{\pi}{4}$ ; et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g^{-1}(x)=\frac{\pi}{2}$ .

3. D'après 2.b, $\left(\frac12g^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{4+x^2}$ : $\frac12g^{-1}$ est une primitive de $x\mapsto\frac{1}{4+x^2}$ , comme $F$ . Deux primitives sur l'intervalle $]0,+\infty[$ diffèrent d'une constante ; $F(2)=\int_{\ln2}^{\ln2}f=0$ et $\frac12g^{-1}(2)=\frac{\pi}{8}$ . Donc $F(x)=\frac12\left(g^{-1}(x)-\frac{\pi}{4}\right)$ .

4. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)=\frac12\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{8}$ . Comme $f>0$ , l'aire de la partie limitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=\ln2$ , $x=\lambda$ est $F\left(e^{\lambda}\right)$ , qui tend vers $\frac{\pi}{8}$ : l'aire du domaine non borné vaut $\boxed{\frac{\pi}{8}}$ unité d'aire.

5. $g\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\tan\frac{\pi}{3}=2\sqrt3$ , donc $g^{-1}\left(2\sqrt3\right)=\frac{\pi}{3}$ et l'intégrale vaut $F\left(2\sqrt3\right)=\frac12\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\boxed{\frac{\pi}{24}}$ .

4 Drill IN-H.4 — changement de variable « déguisé » :

\int_1^x(\ln t)^2dt=\int_0^{\ln x}s^2e^s\,ds

Entraînement 04 / 04

Drill IN-H.4 — changement de variable « déguisé » : $\int_1^x(\ln t)^2dt=\int_0^{\ln x}s^2e^s\,ds$

4 questionsCorrigé masqué

Pour $x\ge1$ , on pose $F(x)=\displaystyle\int_1^{x}(\ln t)^2\,dt$ et $G(x)=\displaystyle\int_0^{\ln x}s^2e^s\,ds$ .

Montrer que $F$ et $G$ sont dérivables sur $[1,+\infty[$ et que $F'(x)=G'(x)=(\ln x)^2$ .
En déduire que $F=G$ sur $[1,+\infty[$ .
À l'aide de deux intégrations par parties, calculer $\displaystyle\int_0^{u}s^2e^s\,ds$ pour $u\ge0$ , et en déduire une primitive de $s\mapsto s^2e^s$ sur $\R$ .
En déduire que $F(x)=x\left((\ln x)^2-2\ln x+2\right)-2$ pour tout $x\ge1$ , puis la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_1^{e}(\ln t)^2\,dt$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $t\mapsto(\ln t)^2$ est continue sur $[1,+\infty[$ , donc $F'(x)=(\ln x)^2$ . Pour $G$ : $s\mapsto s^2e^s$ est continue sur $\R$ et $\ln$ est dérivable, donc $G'(x)=\dfrac1x(\ln x)^2e^{\ln x}=(\ln x)^2$ .

2. $F-G$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $[1,+\infty[$ et $F(1)=0=G(1)$ (car $\ln1=0$ ) : $F=G$ .

3. Idée : dériver le facteur polynomial, intégrer $e^s$ ; deux fois. $\int_0^u s^2e^s\,ds=\left[s^2e^s\right]_0^u-2\int_0^u se^s\,ds$ et $\int_0^u se^s\,ds=\left[se^s\right]_0^u-\int_0^u e^s\,ds=ue^u-e^u+1$ . Donc

\int_0^{u}s^2e^s\,ds=e^u\left(u^2-2u+2\right)-2.

En particulier $s\mapsto e^s\left(s^2-2s+2\right)$ est une primitive de $s\mapsto s^2e^s$ sur $\R$ (sa dérivée est $e^s\left(s^2-2s+2+2s-2\right)=s^2e^s$ ).

4. Avec $u=\ln x$ : $F(x)=G(x)=x\left((\ln x)^2-2\ln x+2\right)-2$ . Pour $x=e$ : $\boxed{\int_1^{e}(\ln t)^2\,dt=e(1-2+2)-2=e-2}$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

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Fonction définie par une intégrale à borne variable : dérivée d'une composée, identification $F=H$ , aire et limites

Exercice — partie B du problème d'analyse (5 points), dans l'esprit des sessions 2019–2026

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill IN-H.1 — $F=H$ sur $]0,+\infty[$ , puis $F(0)$ par continuité au bord

Drill IN-H.2 — borne $x^2$ : dériver, identifier, obtenir une intégrale sans primitive évidente

Drill IN-H.3 — borne $\ln x$ et réciproque de $2\tan$ : $F=\frac12\left(g^{-1}-\frac{\pi}{4}\right)$

Drill IN-H.4 — changement de variable « déguisé » : $\int_1^x(\ln t)^2dt=\int_0^{\ln x}s^2e^s\,ds$

Relier ce raisonnement au bac

Fonction définie par une intégrale à borne variable : dérivée d'une composée, identification F=HF=HF=H, aire et limites

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Fonction définie par une intégrale à borne variable : dérivée d'une composée, identification $F=H$ , aire et limites