LN-GFonctions logarithmes

Vrai ou faux de synthèse du Sport : $\ln$ , exponentielle, intégrale et variable aléatoire, sans justification

Idée directrice

En 2022, 2025 et 2026, le premier exercice du Sport est un vrai ou faux de quatre à sept propositions sans justification : chacune teste une propriété du cours ( $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , dérivée de $e^{u}$ , domaine de $\ln u$ , limite, intégrale, valeurs d'une variable aléatoire) et cache un piège classique. On ne répond pas à l'intuition : on calcule ou on cherche un contre-exemple en une ligne au brouillon, puis on écrit seulement « vrai » ou « faux ». L'examen ne note que la réponse ; la justification d'une ligne est ce qui rend la réponse sûre.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes » ; « Aucune justification n'est demandée » ; « Pour chacune des propositions suivantes, copier le numéro et répondre par vrai ou faux » ; « Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est correcte »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Avant d'écrire « vrai » : faire le calcul d'une ligne (valeur, dérivée, primitive) ou trouver un contre-exemple ; une impression visuelle ne suffit pas.
Logarithme : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , $\ln\frac1a=-\ln a$ , $\ln e=1$ ; aucune règle pour $\ln(a+b)$ .
Exponentielle : $\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$ et $e^{\ln a}=a$ ; le signe de la dérivée de $e^{ax+b}$ est celui de $a$ .
Domaine de $\ln u(x)$ : résoudre $u(x)>0$ ; limite de $\ln u$ : $u\to0^+$ donne $-\infty$ , $u\to+\infty$ donne $+\infty$ .
Variable aléatoire : écrire toutes les compositions possibles avant de lister les valeurs ; dénombrer avec $C_n^p$ pour un tirage simultané.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier le facteur $u'$ en dérivant $e^{3-x}$ ; confondre $\ln(3x)$ et $3\ln x$ ; croire que $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$ (ou que $\ln(e+3)=1+\ln3$ ) ; donner le domaine $]2,+\infty[$ en résolvant $4-2x>0$ avec le mauvais sens ; oublier la valeur $0$ d'une variable aléatoire ; recopier une proposition au lieu du numéro et de la réponse.

Sujet principal

Exercice 1 — vrai ou faux (6 points), dans l'esprit des sessions Sport 2022–2026

4 questionsCorrigé masqué

Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes. (Aucune justification n'est demandée.)

Soit $g$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $g(x)=\ln(3x)$ .
1. $g\left(\frac{e}{3}\right)=0$ .
2. Pour tout réel $x>0$ , $g(x)=\ln3+\ln x$ .
3. $\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=-\infty$ .
On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=e^{3-x}$ .
1. Pour tout réel $x$ , $h'(x)=e^{3-x}$ .
2. $\displaystyle\int_2^3h(x)\,dx=e-1$ .
La fonction $k:x\longmapsto\ln(4-2x)$ est définie sur $]-\infty,2[$ .
Un club de natation a sélectionné cinq nageurs : deux filles et trois garçons. On choisit au hasard et simultanément deux d'entre eux pour une épreuve en duo. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de filles choisies.
1. Les valeurs prises par $X$ sont $1$ et $2$ .
2. $p(X=1)=0{,}6$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Faux. $g\left(\frac e3\right)=\ln\left(3\times\frac e3\right)=\ln e=1\neq0$ .

1.b Vrai. Pour $x>0$ , $3>0$ et $x>0$ , donc $\ln(3x)=\ln3+\ln x$ .

1.c Vrai. Quand $x\to0^+$ , $3x\to0^+$ et $\ln(3x)\to-\infty$ .

2.a Faux. Idée : la dérivée de $e^{u}$ est $u'e^{u}$ , ici $u'(x)=-1$ . $h'(x)=-e^{3-x}$ .

2.b Vrai. Une primitive de $h$ est $x\mapsto-e^{3-x}$ , donc $\displaystyle\int_2^3h(x)\,dx=\left(-e^{0}\right)-\left(-e^{1}\right)=e-1$ .

3. Vrai. $k(x)$ existe si et seulement si $4-2x>0$ , c'est-à-dire $x<2$ .

4.a Faux. Idée : lister les compositions possibles du duo. Le duo peut compter $0$ fille (deux garçons), $1$ fille ou $2$ filles : $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ et $2$ .

4.b Vrai. Il y a $C_5^2=10$ duos équiprobables, dont $C_2^1\times C_3^1=6$ avec exactement une fille : $p(X=1)=\frac6{10}=0{,}6$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : quatre propositions sur $\ln$ et $e$ , dont une primitive à vérifier $G(x)=e^x-e^{-x}$ (contrôle 2022) ; quatre propositions dont un domaine de définition avec $\ln$ (principale 2022) ; questions à choix multiple à trois réponses sur la monotonie et la limite de suites arithmétiques et géométriques (contrôle 2024) ; sept propositions mêlant $\ln$ , $e$ , suites géométriques et arithmétiques (contrôle 2025) ; sept propositions dont une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires et la primitive $\left(x+\frac23\right)\ln(3x+2)-x$ de $\ln(3x+2)$ (principale 2025) ; $(\ln2)^n$ , une suite arithmétique, $\ln(3x-2)$ croissante, $\ln(e+2)=1+\ln2$ , $\lim\limits_{x\to-\infty}\ln(-2x+1)$ et $\int_1^e\frac1x\,dx$ (contrôle 2026) ; $\ln(2x)$ , $e^{2-x}$ , une intégrale et une variable aléatoire sur un tirage de deux équipes (principale 2026). Les propositions sur la monotonie des suites s'entraînent dans le chapitre des suites.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill LN-G.1 — vrai ou faux : règles de calcul de

\ln

e

, le piège de

\ln(a+b)

Entraînement 01 / 05

Drill LN-G.1 — vrai ou faux : règles de calcul de $\ln$ et $e$ , le piège de $\ln(a+b)$

7 questionsCorrigé masqué

Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes. (Aucune justification n'est demandée.)

$\ln5+\ln2=\ln7$ .
$\ln(e+3)=1+\ln3$ .
$e^{\ln5}=5$ .
$e^{2\ln3}=9$ .
$\ln\left(\frac18\right)=-3\ln2$ .
$\ln(2e^3)=3+\ln2$ .
$e^{1+\ln2}=e+2$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Faux. $\ln5+\ln2=\ln(5\times2)=\ln10\neq\ln7$ : la somme des logarithmes est le logarithme du produit.

2. Faux. Idée : $1+\ln3=\ln e+\ln3=\ln(3e)$ . Or $e+3\neq3e$ ( $5{,}72$ contre $8{,}15$ ), donc $\ln(e+3)\neq1+\ln3$ .

3. Vrai. $e^{\ln a}=a$ pour tout $a>0$ .

4. Vrai. $e^{2\ln3}=e^{\ln9}=9$ , car $2\ln3=\ln(3^2)$ .

5. Vrai. $\ln\frac18=-\ln8=-\ln(2^3)=-3\ln2$ .

6. Vrai. $\ln(2e^3)=\ln2+\ln(e^3)=\ln2+3$ .

7. Faux. $e^{1+\ln2}=e^1\times e^{\ln2}=2e\neq e+2$ .

2 Drill LN-G.2 — vrai ou faux : domaine et sens de variation de

\ln(ax+b)

et de

e^{ax+b}

Entraînement 02 / 05

Drill LN-G.2 — vrai ou faux : domaine et sens de variation de $\ln(ax+b)$ et de $e^{ax+b}$

6 questionsCorrigé masqué

Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes. (Aucune justification n'est demandée.)

La fonction $u:x\longmapsto\ln(5-x)$ est définie sur $]5,+\infty[$ .
La fonction $v:x\longmapsto\ln(2x+6)$ est strictement croissante sur $]-3,+\infty[$ .
La fonction $w:x\longmapsto e^{1-4x}$ est strictement croissante sur $\R$ .
La fonction $x\longmapsto\ln(x^2+1)$ est définie sur $\R$ .
La fonction $x\longmapsto\ln(6-2x)$ est strictement décroissante sur $]-\infty,3[$ .
Le domaine de définition de la fonction $x\longmapsto\ln(x+1)+\ln(2-x)$ est $]-1,+\infty[$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Faux. $5-x>0\iff x<5$ : $u$ est définie sur $]-\infty,5[$ , et nulle part sur $]5,+\infty[$ .

2. Vrai. $2x+6>0\iff x>-3$ et $v'(x)=\dfrac{2}{2x+6}>0$ sur $]-3,+\infty[$ .

3. Faux. $w'(x)=-4e^{1-4x}<0$ : $w$ est strictement décroissante sur $\R$ .

4. Vrai. Pour tout réel $x$ , $x^2+1\ge1>0$ .

5. Vrai. $6-2x>0\iff x<3$ et la dérivée $\dfrac{-2}{6-2x}$ est négative sur $]-\infty,3[$ .

6. Faux. Idée : les deux logarithmes doivent exister en même temps. Il faut $x>-1$ et $x<2$ : le domaine est $]-1,2[$ .

3 Drill LN-G.3 — vrai ou faux : dérivées de

e^{u}

\ln u

, primitive à vérifier en dérivant

F

Entraînement 03 / 05

Drill LN-G.3 — vrai ou faux : dérivées de $e^{u}$ et $\ln u$ , primitive à vérifier en dérivant $F$

6 questionsCorrigé masqué

Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes. (Aucune justification n'est demandée.)

La dérivée de la fonction $x\longmapsto e^{2x+1}$ sur $\R$ est la fonction $x\longmapsto e^{2x+1}$ .
La dérivée de la fonction $x\longmapsto\ln(4x+1)$ sur $\left]-\frac14,+\infty\right[$ est la fonction $x\longmapsto\dfrac{4}{4x+1}$ .
La fonction $F:x\longmapsto x\ln x-x$ est une primitive de la fonction $x\longmapsto\ln x$ sur $]0,+\infty[$ .
La fonction $G:x\longmapsto\left(x+\frac12\right)\ln(2x+1)-x$ est une primitive de la fonction $x\longmapsto\ln(2x+1)$ sur $\left]-\frac12,+\infty\right[$ .
La fonction $H:x\longmapsto e^{x}+e^{-x}$ est une primitive de la fonction $x\longmapsto e^{x}+e^{-x}$ sur $\R$ .
$\displaystyle\int_1^{e^2}\frac1x\,dx=2$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Faux. $\left(e^{2x+1}\right)'=2e^{2x+1}$ .

2. Vrai. $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=4x+1>0$ et $u'(x)=4$ .

3. Vrai. $F'(x)=\ln x+x\times\frac1x-1=\ln x$ .

4. Vrai. Idée : dériver $G$ comme un produit. $G'(x)=\ln(2x+1)+\left(x+\frac12\right)\dfrac{2}{2x+1}-1=\ln(2x+1)+1-1=\ln(2x+1)$ .

5. Faux. $H'(x)=e^{x}-e^{-x}$ , qui n'est pas $e^{x}+e^{-x}$ (en $x=1$ : $2{,}35$ contre $3{,}09$ ).

6. Vrai. $\displaystyle\int_1^{e^2}\frac1x\,dx=\ln(e^2)-\ln1=2$ .

4 Drill LN-G.4 — vrai ou faux : limites de

\ln u

aux bornes et de

(\ln a)^n

Entraînement 04 / 05

Drill LN-G.4 — vrai ou faux : limites de $\ln u$ aux bornes et de $(\ln a)^n$

6 questionsCorrigé masqué

Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes. (Aucune justification n'est demandée.)

$\lim\limits_{x\to0^+}\ln(5x)=0$ .
$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(\frac1x\right)=-\infty$ .
$\lim\limits_{x\to-\infty}\ln(3-2x)=+\infty$ .
$\lim\limits_{x\to1^+}\ln(x-1)=-\infty$ .
$\lim\limits_{n\to+\infty}(\ln3)^n=0$ .
$\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\ln\frac32\right)^n=0$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Faux. Quand $x\to0^+$ , $5x\to0^+$ , donc $\ln(5x)\to-\infty$ .

2. Vrai. $\ln\frac1x=-\ln x$ et $\ln x\to+\infty$ .

3. Vrai. Quand $x\to-\infty$ , $3-2x\to+\infty$ , donc $\ln(3-2x)\to+\infty$ .

4. Vrai. Quand $x\to1^+$ , $x-1\to0^+$ , donc $\ln(x-1)\to-\infty$ .

5. Faux. Idée : $q^n$ tend vers $0$ seulement si $-1<q<1$ ; il faut situer $\ln3$ par rapport à $1=\ln e$ . $3>e$ , donc $\ln3>1$ et $(\ln3)^n\to+\infty$ .

6. Vrai. $1<\frac32<e$ , donc $0<\ln\frac32<1$ et $\left(\ln\frac32\right)^n\to0$ .

5 Drill LN-G.5 — vrai ou faux : valeurs intermédiaires, bijection et réciproque avec

\ln

Entraînement 05 / 05

Drill LN-G.5 — vrai ou faux : valeurs intermédiaires, bijection et réciproque avec $\ln$

6 questionsCorrigé masqué

Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes. (Aucune justification n'est demandée.)

Si $f$ est une fonction continue et strictement croissante sur $[1,4]$ avec $f(1)=-2$ et $f(4)=3$ , alors l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $[1,4]$ .
La fonction $x\longmapsto\ln(x+2)$ réalise une bijection de $]-2,+\infty[$ sur $\R$ .
La fonction $x\longmapsto e^{x}-1$ réalise une bijection de $\R$ sur $\R$ .
L'équation $\ln x=-3$ admet une unique solution dans $]0,+\infty[$ .
La fonction réciproque de la fonction $x\longmapsto\ln(x-1)$ , définie sur $]1,+\infty[$ , est la fonction $x\longmapsto e^{x}-1$ .
Si $f$ est une fonction continue et strictement décroissante sur $[0,2]$ avec $f(0)=1$ et $f(2)=-3$ , alors l'équation $f(x)=2$ admet une solution dans $[0,2]$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Vrai. $f$ réalise une bijection de $[1,4]$ sur $[-2,3]$ et $0\in[-2,3]$ : $0$ a un unique antécédent.

2. Vrai. Elle est continue, strictement croissante, de limites $-\infty$ en $-2^+$ et $+\infty$ en $+\infty$ .

3. Faux. $e^{x}>0$ , donc $e^{x}-1>-1$ : l'image est $]-1,+\infty[$ , pas $\R$ ( $-2$ n'a pas d'antécédent).

4. Vrai. $\ln$ est une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\R$ : l'unique solution est $x=e^{-3}$ .

5. Faux. Idée : résoudre $y=\ln(x-1)$ en $x$ . $x-1=e^{y}$ , donc $x=e^{y}+1$ : la réciproque est $x\longmapsto e^{x}+1$ .

6. Faux. $f$ prend ses valeurs dans $[-3,1]$ et $2\notin[-3,1]$ : l'équation n'a pas de solution.

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Drill LN-G.1 — vrai ou faux : règles de calcul de $\ln$ et $e$ , le piège de $\ln(a+b)$

Drill LN-G.2 — vrai ou faux : domaine et sens de variation de $\ln(ax+b)$ et de $e^{ax+b}$

Drill LN-G.3 — vrai ou faux : dérivées de $e^{u}$ et $\ln u$ , primitive à vérifier en dérivant $F$

Drill LN-G.4 — vrai ou faux : limites de $\ln u$ aux bornes et de $(\ln a)^n$

Drill LN-G.5 — vrai ou faux : valeurs intermédiaires, bijection et réciproque avec $\ln$

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