MX-GMatrices et systèmes linéaires

Le problème de matrices Informatique : déterminant, $A^{-1}$ tirée de $A^2+aA=bI_3$ , système $(S)$ , puis coefficients d'un polynôme complexe, d'une suite ou d'une fonction

Idée directrice

L'exercice de matrices de la section Informatique est une chaîne dont chaque étape sert la suivante : le déterminant prouve que $A$ est inversible, une relation matricielle donnée (un produit $A\times B=kI_3$ , ou une relation $A^2+aA=bI_3$ qu'on factorise en $A\left(A+aI_3\right)=bI_3$ ) fournit $A^{-1}$ sans calcul de cofacteurs, et $X=A^{-1}Y$ résout le système $(S)$ . Depuis 2024, la dernière partie traduit le plus souvent un autre problème — les coefficients d'un polynôme complexe soumis à des conditions, ceux d'une suite $u_{n+1}=au_n+bn+c$ , des prix — en exactement ce système : on reconnaît $(S)$ , on réutilise sa solution, puis on exploite les coefficients obtenus.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Calculer le déterminant de $A$ et en déduire que $A$ est inversible » ; « Calculer $A^2$ et en déduire que $A^2+4A=5I_3$ » ; « Montrer que $A\times B=kI_3$ , et en déduire $A^{-1}$ » ; « En utilisant l'écriture matricielle du système $(S)$ , résoudre $(S)$ » ; « Montrer que le triplet $(a,b,c)$ est la solution du système $(S)$ » ; « sont équivalentes au système » ; « Montrer que la situation se traduit par le système $(S)$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

« En déduire que $A$ est inversible » : calculer $\det A$ en développant suivant une ligne (de préférence celle qui contient un $0$ ou le paramètre) et constater qu'il est non nul.
Relation $A^2+aA=bI_3$ avec $b\neq0$ : factoriser à gauche par $A$ , $A\left(A+aI_3\right)=bI_3$ , d'où $A^{-1}=\dfrac1b\left(A+aI_3\right)$ ; relation $A\times B=kI_3$ : $A^{-1}=\dfrac1kB$ .
Système : poser $X$ et $Y$ , écrire $AX=Y$ , puis $X=A^{-1}Y$ (multiplication à gauche) et vérifier la solution dans les trois équations.
Modélisation : traduire chaque condition en une équation linéaire (partie réelle et partie imaginaire d'un complexe nul, relation de récurrence pour $n=0,1,2$ , point et pente d'une courbe), puis reconnaître $(S)$ au lieu de le résoudre à nouveau.
Terminer en exploitant les coefficients : factoriser $P(z)$ et résoudre, suite auxiliaire géométrique, étude de la fonction.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Écrire $A^{-1}=\dfrac{1}{A}$ ou « diviser par $A$ » : on obtient $A^{-1}$ uniquement en exhibant une matrice $M$ telle que $A\times M=I_3$ ; calculer $YA^{-1}$ au lieu de $A^{-1}Y$ (le produit matriciel n'est pas commutatif, et $YA^{-1}$ n'a même pas de sens pour une colonne $Y$ ) ; dans $P(1)=0$ , oublier qu'un complexe nul donne deux équations réelles, ou garder la partie réelle de $P(i)$ quand l'énoncé impose sa partie imaginaire ; dans le système de modélisation, ranger les inconnues dans un autre ordre que celui de $(S)$ et ne plus le reconnaître ; conclure que $A$ n'est pas inversible parce qu'un coefficient de $A$ est nul.

Sujet principal

Exercice 1 — matrices et système (5 points), dans l'esprit des sessions Informatique 2022–2026

4 questionsCorrigé masqué

On considère les matrices

A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\6&0&3\\-4&2&1\end{pmatrix},\quad I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

Inverse de $A$ .
1. Calculer le déterminant de $A$ et en déduire que $A$ est inversible. (On notera $A^{-1}$ la matrice inverse de $A$ .)
2. Calculer $A^2$ et vérifier que $A^2+A=12I_3$ .
3. En déduire que $A^{-1}=\dfrac1{12}\left(A+I_3\right)$ , puis écrire la matrice $A^{-1}$ .
On considère le système $(S)$ suivant, où $x$ , $y$ et $z$ sont des réels : $\begin{cases}x+y-z=0\\6x+3z=0\\-4x+2y+z=-12\end{cases}$
1. Donner l'écriture matricielle de $(S)$ .
2. Résoudre alors le système $(S)$ dans $\R^3$ .
Pour tout nombre complexe $z$ , on considère $P(z)=az^3+(-b+3ia)z^2+(2b+3ia-2c)z+c(1+3i)$ , où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels tels que $P(1)=0$ et $\operatorname{Im}\left(P(i)\right)=-12$ ( $\operatorname{Im}(P(i))$ désigne la partie imaginaire de $P(i)$ ).
1. Montrer que $P(1)=(a+b-c)+i(6a+3c)$ et que $P(i)=(-3a+b+c)+i(-4a+2b+c)$ .
2. Montrer que les conditions $P(1)=0$ et $\operatorname{Im}\left(P(i)\right)=-12$ sont équivalentes au système $\begin{cases}a+b-c=0\\6a+3c=0\\-4a+2b+c=-12\end{cases}$
3. En déduire que $P(z)=z^3+(3+3i)z^2+(-2+3i)z-2-6i$ .
Résolution de l'équation $P(z)=0$ .
1. Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$ , $P(z)=(z-1)\left(z^2+(4+3i)z+2+6i\right)$ .
2. Résoudre alors dans $\C$ l'équation $P(z)=0$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : développer suivant la première ligne ; une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

\det A=1(0-6)-1(6+12)+(-1)(12-0)

donc $\det A=-6-18-12=\boxed{-36}\neq0$ : la matrice $A$ est inversible.

1.b Produit ligne par colonne (par exemple, le coefficient de la ligne 2, colonne 1 vaut $6\times1+0\times6+3\times(-4)=-6$ ) :

A^2=\begin{pmatrix}11&-1&1\\-6&12&-3\\4&-2&11\end{pmatrix}

En ajoutant $A$ coefficient par coefficient, les termes hors diagonale s'annulent ( $-1+1=0$ , $1-1=0$ , $-6+6=0$ , …) et les termes diagonaux valent $11+1$ , $12+0$ et $11+1$ , soit $12$ : $\boxed{A^2+A=12I_3}$ .

1.c Idée : factoriser par $A$ pour faire apparaître un produit égal à $I_3$ . $A^2+A=A\left(A+I_3\right)=12I_3$ , donc $A\times\dfrac1{12}\left(A+I_3\right)=I_3$ , ce qui donne :

A^{-1}=\frac1{12}\left(A+I_3\right)

A^{-1}=\frac1{12}\begin{pmatrix}2&1&-1\\6&1&3\\-4&2&2\end{pmatrix}

2.a On pose $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}0\\0\\-12\end{pmatrix}$ : les coefficients de $(S)$ sont exactement ceux de $A$ , donc $(S)\iff AX=Y$ .

2.b Idée : $A$ est inversible, on multiplie à gauche par $A^{-1}$ . $AX=Y\iff X=A^{-1}Y$ :

X=\frac1{12}\begin{pmatrix}12\\-36\\-24\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-2\end{pmatrix}

La solution unique de $(S)$ est $\boxed{(1\,;\,-3\,;\,-2)}$ . Vérification : $1-3+2=0$ , $6-6=0$ et $-4-6-2=-12$ .

3.a On remplace $z$ par $1$ , puis on regroupe parties réelle et imaginaire ( $a$ , $b$ , $c$ sont réels) :

P(1)=a-b+3ia+2b+3ia-2c+c+3ic

soit $P(1)=(a+b-c)+i(6a+3c)$ . Avec $i^2=-1$ et $i^3=-i$ :

P(i)=-ia+b-3ia+2ib-3a-2ic+c+3ic

soit $P(i)=(-3a+b+c)+i(-4a+2b+c)$ .

3.b Idée : un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelle et imaginaire sont nulles. $P(1)=0\iff a+b-c=0$ et $6a+3c=0$ ; la condition $\operatorname{Im}\left(P(i)\right)=-12$ s'écrit $-4a+2b+c=-12$ . Les deux conditions équivalent donc au système annoncé.

3.c Ce système est le système $(S)$ de la question 2, les inconnues s'appelant $a$ , $b$ , $c$ au lieu de $x$ , $y$ , $z$ . D'après 2.b, $a=1$ , $b=-3$ et $c=-2$ . On remplace : $-b+3ia=3+3i$ , $2b+3ia-2c=-6+3i+4=-2+3i$ et $c(1+3i)=-2-6i$ , d'où $\boxed{P(z)=z^3+(3+3i)z^2+(-2+3i)z-2-6i}$ .

4.a On développe :

(z-1)\left(z^2+(4+3i)z+2+6i\right)

$=z^3+(4+3i)z^2+(2+6i)z-z^2-(4+3i)z-2-6i=z^3+(3+3i)z^2+(-2+3i)z-2-6i=P(z)$ .

4.b Idée : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul ; le facteur du second degré se résout avec son discriminant. $P(z)=0\iff z=1$ ou $z^2+(4+3i)z+2+6i=0$ . Pour cette équation du second degré :

\Delta=(4+3i)^2-4(2+6i)

$\Delta=7+24i-8-24i=-1=i^2$ : une racine carrée de $\Delta$ est $\delta=i$ . Les solutions sont $z_1=\dfrac{-4-3i+i}{2}=-2-i$ et $z_2=\dfrac{-4-3i-i}{2}=-2-2i$ .

L'ensemble des solutions de $P(z)=0$ est $\boxed{\{1\,;\,-2-i\,;\,-2-2i\}}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : inverse lue dans $A\times B=kI_3$ avec $k$ négatif ou grand ( $-18I_3$ en principale 2024, $-56I_3$ en contrôle 2026) ; relation $A^2+4A=5I_3$ (principale 2026) ou $A^2+A=2I_3$ (principale 2023) ; déterminant à paramètre de la forme $3a-4$ (contrôle 2022) ou $-4a+8$ (principale 2019), valeur non inversible, puis, pour une valeur particulière du paramètre, relation $M^2+2M=-I_3$ d'où $M^{-1}=-M-2I_3$ (contrôle 2022) ou produit $A\times B=4I_3$ (principale 2019) ; modélisation vers les coefficients d'une suite $u_{n+1}=au_n+bn+c$ puis suite géométrique auxiliaire (principale 2024), vers les prix de trois types de cahiers (principale 2025), vers les chiffres d'un entier $N$ (contrôle 2025), vers les coefficients d'un polynôme complexe avec $P(1)=0$ et $\operatorname{Re}(P(-1))=8$ (contrôle 2026), ou vers $f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}$ à partir d'une courbe (principale 2017).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill MX-G.1 — déterminant à paramètre : la valeur non inversible, puis

A\times B=4I_3

Entraînement 01 / 03

Drill MX-G.1 — déterminant à paramètre : la valeur non inversible, puis $A\times B=4I_3$

2 questionsCorrigé masqué

Pour tout réel $m$ , on considère la matrice

M_m=\begin{pmatrix}m&3&1\\1&3&0\\1&1&1\end{pmatrix}.

Déterminant.
1. Montrer que le déterminant de $M_m$ est égal à $3m-5$ .
2. Pour quelle valeur de $m$ la matrice $M_m$ n'est-elle pas inversible ?
Dans la suite, on prend $m=3$ et on note $A=M_3$ . On donne la matrice $B=\begin{pmatrix}3&-2&-3\\-1&2&1\\-2&0&6\end{pmatrix}$ .
1. Justifier que $A$ est inversible.
2. Calculer $A\times B$ et en déduire $A^{-1}$ .
3. Résoudre dans $\R^3$ le système $(S)$ : $\begin{cases}3x+3y+z=6\\x+3y=-1\\x+y+z=4\end{cases}$

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : développer suivant la première ligne, la seule qui contient $m$ .

\det M_m=m(3-0)-3(1-0)+1(1-3)

donc $\det M_m=3m-3-2=\boxed{3m-5}$ .

1.b $M_m$ n'est pas inversible si et seulement si $\det M_m=0$ , soit $3m-5=0$ : $\boxed{m=\dfrac53}$ . Pour toute autre valeur de $m$ , la matrice $M_m$ est inversible.

2.a $m=3\neq\dfrac53$ : $\det A=3\times3-5=4\neq0$ , donc $A$ est inversible.

2.b Ligne 1 de $A$ par les colonnes de $B$ : $9-3-2=4$ , $-6+6+0=0$ , $-9+3+6=0$ ; ligne 2 : $3-3=0$ , $-2+6=4$ , $-3+3=0$ ; ligne 3 : $3-1-2=0$ , $-2+2=0$ , $-3+1+6=4$ . Donc $A\times B=4I_3$ , c'est-à-dire $A\times\dfrac14B=I_3$ :

A^{-1}=\frac14B=\frac14\begin{pmatrix}3&-2&-3\\-1&2&1\\-2&0&6\end{pmatrix}

2.c Idée : reconnaître la matrice $A$ dans les coefficients du système. On pose $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ , $Y=\begin{pmatrix}6\\-1\\4\end{pmatrix}$ : $(S)\iff AX=Y\iff X=A^{-1}Y$ .

X=\frac14\begin{pmatrix}18+2-12\\-6-2+4\\-12+0+24\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}

La solution unique est $\boxed{(2\,;\,-1\,;\,3)}$ ; vérification : $6-3+3=6$ , $2-3=-1$ , $2-1+3=4$ .

2 Drill MX-G.2 — suite

u_{n+1}=au_n+bn+c

: les coefficients par le système, puis la forme explicite

Entraînement 02 / 03

Drill MX-G.2 — suite $u_{n+1}=au_n+bn+c$ : les coefficients par le système, puis la forme explicite

4 questionsCorrigé masqué

On considère les matrices

A=\begin{pmatrix}1&0&1\\5&1&1\\21&2&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}-1&2&-1\\16&-20&4\\-11&-2&1\end{pmatrix}.

Inverse de $A$ .
1. Montrer que la matrice $A$ est inversible.
2. Calculer $A\times B$ et en déduire $A^{-1}$ .
On considère le système $(S)$ : $\begin{cases}x+z=5\\5x+y+z=21\\21x+2y+z=73\end{cases}$ où $x$ , $y$ et $z$ sont des réels. En utilisant l'écriture matricielle de $(S)$ , résoudre $(S)$ .
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_0=1$ et $u_{n+1}=au_n+bn+c$ pour tout $n\in\N$ , où $a$ , $b$ et $c$ sont trois réels. On donne $u_1=5$ , $u_2=21$ et $u_3=73$ .
1. Montrer que le triplet $(a,b,c)$ est la solution du système $(S)$ .
2. En déduire que, pour tout $n\in\N$ , $u_{n+1}=3u_n+4n+2$ .
Soit la suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par $v_n=u_n+2n+2$ .
1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $3$ .
2. En déduire que, pour tout $n\in\N$ , $u_n=3^{n+1}-2n-2$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Suivant la première ligne : $\det A=1(1-2)-0+1(10-21)=-1-11=\boxed{-12}\neq0$ , donc $A$ est inversible.

1.b Ligne 1 de $A$ : $-1-11=-12$ , $2-2=0$ , $-1+1=0$ ; ligne 2 : $-5+16-11=0$ , $10-20-2=-12$ , $-5+4+1=0$ ; ligne 3 : $-21+32-11=0$ , $42-40-2=0$ , $-21+8+1=-12$ . Donc $A\times B=-12I_3$ et

A^{-1}=-\frac1{12}B

2. On pose $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}5\\21\\73\end{pmatrix}$ : $(S)\iff AX=Y\iff X=A^{-1}Y$ .

X=-\frac1{12}\begin{pmatrix}-36\\-48\\-24\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}

La solution unique de $(S)$ est $\boxed{(3\,;\,4\,;\,2)}$ .

3.a Idée : écrire la relation de récurrence pour $n=0$ , $1$ , $2$ ; chaque égalité est linéaire en $a$ , $b$ , $c$ .

$n=0$ : $u_1=au_0+c$ , soit $a+c=5$ ;
$n=1$ : $u_2=au_1+b+c$ , soit $5a+b+c=21$ ;
$n=2$ : $u_3=au_2+2b+c$ , soit $21a+2b+c=73$ .

Le triplet $(a,b,c)$ vérifie donc $(S)$ , dont il est la solution (unique).

3.b D'après la question 2, $a=3$ , $b=4$ et $c=2$ : pour tout $n\in\N$ , $\boxed{u_{n+1}=3u_n+4n+2}$ .

4.a Idée : exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ , puis factoriser par $3$ .

v_{n+1}=3u_n+4n+2+2(n+1)+2

donc $v_{n+1}=3u_n+6n+6=3\left(u_n+2n+2\right)=3v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $3$ , de premier terme $v_0=u_0+2=3$ .

4.b $v_n=v_0\times3^n=3^{n+1}$ , et $u_n=v_n-2n-2$ , d'où $\boxed{u_n=3^{n+1}-2n-2}$ . Contrôle : $u_3=81-8=73$ .

3 Drill MX-G.3 —

f(x)=(ax^2+bx+c)e^x

: trois renseignements sur la courbe, un système

3\times3

Entraînement 03 / 03

Drill MX-G.3 — $f(x)=(ax^2+bx+c)e^x$ : trois renseignements sur la courbe, un système $3\times3$

3 questionsCorrigé masqué

On considère les matrices

A=\begin{pmatrix}1&1&1\\3&2&1\\1&-1&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}3&-2&-1\\-2&0&2\\-5&2&-1\end{pmatrix}.

La matrice $A$ et son inverse.
1. Montrer que $A$ est inversible à l'aide de son déterminant.
2. Calculer $A\times B$ et en déduire $A^{-1}$ .
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(ax^2+bx+c)e^x$ , où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels, et $\mathscr C$ sa courbe dans un repère orthonormé. On sait que $\mathscr C$ passe par le point $E(1\,;\,-e)$ , que la tangente à $\mathscr C$ en $E$ a pour coefficient directeur $-2e$ , et que $\mathscr C$ passe par le point $F\left(-1\,;\,5e^{-1}\right)$ .
1. Montrer que, pour tout réel $x$ , $f'(x)=\left(ax^2+(2a+b)x+b+c\right)e^x$ .
2. Montrer que les réels $a$ , $b$ et $c$ vérifient le système $(S)$ : $\begin{cases}a+b+c=-1\\3a+2b+c=-2\\a-b+c=5\end{cases}$
3. Écrire le système $(S)$ sous forme matricielle et en déduire l'expression de $f(x)$ .
Exploitation.
1. Vérifier que $f'(x)=(x-2)(x+1)e^x$ et en déduire les abscisses des points de $\mathscr C$ où la tangente est horizontale.
2. Vérifier que la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=(x^2-5x+6)e^x$ est une primitive de $f$ sur $\R$ , puis calculer $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\dd x$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Suivant la première ligne : $\det A=1(2+1)-1(3-1)+1(-3-2)=3-2-5=\boxed{-4}\neq0$ , donc $A$ est inversible.

1.b Ligne 1 de $A$ : $3-2-5=-4$ , $-2+0+2=0$ , $-1+2-1=0$ ; ligne 2 : $9-4-5=0$ , $-6+0+2=-4$ , $-3+4-1=0$ ; ligne 3 : $3+2-5=0$ , $-2+0+2=0$ , $-1-2-1=-4$ . Donc $A\times B=-4I_3$ et

A^{-1}=-\frac14B

2.a Dérivée d'un produit, avec $(e^x)'=e^x$ : $f'(x)=(2ax+b)e^x+(ax^2+bx+c)e^x=\left(ax^2+(2a+b)x+b+c\right)e^x$ .

2.b Idée : chaque renseignement donne une équation linéaire en $a$ , $b$ , $c$ .

$E\in\mathscr C$ : $f(1)=(a+b+c)e=-e$ , soit $a+b+c=-1$ ;
pente $-2e$ en $E$ : $f'(1)=(a+2a+b+b+c)e=(3a+2b+c)e=-2e$ , soit $3a+2b+c=-2$ ;
$F\in\mathscr C$ : $f(-1)=(a-b+c)e^{-1}=5e^{-1}$ , soit $a-b+c=5$ .

2.c On pose $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix}$ : $(S)\iff AX=Y\iff X=A^{-1}Y$ .

X=-\frac14\begin{pmatrix}-4\\12\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}

Donc $a=1$ , $b=-3$ , $c=1$ et $\boxed{f(x)=(x^2-3x+1)e^x}$ .

3.a Avec $a=1$ , $b=-3$ , $c=1$ : $f'(x)=(x^2-x-2)e^x=(x-2)(x+1)e^x$ . Comme $e^x>0$ , $f'(x)=0\iff x=2$ ou $x=-1$ : la tangente est horizontale aux points d'abscisses $\boxed{-1}$ et $\boxed{2}$ .

3.b $G'(x)=(2x-5)e^x+(x^2-5x+6)e^x=(x^2-3x+1)e^x=f(x)$ : $G$ est une primitive de $f$ sur $\R$ . Donc

\int_0^1 f(x)\,\dd x=G(1)-G(0)=\boxed{2e-6}

soit environ $-0{,}56$ : l'intégrale est négative car $f(x)$ a le signe de $x^2-3x+1$ , négatif sur $\left]\frac{3-\sqrt5}2\,;\,1\right]$ (plus de la moitié de l'intervalle) et positif seulement sur $\left[0\,;\,\frac{3-\sqrt5}2\right[$ , avec $\frac{3-\sqrt5}2\approx0{,}38$ .

Relier ce raisonnement au bac

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Le problème de matrices Informatique : déterminant, $A^{-1}$ tirée de $A^2+aA=bI_3$ , système $(S)$ , puis coefficients d'un polynôme complexe, d'une suite ou d'une fonction

Exercice 1 — matrices et système (5 points), dans l'esprit des sessions Informatique 2022–2026

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill MX-G.1 — déterminant à paramètre : la valeur non inversible, puis $A\times B=4I_3$

Drill MX-G.2 — suite $u_{n+1}=au_n+bn+c$ : les coefficients par le système, puis la forme explicite

Drill MX-G.3 — $f(x)=(ax^2+bx+c)e^x$ : trois renseignements sur la courbe, un système $3\times3$

Relier ce raisonnement au bac

Le problème de matrices Informatique : déterminant, A−1A^{-1}A−1 tirée de A2+aA=bI3A^2+aA=bI_3A2+aA=bI3​, système (S)(S)(S), puis coefficients d'un polynôme complexe, d'une suite ou d'une fonction

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Le problème de matrices Informatique : déterminant, $A^{-1}$ tirée de $A^2+aA=bI_3$ , système $(S)$ , puis coefficients d'un polynôme complexe, d'une suite ou d'une fonction