MX-FMatrices et systèmes linéaires

Système $3\times3$ pour identifier des coefficients : coût de production $C(x)=ax^3+bx^2+cx+60$ connu en trois points, puis coût et prix de vente

Idée directrice

Depuis 2023, l'exercice de matrices d'Économie et Gestion change parfois de décor : les inconnues du système ne sont plus des quantités achetées mais les coefficients d'une expression — une fonction coût $C(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ connue en trois points, une fraction rationnelle à décomposer, ou les nombres de sommets de chaque degré d'un graphe. La démarche reste celle du système : chaque donnée fournit une équation linéaire en $a$ , $b$ , $c$ ; on la simplifie pour retrouver une ligne de la matrice $A$ de la première partie ; l'inverse de $A$ (souvent une matrice $B$ à vérifier) donne les coefficients, et l'expression obtenue sert enfin à calculer un coût, un prix ou une intégrale.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Montrer que $B$ est la matrice inverse de $A$ » ; « Montrer que le triplet $(a,b,c)$ est une solution du système $(S)$ » ; « Justifier que $C(x)=\dots$ » ; « Montrer que $a$ , $b$ et $c$ vérifient le système $(S)$ » ; « Montrer que $x$ , $y$ et $z$ vérifient le système $(S)$ »

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Une donnée $C(x_0)=y_0$ fournit une équation linéaire en $a$ , $b$ , $c$ : remplacer $x$ par $x_0$ , retirer la partie connue, simplifier par $x_0$ pour retrouver une ligne de $A$ .
« Montrer que $B$ est l'inverse de $A$ » : un seul produit, $A\times B=I_3$ , suffit.
$A$ inversible $\Rightarrow$ $(S)$ a une solution unique $X=A^{-1}Y$ ; c'est cette unicité qui autorise « en déduire $C(x)=\dots$ ».
Revenir aux unités : $x$ en centaines, $C(x)$ en milliers de dinars ; prix unitaire $=\dfrac{\text{coût}+\text{bénéfice}}{\text{quantité}}$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier de retrancher la constante $60$ avant de diviser par $x$ ; écrire $C(3)=9a+3b+c+60$ en simplifiant trop tôt ; prendre $x=500$ au lieu de $x=5$ ; confondre le prix de vente avec le coût moyen $\frac{C(5)}{5}$ , qui ignore le bénéfice ; donner « $0{,}6$ » sans préciser qu'il s'agit de milliers de dinars.

Sujet principal

Exercice 2 — matrices et identification de coefficients (5 points), dans l'esprit des sessions Économie et Gestion 2023–2025

4 questionsCorrigé masqué

Soient les matrices $A=\begin{pmatrix}4&2&1\\9&3&1\\16&4&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0{,}5&-1&0{,}5\\-3{,}5&6&-2{,}5\\6&-8&3\end{pmatrix}$ .

Montrer que $B$ est la matrice inverse de $A$ .
Soit dans $\R^3$ le système $(S) : \begin{cases}4a+2b+c=10\\9a+3b+c=15\\16a+4b+c=24\end{cases}$
1. Donner l'écriture matricielle du système $(S)$ .
2. Résoudre dans $\R^3$ le système $(S)$ .
Une entreprise fabrique des panneaux solaires. Pour une production mensuelle de $x$ centaines de panneaux, $x\in[0,6]$ , le coût total de production, en milliers de dinars, est modélisé par $C(x)=ax^3+bx^2+cx+60$ , où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels. On donne le tableau suivant : $\begin{array}{l|c|c|c} x & 2 & 3 & 4\\\hline C(x) & 80 & 105 & 156\end{array}$
1. Montrer que le triplet $(a,b,c)$ est une solution du système $(S)$ .
2. En déduire que $C(x)=2x^3-5x^2+12x+60$ .
Au mois de mars, l'entreprise a produit et vendu $500$ panneaux.
1. En utilisant cette modélisation, quel a été le coût total de production de ce mois ?
2. Quel était alors le prix de vente d'un panneau, si le bénéfice total du mois était de $55\,000$ dinars ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : pour des matrices carrées, il suffit de vérifier $A\times B=I_3$ . Ligne 1 de $A$ par les colonnes de $B$ : $2-7+6=1$ , $-4+12-8=0$ , $2-5+3=0$ . Ligne 2 : $4{,}5-10{,}5+6=0$ , $-9+18-8=1$ , $4{,}5-7{,}5+3=0$ . Ligne 3 : $8-14+6=0$ , $-16+24-8=0$ , $8-10+3=1$ .

On obtient $A\times B=I_3$ : $A$ est inversible et $\boxed{A^{-1}=B}$ .

2.a On pose $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}10\\15\\24\end{pmatrix}$ ; $(S)\iff AX=Y$ .

2.b $AX=Y\iff X=A^{-1}Y=BY$ :

X=\begin{pmatrix}5-15+12\\-35+90-60\\60-120+72\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-5\\12\end{pmatrix}

Donc $\boxed{S_{\R^3}=\{(2\,;-5\,;12)\}}$ .

3.a Idée : écrire chaque donnée du tableau, retrancher les coûts fixes $60$ , puis diviser par la valeur de $x$ pour retrouver une ligne de $A$ .

$C(2)=80\iff8a+4b+2c+60=80\iff8a+4b+2c=20\iff4a+2b+c=10$ .

$C(3)=105\iff27a+9b+3c=45\iff9a+3b+c=15$ .

$C(4)=156\iff64a+16b+4c=96\iff16a+4b+c=24$ .

Le triplet $(a,b,c)$ vérifie donc les trois équations de $(S)$ .

3.b $A$ étant inversible, $(S)$ admet une unique solution ; par 2.b, $(a,b,c)=(2,-5,12)$ , d'où $\boxed{C(x)=2x^3-5x^2+12x+60}$ .

4.a Idée : $500$ panneaux, c'est $x=5$ centaines. $C(5)=250-125+60+60=245$ : le coût total du mois a été de $245$ milliers de dinars, soit $245\,000$ DT.

4.b Idée : bénéfice $=$ recette $-$ coût, donc recette $=$ coût $+$ bénéfice. La recette vaut $245\,000+55\,000=300\,000$ DT pour $500$ panneaux ; le prix de vente d'un panneau était donc $\dfrac{300\,000}{500}=\boxed{600\text{ DT}}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : coût de mise en bouteille d'huile $C(x)=ax^3+bx^2+cx+100$ connu pour $x=1,2,3$ , puis coût d'une production et prix de vente pour un bénéfice donné (contrôle 2025) ; décomposition d'une fraction rationnelle de dénominateur $(x+2)(x-1)^2$ en $\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}$ , suivie d'une intégrale égale à $2\ln2$ (principale 2023) ; graphe d'ordre $9$ à $12$ arêtes dont on cherche les nombres de sommets de degré $2$ , $3$ et $4$ (contrôle 2024). Variante récente du sujet de matrices : l'analyse ne la relève dans aucune session 2015–2020.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill MX-F.1 — décomposer une fraction :

a

b

c

par un système, puis une intégrale

Entraînement 01 / 02

Drill MX-F.1 — décomposer une fraction : $a$ , $b$ , $c$ par un système, puis une intégrale

3 questionsCorrigé masqué

Soient les matrices $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\-2&0&1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&-1&1\\3&1&-1\\2&2&2\end{pmatrix}$ .

1. Calculer le déterminant de $A$ et déduire que $A$ est inversible.
2. Calculer $A\times B$ puis donner la matrice $A^{-1}$ inverse de $A$ .
Soient $a$ , $b$ et $c$ trois réels tels que, pour tout $x>1$ : $\dfrac{2x^2+2x+4}{(x+1)(x-1)^2}=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{(x-1)^2}$ .
1. Montrer que $a$ , $b$ et $c$ vérifient le système $(S) : \begin{cases}a+b=2\\-2a+c=2\\a-b+c=4\end{cases}$
2. Donner l'écriture matricielle de $(S)$ .
3. Déterminer alors $a$ , $b$ et $c$ .
En déduire que $\displaystyle\int_3^5\frac{2x^2+2x+4}{(x+1)(x-1)^2}\,dx=1+\ln3$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Suivant la première ligne : $\det A=1\times(0+1)-1\times(-2-1)+0=1+3=4\neq0$ , donc $A$ est inversible.

1.b Le produit ligne par colonne donne $A\times B=4I_3$ (ligne 2, colonne 2 : $2+0+2=4$ ; ligne 3, colonne 1 : $1-3+2=0$ ). D'où $\boxed{A^{-1}=\frac14B}$ .

2.a Idée : réduire le membre de droite au dénominateur $(x+1)(x-1)^2$ , puis identifier les coefficients des deux numérateurs. Le numérateur obtenu est

a(x-1)^2+b(x+1)(x-1)+c(x+1)

=(a+b)x^2+(-2a+c)x+(a-b+c)

Il est égal à $2x^2+2x+4$ pour tout $x>1$ , d'où $a+b=2$ , $-2a+c=2$ et $a-b+c=4$ : $a$ , $b$ et $c$ vérifient $(S)$ .

2.b La matrice de $(S)$ est $A$ : avec $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}$ , $(S)\iff AX=Y$ .

2.c $X=\dfrac14BY=\dfrac14\begin{pmatrix}2-2+4\\6+2-4\\4+4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}$ , donc $a=1$ , $b=1$ et $c=4$ .

3. Idée : intégrer terme à terme sur $[3,5]$ , où $x+1>0$ et $x-1>0$ . Une primitive de $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{4}{(x-1)^2}$ sur $]1,+\infty[$ est $F(x)=\ln(x+1)+\ln(x-1)-\dfrac{4}{x-1}$ .

F(5)=\ln6+\ln4-1

F(3)=\ln4+\ln2-2

Donc $F(5)-F(3)=\ln6-\ln2+1$ , c'est-à-dire $\boxed{1+\ln3}$ .

2 Drill MX-F.2 — graphe : les nombres de sommets de chaque degré par un système

Entraînement 02 / 02

Drill MX-F.2 — graphe : les nombres de sommets de chaque degré par un système

2 questionsCorrigé masqué

Soient les matrices $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-1&1\\4&3&2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-5&1&2\\4&-2&-1\\4&1&-1\end{pmatrix}$ .

1. Calculer le déterminant de $A$ et déduire que $A$ est inversible.
2. Calculer $A\times B$ puis en déduire la matrice $A^{-1}$ .
Soit $(G)$ un graphe non orienté d'ordre $10$ ayant $14$ arêtes, dont chaque sommet est de degré $2$ , $3$ ou $4$ . Le graphe $(G)$ comporte autant de sommets de degré $2$ que de sommets de degré $3$ . On désigne par $x$ , $y$ et $z$ les nombres de sommets de degré $4$ , $3$ et $2$ respectivement.
1. Montrer que $x$ , $y$ et $z$ vérifient le système $(S) : \begin{cases}x+y+z=10\\-y+z=0\\4x+3y+2z=28\end{cases}$
2. Donner l'écriture matricielle de $(S)$ .
3. Trouver alors $x$ , $y$ et $z$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $\det A=1\times(-2-3)-1\times(0-4)+1\times(0+4)=-5+4+4=3\neq0$ : $A$ est inversible.

1.b Le produit ligne par colonne donne $A\times B=3I_3$ (ligne 3, colonne 3 : $8-3-2=3$ ). D'où $\boxed{A^{-1}=\frac13B}$ .

2.a Idée : l'ordre compte les sommets ; la somme des degrés vaut le double du nombre d'arêtes, chaque arête ayant deux extrémités. Les $10$ sommets se répartissent selon leur degré : $x+y+z=10$ . Autant de sommets de degré $2$ que de degré $3$ : $z=y$ , soit $-y+z=0$ . La somme des degrés vaut $4x+3y+2z=2\times14=28$ . Donc $(x,y,z)$ vérifie $(S)$ .

2.b Avec $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}10\\0\\28\end{pmatrix}$ , $(S)\iff AX=Y$ .

2.c $X=\dfrac13BY=\dfrac13\begin{pmatrix}-50+0+56\\40-0-28\\40+0-28\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}$ .

Le graphe $(G)$ a $2$ sommets de degré $4$ , $4$ sommets de degré $3$ et $4$ sommets de degré $2$ (contrôle : $8+12+8=28=2\times14$ ).

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Système $3\times3$ pour identifier des coefficients : coût de production $C(x)=ax^3+bx^2+cx+60$ connu en trois points, puis coût et prix de vente

Exercice 2 — matrices et identification de coefficients (5 points), dans l'esprit des sessions Économie et Gestion 2023–2025

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Drill MX-F.1 — décomposer une fraction : $a$ , $b$ , $c$ par un système, puis une intégrale

Drill MX-F.2 — graphe : les nombres de sommets de chaque degré par un système

Relier ce raisonnement au bac

Système 3×33\times33×3 pour identifier des coefficients : coût de production C(x)=ax3+bx2+cx+60C(x)=ax^3+bx^2+cx+60C(x)=ax3+bx2+cx+60 connu en trois points, puis coût et prix de vente

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Système $3\times3$ pour identifier des coefficients : coût de production $C(x)=ax^3+bx^2+cx+60$ connu en trois points, puis coût et prix de vente