MX-EMatrices et systèmes linéaires

Le problème de matrices Économie-Gestion : déterminant, $A^{-1}$ tirée de $A\times B-A=kI_3$ , système $(S)$ , puis situation chiffrée à ramener à $(S)$

Idée directrice

L'exercice de matrices d'Économie et Gestion est une chaîne en trois temps où chaque partie sert la suivante. D'abord la matrice $A$ : un déterminant non nul, puis un produit $A\times B$ qui fait apparaître une relation du type $A\times B=kI_3$ ou $A\times B-A=kI_3$ , qu'on réécrit $A\times\big(\tfrac1k(\dots)\big)=I_3$ pour lire $A^{-1}$ . Ensuite le système $(S)$ dont la matrice est $A$ : écriture $AX=Y$ et solution $X=A^{-1}Y$ . Enfin une situation concrète (tableau de prix, recette, mélanges, durées) qu'il faut mettre en équations puis ramener à $(S)$ en simplifiant chaque équation (diviser par $1{,}5$ , multiplier par $10$ …) : la solution est alors déjà connue, il reste à la lire en quantités entières.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Calculer $A\times B$ puis vérifier que $A\times B-A=kI_3$ » ; « En déduire que la matrice inverse de $A$ est … » ; « Donner l'écriture matricielle du système $(S)$ » ; « Montrer que la situation se traduit par le système $(S)$ » ; « Combien de … de chaque type ? Justifier votre réponse »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

« En déduire que $A$ est inversible » : calculer $\det A$ (développement suivant une ligne) et constater $\det A\neq0$ .
Lire l'inverse dans la relation donnée : $A\times B=kI_3\Rightarrow A^{-1}=\frac1kB$ ; $A\times B-A=kI_3\iff A(B-I_3)=kI_3\Rightarrow A^{-1}=\frac1k(B-I_3)$ ; $A(B-2I_3)=kI_3\Rightarrow A^{-1}=\frac1k(B-2I_3)$ .
Système de matrice $A$ : $AX=Y\iff X=A^{-1}Y$ ; contrôler la solution dans une équation.
Situation : une équation par donnée chiffrée, puis diviser ou multiplier chaque équation pour retrouver exactement une ligne de $A$ et le second membre de $(S)$ .
Répondre en quantités entières, avec le vocabulaire du contexte (articles, sacs, dinars).

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Factoriser à droite, $A\times B-A=(B-I_3)A$ : c'est faux en général, le produit matriciel n'étant pas commutatif ; oublier le facteur $\frac1k$ dans $A^{-1}$ ; ranger les coefficients en colonnes dans l'écriture matricielle ; en 3.a, mettre le prix de vente au lieu du gain unitaire dans la troisième équation ; ne pas diviser par $1{,}5$ ou par $0{,}2$ et croire que le système obtenu n'est pas $(S)$ ; recalculer tout le système au lieu de réutiliser 2.b ; répondre « $(240,100,60)$ » sans dire à quels articles correspondent ces nombres.

Sujet principal

Exercice 2 — matrices et système (5 points), dans l'esprit des sessions Économie et Gestion 2017–2026

3 questionsCorrigé masqué

On considère les matrices $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&5\\1&2&5\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}6&-3&2\\0&5&-4\\-1&-1&3\end{pmatrix}$ , et on note $I_3$ la matrice identité d'ordre $3$ .

1. Calculer le déterminant de $A$ . En déduire que $A$ est inversible.
2. Calculer $A\times B$ puis vérifier que $A\times B-A=4I_3$ .
3. En déduire que la matrice inverse de $A$ est $A^{-1}=\dfrac14\,(B-I_3)$ .
Soit dans $\R^3$ le système $(S) : \begin{cases}x+y+z=400\\x+3y+5z=840\\x+2y+5z=740\end{cases}$
1. Donner l'écriture matricielle du système $(S)$ .
2. Résoudre alors dans $\R^3$ le système $(S)$ .
Pour la rentrée, une librairie achète un lot de $400$ articles de trois types — des stylos, des cahiers et des agendas — qu'elle revend ensuite. Prix unitaires d'achat et de vente, en dinars : $\begin{array}{l|c|c|c} & \text{Stylo} & \text{Cahier} & \text{Agenda}\\\hline \text{Achat} & 1{,}5 & 4{,}5 & 7{,}5\\ \text{Vente} & 1{,}7 & 4{,}9 & 8{,}5\end{array}$ Le lot lui a coûté $1\,260$ dinars et elle estime son gain total à $148$ dinars lorsque tout le lot sera vendu. On désigne par $a$ , $b$ et $c$ les nombres respectifs de stylos, de cahiers et d'agendas du lot.
1. Montrer que la situation se traduit par le fait que $(a,b,c)$ est solution du système $(S)$ .
2. En déduire le nombre d'articles de chaque type contenus dans le lot.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : développer suivant la première ligne ; une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

\det A=1\times(15-10)-1\times(5-5)

+1\times(2-3)

On obtient $\det A=5-0-1=\boxed{4}\neq0$ , donc $A$ est inversible.

1.b Idée : produit ligne par colonne ; par exemple, le coefficient ligne 2, colonne 3 vaut $1\times2+3\times(-4)+5\times3=5$ .

A\times B=\begin{pmatrix}5&1&1\\1&7&5\\1&2&9\end{pmatrix}

En retranchant $A$ coefficient par coefficient :

A\times B-A=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}=4I_3

1.c Idée : factoriser $A$ à gauche, car $A=A\times I_3$ . On a : $A\times B-A=A\times B-A\times I_3=A(B-I_3)$ , d'où $A(B-I_3)=4I_3$ , c'est-à-dire $A\times\dfrac14(B-I_3)=I_3$ . Par suite :

A^{-1}=\frac14(B-I_3)

=\frac14\begin{pmatrix}5&-3&2\\0&4&-4\\-1&-1&2\end{pmatrix}

2.a On pose $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}400\\840\\740\end{pmatrix}$ . Les coefficients des inconnues de $(S)$ , rangés ligne par ligne, sont ceux de $A$ : $(S)\iff AX=Y$ .

2.b Idée : $A$ est inversible ; on multiplie à gauche par $A^{-1}$ . $AX=Y\iff X=A^{-1}Y$ :

X=\frac14\begin{pmatrix}2000-2520+1480\\0+3360-2960\\-400-840+1480\end{pmatrix}

=\frac14\begin{pmatrix}960\\400\\240\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}240\\100\\60\end{pmatrix}

Vérification dans la troisième équation : $240+200+300=740$ . Donc $\boxed{S_{\R^3}=\{(240\,;100\,;60)\}}$ .

3.a Idée : une équation par information chiffrée — nombre d'articles, coût d'achat, gain — puis simplifier chacune pour retrouver une ligne de $A$ .

Le lot compte $400$ articles : $a+b+c=400$ .

Le coût d'achat est la somme des prix unitaires multipliés par les quantités : $1{,}5a+4{,}5b+7{,}5c=1260$ ; en divisant par $1{,}5$ , on obtient $a+3b+5c=840$ .

Le gain sur un article est son prix de vente moins son prix d'achat : $0{,}2$ DT pour un stylo, $0{,}4$ DT pour un cahier et $1$ DT pour un agenda. Le gain total s'écrit donc $0{,}2a+0{,}4b+c=148$ ; en divisant par $0{,}2$ : $a+2b+5c=740$ .

Ce sont les trois équations de $(S)$ : $(a,b,c)$ est solution de $(S)$ .

3.b Idée : $(S)$ admet une unique solution, déjà calculée en 2.b. D'où $(a,b,c)=(240,100,60)$ : trois entiers naturels de somme $400$ , donc cohérents avec la situation. Le lot contient $240$ stylos, $100$ cahiers et $60$ agendas (contrôle : la recette vaut $1{,}7\times240+4{,}9\times100+8{,}5\times60=1\,408$ DT, soit bien $148$ DT de gain).

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : relation $A\times B=kI_3$ avec $k$ grand (principale 2021 : $A\times B=2772\,I_3$ ), puis remises successives et carte de fidélité pour retrouver les prix initiaux ; $A\times(B-2I_3)=kI_3$ et test d'un triplet $(\alpha,\alpha,0)$ (principale 2019) ; $AB+2I_3=O$ , d'où $A^{-1}=-\frac12B$ (contrôle 2015) ; déterminant à paramètre $\det(M_a)=12a+2$ , puis mélanges en grammes et stock en kilogrammes (principale 2022) ; relation cachée dans une phrase, « égal au total … augmenté du triple … » (principale 2017) ; tarif de location réduit à partir du quatrième jour (contrôle 2020) ; durées en heures et minutes à convertir (principale 2024) ; tableau prix d'achat / prix de vente et gain estimé (principale 2026).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill MX-E.1 —

A\times(B-2I_3)=3I_3

et test d'un triplet

(\alpha,\alpha,0)

Entraînement 01 / 05

Drill MX-E.1 — $A\times(B-2I_3)=3I_3$ et test d'un triplet $(\alpha,\alpha,0)$

2 questionsCorrigé masqué

On donne les matrices $A=\begin{pmatrix}2&1&-1\\3&2&-1\\4&1&0\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}3&-1&1\\-4&6&-1\\-5&2&3\end{pmatrix}$ et $I_3$ la matrice identité d'ordre $3$ .

1. Calculer le déterminant de $A$ et déduire que la matrice $A$ est inversible.
2. Calculer la matrice $A\times(B-2I_3)$ , puis déduire la matrice inverse de $A$ .
Soit dans $\R^3$ le système $(S) : \begin{cases}2x+y-z=4\\3x+2y-z=9\\4x+y=8\end{cases}$
1. Existe-t-il un réel $\alpha$ pour que le triplet $(\alpha,\alpha,0)$ soit une solution de $(S)$ ? Justifier votre réponse.
2. Montrer que $(x,y,z)$ est solution de $(S)$ si et seulement si $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}4\\9\\8\end{pmatrix}$ .
3. Résoudre alors dans $\R^3$ le système $(S)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Suivant la première ligne : $\det A=2(0+1)-1(0+4)+(-1)(3-8)=2-4+5=3\neq0$ , donc $A$ est inversible.

1.b Idée : calculer d'abord $B-2I_3$ (on retire $2$ sur la diagonale seulement).

B-2I_3=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-4&4&-1\\-5&2&1\end{pmatrix}

Le produit ligne par colonne donne $A\times(B-2I_3)=3I_3$ (par exemple, ligne 1, colonne 1 : $2-4+5=3$ ). D'où $A\times\dfrac13(B-2I_3)=I_3$ et $\boxed{A^{-1}=\frac13(B-2I_3)}$ .

2.a Idée : remplacer $x$ et $y$ par $\alpha$ , $z$ par $0$ , et voir si les trois équations donnent la même valeur de $\alpha$ . On obtient $3\alpha=4$ , $5\alpha=9$ et $5\alpha=8$ , soit $\alpha=\frac43$ , $\alpha=\frac95$ et $\alpha=\frac85$ : aucune valeur commune. Il n'existe donc pas de réel $\alpha$ tel que $(\alpha,\alpha,0)$ soit solution de $(S)$ .

2.b On pose $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}4\\9\\8\end{pmatrix}$ ; $(S)\iff AX=Y$ . Si $AX=Y$ , en multipliant à gauche par $A^{-1}$ on obtient $X=A^{-1}Y$ . Réciproquement : si $X=A^{-1}Y$ , alors $AX=AA^{-1}Y=Y$ . D'où l'équivalence.

2.c $X=\dfrac13(B-2I_3)Y$ :

X=\frac13\begin{pmatrix}4-9+8\\-16+36-8\\-20+18+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}

Donc $\boxed{S_{\R^3}=\{(1\,;4\,;2)\}}$ ; cette unique solution n'est pas de la forme $(\alpha,\alpha,0)$ , en accord avec 2.a.

2 Drill MX-E.2 —

AB+2I_3=O

: l'inverse est

-\frac12B

Entraînement 02 / 05

Drill MX-E.2 — $AB+2I_3=O$ : l'inverse est $-\frac12B$

3 questionsCorrigé masqué

On considère les matrices $A=\begin{pmatrix}2&1&2\\4&3&4\\3&3&4\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}0&-2&2\\4&-2&0\\-3&3&-2\end{pmatrix}$ et $I_3$ la matrice identité d'ordre $3$ .

Calculer le déterminant de la matrice $A$ et en déduire qu'elle est inversible.
1. Montrer que $AB+2I_3=O$ , où $O$ désigne la matrice nulle d'ordre $3$ .
2. En déduire que $A^{-1}=-\dfrac12B$ , où $A^{-1}$ désigne la matrice inverse de $A$ .
Soit, dans $\R^3$ , le système $(S) : \begin{cases}2x+y+2z=3\\4x+3y+4z=3\\3x+3y+4z=1\end{cases}$
1. Donner l'écriture matricielle du système $(S)$ .
2. En déduire l'ensemble des solutions du système $(S)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\det A=2(12-12)-1(16-12)+2(12-9)=0-4+6=2\neq0$ : $A$ est inversible.

2.a Le produit ligne par colonne donne $AB=\begin{pmatrix}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\end{pmatrix}=-2I_3$ (ligne 1, colonne 1 : $0+4-6=-2$ ), donc $AB+2I_3=O$ .

2.b Idée : isoler $I_3$ avec le bon signe. $AB=-2I_3\iff A\left(-\dfrac12B\right)=I_3$ , d'où $\boxed{A^{-1}=-\frac12B}$ , c'est-à-dire :

A^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-2&1&0\\\tfrac32&-\tfrac32&1\end{pmatrix}

3.a Avec $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}$ , le système s'écrit $AX=Y$ .

3.b $X=A^{-1}Y=-\dfrac12BY$ :

X=-\frac12\begin{pmatrix}0-6+2\\12-6+0\\-9+9-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}

Vérification dans la première équation : $4-3+2=3$ . L'ensemble des solutions est $\boxed{S_{\R^3}=\{(2\,;-3\,;1)\}}$ ; ici les solutions ne sont pas des quantités, un résultat négatif est donc admissible.

3 Drill MX-E.3 — déterminant à paramètre, puis mélanges : stock en kilogrammes, sachets en grammes

Entraînement 03 / 05

Drill MX-E.3 — déterminant à paramètre, puis mélanges : stock en kilogrammes, sachets en grammes

3 questionsCorrigé masqué

Pour tout réel $a$ , on considère la matrice $M_a=\begin{pmatrix}a&4&4\\3&2&3\\4&4&3\end{pmatrix}$ .

1. Montrer que $\det(M_a)=28-6a$ .
2. En déduire l'ensemble des réels $a$ pour lesquels $M_a$ est inversible.
On pose $A=M_3$ et on donne $B=\begin{pmatrix}-6&4&4\\3&-7&3\\4&4&-6\end{pmatrix}$ .
1. Calculer $A\times B$ .
2. En déduire la matrice inverse $A^{-1}$ de $A$ .
Une herboristerie dispose d'un stock de $11{,}7$ kg de verveine, $8{,}9$ kg de menthe et $12{,}4$ kg de thym. Elle veut utiliser tout le stock pour remplir des sachets de tisane de $100$ grammes, de trois mélanges $T_1$ , $T_2$ et $T_3$ . Un sachet $T_1$ contient $30$ g de verveine, $30$ g de menthe et $40$ g de thym ; un sachet $T_2$ contient $40$ g de verveine, $20$ g de menthe et $40$ g de thym ; un sachet $T_3$ contient $40$ g de verveine, $30$ g de menthe et $30$ g de thym. Combien de sachets de chaque mélange l'herboristerie peut-elle remplir ? Justifier votre réponse.

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1.a Idée : développer suivant la première ligne, qui contient le paramètre.

\det(M_a)=a(6-12)-4(9-12)

+4(12-8)

On obtient $\det(M_a)=-6a+12+16=\boxed{28-6a}$ .

1.b $M_a$ est inversible si et seulement si $28-6a\neq0$ , c'est-à-dire $a\neq\dfrac{14}{3}$ : l'ensemble cherché est $\R\setminus\left\{\dfrac{14}{3}\right\}$ .

2.a $A=M_3$ : par 1.b elle est inversible ( $\det A=28-18=10$ ). Le produit ligne par colonne donne $A\times B=10I_3$ (ligne 1, colonne 1 : $-18+12+16=10$ ).

2.b $A\times\dfrac1{10}B=I_3$ , d'où $\boxed{A^{-1}=\frac1{10}B}$ .

3. Idée : les inconnues sont les nombres de sachets ; une équation par ingrédient, tout exprimé en grammes, puis diviser par $10$ pour retrouver les lignes de $A$ . Soient $x$ , $y$ et $z$ les nombres de sachets $T_1$ , $T_2$ et $T_3$ . Pour la verveine : $30x+40y+40z=11\,700$ , soit $3x+4y+4z=1\,170$ . Pour la menthe : $30x+20y+30z=8\,900$ , soit $3x+2y+3z=890$ . Pour le thym : $40x+40y+30z=12\,400$ , soit $4x+4y+3z=1\,240$ .

La matrice de ce système est $A$ ; avec $Y=\begin{pmatrix}1170\\890\\1240\end{pmatrix}$ , on a $X=A^{-1}Y=\dfrac1{10}BY$ :

X=\frac1{10}\begin{pmatrix}-7020+3560+4960\\3510-6230+3720\\4680+3560-7440\end{pmatrix}

=\frac1{10}\begin{pmatrix}1500\\1000\\800\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}150\\100\\80\end{pmatrix}

L'herboristerie remplit $150$ sachets $T_1$ , $100$ sachets $T_2$ et $80$ sachets $T_3$ (contrôle : $330$ sachets de $100$ g pèsent $33$ kg, et $11{,}7+8{,}9+12{,}4=33$ ).

4 Drill MX-E.4 — soldes puis carte de fidélité : retrouver les prix avant réduction

Entraînement 04 / 05

Drill MX-E.4 — soldes puis carte de fidélité : retrouver les prix avant réduction

3 questionsCorrigé masqué

On considère les matrices $A=\begin{pmatrix}18&8&15\\9&16&10\\27&8&20\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-240&40&160\\-90&45&45\\360&-72&-216\end{pmatrix}$ .

1. Calculer $A\times B$ .
2. En déduire que $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$ .
Soit le système $(S) : \begin{cases}18x+8y+15z=3180\\9x+16y+10z=3450\\27x+8y+20z=4110\end{cases}$
1. Donner l'écriture matricielle de $(S)$ .
2. Résoudre alors, dans $\R^3$ , le système $(S)$ .
Pendant les soldes, un magasin de sport applique une réduction de $10\,\%$ sur le prix d'un survêtement, de $20\,\%$ sur le prix d'une paire de baskets et de $50\,\%$ sur le prix d'une casquette. Avec la carte de fidélité, le client obtient une réduction supplémentaire de $10\,\%$ sur le prix soldé de chaque article. Le tableau donne les achats de trois clients : $\begin{array}{l|c|c|c|c} & \text{Surv.} & \text{Bask.} & \text{Casq.} & \text{Payé}\\\hline C_1 & 2 & 1 & 3 & 318\\ C_2 & 1 & 2 & 2 & 345\\ C_3 & 3 & 1 & 4 & 369{,}9\end{array}$ (nombres de survêtements, de paires de baskets et de casquettes achetés, et sommes payées en dinars). Seul le client $C_3$ possède une carte de fidélité. Déterminer le prix initial de chaque article.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Le produit ligne par colonne donne $A\times B=360\,I_3$ (ligne 1, colonne 1 : $-4320-720+5400=360$ ; ligne 1, colonne 2 : $720+360-1080=0$ ).

1.b Idée : une relation $A\times B=kI_3$ avec $k\neq0$ suffit, sans calculer le déterminant. $A\times\dfrac1{360}B=I_3$ , donc $A$ est inversible et $\boxed{A^{-1}=\frac1{360}B}$ .

2.a Avec $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}3180\\3450\\4110\end{pmatrix}$ , $(S)\iff AX=Y$ .

2.b $X=\dfrac1{360}BY$ :

X=\frac1{360}\begin{pmatrix}32400\\54000\\8640\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}90\\150\\24\end{pmatrix}

Donc $S_{\R^3}=\{(90\,;150\,;24)\}$ .

3. Idée : un prix réduit de $p\,\%$ est multiplié par $1-\frac{p}{100}$ ; la carte multiplie encore le prix soldé par $0{,}9$ . Soient $x$ , $y$ et $z$ les prix initiaux, en dinars, d'un survêtement, d'une paire de baskets et d'une casquette. Les prix soldés sont $0{,}9x$ , $0{,}8y$ et $0{,}5z$ .

Client $C_1$ : $1{,}8x+0{,}8y+1{,}5z=318$ , soit, en multipliant par $10$ , $18x+8y+15z=3180$ . Client $C_2$ : $0{,}9x+1{,}6y+z=345$ , soit $9x+16y+10z=3450$ . Client $C_3$ : $0{,}9\,(2{,}7x+0{,}8y+2z)=369{,}9$ , d'où $2{,}7x+0{,}8y+2z=411$ et $27x+8y+20z=4110$ .

On retrouve le système $(S)$ ; par 2.b : un survêtement coûtait $90$ DT, une paire de baskets $150$ DT et une casquette $24$ DT avant les réductions.

5 Drill MX-E.5 — durées en heures et minutes : convertir avant d'écrire le système

Entraînement 05 / 05

Drill MX-E.5 — durées en heures et minutes : convertir avant d'écrire le système

3 questionsCorrigé masqué

On considère les matrices $A=\begin{pmatrix}12&6&22\\2&1&4\\21&10&38\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-2&-8&2\\8&-6&-4\\-1&6&0\end{pmatrix}$ .

1. Calculer le déterminant de $A$ et déduire que $A$ est inversible.
2. Déterminer la matrice $A\times B$ et déduire la matrice $A^{-1}$ inverse de $A$ .
Soit le système $(S) : \begin{cases}12x+6y+22z=1750\\2x+y+4z=300\\21x+10y+38z=2990\end{cases}$
1. Donner l'écriture matricielle de $(S)$ .
2. Résoudre alors, dans $\R^3$ , le système $(S)$ .
Une menuiserie fabrique des tables, des chaises et des étagères. Une table nécessite $12$ kg de bois, $2$ litres de vernis et $5$ heures $15$ minutes de travail ; une chaise nécessite $6$ kg de bois, $1$ litre de vernis et $2$ heures $30$ minutes de travail ; une étagère nécessite $22$ kg de bois, $4$ litres de vernis et $9$ heures $30$ minutes de travail. En un trimestre, l'atelier a utilisé $1\,750$ kg de bois, $300$ litres de vernis et $747$ heures $30$ minutes de travail. Déterminer le nombre de tables, de chaises et d'étagères fabriquées pendant ce trimestre.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $\det A=12(38-40)-6(76-84)+22(20-21)=-24+48-22=2\neq0$ : $A$ est inversible.

1.b Le produit ligne par colonne donne $A\times B=2I_3$ (ligne 1, colonne 1 : $-24+48-22=2$ ). D'où $A\times\dfrac12B=I_3$ et $\boxed{A^{-1}=\frac12B}$ .

2.a Avec $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}1750\\300\\2990\end{pmatrix}$ , $(S)\iff AX=Y$ .

2.b $X=\dfrac12BY$ :

X=\frac12\begin{pmatrix}-3500-2400+5980\\14000-1800-11960\\-1750+1800+0\end{pmatrix}

=\frac12\begin{pmatrix}80\\240\\50\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}40\\120\\25\end{pmatrix}

Donc $S_{\R^3}=\{(40\,;120\,;25)\}$ .

3. Idée : convertir chaque durée en heures décimales ( $15$ min $=0{,}25$ h, $30$ min $=0{,}5$ h), puis multiplier l'équation des durées par $4$ pour obtenir des coefficients entiers. Soient $x$ , $y$ et $z$ les nombres de tables, de chaises et d'étagères. Le bois donne $12x+6y+22z=1750$ et le vernis $2x+y+4z=300$ . Pour le temps de travail : $5{,}25x+2{,}5y+9{,}5z=747{,}5$ , soit, en multipliant par $4$ , $21x+10y+38z=2990$ .

On retrouve le système $(S)$ ; par 2.b, l'atelier a fabriqué $40$ tables, $120$ chaises et $25$ étagères.

Relier ce raisonnement au bac

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Où veux-tu aller ?

Le problème de matrices Économie-Gestion : déterminant, $A^{-1}$ tirée de $A\times B-A=kI_3$ , système $(S)$ , puis situation chiffrée à ramener à $(S)$

Exercice 2 — matrices et système (5 points), dans l'esprit des sessions Économie et Gestion 2017–2026

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill MX-E.1 — $A\times(B-2I_3)=3I_3$ et test d'un triplet $(\alpha,\alpha,0)$

Drill MX-E.2 — $AB+2I_3=O$ : l'inverse est $-\frac12B$

Drill MX-E.3 — déterminant à paramètre, puis mélanges : stock en kilogrammes, sachets en grammes

Drill MX-E.4 — soldes puis carte de fidélité : retrouver les prix avant réduction

Drill MX-E.5 — durées en heures et minutes : convertir avant d'écrire le système

Relier ce raisonnement au bac

Le problème de matrices Économie-Gestion : déterminant, A−1A^{-1}A−1 tirée de A×B−A=kI3A\times B-A=kI_3A×B−A=kI3​, système (S)(S)(S), puis situation chiffrée à ramener à (S)(S)(S)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Le problème de matrices Économie-Gestion : déterminant, $A^{-1}$ tirée de $A\times B-A=kI_3$ , système $(S)$ , puis situation chiffrée à ramener à $(S)$