P-KDénombrement et probabilités

L'exercice de probabilités des sections Sc. expérimentales, Techniques et Informatique : arbre à partir de pourcentages, probabilité totale à vérifier, probabilité inversée, loi binomiale ( $E(X)$ , « au plus un », plus petit $n$ )

Idée directrice

Dans les sections Sciences expérimentales, Techniques et Informatique, l'exercice de probabilités part très souvent d'un texte de pourcentages et enchaîne deux temps. D'abord une épreuve : on traduit les pourcentages en $p(T)$ et en probabilités conditionnelles, on complète l'arbre pondéré, on vérifie la probabilité totale annoncée, puis on remonte l'arbre (« sachant que … ») avec $p(A\mid B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$ . Ensuite $n$ épreuves indépendantes : la probabilité totale trouvée devient le paramètre $p$ d'une loi binomiale ( $E(X)=np$ , $p(X=k)$ , « au plus un »), et « au moins un » $=1-q^n$ conduit, par le logarithme, au plus petit $n$ qui dépasse un seuil.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Recopier et compléter l'arbre pondéré » ; « Montrer que $p(T)=0{,}3$ » ; « Sachant que …, calculer la probabilité que … » ; « Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres » ; « Calculer l'espérance mathématique de $X$ » ; « Justifier que $P(X=9)=(0{,}9)^9$ » ; « la probabilité qu'au plus un … » ; « Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour que $P_n\geq0{,}9$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Traduire chaque phrase avant de calculer : « $x\,\%$ des … » donne $p(T)$ ; « parmi les …, $y\,\%$ … » donne une probabilité conditionnelle $p(G\mid T)$ .
Arbre : branches d'un même nœud de somme $1$ ; un chemin donne une intersection, $p(T\cap G)=p(T)\,p(G\mid T)$ ; probabilités totales en additionnant les chemins qui mènent à $G$ .
Probabilité « sachant que … » inversée : $p(\overline T\mid\overline G)=\dfrac{p(\overline T\cap\overline G)}{p(\overline G)}$ , avec $p(\overline G)=1-p(G)$ .
Loi binomiale : justifier (épreuves identiques, indépendantes, deux issues), donner $n$ et $p$ ; $E(X)=np$ ; « au plus un échec » $=p(X=n)+p(X=n-1)$ .
Plus petit $n$ : « au moins un » $=1-q^n$ , puis $q^n\leq s\iff n\geq\dfrac{\ln s}{\ln q}$ (le quotient de deux logarithmes négatifs) ; vérifier avec les deux entiers voisins.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Prendre $p(\overline G\mid\overline T)=0{,}4$ pour la réponse de 1.d alors qu'on demande $p(\overline T\mid\overline G)$ ; diviser par $p(G)$ au lieu de $p(\overline G)$ ; utiliser $p=0{,}92$ (graines traitées) dans la loi binomiale alors que les $8$ graines sont prises dans tout le stock, donc $p=p(G)=0{,}84$ ; lire « au plus une ne germe pas » comme $p(X\leq1)$ ; oublier de renverser l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}4)<0$ , ou arrondir $7{,}54$ à $7$ .

Sujet principal

Exercice 1 — probabilités (4 points), dans l'esprit des sessions 2019–2026

6 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un semencier conditionne un très grand stock de graines de blé. Une étude a montré que :

$75\,\%$ des graines du stock ont été traitées contre les champignons du sol ;
$92\,\%$ des graines traitées germent ;
$60\,\%$ des graines non traitées germent.

On choisit au hasard une graine du stock et on considère les événements $T$ : « la graine choisie a été traitée » et $G$ : « la graine choisie germe ».

1. Donner les probabilités $p(T)$ , $p(G\mid T)$ et $p(G\mid\overline T)$ .
2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessus.
3. Montrer que $p(G)=0{,}84$ .
4. La graine choisie n'a pas germé. Calculer la probabilité qu'elle n'ait pas été traitée.
On sème $8$ graines choisies au hasard dans le stock. Le stock étant très grand, on assimile ce choix à $8$ tirages successifs avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de graines qui germent parmi ces $8$ graines.
1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter le résultat.
3. Justifier que $p(X=8)=(0{,}84)^8$ .
4. Calculer la probabilité qu'au plus une des $8$ graines ne germe pas. Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$ près.
Un jardinier ne dispose que de graines non traitées. Dans chaque trou, il sème $n$ graines non traitées ( $n\geq1$ ), qui germent indépendamment les unes des autres. On note $p_n$ la probabilité qu'au moins une des $n$ graines d'un trou germe.
1. Montrer que $p_n=1-(0{,}4)^n$ .
2. Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour que $p_n\geq0{,}999$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : un pourcentage de tout le stock donne $p(T)$ ; un pourcentage « parmi les graines traitées » (ou non traitées) est une probabilité conditionnelle. On a : $p(T)=0{,}75$ , $p(G\mid T)=0{,}92$ et $p(G\mid\overline T)=0{,}6$ .

1.b Les branches issues d'un même nœud ont une somme égale à $1$ : $p(\overline T)=0{,}25$ , $p(\overline G\mid T)=0{,}08$ et $p(\overline G\mid\overline T)=0{,}4$ .

1.c Idée : $T$ et $\overline T$ forment une partition de l'univers, donc formule des probabilités totales.

p(G)=p(T)\,p(G\mid T)+p(\overline T)\,p(G\mid\overline T)

p(G)=0{,}75\times0{,}92+0{,}25\times0{,}6

p(G)=0{,}69+0{,}15=\boxed{0{,}84}

1.d Idée : « la graine n'a pas germé » est la condition ; on cherche $p(\overline T\mid\overline G)$ , et non $p(\overline G\mid\overline T)$ lue sur l'arbre. On a $p(\overline G)=1-0{,}84=0{,}16$ et $p(\overline T\cap\overline G)=0{,}25\times0{,}4=0{,}1$ , donc :

p(\overline T\mid\overline G)=\dfrac{p(\overline T\cap\overline G)}{p(\overline G)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}16}=\boxed{0{,}625}

Les graines non traitées ne forment que $25\,\%$ du stock, mais $62{,}5\,\%$ des graines qui ne germent pas.

2.a Idée : reconnaître un schéma de Bernoulli : épreuves identiques, indépendantes, à deux issues. Chaque graine semée est une épreuve à deux issues dont le succès « la graine germe » a la probabilité $p(G)=0{,}84$ ; les $8$ choix sont assimilés à des tirages avec remise, donc indépendants ; $X$ compte le nombre de succès. Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0{,}84$ :

p(X=k)=C_8^k\,(0{,}84)^k\,(0{,}16)^{8-k}

pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $8$ .

2.b $E(X)=np=8\times0{,}84=\boxed{6{,}72}$ : sur un grand nombre de semis de $8$ graines, il germe en moyenne $6{,}72$ graines par semis.

2.c L'événement $X=8$ signifie que les $8$ graines germent : $p(X=8)=C_8^8\,(0{,}84)^8(0{,}16)^0=(0{,}84)^8$ .

2.d Idée : « au plus une graine ne germe pas » signifie qu'au moins $7$ graines germent, c'est-à-dire $X=7$ ou $X=8$ .

p(X=7)=8\times(0{,}84)^7\times0{,}16\approx0{,}3777

p(X\geq7)\approx0{,}3777+0{,}2479\approx\boxed{0{,}63}

3.a Idée : « au moins une » se calcule par l'événement contraire « aucune ». Une graine non traitée ne germe pas avec la probabilité $1-0{,}6=0{,}4$ ; les $n$ graines du trou étant indépendantes, la probabilité qu'aucune ne germe est $(0{,}4)^n$ . Donc $p_n=1-(0{,}4)^n$ .

3.b Idée : isoler la puissance, puis passer au logarithme népérien ; $\ln(0{,}4)<0$ renverse l'inégalité.

p_n\geq0{,}999\iff(0{,}4)^n\leq0{,}001

\iff n\ln(0{,}4)\leq\ln(0{,}001)

\iff n\geq\dfrac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}4)}\approx7{,}54

La plus petite valeur est $\boxed{n=8}$ : en effet $(0{,}4)^7\approx0{,}00164>0{,}001$ alors que $(0{,}4)^8\approx0{,}00066\leq0{,}001$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées (sujets Sciences expérimentales, Techniques et Informatique) : arbre imprimé en partie rempli, à recopier (Sc. exp. principale 2019, Techniques principale 2017 et 2020, Informatique principale 2020) ; probabilité du chemin demandée avant la probabilité totale (Techniques contrôle 2016 et 2018) ; dé qui choisit l'urne, puis répétition de l'épreuve (Sc. exp. principale 2021, Techniques contrôle 2023) ; deux urnes avec transfert de boules et variable aléatoire « nombre de boules » (Techniques principale 2020) ; partition en trois catégories (Sc. exp. principale 2020 et 2023) ; fiabilité de deux montages en série et en parallèle avant l'arbre, puis $n$ tel que $E(X)=20$ (Techniques principale 2025) ; coût d'un dépistage séquentiel à la place de la loi binomiale (Sc. exp. principale 2024) ; loi exponentielle en seconde partie (Techniques contrôle 2018 et 2024, Informatique principale 2020) ; plus grande valeur de $n$ pour que $P_n\geq0{,}75$ (Sc. exp. principale 2023).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill P-K.1 — deux urnes avec transfert de boules : arbre, probabilité inversée, variable aléatoire

Entraînement 01 / 03

Drill P-K.1 — deux urnes avec transfert de boules : arbre, probabilité inversée, variable aléatoire

3 questionsCorrigé masqué

On considère deux urnes $U_1$ et $U_2$ contenant des boules indiscernables au toucher. L'urne $U_1$ contient deux boules blanches et trois boules noires ; l'urne $U_2$ contient trois boules blanches et une boule noire.

Une épreuve consiste à tirer au hasard une boule de $U_1$ et à la mettre dans $U_2$ , puis à tirer au hasard une boule de $U_2$ et à la mettre dans $U_1$ . On note $B_1$ : « la boule tirée de $U_1$ est blanche » et $B_2$ : « la boule tirée de $U_2$ est blanche ».

1. Vérifier que $p(B_2\mid B_1)=0{,}8$ et calculer $p(B_2\mid\overline{B_1})$ .
2. Construire l'arbre pondéré associé à cette épreuve.
3. Montrer que $p(B_2)=0{,}68$ .
4. Sachant que la boule tirée de $U_2$ est blanche, calculer la probabilité que la boule tirée de $U_1$ soit blanche.
Calculer la probabilité de l'événement $F$ : « à la fin de l'épreuve, la répartition des boules dans les deux urnes est inchangée ».
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules noires contenues dans $U_2$ à la fin de l'épreuve.
1. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
2. Calculer l'espérance mathématique de $X$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : le premier transfert modifie le contenu de $U_2$ avant le second tirage. Si $B_1$ est réalisé, $U_2$ contient $4$ blanches et $1$ noire : $p(B_2\mid B_1)=\dfrac45=0{,}8$ . Si $\overline{B_1}$ est réalisé, $U_2$ contient $3$ blanches et $2$ noires : $p(B_2\mid\overline{B_1})=\dfrac35=0{,}6$ .

1.b Premier niveau : $p(B_1)=\dfrac25=0{,}4$ et $p(\overline{B_1})=0{,}6$ . Second niveau : après $B_1$ , $0{,}8$ vers $B_2$ et $0{,}2$ vers $\overline{B_2}$ ; après $\overline{B_1}$ , $0{,}6$ vers $B_2$ et $0{,}4$ vers $\overline{B_2}$ .

1.c Idée : probabilités totales sur la partition $\{B_1,\overline{B_1}\}$ .

p(B_2)=0{,}4\times0{,}8+0{,}6\times0{,}6

p(B_2)=0{,}32+0{,}36=\boxed{0{,}68}

1.d Idée : remonter l'arbre ; la condition est $B_2$ .

p(B_1\mid B_2)=\dfrac{p(B_1\cap B_2)}{p(B_2)}=\dfrac{0{,}32}{0{,}68}

p(B_1\mid B_2)=\boxed{\dfrac{8}{17}}\approx0{,}471

2. Idée : la répartition revient à l'état initial exactement quand la boule rendue à $U_1$ a la couleur de celle qu'on lui a prise. $F=(B_1\cap B_2)\cup(\overline{B_1}\cap\overline{B_2})$ , réunion de deux événements incompatibles :

p(F)=0{,}32+0{,}6\times0{,}4=\boxed{0{,}56}

3.a Idée : suivre le contenu de $U_2$ (au départ $3$ blanches et $1$ noire) sur chacun des quatre chemins.

$B_1\cap B_2$ : une blanche entre, une blanche sort, $U_2$ garde $1$ noire : $X=1$ , probabilité $0{,}32$ ;
$B_1\cap\overline{B_2}$ : une blanche entre, la noire sort : $X=0$ , probabilité $0{,}4\times0{,}2=0{,}08$ ;
$\overline{B_1}\cap B_2$ : une noire entre, une blanche sort : $X=2$ , probabilité $0{,}36$ ;
$\overline{B_1}\cap\overline{B_2}$ : une noire entre, une noire sort : $X=1$ , probabilité $0{,}24$ .

Loi de $X$ : $p(X=0)=0{,}08$ , $p(X=1)=0{,}32+0{,}24=0{,}56$ et $p(X=2)=0{,}36$ (la somme vaut bien $1$ ).

3.b $E(X)=0\times0{,}08+1\times0{,}56+2\times0{,}36=\boxed{1{,}28}$ .

2 Drill P-K.2 — un dé choisit l'urne : probabilité totale, provenance de la boule, puis répétition

Entraînement 02 / 03

Drill P-K.2 — un dé choisit l'urne : probabilité totale, provenance de la boule, puis répétition

3 questionsCorrigé masqué

On dispose d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$ et de deux urnes : l'urne $U_1$ contient trois boules blanches et deux boules rouges, l'urne $U_2$ contient une boule blanche et quatre boules rouges. Les boules sont indiscernables au toucher.

Une épreuve consiste à lancer le dé une fois : si le numéro obtenu est un multiple de $3$ , on tire au hasard une boule de $U_1$ ; sinon, on tire au hasard une boule de $U_2$ . On note $D$ : « le numéro obtenu est un multiple de $3$ » et $B$ : « la boule tirée est blanche ».

1. Montrer que $p(D)=\dfrac13$ .
2. Construire l'arbre pondéré associé à l'épreuve.
1. Montrer que $p(B)=\dfrac13$ .
2. Sachant que la boule tirée est blanche, quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne $U_2$ ?
On répète l'épreuve quatre fois de suite, en remettant à chaque fois la boule tirée dans son urne. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
1. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance.
2. Calculer la probabilité d'obtenir une seule fois une boule blanche.
3. Calculer la probabilité $q$ d'obtenir au moins une boule rouge.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Les multiples de $3$ entre $1$ et $6$ sont $3$ et $6$ : $p(D)=\dfrac26=\dfrac13$ , et $p(\overline D)=\dfrac23$ .

1.b Premier niveau : $D$ ( $\frac13$ ) et $\overline D$ ( $\frac23$ ). Second niveau : après $D$ (urne $U_1$ ), $B$ avec $\frac35$ et $\overline B$ avec $\frac25$ ; après $\overline D$ (urne $U_2$ ), $B$ avec $\frac15$ et $\overline B$ avec $\frac45$ .

2.a Idée : les deux urnes ne sont pas choisies avec la même probabilité ; on pondère chaque urne par la probabilité donnée par le dé.

p(B)=\dfrac13\times\dfrac35+\dfrac23\times\dfrac15

p(B)=\dfrac{3}{15}+\dfrac{2}{15}=\boxed{\dfrac13}

2.b Idée : « provenir de $U_2$ » est l'événement $\overline D$ ; la condition est $B$ .

p(\overline D\mid B)=\dfrac{p(\overline D\cap B)}{p(B)}=\dfrac{2/15}{1/3}=\boxed{\dfrac25}

Bien que $U_2$ soit utilisée deux fois sur trois, une boule blanche provient plus souvent de $U_1$ (probabilité $\frac35$ ).

3.a Idée : quatre épreuves identiques et indépendantes (la boule est remise), succès « blanche » de probabilité $\frac13$ . $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=\dfrac13$ :

p(X=k)=C_4^k\left(\tfrac13\right)^k\left(\tfrac23\right)^{4-k}

pour $k\in\{0,1,2,3,4\}$ , soit $p(X=0)=\frac{16}{81}$ , $p(X=1)=\frac{32}{81}$ , $p(X=2)=\frac{24}{81}$ , $p(X=3)=\frac{8}{81}$ , $p(X=4)=\frac{1}{81}$ ; et $E(X)=np=\boxed{\dfrac43}$ .

3.b $p(X=1)=4\times\dfrac13\times\left(\dfrac23\right)^3=\boxed{\dfrac{32}{81}}\approx0{,}395$ .

3.c Idée : le contraire de « au moins une rouge » est « quatre blanches », c'est-à-dire $X=4$ . $q=1-p(X=4)=1-\left(\dfrac13\right)^4=\boxed{\dfrac{80}{81}}\approx0{,}988$ .

3 Drill P-K.3 — une population en trois catégories : probabilité totale à trois branches et seuil

P_n\leq0{,}1

Entraînement 03 / 03

Drill P-K.3 — une population en trois catégories : probabilité totale à trois branches et seuil $P_n\leq0{,}1$

2 questionsCorrigé masqué

Dans une ville, la population adulte se répartit en trois tranches d'âge :

\begin{array}{l|c|c|c} \text{Tranche} & A & B & C\\ \hline \text{Part} & 45\,\% & 35\,\% & 20\,\% \end{array}

où $A$ désigne les moins de $40$ ans, $B$ les $40$ à $60$ ans et $C$ les plus de $60$ ans. Une étude a montré que $4\,\%$ des personnes de la tranche $A$ , $12\,\%$ de la tranche $B$ et $30\,\%$ de la tranche $C$ souffrent d'hypertension artérielle.

On choisit au hasard un adulte de cette ville et on note $A$ , $B$ , $C$ les événements « la personne choisie appartient à la tranche $A$ » (respectivement $B$ , $C$ ) et $H$ : « la personne choisie souffre d'hypertension ».

1. Déterminer $p(A\cap H)$ , $p(B\cap H)$ et $p(C\cap H)$ .
2. Montrer que $p(H)=0{,}12$ .
3. Calculer la probabilité que la personne choisie ait au moins $40$ ans sachant qu'elle souffre d'hypertension.
On choisit au hasard $n$ adultes de cette ville ( $n\geq1$ ) ; la population est assez grande pour assimiler ce choix à $n$ tirages avec remise. On désigne par $P_n$ la probabilité qu'aucune de ces $n$ personnes ne souffre d'hypertension.
1. Exprimer $P_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $\lim\limits_{n\to+\infty}P_n$ .
2. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel $P_n\leq0{,}1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : chaque intersection est le produit des deux branches d'un chemin. $p(A\cap H)=0{,}45\times0{,}04=0{,}018$ , $p(B\cap H)=0{,}35\times0{,}12=0{,}042$ et $p(C\cap H)=0{,}2\times0{,}3=0{,}06$ .

1.b Idée : $A$ , $B$ , $C$ forment une partition (trois branches au premier niveau) ; la formule des probabilités totales a trois termes. $p(H)=0{,}018+0{,}042+0{,}06=\boxed{0{,}12}$ .

1.c Idée : « avoir au moins $40$ ans » est l'événement $\overline A=B\cup C$ .

p(\overline A\mid H)=\dfrac{p(B\cap H)+p(C\cap H)}{p(H)}

p(\overline A\mid H)=\dfrac{0{,}102}{0{,}12}=\boxed{0{,}85}

On peut aussi calculer $1-p(A\mid H)=1-\dfrac{0{,}018}{0{,}12}=1-0{,}15$ .

2.a Chaque personne choisie ne souffre pas d'hypertension avec la probabilité $1-0{,}12=0{,}88$ , et les $n$ choix sont indépendants : $P_n=(0{,}88)^n$ . Comme $0<0{,}88<1$ , $\lim\limits_{n\to+\infty}(0{,}88)^n=\boxed{0}$ .

2.b Idée : passer au logarithme népérien ; $\ln(0{,}88)<0$ renverse l'inégalité.

(0{,}88)^n\leq0{,}1\iff n\ln(0{,}88)\leq\ln(0{,}1)

\iff n\geq\dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}88)}\approx18{,}01

Le plus petit entier est $\boxed{n=19}$ : $(0{,}88)^{18}\approx0{,}1002$ dépasse encore $0{,}1$ de peu, alors que $(0{,}88)^{19}\approx0{,}0881$ .

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L'exercice de probabilités des sections Sc. expérimentales, Techniques et Informatique : arbre à partir de pourcentages, probabilité totale à vérifier, probabilité inversée, loi binomiale ( $E(X)$ , « au plus un », plus petit $n$ )

Exercice 1 — probabilités (4 points), dans l'esprit des sessions 2019–2026

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill P-K.1 — deux urnes avec transfert de boules : arbre, probabilité inversée, variable aléatoire

Drill P-K.2 — un dé choisit l'urne : probabilité totale, provenance de la boule, puis répétition

Drill P-K.3 — une population en trois catégories : probabilité totale à trois branches et seuil $P_n\leq0{,}1$

Relier ce raisonnement au bac

L'exercice de probabilités des sections Sc. expérimentales, Techniques et Informatique : arbre à partir de pourcentages, probabilité totale à vérifier, probabilité inversée, loi binomiale (E(X)E(X)E(X), « au plus un », plus petit nnn)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

L'exercice de probabilités des sections Sc. expérimentales, Techniques et Informatique : arbre à partir de pourcentages, probabilité totale à vérifier, probabilité inversée, loi binomiale ( $E(X)$ , « au plus un », plus petit $n$ )