P-JDénombrement et probabilités

Deux dés tétraédriques (section Lettres) : tableau à double entrée, probabilités par comptage des cases, puis l'expérience aléatoire répétée trois fois

Idée directrice

En section Lettres, l'exercice de probabilités repose sur une expérience dont toutes les issues se voient : deux dés (souvent tétraédriques) lancés ensemble donnent $4\times4=16$ issues équiprobables, rangées dans un tableau à double entrée (somme, produit ou couple des numéros). Chaque probabilité se lit en comptant les cases favorables ; une réunion d'événements incompatibles s'obtient par addition. La fin de l'exercice répète l'expérience deux ou trois fois de façon indépendante : « exactement deux fois », « au moins une fois », « les trois fois » se calculent par des produits, sans que l'énoncé nomme de loi.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« On dispose de deux dés tétraédriques parfaits » ; « Recopier et compléter le tableau suivant » ; « On répète trois fois l'expérience précédente » ; « … est réalisé exactement une fois » ; « … est réalisé au moins une fois » ; « L'une des trois propositions suivantes est vraie, laquelle ? »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Tableau à double entrée : une ligne par face du premier dé, une colonne par face du second, faces répétées comprises : $4\times4=16$ cases équiprobables.
$p(\text{événement})=\dfrac{\text{nombre de cases favorables}}{16}$ .
Réunion de deux événements incompatibles : on additionne leurs probabilités.
Expérience répétée de façon indépendante : la probabilité d'une suite de résultats est un produit ; « exactement $k$ fois » = nombre d'ordres possibles × ce produit ; « au moins une fois » $=1-p(\text{jamais})$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Ne mettre qu'une ligne pour la face $1$ du dé bleu alors qu'elle figure deux fois (on obtiendrait $12$ cases qui ne sont plus équiprobables) ; oublier que « exactement deux fois » peut se produire dans trois ordres différents ; calculer « au moins une fois » par $3\times\dfrac14$ au lieu de passer par l'événement contraire ; additionner les probabilités de deux événements qui ne sont pas incompatibles.

Sujet principal

Exercice 3 — probabilités (6 points), dans l'esprit des sessions Lettres 2016–2022

3 questionsCorrigé masqué

On dispose de deux dés tétraédriques parfaits, l'un bleu et l'autre jaune. Les faces du dé bleu portent les numéros $0$ , $1$ , $1$ , $2$ ; celles du dé jaune portent les numéros $1$ , $2$ , $2$ , $3$ . Une expérience aléatoire consiste à lancer simultanément les deux dés et à calculer la somme des numéros portés par les faces sur lesquelles ils reposent.

Recopier et compléter le tableau suivant donnant la somme des numéros des deux dés : $\begin{array}{c|cccc} + & 1 & 2 & 2 & 3\\ \hline 0 & 1 & 2 & \ldots & 3\\ 1 & \ldots & 3 & \ldots & \ldots\\ 1 & 2 & \ldots & \ldots & 4\\ 2 & \ldots & \ldots & 4 & \ldots \end{array}$
1. Soit $S$ l'événement « obtenir une somme égale à $3$ ». Déterminer $p(S)$ .
2. Soit $D$ l'événement « obtenir une somme égale à $4$ ». Montrer que $p(D)=\dfrac14$ .
3. Soit $G$ l'événement « la somme obtenue est un nombre pair ». En remarquant que $G$ est la réunion de deux événements incompatibles, montrer que $p(G)=\dfrac12$ .
4. Calculer la probabilité d'obtenir une somme égale à $1$ ou à $5$ .
On répète trois fois de suite l'expérience précédente, les trois lancers étant indépendants.
1. Montrer que la probabilité que l'événement $D$ soit réalisé exactement deux fois est égale à $\dfrac{9}{64}$ .
2. Calculer la probabilité que $D$ soit réalisé au moins une fois.
3. Calculer la probabilité que $D$ soit réalisé les trois fois.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : chaque case contient « numéro du dé bleu + numéro du dé jaune » ; les faces répétées ont chacune leur ligne ou leur colonne, et les $16$ cases sont équiprobables car les dés sont parfaits.

\begin{array}{c|cccc} + & 1 & 2 & 2 & 3\\ \hline 0 & 1 & 2 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 3 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 4 & 5 \end{array}

2.a La somme $3$ occupe $6$ cases : $p(S)=\dfrac{6}{16}=\boxed{\dfrac38}$ .

2.b La somme $4$ occupe $4$ cases : $p(D)=\dfrac{4}{16}=\dfrac14$ .

2.c La somme prend les valeurs $1$ à $5$ ; les valeurs paires sont $2$ et $4$ . Donc $G$ est la réunion des événements incompatibles « somme égale à $2$ » ( $4$ cases) et $D$ :

p(G)=\dfrac{4}{16}+\dfrac{4}{16}=\dfrac12

2.d Les sommes $1$ et $5$ occupent chacune une case, et les deux événements sont incompatibles : la probabilité cherchée est $\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}=\boxed{\dfrac18}$ .

3.a Idée : écrire les résultats favorables comme des suites de trois lancers ; les lancers étant indépendants, la probabilité d'une suite est un produit. « $D$ exactement deux fois » correspond aux trois suites $(D,D,\overline D)$ , $(D,\overline D,D)$ , $(\overline D,D,D)$ , chacune de probabilité $\left(\dfrac14\right)^2\times\dfrac34=\dfrac{3}{64}$ .

3\times\dfrac{3}{64}=\dfrac{9}{64}

3.b Le contraire est « $D$ n'est jamais réalisé », de probabilité $\left(\dfrac34\right)^3=\dfrac{27}{64}$ ; la probabilité cherchée est $1-\dfrac{27}{64}=\boxed{\dfrac{37}{64}}$ .

3.c $\left(\dfrac14\right)^3=\boxed{\dfrac{1}{64}}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées (sujets Lettres) : tableau des produits de deux dés tétraédriques numérotés $1,1,2,3$ , et réponse de la répétition à choisir parmi trois expressions (principale 2017) ; tétraèdres portant des noms de poètes anciens ou modernes, puis trois étudiants (principale 2021) ; deux dés cubiques et tableau des couples, puis l'épreuve répétée deux fois (principale 2022) ; tirage simultané de trois jetons au lieu des dés, avec « E n'est réalisé qu'à la troisième fois » (principale 2016) ; épreuve répétée cinq fois et « exactement 2 fois » sous forme de QCM (principale 2019). En 2024, les probabilités ont été posées en QCM à partir d'un tableau de répartition.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill P-J.1 — deux tétraèdres portant des noms de poètes : réunion de deux cas, puis trois étudiants

Entraînement 01 / 03

Drill P-J.1 — deux tétraèdres portant des noms de poètes : réunion de deux cas, puis trois étudiants

4 questionsCorrigé masqué

Pour un oral de littérature arabe, chaque étudiant lance simultanément deux tétraèdres réguliers et parfaitement équilibrés. Les faces du premier portent les noms « Imrou' al-Qaïs », « Al-Maarri », « Abou Nawas » et « Ahmed Chawki » ; celles du second portent les noms « Al-Khansa », « Elia Abou Madi », « Gibran Khalil Gibran » et « Nazik al-Malaïka ». L'étudiant est interrogé sur les deux poètes dont les noms figurent sur les faces sur lesquelles reposent les deux tétraèdres. On précise qu'Imrou' al-Qaïs, Al-Maarri, Abou Nawas et Al-Khansa sont des poètes anciens, et que les quatre autres sont des poètes modernes.

Montrer que la probabilité que l'étudiant soit interrogé sur deux poètes anciens est égale à $\dfrac{3}{16}$ .
Calculer la probabilité qu'il soit interrogé sur deux poètes modernes.
Soit $A$ l'événement « l'étudiant est interrogé sur deux poètes anciens ou sur deux poètes modernes ». Montrer que $p(A)=\dfrac38$ .
Trois étudiants passent cet oral, leurs lancers étant indépendants.
1. Calculer la probabilité qu'au moins un des trois étudiants réalise l'événement $A$ .
2. Calculer la probabilité qu'un seul des trois étudiants réalise l'événement $A$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Les deux tétraèdres donnent $4\times4=16$ couples de noms équiprobables.

1. Idée : compter les couples (poète ancien du premier, poète ancien du second). Le premier tétraèdre porte $3$ anciens, le second $1$ : $3\times1=3$ couples, d'où $\dfrac{3}{16}$ .

2. Le premier porte $1$ moderne, le second $3$ : $\dfrac{1\times3}{16}=\boxed{\dfrac{3}{16}}$ .

3. Les deux événements précédents sont incompatibles : $p(A)=\dfrac{3}{16}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{6}{16}=\dfrac38$ .

4.a Le contraire est « aucun des trois ne réalise $A$ », de probabilité $\left(\dfrac58\right)^3=\dfrac{125}{512}$ ; la probabilité cherchée est $1-\dfrac{125}{512}=\boxed{\dfrac{387}{512}}$ .

4.b L'étudiant qui réalise $A$ peut être le premier, le deuxième ou le troisième, chaque cas ayant la probabilité $\dfrac38\times\left(\dfrac58\right)^2=\dfrac{75}{512}$ : la probabilité cherchée est $3\times\dfrac{75}{512}=\boxed{\dfrac{225}{512}}$ .

2 Drill P-J.2 — trois jetons tirés d'un sac : former le mot OUI, puis répéter le tirage trois fois

Entraînement 02 / 03

Drill P-J.2 — trois jetons tirés d'un sac : former le mot OUI, puis répéter le tirage trois fois

4 questionsCorrigé masqué

Un sac contient neuf jetons indiscernables au toucher : trois jetons rouges portant la lettre O, deux jetons verts portant la lettre U et quatre jetons jaunes portant la lettre I. Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hasard trois jetons du sac.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : $T$ : « obtenir trois jetons jaunes » ; $J$ : « les trois jetons ont la même couleur » ; $K$ : « les trois jetons sont de trois couleurs différentes ».
En déduire la probabilité de l'événement $L$ : « deux jetons seulement ont la même couleur ».
Soit l'événement $E$ : « les lettres des trois jetons tirés ne permettent pas d'écrire le mot OUI ». Montrer que $p(E)=\dfrac57$ .
On répète l'épreuve trois fois de suite en remettant à chaque fois les jetons tirés dans le sac. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : $F$ : « $E$ est réalisé les trois fois » ; $H$ : « $E$ n'est réalisé qu'à la troisième épreuve ».

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Il y a $C_9^3=84$ tirages équiprobables.

1. $p(T)=\dfrac{C_4^3}{84}=\dfrac{4}{84}=\boxed{\dfrac{1}{21}}$ . Trois verts est impossible (il n'y en a que deux) : $p(J)=\dfrac{C_3^3+C_4^3}{84}=\boxed{\dfrac{5}{84}}$ . Un jeton de chaque couleur : $p(K)=\dfrac{3\times2\times4}{84}=\dfrac{24}{84}=\boxed{\dfrac27}$ .

2. Idée : trois jetons ont une, deux ou trois couleurs : $J$ , $L$ , $K$ forment une partition. $p(L)=1-\dfrac{5}{84}-\dfrac{24}{84}=\boxed{\dfrac{55}{84}}$ .

3. On peut écrire OUI si et seulement si on a un O, un U et un I, c'est-à-dire trois couleurs différentes : $\overline E=K$ , donc $p(E)=1-\dfrac27=\dfrac57$ .

4. Les trois épreuves sont indépendantes (jetons remis). $p(F)=\left(\dfrac57\right)^3=\boxed{\dfrac{125}{343}}$ . « $E$ n'est réalisé qu'à la troisième épreuve » signifie $\overline E$ , puis $\overline E$ , puis $E$ :

p(H)=\dfrac27\times\dfrac27\times\dfrac57=\boxed{\dfrac{20}{343}}

3 Drill P-J.3 — la répétition en QCM : reconnaître la bonne expression parmi trois

Entraînement 03 / 03

Drill P-J.3 — la répétition en QCM : reconnaître la bonne expression parmi trois

2 questionsCorrigé masqué

Un sac contient six jetons indiscernables au toucher, numérotés de $1$ à $6$ . Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hasard deux jetons du sac. On note $S$ l'événement « la somme des deux numéros tirés est égale à $7$ ».

Vérifier que le nombre de tirages possibles est $15$ , puis montrer que $p(S)=\dfrac15$ .
On répète l'épreuve quatre fois de suite, en remettant à chaque fois les deux jetons tirés dans le sac. Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois propositions est exacte : l'indiquer en justifiant.
1. La probabilité de l'événement $E$ : « $S$ est réalisé exactement $2$ fois » est : (i) $\left(\dfrac15\right)^2$ ; (ii) $C_4^2\left(\dfrac15\right)^2\left(\dfrac45\right)^2$ ; (iii) $1-\left(\dfrac45\right)^2$ .
2. La probabilité de l'événement $F$ : « $S$ est réalisé au moins une fois » est : (i) $1-\left(\dfrac45\right)^4$ ; (ii) $4\times\dfrac15$ ; (iii) $\left(\dfrac15\right)^4$ .
3. La probabilité de l'événement $H$ : « $S$ n'est jamais réalisé » est : (i) $1-\left(\dfrac15\right)^4$ ; (ii) $\left(\dfrac45\right)^4$ ; (iii) $C_4^1\times\dfrac15\left(\dfrac45\right)^3$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Il y a $C_6^2=15$ tirages équiprobables. La somme $7$ s'obtient avec $\{1,6\}$ , $\{2,5\}$ ou $\{3,4\}$ : $p(S)=\dfrac{3}{15}=\dfrac15$ .

2.a Idée : choisir les deux épreuves où $S$ est réalisé parmi les quatre ( $C_4^2=6$ façons) ; chaque suite a la probabilité $\left(\frac15\right)^2\left(\frac45\right)^2$ . La bonne réponse est (ii), soit $\dfrac{96}{625}$ . La proposition (i) oublie les deux échecs et les différents ordres.

2.b Le contraire de $F$ est « $S$ n'est jamais réalisé », de probabilité $\left(\dfrac45\right)^4$ : la bonne réponse est (i), soit $\dfrac{369}{625}$ . La proposition (ii) additionne des probabilités d'événements qui ne sont pas incompatibles.

2.c À chaque épreuve, $S$ n'est pas réalisé avec la probabilité $\dfrac45$ , et les épreuves sont indépendantes : la bonne réponse est (ii), soit $\dfrac{256}{625}$ . La proposition (iii) est la probabilité que $S$ soit réalisé exactement une fois.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Deux dés tétraédriques (section Lettres) : tableau à double entrée, probabilités par comptage des cases, puis l'expérience aléatoire répétée trois fois

Exercice 3 — probabilités (6 points), dans l'esprit des sessions Lettres 2016–2022

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill P-J.1 — deux tétraèdres portant des noms de poètes : réunion de deux cas, puis trois étudiants

Drill P-J.2 — trois jetons tirés d'un sac : former le mot OUI, puis répéter le tirage trois fois

Drill P-J.3 — la répétition en QCM : reconnaître la bonne expression parmi trois

Relier ce raisonnement au bac