P-IDénombrement et probabilités

Arbre pondéré puis loi binomiale (section Économie-Gestion) : pourcentages traduits, arbre à compléter, probabilités totales, probabilité inversée, indépendance, $n$ clients

Idée directrice

En Économie-Gestion, l'exercice de probabilités part d'un texte de pourcentages (« $x\,\%$ des clients… ; parmi ceux-ci, $y\,\%$ … »). Tout commence par une traduction : un pourcentage global est une probabilité $p(A)$ , un pourcentage « parmi ceux qui… » est une probabilité conditionnelle. L'arbre pondéré range ces nombres : on y lit $p(A\cap B)$ comme produit le long d'un chemin, $p(B)$ par la formule des probabilités totales, puis on remonte l'arbre avec $p(A\mid B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$ et on teste l'indépendance. La dernière partie choisit $n$ individus dans une grande population : c'est une loi binomiale de paramètres $n$ et $p(B)$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Recopier et compléter l'arbre pondéré » ; « Montrer que $p(B) = … »$ ; « Quelle est la probabilité … sachant que … ? » ; « Les événements A et C sont-ils indépendants ? Justifier. » ; « On admet que le nombre … est suffisamment grand pour que l'on puisse considérer que X suit une loi binomiale » ; « Calculer la probabilité qu'au moins un des … »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Traduire chaque phrase : « $x\,\%$ des … » donne $p(A)$ ; « parmi les …, $y\,\%$ … » donne une probabilité conditionnelle $p(B\mid A)$ .
Arbre : les branches issues d'un même nœud ont une somme égale à $1$ ; la probabilité d'un chemin est le produit de ses branches, $p(A\cap B)=p(A)\times p(B\mid A)$ .
Probabilités totales : $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline A\cap B)$ .
Probabilité inversée : $p(A\mid B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$ ; indépendance : comparer $p(A\cap B)$ et $p(A)\times p(B)$ .
$n$ individus choisis dans une grande population : loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ , $p(X=k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}$ , « au moins un » $=1-(1-p)^n$ , $E(X)=np$ , $V(X)=np(1-p)$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Lire $35\,\%$ comme $p(A\cap B)$ alors que c'est $p(B\mid A)$ (le mot « parmi » annonce une condition) ; écrire $p(B)=0{,}35+0{,}1$ en additionnant deux probabilités conditionnelles au lieu de deux intersections ; confondre $p(A\mid B)$ , cherchée en 3.a, avec $p(B\mid A)$ , donnée par l'énoncé ; conclure à l'indépendance sans calcul ; prendre $p=0{,}35$ dans la loi binomiale alors que les contrats sont choisis parmi tous les contrats, donc $p=p(B)$ .

Sujet principal

Exercice 3 — probabilités (5 points), dans l'esprit des sessions Économie-Gestion 2017–2026

7 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Une agence de location de voitures a relevé, sur l'ensemble de ses contrats d'une année, les résultats suivants :

$80\,\%$ des contrats ont été réservés en ligne, les autres ont été réservés au guichet de l'agence ;
parmi les contrats réservés en ligne, $35\,\%$ comprennent l'assurance « tous risques » ;
parmi les contrats réservés au guichet, $10\,\%$ comprennent l'assurance « tous risques ».

On choisit au hasard un contrat de cette année et on considère les événements $A$ : « le contrat a été réservé en ligne » et $B$ : « le contrat comprend l'assurance tous risques ». On note $\overline A$ et $\overline B$ les événements contraires de $A$ et $B$ .

1. Montrer que $p(\overline A)=0{,}2$ .
2. Donner $p(B\mid A)$ et $p(B\mid\overline A)$ .
3. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessus.
1. Calculer la probabilité que le contrat choisi ait été réservé en ligne et comprenne l'assurance tous risques.
2. Montrer que $p(B)=0{,}3$ .
1. Le contrat choisi comprend l'assurance tous risques. Quelle est la probabilité qu'il ait été réservé en ligne ? On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
2. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.
On choisit au hasard $4$ contrats de l'année. On admet que le nombre de contrats est suffisamment grand pour que l'on puisse considérer que la variable aléatoire $X$ , égale au nombre de contrats comprenant l'assurance tous risques parmi ces $4$ contrats, suit une loi binomiale.
1. Déterminer les paramètres de cette loi.
2. Montrer que $p(X=2)=0{,}2646$ .
3. Calculer la probabilité qu'au moins un des $4$ contrats comprenne l'assurance tous risques.
4. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et la variance $V(X)$ , puis interpréter $E(X)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : un pourcentage global est une probabilité. $80\,\%$ des contrats sont réservés en ligne : $p(A)=0{,}8$ , donc $p(\overline A)=1-0{,}8=0{,}2$ .

1.b Idée : « parmi les contrats réservés en ligne » restreint l'univers à $A$ : c'est une probabilité conditionnelle. $p(B\mid A)=0{,}35$ et $p(B\mid\overline A)=0{,}1$ .

1.c Les branches issues d'un même nœud ont une somme égale à $1$ : $p(\overline B\mid A)=1-0{,}35=0{,}65$ et $p(\overline B\mid\overline A)=1-0{,}1=0{,}9$ .

2.a La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches :

p(A\cap B)=0{,}8\times0{,}35=\boxed{0{,}28}

2.b Idée : $A$ et $\overline A$ partagent l'univers : formule des probabilités totales.

p(B)=p(A\cap B)+p(\overline A\cap B)

donc $p(B)=0{,}28+0{,}2\times0{,}1=0{,}28+0{,}02=0{,}3$ .

3.a Idée : on remonte l'arbre ; la condition est maintenant $B$ .

p(A\mid B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{0{,}28}{0{,}3}=\boxed{\dfrac{14}{15}}

soit environ $0{,}933$ .

3.b $p(A)\times p(B)=0{,}8\times0{,}3=0{,}24$ , alors que $p(A\cap B)=0{,}28$ : les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants. On le lit aussi sur $p(B\mid A)=0{,}35\neq p(B)=0{,}3$ : un contrat réservé en ligne comprend plus souvent l'assurance.

4.a Chaque contrat choisi réalise ou non l'événement $B$ , de probabilité $p(B)=0{,}3$ , et les $4$ choix sont considérés comme indépendants : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $\boxed{n=4}$ et $\boxed{p=0{,}3}$ .

4.b $p(X=2)=C_4^2\times0{,}3^2\times0{,}7^2=6\times0{,}09\times0{,}49=0{,}2646$ .

4.c Idée : « au moins un » par l'événement contraire « aucun ». $p(X=0)=0{,}7^4=0{,}2401$ , d'où $p(X\geq1)=1-0{,}2401=\boxed{0{,}7599}$ .

4.d $E(X)=np=4\times0{,}3=\boxed{1{,}2}$ et $V(X)=np(1-p)=4\times0{,}3\times0{,}7=\boxed{0{,}84}$ . Si l'on répète un grand nombre de fois le choix de $4$ contrats, on trouve en moyenne $1{,}2$ contrat avec l'assurance tous risques par groupe de $4$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées (sujets Économie-Gestion) : arbre imprimé en partie prérempli, à recopier (principale 2025, contrôle 2026) ; affirmation chiffrée du directeur à vérifier par la probabilité de « aucun défaut » (principale 2017) ; variable aléatoire monétaire (dépense, coût d'un trajet, bénéfice) et montant moyen pour $100$ ou $1000$ individus à la place de la loi binomiale (contrôle 2019, contrôle 2022, principale 2025) ; départ par trois pourcentages $p(A)$ , $p(B)$ , $p(A\cap B)$ (contrôle 2022, principale 2023) ; première épreuve faite d'une pièce ou de dés, puis tirage dans une urne (contrôle 2018, contrôle 2023) ; probabilité conditionnelle calculée par dénombrement après un tirage simultané (contrôle 2024).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill P-I.1 — la dépense d'un client : variable aléatoire monétaire et recette prévue pour 500 clients

Entraînement 01 / 04

Drill P-I.1 — la dépense d'un client : variable aléatoire monétaire et recette prévue pour 500 clients

5 questionsCorrigé masqué

Une librairie vend des manuels scolaires et des calculatrices. Un client qui se présente achète au plus un manuel et au plus une calculatrice. Une étude a montré que :

$60\,\%$ des clients achètent un manuel ;
parmi les clients qui achètent un manuel, $25\,\%$ achètent aussi une calculatrice ;
parmi les clients qui n'achètent pas de manuel, la moitié achète une calculatrice.

On choisit un client au hasard et on note $M$ : « le client achète un manuel » et $C$ : « le client achète une calculatrice ».

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2. Calculer $p(M\cap C)$ .
3. Montrer que $p(C)=0{,}35$ .
4. Calculer la probabilité que le client achète au moins un des deux articles.
Un manuel coûte $12$ dinars et une calculatrice $40$ dinars. Soit $X$ la variable aléatoire égale à la dépense du client, en dinars.
1. Justifier que les valeurs prises par $X$ sont $0$ ; $12$ ; $40$ et $52$ .
2. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
3. Calculer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter le résultat.
4. La librairie attend $500$ clients pendant la semaine de la rentrée. Estimer la recette correspondante.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Premier niveau : $p(M)=0{,}6$ et $p(\overline M)=0{,}4$ . Second niveau : $p(C\mid M)=0{,}25$ , $p(\overline C\mid M)=0{,}75$ , $p(C\mid\overline M)=0{,}5$ , $p(\overline C\mid\overline M)=0{,}5$ .

1.b $p(M\cap C)=0{,}6\times0{,}25=\boxed{0{,}15}$ .

1.c Probabilités totales : $p(C)=p(M\cap C)+p(\overline M\cap C)=0{,}15+0{,}4\times0{,}5=0{,}35$ .

1.d $p(M\cup C)=p(M)+p(C)-p(M\cap C)=0{,}6+0{,}35-0{,}15=\boxed{0{,}8}$ (ou $1-p(\overline M\cap\overline C)=1-0{,}2$ ).

2.a Idée : chaque chemin de l'arbre correspond à un panier. Aucun article : $0$ ; manuel seul : $12$ ; calculatrice seule : $40$ ; les deux : $12+40=52$ .

2.b $p(X=0)=0{,}4\times0{,}5=0{,}2$ ; $p(X=12)=0{,}6\times0{,}75=0{,}45$ ; $p(X=40)=0{,}4\times0{,}5=0{,}2$ ; $p(X=52)=0{,}15$ .

\begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & 0 & 12 & 40 & 52\\ \hline p(X=x_i) & 0{,}2 & 0{,}45 & 0{,}2 & 0{,}15 \end{array}

2.c $E(X)=12\times0{,}45+40\times0{,}2+52\times0{,}15=5{,}4+8+7{,}8=\boxed{21{,}2}$ . Sur un grand nombre de clients, la dépense moyenne par client est d'environ $21{,}2$ dinars.

2.d La recette prévue est d'environ $500\times21{,}2=\boxed{10\,600}$ dinars.

2 Drill P-I.2 — trois pourcentages

p(A)

p(B)

p(A\cap B)

: retrouver les conditionnelles avant l'arbre

Entraînement 02 / 04

Drill P-I.2 — trois pourcentages $p(A)$ , $p(B)$ , $p(A\cap B)$ : retrouver les conditionnelles avant l'arbre

4 questionsCorrigé masqué

Un fournisseur d'accès à internet propose à ses abonnés deux options : la télévision et le téléphone fixe. Une étude montre que $50\,\%$ des abonnés ont l'option télévision, $40\,\%$ ont l'option téléphone fixe et $15\,\%$ ont les deux options. On choisit un abonné au hasard et on note $A$ : « l'abonné a l'option télévision » et $B$ : « l'abonné a l'option téléphone fixe ».

1. Donner $p(A)$ , $p(B)$ et $p(A\cap B)$ .
2. En déduire que $p(B\mid A)=0{,}3$ .
3. Calculer la probabilité que l'abonné ait au moins une des deux options, puis la probabilité qu'il n'en ait aucune.
1. Définir par une phrase l'événement $B\cap\overline A$ , puis montrer que $p(B\cap\overline A)=0{,}25$ .
2. Calculer alors $p(B\mid\overline A)$ .
Construire l'arbre pondéré associé à cette situation (premier niveau : $A$ et $\overline A$ ; second niveau : $B$ et $\overline B$ ).
1. L'abonné choisi a l'option téléphone fixe. Quelle est la probabilité qu'il ait aussi l'option télévision ?
2. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

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1.a $p(A)=0{,}5$ , $p(B)=0{,}4$ et $p(A\cap B)=0{,}15$ .

1.b $p(B\mid A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}=\dfrac{0{,}15}{0{,}5}=0{,}3$ .

1.c $p(A\cup B)=0{,}5+0{,}4-0{,}15=\boxed{0{,}75}$ ; aucune option : $1-0{,}75=\boxed{0{,}25}$ .

2.a $B\cap\overline A$ : « l'abonné a l'option téléphone fixe sans l'option télévision ». Idée : $B$ est la réunion des deux événements incompatibles $B\cap A$ et $B\cap\overline A$ . Donc $p(B\cap\overline A)=p(B)-p(A\cap B)=0{,}4-0{,}15=0{,}25$ .

2.b $p(B\mid\overline A)=\dfrac{0{,}25}{0{,}5}=\boxed{0{,}5}$ .

3. Branches : $p(A)=0{,}5$ , $p(\overline A)=0{,}5$ ; $p(B\mid A)=0{,}3$ , $p(\overline B\mid A)=0{,}7$ ; $p(B\mid\overline A)=0{,}5$ , $p(\overline B\mid\overline A)=0{,}5$ . Contrôle : le chemin $\overline A\cap\overline B$ vaut $0{,}5\times0{,}5=0{,}25$ , la probabilité de « aucune option » trouvée en 1.c.

4.a $p(A\mid B)=\dfrac{0{,}15}{0{,}4}=\boxed{0{,}375}$ .

4.b $p(A)\times p(B)=0{,}2\neq0{,}15=p(A\cap B)$ : $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

3 Drill P-I.3 — un dé décide du mode de tirage : simultané ou successif avec remise

Entraînement 03 / 04

Drill P-I.3 — un dé décide du mode de tirage : simultané ou successif avec remise

2 questionsCorrigé masqué

On dispose d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$ , et d'une urne contenant deux boules blanches et trois boules rouges, indiscernables au toucher. On lance le dé une seule fois. Si le numéro obtenu est un multiple de $3$ , on tire simultanément deux boules de l'urne ; sinon, on tire successivement et avec remise deux boules de l'urne.

On considère les événements $A$ : « le numéro obtenu est un multiple de $3$ » et $B$ : « les deux boules tirées sont blanches ».

1. Montrer que la probabilité de l'événement $A$ est $p(A)=\dfrac13$ .
2. Montrer que $p(B\mid A)=\dfrac{1}{10}$ .
3. Montrer que $p(B\mid\overline A)=\dfrac{4}{25}$ .
1. Construire l'arbre pondéré décrivant cette expérience.
2. En déduire la probabilité de l'événement $B$ .
3. Calculer alors la probabilité conditionnelle $p(A\mid B)$ .

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1.a Les multiples de $3$ sont $3$ et $6$ : $p(A)=\dfrac26=\dfrac13$ .

1.b Idée : sachant $A$ , le tirage est simultané, donc compté par des combinaisons. Il y a $C_5^2=10$ tirages équiprobables, dont un seul donne deux blanches : $p(B\mid A)=\dfrac{1}{10}$ .

1.c Idée : sachant $\overline A$ , le tirage est successif avec remise, donc compté par des couples. Il y a $5^2=25$ couples, dont $2^2=4$ formés de deux blanches : $p(B\mid\overline A)=\dfrac{4}{25}$ .

2.a Branches : $p(A)=\dfrac13$ , $p(\overline A)=\dfrac23$ ; $p(B\mid A)=\dfrac1{10}$ , $p(\overline B\mid A)=\dfrac9{10}$ ; $p(B\mid\overline A)=\dfrac4{25}$ , $p(\overline B\mid\overline A)=\dfrac{21}{25}$ .

2.b Probabilités totales :

p(B)=\dfrac13\times\dfrac1{10}+\dfrac23\times\dfrac4{25}

soit $p(B)=\dfrac{1}{30}+\dfrac{8}{75}=\dfrac{5+16}{150}=\boxed{\dfrac{7}{50}}$ .

2.c $p(A\mid B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{1/30}{7/50}=\dfrac{50}{210}=\boxed{\dfrac{5}{21}}$ .

4 Drill P-I.4 — probabilité conditionnelle calculée par dénombrement après un tirage simultané de trois boules

Entraînement 04 / 04

Drill P-I.4 — probabilité conditionnelle calculée par dénombrement après un tirage simultané de trois boules

2 questionsCorrigé masqué

Une urne contient trois boules noires, deux boules rouges et cinq boules vertes, indiscernables au toucher. On tire simultanément et au hasard trois boules de l'urne. On considère les événements : $A$ : « les trois boules tirées sont de couleurs toutes différentes » ; $B$ : « obtenir exactement deux couleurs différentes » ; $C$ : « obtenir trois boules de même couleur ».

1. Vérifier que la probabilité de l'événement $A$ est égale à $\dfrac14$ .
2. Déterminer $p(C)$ , puis en déduire $p(B)$ .
On considère l'événement $D$ : « obtenir une seule boule noire ».
1. Déterminer $p(D)$ et $p(B\cap D)$ .
2. En déduire que la probabilité conditionnelle $p(B\mid D)$ est égale à $\dfrac{11}{21}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Il y a $C_{10}^3=120$ tirages équiprobables.

1.a Une boule de chaque couleur : $3\times2\times5=30$ tirages, donc $p(A)=\dfrac{30}{120}=\dfrac14$ .

1.b Trois rouges est impossible (il n'y en a que deux) : $p(C)=\dfrac{C_3^3+C_5^3}{120}=\dfrac{1+10}{120}=\boxed{\dfrac{11}{120}}$ . Un tirage a une, deux ou trois couleurs : $A$ , $B$ , $C$ forment une partition, d'où $p(B)=1-\dfrac{30}{120}-\dfrac{11}{120}=\boxed{\dfrac{79}{120}}$ .

2.a $D$ : une noire parmi $3$ et deux boules parmi les $7$ non noires : $p(D)=\dfrac{3\times C_7^2}{120}=\dfrac{63}{120}=\boxed{\dfrac{21}{40}}$ . Idée : $B\cap D$ exige que les deux boules non noires aient la même couleur. Deux rouges ( $C_2^2=1$ ) ou deux vertes ( $C_5^2=10$ ) : $p(B\cap D)=\dfrac{3\times11}{120}=\dfrac{33}{120}=\boxed{\dfrac{11}{40}}$ .

2.b $p(B\mid D)=\dfrac{p(B\cap D)}{p(D)}=\dfrac{33}{63}=\dfrac{11}{21}$ .

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Arbre pondéré puis loi binomiale (section Économie-Gestion) : pourcentages traduits, arbre à compléter, probabilités totales, probabilité inversée, indépendance, $n$ clients

Exercice 3 — probabilités (5 points), dans l'esprit des sessions Économie-Gestion 2017–2026

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill P-I.1 — la dépense d'un client : variable aléatoire monétaire et recette prévue pour 500 clients

Drill P-I.2 — trois pourcentages $p(A)$ , $p(B)$ , $p(A\cap B)$ : retrouver les conditionnelles avant l'arbre

Drill P-I.3 — un dé décide du mode de tirage : simultané ou successif avec remise

Drill P-I.4 — probabilité conditionnelle calculée par dénombrement après un tirage simultané de trois boules

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Arbre pondéré puis loi binomiale (section Économie-Gestion) : pourcentages traduits, arbre à compléter, probabilités totales, probabilité inversée, indépendance, nnn clients

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

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Arbre pondéré puis loi binomiale (section Économie-Gestion) : pourcentages traduits, arbre à compléter, probabilités totales, probabilité inversée, indépendance, $n$ clients