P-HDénombrement et probabilités

Tirage simultané et gain algébrique (section Sport) : dénombrement par combinaisons, événement contraire, loi de $X$ à compléter, $E(X)$ , $V(X)$ , jeu favorable

Idée directrice

En section Sport, l'exercice de probabilités suit presque toujours la même trajectoire : un sac, un tirage simultané de deux (ou trois) objets, donc un univers compté par une combinaison $C_n^k$ dont toutes les issues sont équiprobables ; des événements classiques (même couleur, au moins un, un seul, couleurs différentes) obtenus par produits de combinaisons ou par l'événement contraire ; puis une variable aléatoire (gain algébrique, nombre d'objets d'une couleur) dont on justifie les valeurs, dont on complète le tableau de la loi (somme égale à $1$ ), et dont on calcule l'espérance et la variance pour dire si le jeu est favorable.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« On tire simultanément et au hasard deux jetons du sac » ; « Justifier que le nombre de tous les cas possibles est égal à … » ; « Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain algébrique » ; « Justifier que les valeurs prises par X sont … » ; « Recopier et compléter le tableau suivant » ; « Ce jeu est-il favorable ? »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Tirage simultané de $k$ objets parmi $n$ : $\operatorname{card}\Omega=C_n^k$ , issues équiprobables ; $p(E)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ .
« Au moins un » : passer par le contraire « aucun ». « Même couleur » : additionner les cas couleur par couleur, en écartant les couleurs représentées par un seul objet.
Valeurs de $X$ : lister toutes les compositions possibles du tirage et le gain de chacune, en écartant les compositions impossibles.
Loi : un calcul par valeur, contrôle $\sum p_i=1$ , puis $E(X)=\sum x_ip_i$ et $V(X)=\sum x_i^2p_i-\big(E(X)\big)^2$ .
Jeu favorable si $E(X)>0$ , défavorable si $E(X)<0$ , équitable si $E(X)=0$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Compter les tirages avec l'ordre ( $7\times6=42$ ) alors que le tirage est simultané ; compter une paire de jetons jaunes alors qu'il n'y en a qu'un ; oublier le cas « deux verts » en calculant « au moins un vert » directement ; confondre $E(X^2)$ et $\big(E(X)\big)^2$ dans la variance ; conclure « favorable » parce que la plus grande valeur de $X$ est positive, sans calculer $E(X)$ .

Sujet principal

Exercice 1 — probabilités (7 points), dans l'esprit des sessions Sport 2017–2025

3 questionsCorrigé masqué

Lors de la fête de fin de saison d'un club sportif, on organise un jeu. Un sac contient sept jetons indiscernables au toucher : quatre jetons rouges, deux jetons verts et un jeton jaune. Une partie consiste à tirer simultanément et au hasard deux jetons du sac.

Justifier que le nombre de tirages possibles est égal à $21$ .
On considère les événements suivants : $A$ : « obtenir deux jetons de même couleur » ; $B$ : « obtenir au moins un jeton vert » ; $C$ : « obtenir un seul jeton rouge » ; $D$ : « obtenir deux jetons de couleurs différentes ».
1. Montrer que $p(A)=\dfrac13$ .
2. Calculer $p(B)$ .
3. Calculer $p(C)$ .
4. Montrer que $p(D)=1-p(A)$ , puis en déduire $p(D)$ .
Au cours d'une partie, chaque jeton rouge tiré fait gagner $1$ dinar au joueur, le jeton jaune lui fait perdre $1$ dinar et chaque jeton vert lui fait perdre $2$ dinars. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain algébrique du joueur, en dinars.
1. Justifier que les valeurs prises par $X$ sont $-4$ ; $-3$ ; $-1$ ; $0$ et $2$ .
2. Vérifier que $p(X=-1)=\dfrac{8}{21}$ .
3. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ : $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x_i & -4 & -3 & -1 & 0 & 2\\ \hline p(X=x_i) & \ldots & \ldots & \frac{8}{21} & \ldots & \ldots \end{array}$
4. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et la variance $V(X)$ .
5. Ce jeu est-il favorable au joueur ? Interpréter la valeur de $E(X)$ .
6. Calculer la probabilité que le joueur ne perde pas d'argent au cours d'une partie.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : un tirage simultané est une partie de l'ensemble des jetons, sans ordre. Tirer simultanément $2$ jetons parmi $7$ , c'est choisir une partie à $2$ éléments d'un ensemble à $7$ éléments ; les jetons étant indiscernables au toucher, les tirages sont équiprobables. Le nombre de tirages possibles est donc

C_7^2=\dfrac{7\times6}{2}=\boxed{21}

2.a Idée : « même couleur » signifie deux rouges ou deux verts ; il n'y a qu'un jeton jaune, il ne peut pas former de paire.

p(A)=\dfrac{C_4^2+C_2^2}{21}=\dfrac{6+1}{21}=\boxed{\dfrac13}

2.b Idée : « au moins un » se calcule par l'événement contraire. L'événement $\overline B$ est « aucun jeton vert » : les deux jetons sont pris parmi les $5$ jetons qui ne sont pas verts, donc $p(\overline B)=\dfrac{C_5^2}{21}=\dfrac{10}{21}$ , d'où

p(B)=1-\dfrac{10}{21}=\boxed{\dfrac{11}{21}}

2.c Un seul jeton rouge : on choisit un rouge parmi $4$ et un jeton non rouge parmi $3$ (deux verts et le jaune).

p(C)=\dfrac{C_4^1\times C_3^1}{21}=\dfrac{12}{21}=\boxed{\dfrac47}

2.d Deux jetons tirés sont soit de même couleur, soit de couleurs différentes, et jamais les deux à la fois : $D=\overline A$ . Par suite $p(D)=1-p(A)=1-\dfrac13=\boxed{\dfrac23}$ .

3.a Idée : lister les compositions possibles du tirage et le gain de chacune. Deux rouges : $1+1=2$ ; un rouge et un vert : $1-2=-1$ ; un rouge et le jaune : $1-1=0$ ; deux verts : $-2-2=-4$ ; un vert et le jaune : $-2-1=-3$ . Deux jaunes est impossible (un seul jeton jaune). Les valeurs prises par $X$ sont donc $-4$ ; $-3$ ; $-1$ ; $0$ et $2$ .

3.b $(X=-1)$ est l'événement « un jeton rouge et un jeton vert » :

p(X=-1)=\dfrac{C_4^1\times C_2^1}{21}=\dfrac{8}{21}

3.c De même $p(X=2)=\dfrac{C_4^2}{21}=\dfrac{6}{21}$ , $p(X=0)=\dfrac{C_4^1\times C_1^1}{21}=\dfrac{4}{21}$ , $p(X=-4)=\dfrac{C_2^2}{21}=\dfrac{1}{21}$ et $p(X=-3)=\dfrac{C_2^1\times C_1^1}{21}=\dfrac{2}{21}$ .

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x_i & -4 & -3 & -1 & 0 & 2\\ \hline p(X=x_i) & \frac{1}{21} & \frac{2}{21} & \frac{8}{21} & \frac{4}{21} & \frac{6}{21} \end{array}

Contrôle : $\dfrac{1+2+8+4+6}{21}=1$ .

3.d Idée : $E(X)=\sum x_ip_i$ et $V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$ .

E(X)=\dfrac{-4-6-8+0+12}{21}=-\dfrac{6}{21}

donc $E(X)=\boxed{-\dfrac27}$ . Ensuite

E(X^2)=\dfrac{16+18+8+0+24}{21}=\dfrac{22}{7}

V(X)=\dfrac{22}{7}-\dfrac{4}{49}=\boxed{\dfrac{150}{49}}

soit $V(X)\approx3{,}06$ .

3.e $E(X)=-\dfrac27<0$ : le jeu est défavorable au joueur. Sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne environ $0{,}29$ dinar par partie, bien que le gain le plus élevé, $2$ dinars, soit aussi le deuxième plus probable.

3.f Ne pas perdre d'argent, c'est $X\geq0$ : $p(X\geq0)=p(X=0)+p(X=2)=\dfrac{4}{21}+\dfrac{6}{21}=\boxed{\dfrac{10}{21}}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées (sujets Sport) : $X$ égale au nombre d'objets d'une catégorie : clubs tunisiens, courses de sprint, boules vertes (principale 2017, principale 2018, principale 2025) ; tirage de trois boules sans remise, univers compté par des arrangements (contrôle 2019) ; $X$ égale au nombre de couleurs qui restent dans l'urne (contrôle 2018) ; loi à paramètre inconnu retrouvé par $\sum p_i=1$ et par $E(X)$ (contrôle 2022, principale 2024) ; épreuves successives (fléchettes, matchs d'un tournoi) au lieu d'un tirage (contrôle 2020, principale 2021, contrôle 2026) ; tirage fait à partir d'un tableau de répartition selon le sexe et l'activité sportive (contrôle 2016).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill P-H.1 — trois boules tirées successivement et sans remise : l'univers se compte par des arrangements

Entraînement 01 / 05

Drill P-H.1 — trois boules tirées successivement et sans remise : l'univers se compte par des arrangements

4 questionsCorrigé masqué

Une urne contient deux boules vertes, quatre boules rouges et six boules blanches, toutes indiscernables au toucher. On tire au hasard, l'une après l'autre et sans remise, trois boules de l'urne.

On note $E$ l'univers des possibles. Calculer le cardinal de $E$ .
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : $A$ : « obtenir trois boules blanches » ; $B$ : « obtenir trois boules de même couleur » ; $F$ : « la première boule tirée est verte ».
Montrer que la probabilité de l'événement $C$ : « obtenir une seule boule verte » est égale à $\dfrac{9}{22}$ .
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées.
1. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
2. Calculer l'espérance mathématique de $X$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : tirage successif sans remise, l'ordre compte : on compte des arrangements.

\operatorname{card}E=A_{12}^3=12\times11\times10=\boxed{1320}

2. $p(A)=\dfrac{A_6^3}{1320}=\dfrac{120}{1320}=\boxed{\dfrac{1}{11}}$ . Trois vertes est impossible (il n'y en a que deux), donc $p(B)=\dfrac{A_4^3+A_6^3}{1320}=\dfrac{24+120}{1320}=\boxed{\dfrac{6}{55}}$ . Pour $F$ : $2$ choix pour la première boule, puis $A_{11}^2=110$ façons de tirer les deux suivantes, d'où $p(F)=\dfrac{2\times110}{1320}=\boxed{\dfrac{1}{6}}$ .

3. Idée : choisir d'abord le rang de la boule verte ( $3$ possibilités), puis remplir les rangs. La boule verte : $A_2^1=2$ choix ; les deux autres rangs : $A_{10}^2=90$ choix parmi les $10$ boules non vertes.

p(C)=\dfrac{3\times2\times90}{1320}=\dfrac{540}{1320}=\dfrac{9}{22}

Un tirage simultané de trois boules donnerait la même valeur, $\dfrac{C_2^1\times C_{10}^2}{C_{12}^3}=\dfrac{90}{220}=\dfrac{9}{22}$ : seul le dénombrement change.

4.a $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ et $2$ . $p(X=0)=\dfrac{A_{10}^3}{1320}=\dfrac{720}{1320}=\dfrac{6}{11}$ ; $p(X=1)=p(C)=\dfrac{9}{22}$ ; $p(X=2)=\dfrac{3\times A_2^2\times A_{10}^1}{1320}=\dfrac{60}{1320}=\dfrac{1}{22}$ .

\begin{array}{c|c|c|c} x_i & 0 & 1 & 2\\ \hline p(X=x_i) & \frac{12}{22} & \frac{9}{22} & \frac{1}{22} \end{array}

4.b $E(X)=0\times\dfrac{12}{22}+1\times\dfrac{9}{22}+2\times\dfrac{1}{22}=\dfrac{11}{22}=\boxed{\dfrac{1}{2}}$ .

2 Drill P-H.2 —

X

égale au nombre de couleurs qui restent dans l'urne

Entraînement 02 / 05

Drill P-H.2 — $X$ égale au nombre de couleurs qui restent dans l'urne

2 questionsCorrigé masqué

Une urne contient six boules indiscernables au toucher : trois boules blanches, une boule rouge, une boule verte et une boule noire. Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l'urne.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : $A$ : « obtenir deux boules de même couleur » ; $B$ : « obtenir au moins une boule blanche ».
Soit $X$ l'aléa numérique donnant le nombre de couleurs qui restent dans l'urne après le tirage.
1. Montrer que les valeurs prises par $X$ sont $2$ ; $3$ et $4$ .
2. Montrer que $p(X=3)=\dfrac35$ .
3. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
4. Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Le nombre de tirages possibles est $C_6^2=15$ , tous équiprobables.

1. Seules les boules blanches peuvent donner deux boules de même couleur : $p(A)=\dfrac{C_3^2}{15}=\dfrac{3}{15}=\boxed{\dfrac15}$ . Pour $B$ , on passe par le contraire « aucune boule blanche », qui compte $C_3^2=3$ tirages : $p(B)=1-\dfrac{3}{15}=\boxed{\dfrac45}$ .

2.a Idée : une couleur disparaît de l'urne seulement si toutes ses boules sont tirées. Au départ l'urne contient $4$ couleurs. Deux blanches : il reste une blanche, les $4$ couleurs restent, $X=4$ . Une blanche et une boule d'une autre couleur : cette couleur (une seule boule) disparaît, $X=3$ . Deux boules parmi la rouge, la verte et la noire : deux couleurs disparaissent, $X=2$ .

2.b $(X=3)$ : une blanche parmi $3$ et une boule parmi les $3$ autres : $p(X=3)=\dfrac{3\times3}{15}=\dfrac{9}{15}=\dfrac35$ .

2.c $p(X=4)=\dfrac{C_3^2}{15}=\dfrac15$ et $p(X=2)=\dfrac{C_3^2}{15}=\dfrac15$ .

\begin{array}{c|c|c|c} x_i & 2 & 3 & 4\\ \hline p(X=x_i) & \frac15 & \frac35 & \frac15 \end{array}

2.d $E(X)=\dfrac{2+9+4}{5}=\boxed{3}$ ; $E(X^2)=\dfrac{4+27+16}{5}=\dfrac{47}{5}$ , donc $V(X)=\dfrac{47}{5}-9=\boxed{\dfrac25}$ .

3 Drill P-H.3 — loi à compléter avec deux inconnues :

\sum p_i=1

, puis

E(X)

donnée

Entraînement 03 / 05

Drill P-H.3 — loi à compléter avec deux inconnues : $\sum p_i=1$ , puis $E(X)$ donnée

4 questionsCorrigé masqué

Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, où $p$ est un réel et $a$ un entier supérieur à $3$ :

\begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -2 & 1 & 3 & a\\ \hline p(X=x_i) & 0{,}25 & 0{,}4 & p & 0{,}15 \end{array}

Justifier que $p=0{,}2$ .
On donne l'espérance mathématique de $X$ : $E(X)=1{,}4$ . Déterminer la valeur de $a$ .
Montrer que la variance de $X$ est $V(X)=6{,}64$ .
Calculer $p\big(X>E(X)\big)$ .

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1. Idée : la somme des probabilités d'une loi vaut $1$ . $0{,}25+0{,}4+p+0{,}15=1$ , d'où $p=1-0{,}8=\boxed{0{,}2}$ .

2. Idée : écrire $E(X)$ en fonction de $a$ , puis résoudre une équation du premier degré.

E(X)=-0{,}5+0{,}4+0{,}6+0{,}15\,a

soit $E(X)=0{,}5+0{,}15\,a$ . L'égalité $0{,}5+0{,}15\,a=1{,}4$ donne $0{,}15\,a=0{,}9$ , d'où $\boxed{a=6}$ , qui est bien un entier supérieur à $3$ .

3. $E(X^2)=4\times0{,}25+1\times0{,}4+9\times0{,}2+36\times0{,}15=1+0{,}4+1{,}8+5{,}4=8{,}6$ , donc $V(X)=8{,}6-1{,}4^2=8{,}6-1{,}96=6{,}64$ .

4. $X>1{,}4$ signifie $X=3$ ou $X=6$ : $p\big(X>E(X)\big)=0{,}2+0{,}15=\boxed{0{,}35}$ .

4 Drill P-H.4 — deux penaltys successifs : produit des probabilités, puis prime algébrique

Entraînement 04 / 05

Drill P-H.4 — deux penaltys successifs : produit des probabilités, puis prime algébrique

3 questionsCorrigé masqué

Lors d'une séance d'entraînement, un footballeur tire deux penaltys l'un après l'autre. La probabilité qu'il marque le premier est $0{,}8$ et la probabilité qu'il marque le second est $0{,}7$ . On admet que les deux tirs sont indépendants.

On considère les événements : $A$ : « le joueur marque uniquement le premier penalty » ; $B$ : « le joueur marque uniquement le second penalty » ; $C$ : « le joueur marque un seul penalty » ; $D$ : « le joueur marque au moins un penalty ».
1. Vérifier que $p(A)=0{,}24$ et calculer $p(B)$ .
2. Montrer que $p(C)=0{,}38$ .
3. Calculer $p(D)$ .
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de penaltys marqués.
1. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
2. Calculer l'espérance et la variance de $X$ .
Le club verse au joueur une prime de $50$ dinars par penalty marqué et lui retient $20$ dinars par penalty manqué. Soit $G$ le gain algébrique du joueur, en dinars.
1. Montrer que $G=70X-40$ et en déduire les valeurs prises par $G$ .
2. Calculer le gain algébrique moyen du joueur.

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1.a Idée : pour des tirs indépendants, la probabilité d'une suite de résultats est le produit des probabilités. $p(A)=0{,}8\times(1-0{,}7)=0{,}8\times0{,}3=0{,}24$ et $p(B)=(1-0{,}8)\times0{,}7=0{,}2\times0{,}7=\boxed{0{,}14}$ .

1.b $C=A\cup B$ et $A$ , $B$ sont incompatibles : $p(C)=0{,}24+0{,}14=0{,}38$ .

1.c Le contraire de $D$ est « aucun penalty marqué » : $p(\overline D)=0{,}2\times0{,}3=0{,}06$ , d'où $p(D)=\boxed{0{,}94}$ .

2.a $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ avec $p(X=0)=0{,}06$ , $p(X=1)=p(C)=0{,}38$ et $p(X=2)=0{,}8\times0{,}7=0{,}56$ (contrôle : la somme vaut $1$ ).

2.b $E(X)=0{,}38+2\times0{,}56=\boxed{1{,}5}$ ; $E(X^2)=0{,}38+4\times0{,}56=2{,}62$ , donc $V(X)=2{,}62-2{,}25=\boxed{0{,}37}$ .

3.a S'il marque $X$ penaltys, il en manque $2-X$ : $G=50X-20(2-X)=70X-40$ . Les valeurs prises par $G$ sont donc $-40$ , $30$ et $100$ , avec les probabilités $0{,}06$ ; $0{,}38$ ; $0{,}56$ .

3.b $E(G)=-40\times0{,}06+30\times0{,}38+100\times0{,}56=-2{,}4+11{,}4+56$ , soit un gain moyen de $\boxed{65}$ dinars (on retrouve $70\,E(X)-40=105-40$ ).

5 Drill P-H.5 — le tirage part d'un tableau de répartition selon le sexe et la discipline

Entraînement 05 / 05

Drill P-H.5 — le tirage part d'un tableau de répartition selon le sexe et la discipline

2 questionsCorrigé masqué

Dans un lycée sportif, douze élèves ont été médaillés lors d'un championnat régional. Le tableau suivant donne leur répartition selon le sexe et la discipline pratiquée :

\begin{array}{c|c|c|c} & \text{Athlétisme} & \text{Natation} & \text{Judo}\\ \hline \text{Garçons} & 3 & 2 & 2\\ \text{Filles} & 2 & 2 & 1 \end{array}

On choisit au hasard deux élèves parmi les douze médaillés. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : $A$ : « les deux élèves pratiquent la natation » ; $B$ : « parmi les deux élèves, un seul pratique le judo ».
Une association choisit au hasard trois élèves parmi les douze médaillés pour leur offrir un stage.
1. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : $E$ : « les trois élèves sont de même sexe » ; $F$ : « les trois élèves pratiquent la même discipline » ; $G$ : « au moins un des trois élèves pratique le judo ».
2. Calculer $p(E\cap F)$ , puis $p(E\cup F)$ .
3. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de judokas parmi les trois élèves choisis. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : lire d'abord les totaux du tableau. Il y a $7$ garçons et $5$ filles ; $5$ athlètes, $4$ nageurs et $3$ judokas.

1. Il y a $C_{12}^2=66$ choix équiprobables. $p(A)=\dfrac{C_4^2}{66}=\dfrac{6}{66}=\boxed{\dfrac{1}{11}}$ et $p(B)=\dfrac{C_3^1\times C_9^1}{66}=\dfrac{27}{66}=\boxed{\dfrac{9}{22}}$ .

2.a Il y a $C_{12}^3=220$ choix équiprobables.

p(E)=\dfrac{C_7^3+C_5^3}{220}=\dfrac{45}{220}=\dfrac{9}{44}

p(F)=\dfrac{C_5^3+C_4^3+C_3^3}{220}=\dfrac{15}{220}=\dfrac{3}{44}

Pour $G$ , le contraire est « aucun judoka » : $p(G)=1-\dfrac{C_9^3}{220}=1-\dfrac{84}{220}=\boxed{\dfrac{34}{55}}$ .

2.b Idée : chercher les cases du tableau qui contiennent au moins trois élèves. Même sexe et même discipline : seule la case « garçons, athlétisme » ( $3$ élèves) le permet, d'où $p(E\cap F)=\dfrac{C_3^3}{220}=\dfrac{1}{220}$ et

p(E\cup F)=\dfrac{45+15-1}{220}=\boxed{\dfrac{59}{220}}

2.c $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ , $3$ : $p(X=0)=\dfrac{84}{220}$ , $p(X=1)=\dfrac{C_3^1\times C_9^2}{220}=\dfrac{108}{220}$ , $p(X=2)=\dfrac{C_3^2\times C_9^1}{220}=\dfrac{27}{220}$ , $p(X=3)=\dfrac{1}{220}$ .

$E(X)=\dfrac{108+54+3}{220}=\dfrac{165}{220}=\boxed{\dfrac34}$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Tirage simultané et gain algébrique (section Sport) : dénombrement par combinaisons, événement contraire, loi de $X$ à compléter, $E(X)$ , $V(X)$ , jeu favorable

Exercice 1 — probabilités (7 points), dans l'esprit des sessions Sport 2017–2025

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill P-H.1 — trois boules tirées successivement et sans remise : l'univers se compte par des arrangements

Drill P-H.2 — $X$ égale au nombre de couleurs qui restent dans l'urne

Drill P-H.3 — loi à compléter avec deux inconnues : $\sum p_i=1$ , puis $E(X)$ donnée

Drill P-H.4 — deux penaltys successifs : produit des probabilités, puis prime algébrique

Drill P-H.5 — le tirage part d'un tableau de répartition selon le sexe et la discipline

Relier ce raisonnement au bac

Tirage simultané et gain algébrique (section Sport) : dénombrement par combinaisons, événement contraire, loi de XXX à compléter, E(X)E(X)E(X), V(X)V(X)V(X), jeu favorable

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Tirage simultané et gain algébrique (section Sport) : dénombrement par combinaisons, événement contraire, loi de $X$ à compléter, $E(X)$ , $V(X)$ , jeu favorable