Similitude indirecte donnée par deux couples de points : rapport, centre par $g\circ g$, axe, forme réduite, images

1. $A\ne B$ et $J\ne A$ : il existe une unique similitude indirecte qui envoie $B$ sur $A$ et $A$ sur $J$. Son rapport est $k=\dfrac{AJ}{BA}=\dfrac{1}{2}$.

2.a $g\circ g(B)=g(A)=J$. Idée : $g\circ g$ est une similitude directe (composée de deux similitudes indirectes) de rapport $\frac12\times\frac12=\frac14$ qui fixe $\Omega$ ; il reste à trouver son angle. Pour $M\ne\Omega$, posons $M_1=g(M)$ et $M_2=g(M_1)$. Comme $g$ fixe $\Omega$ et change les angles orientés en leurs opposés, $\left(\overrightarrow{\Omega M_1},\overrightarrow{\Omega M_2}\right)\equiv-\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M_1}\right)$, donc $\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M_2}\right)\equiv0\,[2\pi]$. Une similitude directe de centre $\Omega$, d'angle nul et de rapport $\frac14$ est l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\frac14$.

2.b $g\circ g(B)=J$ s'écrit $\overrightarrow{\Omega J}=\frac14\overrightarrow{\Omega B}$. Les points $\Omega$, $J$, $B$ sont donc alignés ; les vecteurs $\overrightarrow{\Omega J}$ et $\overrightarrow{\Omega B}$ sont de même sens avec $\Omega J<\Omega B$ : $J\in[\Omega B]$, donc $\Omega$ est sur $(BJ)$, hors de $[BJ]$, du côté de $J$. Construction : $\overrightarrow{B\Omega}=\frac43\overrightarrow{BJ}$ (car $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{B\Omega}+\overrightarrow{\Omega J}=\frac34\overrightarrow{B\Omega}$).

3.a Idée : forme réduite $g=h\left(\Omega,\frac12\right)\circ S_\Delta$. $g(B)=h\left(\Omega,\frac12\right)\left(S_\Delta(B)\right)=h\left(\Omega,\frac12\right)(B')=A$, donc $\overrightarrow{\Omega A}=\frac12\overrightarrow{\Omega B'}$ : $A$ est le milieu de $[\Omega B']$.

3.b On construit $B'$, symétrique de $\Omega$ par rapport à $A$. Comme $S_\Delta(B)=B'$ et $B'\ne B$, $\Delta$ est la médiatrice de $[BB']$ (elle passe par $\Omega$, point fixe de $S_\Delta$). Forme réduite : $g=h\left(\Omega,\frac12\right)\circ S_\Delta=S_\Delta\circ h\left(\Omega,\frac12\right)$.

4. Idée : une similitude indirecte de rapport $\frac12$ envoie le triangle $BAC$ (rectangle isocèle en $A$, direct) sur un triangle $A\,J\,K$ rectangle isocèle en $J$, de côtés moitié et de sens indirect. Donc $JK=\frac12AC=1$, $(JK)\perp(JA)$ et $\left(\overrightarrow{JA},\overrightarrow{JK}\right)\equiv-\frac{\pi}{2}\,[2\pi]$ : $K$ est le point tel que $\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{IJ}$ (en effet $\overrightarrow{IJ}=\frac12\overrightarrow{BA}$ est de longueur $1$, orthogonal à $(AC)$ et du bon sens). Ainsi $J$ est le milieu de $[IK]$ : $K$ est le symétrique de $I$ par rapport à $J$.

5. L'image de la droite $(BC)$ est la droite $\left(g(B)\,g(C)\right)=(AK)$. Or $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{JK}=\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{BA}=\frac12\overrightarrow{BC}$ : $(AK)$ est la parallèle à $(BC)$ passant par $A$.

6.a Dans ce repère, $z_A=0$, $z_B=2$, $z_C=2i$ et $z_J=i$. Idée : une similitude indirecte a une écriture complexe de la forme $z'=a\bar z+b$ avec $a\ne0$. $g(A)=J$ donne $b=i$ ; $g(B)=A$ donne $2a+i=0$, soit $a=-\frac{i}{2}$. Donc $\boxed{z'=-\frac{i}{2}\,\bar z+i}$, et $|a|=\frac12$ est bien le rapport de $g$.

6.b Le centre $\Omega$, d'affixe $x+iy$, est l'unique point invariant : $x+iy=-\frac{i}{2}(x-iy)+i=-\frac{y}{2}+i\left(1-\frac{x}{2}\right)$. D'où $x=-\frac{y}{2}$ et $y=1-\frac{x}{2}$, donc $y=\frac43$ et $x=-\frac23$ : $\boxed{z_\Omega=-\frac23+\frac43\,i}$. Et $z_B+\frac43\left(z_J-z_B\right)=2+\frac43(-2+i)=-\frac23+\frac43\,i$ : on retrouve $\overrightarrow{B\Omega}=\frac43\overrightarrow{BJ}$.