SU-GSuites réelles

Suite définie par une somme d'intégrales : relation de Chasles, encadrement terme à terme, comparaison avec $\ln n$

Idée directrice

Au bac, une somme $\sum_{k=1}^{n}$ se traite rarement par une formule : on l'écrit comme une intégrale (relation de Chasles sur des intégrales $A_k=\int_k^{k+1}$ ) ou on l'encadre terme à terme par des intégrales grâce à la monotonie de la fonction, puis on somme les encadrements. On obtient ainsi la limite de la somme, ou son comportement comparé à $\ln n$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Pour tout $n\ge1$ , on pose $S_n=\sum_{k=1}^{n}\dots$ » ; « montrer que pour tout $k$ , $\dots\le\int_k^{k+1}\dots\le\dots$ » ; « en déduire un encadrement de $S_n$ » ; « déterminer $\lim\frac{S_n}{\ln n}$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Une somme d'intégrales sur des intervalles consécutifs se regroupe par Chasles en une seule intégrale.
Encadrer $\frac1k$ par une intégrale : monotonie de la fonction sur $[k,k+1]$ , puis intégration sur un intervalle de longueur $1$ .
Sommer les encadrements en faisant attention aux indices (l'un va de $1$ à $n$ , l'autre de $1$ à $n-1$ ).
Limite d'un quotient par $\ln n$ : encadrer puis diviser par $\ln n>0$ ( $n\ge2$ ).

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Sommer les deux encadrements sur les mêmes indices et obtenir une inégalité fausse ; oublier que $\ln n=0$ pour $n=1$ (diviser par $\ln n$ seulement pour $n\ge2$ ) ; croire que $H_n$ converge parce que $\frac1k\to0$ .

Sujet principal

Exercice 4 — partie C (3,5 points), dans l'esprit des sessions 2019–2026

6 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier $k\ge1$ , on pose $A_k=\displaystyle\int_k^{k+1}\frac{dt}{t}$ et, pour tout entier $n\ge1$ , $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}A_k$ et $H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1k$ .

Interpréter $A_k$ comme une aire et montrer que $A_k=\ln(k+1)-\ln k$ .
Montrer que, pour tout $k\ge1$ , $\dfrac{1}{k+1}\le A_k\le\dfrac1k$ .
À l'aide de la relation de Chasles, montrer que $S_n=\ln(n+1)$ .
En déduire que, pour tout $n\ge1$ , $\ln(n+1)\le H_n\le1+\ln n$ .
En déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}H_n$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{H_n}{\ln n}$ .
On pose $u_n=H_n-\ln n$ . Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$ ; en déduire qu'elle converge.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $t\mapsto\frac1t$ est continue et positive sur $[k,k+1]$ : $A_k$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par la courbe de $t\mapsto\frac1t$ , l'axe des abscisses et les droites $t=k$ , $t=k+1$ . $A_k=\left[\ln t\right]_k^{k+1}=\ln(k+1)-\ln k$ .

2. Idée : encadrer l'intégrande, puis intégrer sur un intervalle de longueur $1$ . $t\mapsto\frac1t$ est décroissante : pour $t\in[k,k+1]$ , $\frac{1}{k+1}\le\frac1t\le\frac1k$ . En intégrant sur $[k,k+1]$ : $\frac{1}{k+1}\le A_k\le\frac1k$ .

3. Relation de Chasles : $S_n=\int_1^2\frac{dt}{t}+\int_2^3\frac{dt}{t}+\dots+\int_n^{n+1}\frac{dt}{t}=\int_1^{n+1}\frac{dt}{t}=\ln(n+1)$ .

4. En sommant $A_k\le\frac1k$ pour $k=1,\dots,n$ : $\ln(n+1)=S_n\le H_n$ . Pour $n\ge2$ , en sommant $\frac{1}{k+1}\le A_k$ pour $k=1,\dots,n-1$ : $H_n-1\le S_{n-1}=\ln n$ ; pour $n=1$ , $H_1=1=1+\ln1$ . D'où $\ln(n+1)\le H_n\le1+\ln n$ .

5. $\ln(n+1)\to+\infty$ , donc $\lim H_n=+\infty$ . Pour $n\ge2$ , $\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\le\frac{H_n}{\ln n}\le\frac{1}{\ln n}+1$ ; or $\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=1+\frac{\ln\left(1+\frac1n\right)}{\ln n}\to1$ : $\displaystyle\lim\frac{H_n}{\ln n}=\boxed{1}$ .

6. $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-\left(\ln(n+1)-\ln n\right)=\frac{1}{n+1}-A_n\le0$ d'après 2 : la suite est décroissante. Et $u_n\ge\ln(n+1)-\ln n>0$ d'après 4. Décroissante et minorée, elle converge (vers un réel $\gamma\approx0{,}577$ ).

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : somme géométrique $\sum t^{2k-1}$ sous l'intégrale et limite d'une somme (principale 2019) ; somme $\sum\frac{U_k}{k}$ encadrée par télescopage (principale 2023) ; sommes de Riemann encadrant une intégrale (principale 2026) ; $S_n=\sum A_k$ comparée à $\ln n$ (contrôle 2026).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill SU-G.1 —

U_n=\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)

: encadrement et produit tendant vers

\sqrt e

Entraînement 01 / 02

Drill SU-G.1 — $U_n=\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)$ : encadrement et produit tendant vers $\sqrt e$

3 questionsCorrigé masqué

Montrer que, pour tout $x\ge0$ , $x-\dfrac{x^2}{2}\le\ln(1+x)\le x$ (on étudiera deux fonctions).
Pour $n\ge1$ , on pose $U_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)$ . Montrer que $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}-\frac12\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{n^4}\le U_n\le\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}$ .
Sachant que $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ et $\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , en déduire $\lim U_n$ , puis la limite du produit $P_n=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^2}\right)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $g(x)=x-\ln(1+x)$ : $g'(x)=\frac{x}{1+x}\ge0$ et $g(0)=0$ , donc $g\ge0$ . $h(x)=\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}$ : $h'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}\ge0$ et $h(0)=0$ , donc $h\ge0$ .

2. On applique 1 à $x=\frac{k}{n^2}\ge0$ et on somme pour $k=1,\dots,n$ .

3. $\sum\frac{k}{n^2}=\frac{n+1}{2n}\to\frac12$ et $\sum\frac{k^2}{n^4}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^3}\to0$ : par encadrement $\lim U_n=\frac12$ . Comme $P_n=e^{U_n}$ et $\exp$ est continue, $\lim P_n=e^{1/2}=\boxed{\sqrt e}$ .

2 Drill SU-G.2 —

H_{2n}-H_n\ge\frac12

: la somme harmonique n'est pas majorée

Entraînement 02 / 02

Drill SU-G.2 — $H_{2n}-H_n\ge\frac12$ : la somme harmonique n'est pas majorée

3 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier $n\ge1$ , on pose $H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1k$ .

Montrer que la suite $(H_n)$ est croissante.
Montrer que, pour tout $n\ge1$ , $H_{2n}-H_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k\ge\frac12$ .
En raisonnant par l'absurde, montrer que $(H_n)$ n'est pas convergente, puis déterminer sa limite.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $H_{n+1}-H_n=\frac{1}{n+1}>0$ .

2. La somme compte $n$ termes, chacun supérieur ou égal au plus petit, $\frac{1}{2n}$ : $H_{2n}-H_n\ge n\times\frac{1}{2n}=\frac12$ .

3. Si $(H_n)$ convergeait vers $\ell$ , alors $H_{2n}\to\ell$ aussi et $H_{2n}-H_n\to0$ , ce qui contredit $H_{2n}-H_n\ge\frac12$ . $(H_n)$ est croissante et non convergente : elle n'est pas majorée et $\lim H_n=+\infty$ .

Relier ce raisonnement au bac

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Exercice 4 — partie C (3,5 points), dans l'esprit des sessions 2019–2026

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill SU-G.1 — $U_n=\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)$ : encadrement et produit tendant vers $\sqrt e$

Drill SU-G.2 — $H_{2n}-H_n\ge\frac12$ : la somme harmonique n'est pas majorée

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

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