Suite arithmético-géométrique $U_{n+1}=aU_n+b$ : ni arithmétique ni géométrique, suite auxiliaire $V_n=U_n-\ell$ géométrique, forme explicite et limite

1.a $U_1=3\times2-2=4$ et $U_2=3\times4-2=10$.

1.b $U_1-U_0=2$ et $U_2-U_1=6$ : les différences ne sont pas égales, donc $(U_n)$ n'est pas arithmétique.

1.c $\dfrac{U_1}{U_0}=2$ et $\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{10}{4}=2{,}5$ : les quotients sont différents, donc $(U_n)$ n'est pas géométrique.

2.a $V_0=U_0-1=1$.

2.b Idée : exprimer $V_{n+1}$ à l'aide de $U_n$, puis factoriser par $3$. Pour tout $n\in\N$ :

Donc $(V_n)$ est géométrique de raison $3$ et de premier terme $V_0=1$.

2.c $\boxed{V_n=3^n}$ et, comme $U_n=V_n+1$, $\boxed{U_n=3^n+1}$ (contrôle : $U_1=3+1=4$).

3.a Idée : une suite géométrique de raison $q>1$ et de premier terme strictement positif tend vers $+\infty$. $3>1$ donc $\lim 3^n=+\infty$ ; ici $V_0=1>0$, donc $\lim V_n=+\infty$.

3.b $U_n=V_n+1$, donc $\boxed{\lim_{n\to+\infty}U_n=+\infty}$ : contrairement au cas $0<a<1$, la suite auxiliaire ne tend pas vers $0$ et $(U_n)$ diverge.

1. $U_1=\dfrac12\times4-3=-1$ et $U_2=\dfrac12\times(-1)-3=-\dfrac72$. $U_1-U_0=-5$ et $U_2-U_1=-\dfrac52$ : pas arithmétique. $\dfrac{U_1}{U_0}=-\dfrac14$ et $\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac72$ : pas géométrique.

2.a Idée : remplacer $U_{n+1}$, puis factoriser par $\frac12$ en remarquant que $\frac12\times6=3$.

$(V_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$, de premier terme $V_0=U_0+6=10$.

2.b $V_n=10\left(\tfrac12\right)^n$ et $U_n=V_n-6=10\left(\tfrac12\right)^n-6$.

3.a Idée : factoriser la différence par $\left(\frac12\right)^n$, qui est strictement positif.

Comme $\left(\tfrac12\right)^n>0$, on a $U_{n+1}-U_n<0$ pour tout $n$ : la suite $(U_n)$ est strictement décroissante.

3.b $0<\dfrac12<1$, donc $\left(\tfrac12\right)^n\to0$ et $V_n\to0$ ; par suite $\boxed{\lim_{n\to+\infty}U_n=-6}$. La limite est négative alors que $U_0=4>0$ : les termes restent au-dessus de $-6$ car $V_n>0$.

1. Pour tout $n\in\N$ :

car $0{,}8\times15=12$. $(V_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ et $V_0=1-15=-14$.

2. $V_n=-14\times(0{,}8)^n$, donc $U_n=V_n+15=15-14\times(0{,}8)^n$. Comme $0<0{,}8<1$, $(0{,}8)^n\to0$ et $\boxed{\lim U_n=15}$.

3. Idée : isoler la puissance ; diviser par un nombre négatif renverse l'inégalité. $U_n>14{,}9\iff-14\times(0{,}8)^n>-0{,}1\iff14\times(0{,}8)^n<0{,}1\iff(0{,}8)^n<\dfrac{0{,}1}{14}=\dfrac1{140}$.

4. Idée : appliquer $\ln$, qui est strictement croissante, puis diviser par $\ln(0{,}8)$, qui est négatif.

Le sens de l'inégalité change car $\ln(0{,}8)<0$. Or $-\dfrac{\ln 140}{\ln(0{,}8)}\approx\dfrac{4{,}942}{0{,}223}\approx22{,}1$, donc le plus petit entier est $\boxed{n=23}$. Contrôle : $U_{22}\approx14{,}897<14{,}9$ et $U_{23}\approx14{,}917>14{,}9$.

1. Pour tout $n\in\N$ :

et $V_0=1-3=-2$. Donc $V_n=-2\left(\tfrac13\right)^n$ et $U_n=V_n+3=3-2\left(\tfrac13\right)^n$.

2.a Idée : $S_n$ est la somme de $n+1$ termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq1$, égale au premier terme multiplié par $\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

2.b $0<\dfrac13<1$, donc $\left(\tfrac13\right)^{n+1}\to0$ et $\boxed{\lim_{n\to+\infty}S_n=-3}$.

3.a Idée : chaque $U_k$ vaut $V_k+3$, et la somme compte $n+1$ termes. $S'_n=(V_0+3)+(V_1+3)+\dots+(V_n+3)=S_n+3(n+1)$.

3.b $S'_n=-3+3\left(\tfrac13\right)^{n+1}+3n+3=3n+\left(\tfrac13\right)^n$, car $3\left(\tfrac13\right)^{n+1}=\left(\tfrac13\right)^n$. Contrôle : $S'_1=U_0+U_1=1+\dfrac73=\dfrac{10}3=3+\dfrac13$. Comme $3n\to+\infty$ et $\left(\tfrac13\right)^n\to0$, $\boxed{\lim_{n\to+\infty}S'_n=+\infty}$ : la somme des $V_k$ converge, celle des $U_k$ non, car chaque $U_k$ est proche de $3$.

1.a Idée : écrire la relation de récurrence pour $n=0$, puis pour $n=1$. Pour $n=0$ : $U_1=aU_0+b$, soit $8a+b=5$. Pour $n=1$ : $U_2=aU_1+b$, soit $5a+b=\dfrac72$.

1.b En soustrayant membre à membre : $3a=5-\dfrac72=\dfrac32$, donc $a=\dfrac12$, puis $b=5-8a=5-4=1$. $\boxed{a=\tfrac12,\ b=1}$.

2. $U_1-U_0=-3$ et $U_2-U_1=-\dfrac32$ : les différences sont distinctes, la suite n'est pas arithmétique. $\dfrac{U_1}{U_0}=\dfrac58=0{,}625$ et $\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac7{10}=0{,}7$ : les quotients sont distincts, elle n'est pas géométrique.

3.a Pour tout $n\in\N$ :

$(V_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $V_0=8-2=6$.

3.b $V_n=6\left(\tfrac12\right)^n$, donc $\boxed{U_n=2+6\left(\tfrac12\right)^n}$ (contrôle : $U_1=2+3=5$).

3.c $0<\dfrac12<1$, donc $\left(\tfrac12\right)^n\to0$ et $\lim U_n=2$.

1. $U_1=\dfrac35\times2+4=5{,}2$ et $U_2=\dfrac35\times5{,}2+4=7{,}12$. $U_1-U_0=3{,}2$ et $U_2-U_1=1{,}92$ : pas arithmétique. $\dfrac{U_1}{U_0}=2{,}6$ et $\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{89}{65}\approx1{,}37$ : pas géométrique.

2.a Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\N$, $U_n<10$.

Initialisation : $U_0=2<10$.

Hérédité : supposons que $U_n<10$ pour un entier $n$ et montrons que $U_{n+1}<10$. Comme $\dfrac35>0$, $\dfrac35U_n<\dfrac35\times10=6$, donc $U_{n+1}=\dfrac35U_n+4<6+4=10$.

Conclusion : pour tout $n\in\N$, $U_n<10$.

2.b $U_{n+1}-U_n=\dfrac35U_n+4-U_n=4-\dfrac25U_n$ et $\dfrac25\left(10-U_n\right)=4-\dfrac25U_n$ : les deux expressions sont égales.

2.c Idée : le signe de la différence est donné par la majoration du 2.a. Comme $U_n<10$, $10-U_n>0$, donc $U_{n+1}-U_n>0$ : la suite $(U_n)$ est croissante. Croissante et majorée par $10$, elle est convergente.

3.a Pour tout $n\in\N$ :

$(V_n)$ est géométrique de raison $\dfrac35$, avec $V_0=2-10=-8$.

3.b $V_n=-8\left(\tfrac35\right)^n$ et $U_n=V_n+10=10-8\left(\tfrac35\right)^n$. Comme $0<\dfrac35<1$, $\boxed{\lim_{n\to+\infty}U_n=10}$ : le majorant trouvé au 2.a est exactement la limite.

1.a $U_1=\dfrac12\times0+\ln 3=\ln 3$ et $U_2=\dfrac12\ln 3+\ln 3=\dfrac32\ln 3$.

1.b $U_1-U_0=\ln 3$ et $U_2-U_1=\dfrac12\ln 3$ ; comme $\ln 3\neq0$, ces différences sont distinctes : la suite n'est pas arithmétique.

Idée : ici $U_0=0$, le quotient $\dfrac{U_1}{U_0}$ n'existe pas ; on raisonne sur le premier terme. Si $(U_n)$ était géométrique de premier terme $U_0=0$, tous ses termes seraient nuls ($U_n=0\times q^n$). Or $U_1=\ln 3\neq0$ : la suite n'est pas géométrique.