SU-ISuites réelles

Modéliser une situation par une suite arithmético-géométrique (abonnement, clients, spectateurs, contrat) : récurrence justifiée par le texte, plancher ou plafond, rang converti en année

Idée directrice

Le texte décrit une quantité qui, d'une étape à la suivante, garde un pourcentage de sa valeur et reçoit un apport fixe (ou en perd un) : c'est une suite arithmético-géométrique $u_{n+1}=a\,u_n+b$ , et la première tâche est de justifier cette relation à partir du texte. On déroule ensuite la chaîne de SU-H (suite auxiliaire $u_n-\ell$ géométrique, forme explicite, limite) et on répond dans le contexte : la limite $\ell$ est un plancher (ou un plafond) jamais atteint, et un seuil franchi se lit comme un rang à convertir en année, en mois ou en numéro de match. Ce contexte est surtout sorti en Sport entre 2018 et 2020 (et une fois en Économie et gestion, en 2018) ; depuis 2023, les sujets Sport sont revenus à la forme purement formelle.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Justifier que pour tout entier $n$ , $a_{n+1}=0{,}9\,a_n+20$ » ; « expliquer pourquoi le joueur ne pourra jamais recevoir une somme supérieure ou égale à… » ; « déterminer l'année à partir de laquelle le montant… sera inférieur à… » ; « dans combien d'années le nombre d'abonnés dépassera-t-il… ? » ; « quel est le rang du mois où le nombre de clients dépassera… ? »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Lire le texte en deux morceaux : ce qui est gardé (un pourcentage, donc un facteur $a$ ) et ce qui est ajouté ou retiré (un nombre fixe $b$ ).
Vérifier la relation obtenue sur les premiers termes calculés à la main.
Dérouler la chaîne de SU-H : $u_n-\ell$ géométrique de raison $a$ , où $\ell$ vérifie $\ell=a\ell+b$ .
Repérer le premier indice ( $0$ ou $1$ ) : exposant $n$ ou $n-1$ ; puis convertir le rang en date (ici $2018+n$ ).
Seuil : inéquation en $q^n$ , logarithme, sens renversé quand on divise par $\ln q<0$ ; conclure par un entier, puis par la date demandée.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Écrire $a_{n+1}=0{,}8\,(a_n+30)$ en appliquant le pourcentage aux frais aussi (l'ordre des opérations du texte compte) ; prendre l'exposant $n$ au lieu de $n-1$ quand la suite commence à $n=1$ ; oublier de renverser l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}8)<0$ ; répondre « $n=9$ » sans convertir en année, ou convertir en $2019+9=2028$ alors que le premier abonnement ( $n=1$ ) est déjà payé en $2019$ ; confondre plancher et plafond : ici la suite décroît vers $150$ et ne passe jamais en dessous.

Sujet principal

Exercice 1 — suites (7 points), dans l'esprit des sessions Sport 2018–2020

7 questionsCorrigé masqué

Un club de natation propose à ses adhérents un programme de fidélité :

payer $400$ dinars pour le premier abonnement annuel ;
à chaque renouvellement, payer $80\,\%$ du montant de l'année précédente, plus $30$ dinars de frais d'assurance.

On note $a_n$ le montant, en dinars, du $n$ -ième abonnement annuel ( $n\in\N^*$ ).

Premiers montants.
1. Vérifier que $a_1=400$ , puis calculer $a_2$ et $a_3$ .
2. En déduire que la suite $(a_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
Justifier que, pour tout $n\in\N^*$ , $a_{n+1}=0{,}8\,a_n+30$ .
Soit $(U_n)$ la suite définie sur $\N^*$ par $U_n=a_n-150$ .
1. Montrer que $(U_n)$ est une suite géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $U_1=250$ .
2. Exprimer $U_n$ en fonction de $n$ .
3. En déduire que, pour tout $n\in\N^*$ , $a_n=150+250\times(0{,}8)^{n-1}$ .
Interprétation.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n$ .
2. Expliquer pourquoi le montant de l'abonnement ne descendra jamais à $150$ dinars ou moins.
Une adhérente a pris son premier abonnement en $2019$ et le renouvelle chaque année. Déterminer l'année à partir de laquelle le montant de son abonnement annuel sera inférieur à $200$ dinars.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $a_1=400$ : c'est le prix du premier abonnement. $a_2=0{,}8\times400+30=350$ et $a_3=0{,}8\times350+30=310$ .

1.b $a_2-a_1=-50$ et $a_3-a_2=-40$ : différences distinctes, la suite n'est pas arithmétique. $\dfrac{a_2}{a_1}=0{,}875$ et $\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{31}{35}\approx0{,}886$ : quotients distincts, elle n'est pas géométrique.

2. Idée : traduire chaque morceau du texte. Le $(n+1)$ -ième abonnement coûte $80\,\%$ du $n$ -ième, soit $0{,}8\,a_n$ , auxquels s'ajoutent les $30$ dinars d'assurance : $a_{n+1}=0{,}8\,a_n+30$ .

3.a Pour tout $n\in\N^*$ :

U_{n+1}=a_{n+1}-150=0{,}8\,a_n-120

=0{,}8\left(a_n-150\right)=0{,}8\,U_n

$(U_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ et $U_1=a_1-150=250$ .

3.b Idée : la suite commence à $n=1$ , l'exposant est donc $n-1$ . $\boxed{U_n=250\times(0{,}8)^{n-1}}$ .

3.c $a_n=U_n+150=150+250\times(0{,}8)^{n-1}$ .

4.a $0<0{,}8<1$ , donc $(0{,}8)^{n-1}\to0$ et $\boxed{\lim_{n\to+\infty}a_n=150}$ .

4.b Pour tout $n$ , $250\times(0{,}8)^{n-1}>0$ , donc $a_n>150$ . Le montant diminue chaque année, car $(0{,}8)^{n-1}$ décroît, et se rapproche de $150$ dinars sans jamais l'atteindre : $150$ est un plancher.

5. Idée : résoudre l'inéquation en $n$ avec $\ln$ , puis convertir le rang en année.

a_n<200\iff250\times(0{,}8)^{n-1}<50

\iff(0{,}8)^{n-1}<0{,}2

\iff(n-1)\ln(0{,}8)<\ln(0{,}2)

\iff n-1>\dfrac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}8)}

(le sens change car $\ln(0{,}8)<0$ ). Or $\dfrac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}8)}\approx\dfrac{-1{,}609}{-0{,}223}\approx7{,}2$ , donc $n-1\ge8$ , soit $n\ge9$ : le $9$ e abonnement est le premier à moins de $200$ dinars ( $a_8\approx202{,}4$ et $a_9\approx191{,}9$ ).

Le $1$ er abonnement est payé en $2019$ , le $n$ -ième en $2018+n$ : le $9$ e est payé en $2027$ . Le montant est inférieur à $200$ dinars $\boxed{\text{à partir de }2027}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : clients d'un magasin ( $300$ nouveaux clients s'ajoutent chaque mois à $70\,\%$ des clients du mois précédent ; rang du mois où l'on dépasse un seuil — Économie et gestion, principale 2018) ; spectateurs d'une série de matchs dans un village à population fixe (ceux qui ont vu un match, moins $10$ , plus la moitié des autres ; nombre d'habitants n'ayant pas vu le $8$ e match — Sport, principale 2018) ; salaire d'un joueur ( $90\,\%$ de l'année précédente plus une prime fixe, plafond jamais atteint — Sport, principale 2019) ; abonnés d'une salle de sport ( $80\,\%$ se réabonnent, $100$ nouveaux inscrits, « dans combien d'années » — Sport, principale 2020).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill SU-I.1 — clients d'un magasin : suite auxiliaire

V_n=800-c_n

et rang du mois

Entraînement 01 / 03

Drill SU-I.1 — clients d'un magasin : suite auxiliaire $V_n=800-c_n$ et rang du mois

4 questionsCorrigé masqué

Lors du premier mois de son ouverture, une librairie compte $500$ clients. Chaque mois, $60\,\%$ des clients du mois précédent reviennent et $320$ nouveaux clients s'y ajoutent. On note $c_n$ le nombre de clients du $n$ -ième mois ( $n\in\N^*$ ) ; ainsi $c_1=500$ .

Calculer $c_2$ et $c_3$ , puis justifier que, pour tout $n\in\N^*$ , $c_{n+1}=0{,}6\,c_n+320$ .
Majoration et monotonie.
1. Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\N^*$ , $c_n<800$ .
2. Montrer que la suite $(c_n)$ est croissante.
On considère la suite $(V_n)$ définie sur $\N^*$ par $V_n=800-c_n$ .
1. Prouver que $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $0{,}6$ .
2. En déduire que, pour tout $n\in\N^*$ , $c_n=800-300\times(0{,}6)^{n-1}$ .
Quel est le rang du mois où le nombre de clients de la librairie dépassera $790$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $c_2=0{,}6\times500+320=620$ et $c_3=0{,}6\times620+320=692$ . Chaque mois, $60\,\%$ des $c_n$ clients reviennent, soit $0{,}6\,c_n$ , et $320$ nouveaux s'ajoutent : $c_{n+1}=0{,}6\,c_n+320$ .

2.a Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\N^*$ , $c_n<800$ . Initialisation : $c_1=500<800$ . Hérédité : supposons que $c_n<800$ et montrons que $c_{n+1}<800$ : $0{,}6\,c_n<480$ , donc $c_{n+1}<480+320=800$ . Conclusion : pour tout $n\in\N^*$ , $c_n<800$ .

2.b $c_{n+1}-c_n=320-0{,}4\,c_n=0{,}4\left(800-c_n\right)>0$ d'après 2.a : la suite est croissante.

3.a Idée : la suite auxiliaire est écrite « limite moins terme » ; on procède exactement de la même façon.

V_{n+1}=800-c_{n+1}=480-0{,}6\,c_n

=0{,}6\left(800-c_n\right)=0{,}6\,V_n

$(V_n)$ est géométrique de raison $0{,}6$ , de premier terme $V_1=800-500=300$ .

3.b $V_n=300\times(0{,}6)^{n-1}$ et $c_n=800-V_n=800-300\times(0{,}6)^{n-1}$ .

4. $c_n>790\iff300\times(0{,}6)^{n-1}<10\iff(0{,}6)^{n-1}<\dfrac1{30}$ . En appliquant $\ln$ puis en divisant par $\ln(0{,}6)<0$ :

n-1>\dfrac{\ln 30}{-\ln(0{,}6)}\approx\dfrac{3{,}401}{0{,}511}

soit $n-1>6{,}66$ environ, donc $n-1\ge7$ et $n\ge8$ . Contrôle : $c_7\approx786$ et $c_8\approx791{,}6$ . Le nombre de clients dépasse $790$ au $\boxed{8^{\text{e}}\text{ mois}}$ .

2 Drill SU-I.2 — spectateurs d'une série de matchs dans une ville à population fixe

Entraînement 02 / 03

Drill SU-I.2 — spectateurs d'une série de matchs dans une ville à population fixe

6 questionsCorrigé masqué

Une équipe de handball dispute $6$ matchs d'un tournoi, tous retransmis à la télévision. Dans une ville de $2000$ habitants, $1104$ personnes n'ont pas regardé le premier match. On a constaté que :

parmi les personnes qui ont regardé un match, seulement $20$ n'ont pas regardé le match suivant ;
parmi les personnes qui n'ont pas regardé un match, le quart a regardé le match suivant.

On note $U_n$ le nombre d'habitants de la ville ayant regardé le $n$ -ième match ( $1\le n\le6$ ).

Premiers termes.
1. Vérifier que $U_1=896$ .
2. Montrer que $U_2=1152$ et que $U_3=1344$ .
3. Justifier que la suite $(U_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
Démontrer que, pour tout entier $n$ tel que $1\le n\le5$ , $U_{n+1}=\dfrac34U_n+480$ .
Soit $(V_n)$ la suite définie par $V_n=U_n-1920$ .
1. Calculer $V_1$ .
2. Démontrer que $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac34$ .
3. Exprimer $V_n$ en fonction de $n$ et en déduire que $U_n=1920-1024\times\left(\dfrac34\right)^{n-1}$ .
Combien d'habitants de la ville n'ont pas regardé le $6$ e match ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $U_1=2000-1104=896$ .

1.b Idée : les spectateurs du match suivant sont ceux qui continuent, plus le quart de ceux qui n'avaient pas regardé. $U_2=(896-20)+\dfrac14(2000-896)=876+276=1152$ et $U_3=(1152-20)+\dfrac14(2000-1152)=1132+212=1344$ .

1.c $U_2-U_1=256$ et $U_3-U_2=192$ : pas arithmétique. $\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac97\approx1{,}286$ et $\dfrac{U_3}{U_2}=\dfrac76\approx1{,}167$ : pas géométrique.

2. Parmi les $U_n$ spectateurs du $n$ -ième match, $U_n-20$ regardent le suivant ; parmi les $2000-U_n$ autres habitants, le quart le regarde :

U_{n+1}=U_n-20+\tfrac14\left(2000-U_n\right)

=\tfrac34U_n+500-20=\tfrac34U_n+480

3.a $V_1=896-1920=-1024$ .

3.b Pour tout $n$ :

V_{n+1}=U_{n+1}-1920=\dfrac34U_n-1440

=\dfrac34\left(U_n-1920\right)=\dfrac34V_n

car $\dfrac34\times1920=1440$ : $(V_n)$ est géométrique de raison $\dfrac34$ .

3.c La suite commence à $n=1$ : $V_n=-1024\left(\tfrac34\right)^{n-1}$ , donc $U_n=V_n+1920=1920-1024\left(\tfrac34\right)^{n-1}$ .

4. $U_6=1920-1024\times\left(\tfrac34\right)^5=1920-1024\times\dfrac{243}{1024}=1920-243=1677$ . Le nombre d'habitants qui n'ont pas regardé le $6$ e match est $2000-1677=\boxed{323}$ .

3 Drill SU-I.3 — contrat d'un joueur : suite indexée à partir de

0

et plafond jamais atteint

Entraînement 03 / 03

Drill SU-I.3 — contrat d'un joueur : suite indexée à partir de $0$ et plafond jamais atteint

3 questionsCorrigé masqué

Un joueur est recruté en $2021$ par un club. Selon son contrat, il reçoit $120$ mille dinars en $2021$ puis, d'une année à l'autre, une prime fixe de $50$ mille dinars et $75\,\%$ de la somme reçue l'année précédente. On note $p_0$ la somme reçue en $2021$ et $p_n$ la somme reçue en $2021+n$ , en mille dinars.

Premières sommes.
1. Vérifier que $p_1=140$ , puis calculer $p_2$ .
2. Justifier que, pour tout $n\in\N$ , $p_{n+1}=0{,}75\,p_n+50$ .
On considère la suite $(V_n)$ définie sur $\N$ par $V_n=p_n-200$ .
1. Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $0{,}75$ et de premier terme $-80$ .
2. En déduire que, pour tout $n\in\N$ , $p_n=200-80\times(0{,}75)^n$ .
Interprétation.
1. Expliquer pourquoi le joueur ne pourra jamais recevoir une somme supérieure ou égale à $200$ mille dinars.
2. Déterminer l'année à partir de laquelle le joueur recevra une somme supérieure ou égale à $190$ mille dinars.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $p_1=50+0{,}75\times120=50+90=140$ et $p_2=50+0{,}75\times140=155$ .

1.b La somme de l'année $2021+(n+1)$ est formée de $75\,\%$ de celle de l'année $2021+n$ , soit $0{,}75\,p_n$ , et de la prime fixe de $50$ : $p_{n+1}=0{,}75\,p_n+50$ .

2.a Pour tout $n\in\N$ :

V_{n+1}=p_{n+1}-200=0{,}75\,p_n-150

=0{,}75\left(p_n-200\right)=0{,}75\,V_n

$(V_n)$ est géométrique de raison $0{,}75$ et $V_0=120-200=-80$ .

2.b Idée : la suite commence à $n=0$ , l'exposant est donc $n$ . $V_n=-80\times(0{,}75)^n$ et $p_n=V_n+200=200-80\times(0{,}75)^n$ .

3.a Pour tout $n$ , $80\times(0{,}75)^n>0$ , donc $p_n<200$ . La somme augmente chaque année (car $(0{,}75)^n$ décroît) et tend vers $200$ sans l'atteindre : $200$ mille dinars est un plafond.

3.b $p_n\ge190\iff80\times(0{,}75)^n\le10\iff(0{,}75)^n\le\dfrac18$ . En appliquant $\ln$ puis en divisant par $\ln(0{,}75)<0$ :

n\ge\dfrac{\ln 8}{-\ln(0{,}75)}\approx\dfrac{2{,}079}{0{,}288}\approx7{,}2

donc $n\ge8$ ( $p_7\approx189{,}3$ et $p_8\approx192{,}0$ ). L'année correspondante est $2021+8$ : le joueur reçoit au moins $190$ mille dinars $\boxed{\text{à partir de }2029}$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Modéliser une situation par une suite arithmético-géométrique (abonnement, clients, spectateurs, contrat) : récurrence justifiée par le texte, plancher ou plafond, rang converti en année

Exercice 1 — suites (7 points), dans l'esprit des sessions Sport 2018–2020

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill SU-I.1 — clients d'un magasin : suite auxiliaire $V_n=800-c_n$ et rang du mois

Drill SU-I.2 — spectateurs d'une série de matchs dans une ville à population fixe

Drill SU-I.3 — contrat d'un joueur : suite indexée à partir de $0$ et plafond jamais atteint

Relier ce raisonnement au bac