Exercice de suites Techniques/Informatique : identité fournie, récurrence, monotonie, limite, suite auxiliaire géométrique, seuil, somme $S_n$ et limites de $S_n/n$ ou $S_n-n$

1.a $u_1=9-4\times3+8=\boxed{5}$.

1.b $\left(\sqrt{u_n}-2\right)^2=u_n-4\sqrt{u_n}+4=u_{n+1}-8+4=u_{n+1}-4$.

1.c Idée : l'identité 1.b écrit $u_{n+1}-4$ comme un carré ; il suffit qu'il soit non nul. Initialisation : $u_0=9>4$. Hérédité : supposons que $u_n>4$ et montrons que $u_{n+1}>4$. Alors $\sqrt{u_n}>2$, donc $\left(\sqrt{u_n}-2\right)^2>0$, c'est-à-dire $u_{n+1}-4>0$. Conclusion : pour tout $n\in\N$, $\boxed{u_n>4}$.

1.d $u_{n+1}-u_n=8-4\sqrt{u_n}=4\left(2-\sqrt{u_n}\right)<0$ car $\sqrt{u_n}>2$ : la suite est décroissante. Décroissante et minorée par $4$, elle converge vers un réel $\ell\ge4$.

1.e Idée : passer à la limite dans la relation de récurrence (la fonction $x\mapsto x-4\sqrt x+8$ est continue sur $[4,+\infty[$). $\ell=\ell-4\sqrt\ell+8\iff\sqrt\ell=2\iff\ell=4$. Donc $\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=4}$.

2.a Pour tout $k$, $u_k>4$ donc $\sqrt{u_k}>2$ ; la somme comporte $n+1$ termes, d'où $\boxed{S_n>2(n+1)}$.

2.b $\lim 2(n+1)=+\infty$, donc par comparaison $\boxed{\lim_{n\to+\infty}S_n=+\infty}$.

3.a Idée : isoler $\sqrt{u_k}$ dans la relation de récurrence. $u_k-u_{k+1}=4\sqrt{u_k}-8$, donc $\sqrt{u_k}=2+\dfrac14\left(u_k-u_{k+1}\right)$.

3.b Idée : en sommant, les termes $u_1,\dots,u_n$ apparaissent une fois avec $+$ et une fois avec $-$.

Avec $u_0=9$ : $\boxed{S_n=2n+\dfrac{17}{4}-\dfrac14u_{n+1}}$.

3.c $S_n-2n=\dfrac{17}{4}-\dfrac14u_{n+1}$ et $\lim u_{n+1}=4$, donc $\boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(S_n-2n\right)=\dfrac{13}{4}}$ : la minoration de 2.a donnait la limite de $S_n$, le télescopage donne en plus l'écart précis à $2n$.

1.a Pour $x\ge0$, $f'(x)=1-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{x}{1+x}$.

1.b Pour $x>0$, $f'(x)>0$ et $f'(0)=0$ : $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$, et $f(0)=0-\ln1=\boxed{0}$.

1.c Si $x>0$, la stricte croissance donne $f(x)>f(0)=0$.

2.a Initialisation : $u_0=1>0$. Hérédité : supposons que $u_n>0$ et montrons que $u_{n+1}>0$. Alors $1+u_n>1$, donc $u_{n+1}=\ln(1+u_n)>0$. Conclusion : pour tout $n\in\N$, $\boxed{u_n>0}$.

2.b Idée : la fonction étudiée mesure exactement le pas de la suite. $u_n-f(u_n)=u_n-u_n+\ln(1+u_n)=u_{n+1}$. Donc $u_{n+1}-u_n=-f(u_n)<0$ d'après 1.c, puisque $u_n>0$ : la suite est décroissante.

2.c Décroissante et minorée par $0$, $(u_n)$ converge vers un réel $\ell\ge0$. La fonction $x\mapsto\ln(1+x)$ est continue sur $[0,+\infty[$, donc $\ell=\ln(1+\ell)$, c'est-à-dire $f(\ell)=0$. D'après 1.c, $f$ ne s'annule pas sur $]0,+\infty[$ : $\boxed{\ell=0}$.

3.a $f(u_k)=u_k-\ln(1+u_k)=u_k-u_{k+1}$.

3.b Idée : somme télescopique.

et $u_0=1$, donc $\boxed{S_n=1-u_{n+1}}$.

3.c $\lim u_{n+1}=0$, donc $\boxed{\lim_{n\to+\infty}S_n=1}$ : une somme de termes strictement positifs peut avoir une limite finie.

1.a $u_{n+1}+3=\dfrac{u_n+3}{\e}=\e^{-1}\left(u_n+3\right)$.

1.b Initialisation : $u_0=2>-3$. Hérédité : supposons que $u_n>-3$ et montrons que $u_{n+1}>-3$. Alors $u_n+3>0$ et $\e^{-1}>0$, donc $u_{n+1}+3>0$. Conclusion : pour tout $n\in\N$, $\boxed{u_n>-3}$.

1.c $u_{n+1}-u_n=\left(u_{n+1}+3\right)-\left(u_n+3\right)=\left(\e^{-1}-1\right)\left(u_n+3\right)$. Comme $\e^{-1}-1<0$ et $u_n+3>0$, $u_{n+1}-u_n<0$ : la suite est décroissante.

1.d Décroissante et minorée par $-3$, $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$. En passant à la limite dans 1.a : $\ell+3=\e^{-1}(\ell+3)$, soit $(\ell+3)\left(1-\e^{-1}\right)=0$, donc $\boxed{\ell=-3}$.

2.a Idée : $v_n$ est bien définie car $u_n+3>0$ ; le logarithme transforme le produit par $\e^{-1}$ en l'ajout de $-1$.

$(v_n)$ est arithmétique de raison $-1$ et de premier terme $v_0=\ln5$.

2.b $\boxed{v_n=\ln5-n}$, donc $u_n+3=\e^{v_n}=5\e^{-n}$ et $\boxed{u_n=5\e^{-n}-3}$ (contrôle : $u_0=5-3=2$).

2.c Idée : isoler l'exponentielle, puis appliquer $\ln$, strictement croissante.

$u_n<-2{,}99\iff5\e^{-n}<0{,}01$, soit $\e^{-n}<0{,}002$, c'est-à-dire $-n<\ln(0{,}002)$, ou encore $n>\ln500\approx6{,}21$.

Le plus petit entier est $\boxed{n=7}$ ; la suite étant décroissante, l'inégalité reste vraie pour tout $n\ge7$.

1.a $f'(x)=\e^x-1$. $f'(x)\ge0\iff\e^x\ge1\iff x\ge0$ : $f'$ est négative sur $]-\infty,0]$ et positive sur $[0,+\infty[$, nulle seulement en $0$.

1.b $f(0)=\e^0-1-0=0$. D'après 1.a et les limites admises :

$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty,0]$ et strictement croissante sur $[0,+\infty[$.

1.c Le minimum de $f$ sur $\R$ vaut $0$ et n'est atteint qu'en $0$ : $f(x)\ge0$ pour tout $x$, et $f(x)>0$ pour $x\neq0$.

2.a $u_{n+1}-u_n=f(u_n)\ge0$ d'après 1.c : la suite est croissante.

2.b Idée : la croissance de $(u_n)$ place tous les termes dans $[\alpha,+\infty[$, où $f$ est croissante. $(u_n)$ croissante donne $u_n\ge u_0=\alpha>0$. Comme $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$, $f(u_n)\ge f(\alpha)$, d'où $u_{n+1}=u_n+f(u_n)\ge u_n+f(\alpha)$.

2.c Initialisation : $u_0=\alpha=\alpha+0\cdot f(\alpha)$. Hérédité : supposons que $u_n\ge\alpha+nf(\alpha)$ et montrons que $u_{n+1}\ge\alpha+(n+1)f(\alpha)$. D'après 2.b, $u_{n+1}\ge u_n+f(\alpha)\ge\alpha+nf(\alpha)+f(\alpha)$. Conclusion : pour tout $n\in\N$, $\boxed{u_n\ge\alpha+nf(\alpha)}$.

2.d Idée : la minoration est une suite arithmétique de raison $f(\alpha)$, strictement positive car $\alpha\neq0$. $f(\alpha)>0$, donc $\lim\left(\alpha+nf(\alpha)\right)=+\infty$ et, par comparaison, $\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}$.

Par exemple, pour $\alpha=\ln2$ : $u_1=\e^{\ln2}-1=1$ et $u_2=\e-1$ ; ici une suite croissante n'est pas convergente, faute d'être majorée.