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Fahmio
Bac Tunisie
Sciences physiques/AT-A
AT-APhysique atomique

Quantification de l'énergie et niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène

Idée directrice

La trajectoire de cet exercice est de partir du modèle de Bohr pour justifier que l'énergie de l'électron ne peut prendre que des valeurs discrètes En=−13,6/n2E_n = -13{,}6/n^2 eV, de calculer les énergies de plusieurs niveaux, de définir l'ionisation (n→∞n \to \infty, Eion=13,6 eVE_{\text{ion}} = 13{,}6\text{ eV}) et d'interpréter les transitions : un photon absorbé fait monter l'électron (excitation), un photon émis fait descendre l'électron (désexcitation).

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Calculer les énergies des niveaux E1E_1, E2E_2, E3E_3 » ; « Définir l'énergie d'ionisation » ; « Un atome d'hydrogène se trouve au niveau n=2n=2, quelle énergie est nécessaire pour l'ioniser ? » ; « Vérifier que le photon peut être absorbé »

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  • La formule En=−13,6/n2 eVE_n = -13{,}6/n^2\text{ eV} est à connaître par cœur pour l'hydrogène.
  • L'énergie d'ionisation depuis le niveau nn vaut ∣En∣|E_n| (car E∞=0E_{\infty} = 0).
  • Pour une absorption, le niveau final nf>nin_f > n_i et Eph=Enf−Eni>0E_{\text{ph}} = E_{n_f} - E_{n_i} > 0.
  • Vérifier que le niveau atteint est un entier : si EnfE_{n_f} calculé ne correspond à aucun EnE_n, le photon n'est pas absorbé.
  • Convertir systématiquement eV ↔\leftrightarrow joules en multipliant/divisant par 1,6×10−191{,}6\times10^{-19}.
  • Pour justifier la quantification, citer l'expérience de Franck et Hertz : les électrons ne cèdent aux atomes de mercure que des paquets de 4,9 eV4{,}9\,\text{eV}.
Les pièges à vérifier dans ta démarche

Piège classique : calculer l'énergie d'ionisation en prenant Ei=E1=−13,6 eVE_i = E_1 = -13{,}6\text{ eV} (valeur négative) au lieu de ∣E1∣=+13,6 eV|E_1| = +13{,}6\text{ eV}. L'énergie d'ionisation est toujours positive. Autre piège : chercher le niveau final en posant Eph=Eni−EnfE_{\text{ph}} = E_{n_i} - E_{n_f} (signe inversé, ce qui correspond à une émission, pas à une absorption).

Sujet principal

Exercice — Niveaux d'énergie et ionisation de l'atome d'hydrogène

5 questionsCorrigé masqué

Dans le modèle de Bohr, l'énergie de l'atome d'hydrogène au niveau nn est :

En=−13,6n2 eV(n∈N∗)E_n = -\frac{13{,}6}{n^2} \text{ eV} \quad (n \in \mathbb{N}^*)

Données : 1 eV=1,6×10−19 J1\text{ eV} = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ J} ; constante de Planck h=6,63×10−34 J⋅sh = 6{,}63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} ; vitesse de la lumière c=3,00×108 m⋅s−1c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

  1. Calculer les énergies E1E_1, E2E_2, E3E_3 et E4E_4 en eV et en joules. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Définir l'état fondamental et l'état excité d'un atome. Quel est le niveau fondamental de l'hydrogène ?
  3. Définir l'énergie d'ionisation EiE_i de l'atome d'hydrogène dans l'état fondamental. Calculer EiE_i en eV puis en joules.
  4. Un atome d'hydrogène se trouve au niveau n=2n = 2.
    1. Quelle est l'énergie minimale (en eV) nécessaire pour ioniser cet atome depuis n=2n=2 ?
    2. Un photon d'énergie Eph=2,55 eVE_{\text{ph}} = 2{,}55\text{ eV} est incident sur cet atome. Vérifier que ce photon peut être absorbé. Identifier le niveau final atteint.
  5. Expliquer pourquoi un atome d'hydrogène ne peut absorber qu'un photon dont l'énergie correspond exactement à la différence entre deux niveaux. Quel est le rôle de la quantification ?
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : substituer nn dans la formule et convertir.

E1=−13,612=−13,6 eV=−2,18×10−18 JE_1 = \frac{-13{,}6}{1^2} = -13{,}6\text{ eV} = -2{,}18\times10^{-18}\text{ J}
E2=−13,64=−3,40 eV=−5,44×10−19 JE_2 = \frac{-13{,}6}{4} = -3{,}40\text{ eV} = -5{,}44\times10^{-19}\text{ J}
E3=−13,69≈−1,51 eV=−2,42×10−19 JE_3 = \frac{-13{,}6}{9} \approx -1{,}51\text{ eV} = -2{,}42\times10^{-19}\text{ J}
E4=−13,616=−0,85 eV=−1,36×10−19 JE_4 = \frac{-13{,}6}{16} = -0{,}85\text{ eV} = -1{,}36\times10^{-19}\text{ J}

2. Idée : définitions fondamentales.
L'état fondamental est l'état de plus basse énergie (n=1n=1, E1=−13,6 eVE_1 = -13{,}6\text{ eV}). Un état excité correspond à n≥2n \geq 2 : l'atome possède une énergie supérieure à l'état fondamental.

3. Idée : ionisation = arracher l'électron, soit amener l'atome à E∞=0E_{\infty} = 0.

Ei=E∞−E1=0−(−13,6)=13,6 eV=2,18×10−18 JE_i = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13{,}6) = \boxed{13{,}6\text{ eV}} = 2{,}18\times10^{-18}\text{ J}

4.(a) Idée : ioniser depuis n=2n=2.

Ei(n=2)=0−E2=0−(−3,40)=3,40 eVE_i(n=2) = 0 - E_2 = 0 - (-3{,}40) = \boxed{3{,}40\text{ eV}}

4.(b) Idée : le photon est absorbé si son énergie correspond à ΔE=Enf−Eni\Delta E = E_{n_f} - E_{n_i}.
Eph=2,55 eVE_{\text{ph}} = 2{,}55\text{ eV}. Niveau final possible :
Enf=E2+Eph=−3,40+2,55=−0,85 eV=E4E_{n_f} = E_2 + E_{\text{ph}} = -3{,}40 + 2{,}55 = -0{,}85\text{ eV} = E_4.
Donc nf=4n_f = 4 : l'atome passe de n=2n=2 à n=4\boxed{n=4}.

5. Idée : la quantification impose des niveaux discrets.
L'atome ne peut absorber qu'un photon dont l'énergie est exactement ΔE=Enf−Eni\Delta E = E_{n_f} - E_{n_i} (ΔE>0\Delta E > 0). Si Eph≠ΔEE_{\text{ph}} \neq \Delta E, le photon traverse l'atome sans interaction. C'est la quantification de l'énergie qui impose cette sélectivité.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : description de l'expérience de Franck et Hertz (échanges d'énergie de 4,9 eV4{,}9\,\text{eV} avec le mercure) ; détermination du niveau nn à partir d'une longueur d'onde donnée.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill AT-A.1 — transition et raie d'émission
Entraînement 01 / 03

Drill AT-A.1 — transition et raie d'émission

1 questionCorrigé masqué

Un atome passe d'un niveau E2=−3,4 eVE_2=-3{,}4\text{ eV} à E1=−13,6 eVE_1=-13{,}6\text{ eV}. Calculer la longueur d'onde du photon émis.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : l'énergie du photon émis est la différence des niveaux, puis λ=hc/ΔE\lambda=hc/\Delta E en joules. ΔE=E2−E1=−3,4−(−13,6)=10,2 eV=10,2×1,6×10−19=1,63×10−18 J\Delta E=E_2-E_1=-3{,}4-(-13{,}6)=10{,}2\ \mathrm{eV}=10{,}2\times1{,}6\times10^{-19}=1{,}63\times10^{-18}\ \mathrm J. λ=hcΔE=6,63×10−34×3,0×1081,63×10−18=1,2×10−7 m=122 nm\lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}\times3{,}0\times10^8}{1{,}63\times10^{-18}}=\boxed{1{,}2\times10^{-7}\ \mathrm m=122\ \mathrm{nm}} : ultraviolet, première raie de la série de Lyman (retour au fondamental).

2 Drill AT-A.2 — énergie d'ionisation
Entraînement 02 / 03

Drill AT-A.2 — énergie d'ionisation

1 questionCorrigé masqué

L'atome d'hydrogène a un niveau fondamental E1=−13,6 eVE_1=-13{,}6\text{ eV}. Quelle est son énergie d'ionisation depuis le fondamental ?

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Idée : ioniser, c'est amener l'électron à l'infini où E∞=0E_\infty=0. Eion=E∞−E1=0−(−13,6)=13,6 eVE_{\text{ion}}=E_\infty-E_1=0-(-13{,}6)=\boxed{13{,}6\ \mathrm{eV}}. Un photon d'énergie supérieure ionise aussi l'atome, l'excédent devenant énergie cinétique de l'électron ; un photon d'énergie inférieure ne peut être absorbé que s'il correspond exactement à une transition.

3 Drill AT-A.3 — expérience de Franck et Hertz : quantification des échanges d'énergie
Entraînement 03 / 03

Drill AT-A.3 — expérience de Franck et Hertz : quantification des échanges d'énergie

3 questionsCorrigé masqué

Un canon envoie des électrons de même énergie cinétique ECE_C à travers de la vapeur de mercure à faible pression ; un analyseur réglé sur ECE_C compte ceux qui l'ont conservée. Le rapport NC/NeN_C/N_e vaut 11 tant que EC<4,9 eVE_C<4{,}9\,\mathrm{eV} et chute brutalement à 4,9 eV4{,}9\,\mathrm{eV}. On donne h=6,62×10−34 J sh=6{,}62\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}, c=3,00×108 m s−1c=3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}, 1 eV=1,6×10−19 J1\,\mathrm{eV}=1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{J}.

  1. Que se passe-t-il lors des chocs pour EC=4,0 eVE_C=4{,}0\,\mathrm{eV} ? pour EC=8,0 eVE_C=8{,}0\,\mathrm{eV} ?
  2. Qu'en conclut-on sur l'énergie de l'atome de mercure ?
  3. L'atome excité revient à son état fondamental : calculer la longueur d'onde du photon émis et préciser son domaine.
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Idée : l'atome n'accepte que des quantités d'énergie bien précises.

1. À 4,0 eV4{,}0\,\mathrm{eV} : aucun transfert d'énergie, les électrons arrivent tous à l'analyseur avec leur énergie initiale. À 8,0 eV8{,}0\,\mathrm{eV} : un électron peut céder exactement 4,9 eV4{,}9\,\mathrm{eV} à un atome et repartir avec 8,0−4,9=3,1 eV8{,}0-4{,}9=\boxed{3{,}1\,\mathrm{eV}} ; il n'est plus compté (deux excitations demanderaient 9,8 eV9{,}8\,\mathrm{eV}).

2. Les échanges d'énergie sont quantifiés : l'énergie de l'atome ne prend que des valeurs discrètes (niveaux d'énergie) ; le premier niveau excité est à 4,9 eV4{,}9\,\mathrm{eV} au-dessus du fondamental.

3. λ=hcΔE=6,62×10−34×3,00×1084,9×1,6×10−19=2,53×10−7 m\lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}=\dfrac{6{,}62\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8}}{4{,}9\times1{,}6\times10^{-19}}=\boxed{2{,}53\times10^{-7}\,\mathrm{m}}, soit 253 nm253\,\mathrm{nm} : ultraviolet, invisible.

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