AT-GPhysique atomique

Atome d'hydrogène : relation d'une série spectrale, bornes et domaine, raies visibles, photon ou électron incident

Idée directrice

Tout part des niveaux $E_n=-\dfrac{E_0}{n^2}$ . Une transition $p\to m$ ( $p>m$ ) est une émission d'un photon d'énergie $E_p-E_m=\dfrac{hc}{\lambda}$ , d'où la relation d'une série $\dfrac1\lambda=R_H\left(\dfrac{1}{m^2}-\dfrac{1}{p^2}\right)$ avec $R_H=\dfrac{E_0}{hc}$ . La plus grande longueur d'onde correspond à $p=m+1$ , la plus petite à $p\to+\infty$ : ces bornes situent la série dans le spectre. Pour une absorption, la différence est décisive : un photon n'est absorbé que si son énergie est exactement un écart entre niveaux, alors qu'un électron peut céder une partie de son énergie.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Montrer que $\frac1\lambda=R_H\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{p^2}\right)$ » ; « déterminer la plus grande et la plus petite longueur d'onde » ; « situer ces séries dans les domaines des ondes électromagnétiques » ; « déterminer le nombre de transitions situées dans le domaine visible » ; « préciser si cette excitation est due au photon ou à l'électron »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Émission : $p\to m$ avec $p>m$ ; $\frac{hc}{\lambda}=E_p-E_m$ ; convertir les eV en joules.
Bornes d'une série : $p=m+1$ pour $\lambda_{\max}$ , $p\to+\infty$ pour $\lambda_{\min}=\frac{m^2}{R_H}$ ; comparer au domaine visible $[400\ ;\ 800]\ \text{nm}$ .
Compter les raies visibles : calculer $\lambda$ pour $p=m+1,\ m+2,\dots$ jusqu'à sortir du domaine, en rappelant que $\lambda$ décroît avec $p$ .
Photon : absorption seulement si $E_1+W=E_n$ exactement. Électron : excitation vers tout niveau tel que $E_n-E_1\le W$ ; il repart avec le reste.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Inverser émission et absorption ; oublier la conversion eV → J dans $R_H$ ; prendre $p=m$ pour $\lambda_{\max}$ ; compter la raie de $398\ \text{nm}$ comme visible ; croire qu'un photon « trop énergétique » est absorbé partiellement (il ne l'est que s'il ionise l'atome, $W\ge13{,}6\ \text{eV}$ ) ; oublier qu'un électron peut exciter plusieurs niveaux différents.

Sujet principal

Exercice 2 — atome d'hydrogène (4 points), dans l'esprit des sessions de contrôle 2015–2025

4 questionsCorrigé masqué

Les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène sont donnés par $E_n=-\dfrac{E_0}{n^2}$ avec $E_0=13{,}6\ \text{eV}$ et $n$ entier naturel non nul. On donne : $h=6{,}62\times10^{-34}\ \text{J·s}$ ; $c=3{,}00\times10^{8}\ \text{m·s}^{-1}$ ; $1\ \text{eV}=1{,}6\times10^{-19}\ \text{J}$ . Le domaine visible s'étend de $400$ à $800\ \text{nm}$ .

Relation des séries.
1. La transition de l'atome d'un niveau $p$ vers un niveau $m<p$ correspond-elle à une émission ou à une absorption ? Justifier.
2. Montrer que la longueur d'onde $\lambda$ de la radiation correspondante vérifie $\dfrac1\lambda=R_H\left(\dfrac{1}{m^2}-\dfrac{1}{p^2}\right)$ et calculer $R_H$ .
Série de Balmer ( $m=2$ ).
1. Calculer la plus grande et la plus petite longueur d'onde de la série.
2. Déterminer le nombre de raies de la série situées dans le domaine visible et donner leurs longueurs d'onde.
Série de Paschen ( $m=3$ ). Calculer ses longueurs d'onde extrêmes et montrer qu'aucune de ses raies n'est visible. Dans quel domaine se situe-t-elle ?
Un atome d'hydrogène dans son état fondamental reçoit séparément un photon et un électron ayant la même énergie $W=12{,}9\ \text{eV}$ .
1. Montrer que le photon ne peut pas être absorbé.
2. L'atome est pourtant excité. Justifier que l'excitation est due à l'électron et préciser les niveaux que l'atome peut atteindre.
3. Quelle est l'énergie cinétique minimale de l'électron après le choc ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Pour $p>m$ , $E_p>E_m$ : l'atome perd de l'énergie, il émet un photon d'énergie $E_p-E_m$ .

1.b $\dfrac{hc}{\lambda}=E_p-E_m=E_0\left(\dfrac{1}{m^2}-\dfrac{1}{p^2}\right)$ (en joules), donc $\dfrac1\lambda=\dfrac{E_0}{hc}\left(\dfrac{1}{m^2}-\dfrac{1}{p^2}\right)$ avec

R_H=\frac{E_0}{hc}\approx1{,}096\times10^{7}\ \text{m}^{-1}

( $E_0=13{,}6\times1{,}6\times10^{-19}\ \text{J}$ et $hc=6{,}62\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8}\ \text{J·m}$ ).

2.a Idée : $\lambda$ est maximale quand l'écart d'énergie est minimal ( $p=m+1$ ), minimale quand $p\to+\infty$ . $\lambda_{\max}=\dfrac{1}{R_H\left(\frac14-\frac19\right)}\approx657\ \text{nm}$ ; $\lambda_{\min}=\dfrac{4}{R_H}\approx365\ \text{nm}$ .

2.b Pour $p=3,4,5,6$ : $\lambda\approx657$ ; $487$ ; $435$ ; $411\ \text{nm}$ ; pour $p=7$ , $\lambda\approx398\ \text{nm}<400\ \text{nm}$ , et $\lambda$ décroît quand $p$ augmente. La série de Balmer compte donc $\boxed{4}$ raies visibles.

3. $\lambda_{\max}=\dfrac{1}{R_H\left(\frac19-\frac{1}{16}\right)}\approx1878\ \text{nm}$ et $\lambda_{\min}=\dfrac{9}{R_H}\approx821\ \text{nm}$ . Toutes les raies ont $\lambda\ge821\ \text{nm}>800\ \text{nm}$ : aucune n'est visible ; la série est dans l'infrarouge.

4.a Idée : un photon n'est absorbé que si $E_1+W$ est exactement un niveau. $E_1+W=-13{,}6+12{,}9=-0{,}7\ \text{eV}$ , compris entre $E_4=-0{,}85\ \text{eV}$ et $E_5=-0{,}544\ \text{eV}$ : ce n'est pas un niveau, le photon n'est pas absorbé.

4.b Un électron peut céder à l'atome n'importe quelle partie de son énergie, à condition que l'atome reçoive un écart $E_n-E_1$ exact. Les écarts possibles sont $10{,}2$ ( $n=2$ ), $12{,}09$ ( $n=3$ ) et $12{,}75\ \text{eV}$ ( $n=4$ ), tous inférieurs à $12{,}9\ \text{eV}$ , alors que $E_5-E_1\approx13{,}06\ \text{eV}>12{,}9\ \text{eV}$ . L'atome peut atteindre les niveaux $n=2$ , $3$ ou $4$ .

4.c L'électron garde au minimum $12{,}9-12{,}75=\boxed{0{,}15\ \text{eV}}$ d'énergie cinétique (cas de l'excitation au niveau $n=4$ ).

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : séries de Lyman et de Balmer, bornes et raies visibles (contrôle 2017) ; relation $\frac{1}{\lambda_n}=10{,}96\left(\frac14-\frac1{n^2}\right)$ , nombre de raies visibles, photon ou électron de $12{,}4\ \text{eV}$ (contrôle 2025) ; électrons de $0{,}9\,E_0$ ne pouvant céder que deux quantums (contrôle 2018) ; photon ionisant et énergie cinétique de l'électron éjecté (contrôle 2015).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill AT-G.1 — électrons d'énergie

0{,}92\,E_0

: deux quantums absorbables, raies réémises

Entraînement 01 / 01

Drill AT-G.1 — électrons d'énergie $0{,}92\,E_0$ : deux quantums absorbables, raies réémises

3 questionsCorrigé masqué

Des atomes d'hydrogène dans leur état fondamental sont bombardés par des électrons d'énergie cinétique $E_c=0{,}92\,E_0$ , avec $E_n=-\dfrac{E_0}{n^2}$ et $E_0=13{,}6\ \text{eV}$ . On donne $h=6{,}62\times10^{-34}\ \text{J·s}$ , $c=3{,}00\times10^{8}\ \text{m·s}^{-1}$ , $1\ \text{eV}=1{,}6\times10^{-19}\ \text{J}$ .

Écrire la condition que doit vérifier le niveau $n$ atteint par l'atome et en déduire que $n^2\le12{,}5$ .
En déduire que l'atome ne peut absorber que deux quantums d'énergie ; préciser les niveaux correspondants.
Les atomes excités au niveau le plus élevé se désexcitent. Préciser les transitions possibles et calculer les longueurs d'onde des radiations émises. Laquelle est visible ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. L'atome passe au niveau $n>1$ si l'électron lui cède $E_n-E_1\le E_c$ : $-\frac{E_0}{n^2}+E_0\le0{,}92\,E_0$ , soit $\frac{1}{n^2}\ge0{,}08$ , d'où $n^2\le12{,}5$ ( $n\le3{,}5$ ).

2. Les seules valeurs entières $n>1$ sont $n=2$ et $n=3$ : l'atome ne peut absorber que les deux quantums $E_2-E_1=10{,}2\ \text{eV}$ et $E_3-E_1\approx12{,}09\ \text{eV}$ (alors que $E_4-E_1=12{,}75\ \text{eV}>E_c\approx12{,}51\ \text{eV}$ ).

3. Idée : depuis $n=3$ , l'atome peut redescendre directement ou par étapes. Trois transitions : $3\to2$ ( $\Delta E\approx1{,}89\ \text{eV}$ , $\lambda\approx657\ \text{nm}$ ), $3\to1$ ( $12{,}09\ \text{eV}$ , $\lambda\approx103\ \text{nm}$ ) et $2\to1$ ( $10{,}2\ \text{eV}$ , $\lambda\approx122\ \text{nm}$ ), avec $\lambda=\frac{hc}{\Delta E}$ . Seule la raie de $\boxed{657\ \text{nm}}$ (rouge) est visible ; les deux autres sont dans l'ultraviolet.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.