FI-AFiltres électriques

Filtre actif passe-bas à amplificateur opérationnel : qualifier le filtre, lire l'oscillogramme à la coupure, T0 = R2/R1 et Nc = 1/(2πR2C)

Idée directrice

En Sciences techniques, l'exercice de filtre (4 à 5 points) donne l'expression de la transmittance $T=U_{Sm}/U_{Em}$ et un oscillogramme ou une courbe $T(N)$ . Trois réflexes : (1) qualifier le filtre — actif s'il contient un amplificateur opérationnel alimenté, passe-bas si $T$ décroît de $T_0$ vers $0$ quand $N$ croît, linéaire si la sortie est sinusoïdale de même fréquence ; (2) reconnaître la fréquence de coupure par $T=T_0/\sqrt2$ ou par le déphasage caractéristique ; (3) remonter aux composants avec $T_0=R_2/R_1$ et $N_c=1/(2\pi R_2C)$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« choisir, parmi les propositions, celles qualifiant le filtre (F) » ; « justifier que la courbe (1) correspond à la tension de sortie » ; « montrer que N1 correspond à la fréquence de coupure » ; « déterminer la valeur T1 de la transmittance… en déduire sa valeur maximale T0 » ; « établir l'expression de la fréquence de coupure » ; « déduire les valeurs de R1 et C »

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Qualifier : AOP → actif ; limites de $T$ en $0$ et $\infty$ → passe-bas / passe-haut / passe-bande ; sinusoïde → sinusoïde de même $N$ → linéaire.
Coupure : $T=T_0/\sqrt2$ ou $2\pi N_cR_2C=1$ ou déphasage $\pi/4$ (passif) / $3\pi/4$ (ce montage actif).
Décalage temporel → phase : $\varphi=2\pi\,\Delta t/T_p$ .
$T_0=R_2/R_1$ , $N_c=1/(2\pi R_2C)$ : deux équations, deux inconnues.
Établir l'équation : AOP idéal ( $\varepsilon=0$ , $i^+=i^-=0$ ), loi des nœuds à l'entrée inverseuse puis deux mailles : $\dfrac{R_1}{R_2}u_S+R_1C\dfrac{\mathrm{d}u_S}{\mathrm{d}t}=-u_E$ ; Fresnel (triangle rectangle) donne $T$ , puis $G=G_0-10\log[1+(2\pi NR_2C)^2]$ avec $G_0=20\log(R_2/R_1)$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Lire $T=7{,}1/10{,}0$ en prenant la courbe la plus grande pour l'entrée ; confondre la période $10\ \mathrm{ms}$ avec le décalage ; écrire $N_c=1/(2\pi R_1C)$ ; dire « passif » parce qu'il y a des résistances et un condensateur en oubliant l'AOP ; oublier que $T_0>1$ est possible pour un filtre actif.

Sujet principal

Exercice 2 — filtre électrique (4,5 points), dans l'esprit de la session principale 2016 (Sciences techniques)

2 questionsCorrigé masqué

Le filtre électrique $(F)$ est constitué d'un amplificateur opérationnel supposé idéal, d'un condensateur de capacité $C$ et de deux conducteurs ohmiques de résistances $R_1$ (en série avec l'entrée) et $R_2$ (en parallèle avec $C$ dans la boucle de rétroaction). L'entrée est alimentée par un GBF délivrant $u_E(t)$ sinusoïdale d'amplitude $U_{Em}$ constante et de fréquence $N$ réglable. La tension de sortie $u_S(t)$ est sinusoïdale, de même fréquence $N$ , d'amplitude $U_{Sm}$ telle que

T=\frac{U_{Sm}}{U_{Em}}=\frac{R_2/R_1}{\sqrt{1+(2\pi N R_2 C)^2}}

On rappelle qu'un filtre est passant lorsque sa transmittance vérifie $T\geq\dfrac{T_0}{\sqrt2}$ , où $T_0$ est la valeur maximale de $T$ . Pour ce montage, la sortie est en avance de phase sur l'entrée d'un angle $\varphi=\pi-\arctan(2\pi NR_2C)$ .

Choisir, en justifiant, parmi les propositions suivantes celles qui qualifient $(F)$ : actif — passif — passe-haut — passe-bande — passe-bas — linéaire.
Un oscilloscope bicourbe permet de visualiser $u_E(t)$ et $u_S(t)$ . Pour une fréquence particulière $N_1$ , on obtient deux sinusoïdes de période $10\ \mathrm{ms}$ : la courbe (1) d'amplitude $10{,}0\ \mathrm{V}$ et la courbe (2) d'amplitude $7{,}1\ \mathrm{V}$ ; la courbe (1) est décalée de $3{,}75\ \mathrm{ms}$ en avance sur la courbe (2).
1. Justifier que la courbe (1) correspond à la tension de sortie $u_S(t)$ .
2. Montrer que $N_1$ est la fréquence de coupure $N_c$ du filtre. Déterminer sa valeur.
3. Déterminer la valeur $T_1$ de la transmittance à cette fréquence. En déduire $T_0$ .
4. Établir l'expression de $N_c$ en fonction de $R_2$ et $C$ .
5. Sachant que $R_2=1{,}6\ \mathrm{k\Omega}$ , déduire les valeurs de $R_1$ et de $C$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : relire l'expression de $T$ aux limites. Actif : il contient un amplificateur opérationnel (composant alimenté) — et d'ailleurs $T$ peut dépasser $1$ . Passe-bas : $T\to T_0=R_2/R_1$ quand $N\to0$ et $T\to0$ quand $N\to\infty$ ; les basses fréquences sont transmises, les hautes atténuées. Linéaire : à une entrée sinusoïdale répond une sortie sinusoïdale de même fréquence, d'amplitude proportionnelle. Les qualificatifs passif, passe-haut et passe-bande sont exclus.

2.a Idée : la sortie de ce filtre est en avance de phase. $\varphi=\pi-\arctan(2\pi NR_2C)\in\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right[$ : $u_S$ est toujours en avance sur $u_E$ . La courbe (1) est celle qui est décalée en avance, c'est donc $u_S(t)$ ; la courbe (2) est $u_E(t)$ .

2.b Idée : à la coupure $2\pi N_cR_2C=1$ , donc $\arctan(\dots)=\pi/4$ . Le décalage temporel vaut $\Delta t=3{,}75\ \mathrm{ms}$ pour une période $T_p=10\ \mathrm{ms}$ , soit $\varphi=2\pi\dfrac{\Delta t}{T_p}=2\pi\times0{,}375=\dfrac{3\pi}{4}$ . Or $\varphi=\pi-\arctan(2\pi N_1R_2C)=\dfrac{3\pi}{4}\iff\arctan(2\pi N_1R_2C)=\dfrac{\pi}{4}\iff 2\pi N_1R_2C=1$ : c'est exactement la condition $T=T_0/\sqrt2$ , donc $N_1=N_c$ . Sa valeur : $N_c=\dfrac{1}{T_p}=\dfrac{1}{10\times10^{-3}}=\boxed{100\ \mathrm{Hz}}$ .

2.c Idée : $T$ est un rapport d'amplitudes. $T_1=\dfrac{U_{Sm}}{U_{Em}}=\dfrac{10{,}0}{7{,}1}\approx1{,}41=\sqrt2$ . À la coupure $T_1=\dfrac{T_0}{\sqrt2}$ , donc $T_0=\sqrt2\,T_1=\boxed{2{,}0}$ : ce filtre amplifie deux fois les basses fréquences.

2.d Idée : écrire $T(N_c)=T_0/\sqrt2$ . $\dfrac{T_0}{\sqrt{1+(2\pi N_cR_2C)^2}}=\dfrac{T_0}{\sqrt2}\iff(2\pi N_cR_2C)^2=1\iff\boxed{N_c=\dfrac{1}{2\pi R_2C}}$ .

2.e Idée : $T_0=R_2/R_1$ donne $R_1$ ; $N_c$ donne $C$ . $R_1=\dfrac{R_2}{T_0}=\dfrac{1600}{2}=\boxed{800\ \Omega}$ ; $C=\dfrac{1}{2\pi R_2N_c}=\dfrac{1}{2\pi\times1600\times100}\approx9{,}9\times10^{-7}\ \mathrm{F}\approx\boxed{1{,}0\ \mu\mathrm{F}}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : « montrer que $G=G_0-10\log[1+(2\pi NR_2C)^2]$ » puis déduire $N_c$ de $G=G_0-3\,\mathrm{dB}$ (tableau de mesures de $G$ au lieu d'une courbe) ; $N_c$ lue par la méthode de l'asymptote sur $G(N)$ en abscisse logarithmique ; sortie reconnue par sa phase ( $u_S$ en avance sur $u_E$ , $3\pi/4$ à la coupure).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill FI-A.1 — transmittance, gain en décibels et condition « passant »

Entraînement 01 / 03

Drill FI-A.1 — transmittance, gain en décibels et condition « passant »

3 questionsCorrigé masqué

Un filtre a pour transmittance maximale $T_0=2{,}0$ . On définit le gain $G=20\log T$ (en dB).

Calculer $G_0$ , puis le gain $G_c$ à la fréquence de coupure.
Montrer que la condition « filtre passant » $T\geq T_0/\sqrt2$ s'écrit $G\geq G_0-3\ \mathrm{dB}$ .
À une fréquence $N=2N_c$ d'un passe-bas du premier ordre, $T=T_0/\sqrt5$ . Le filtre est-il passant à cette fréquence ?

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1. Idée : appliquer la définition. $G_0=20\log2{,}0\approx\boxed{6{,}0\ \mathrm{dB}}$ ; à la coupure $T_c=T_0/\sqrt2$ , donc $G_c=20\log T_0-20\log\sqrt2=6{,}0-3{,}0=\boxed{3{,}0\ \mathrm{dB}}$ .

2. Idée : le logarithme transforme le quotient en différence. $T\geq\dfrac{T_0}{\sqrt2}\iff20\log T\geq20\log T_0-20\log\sqrt2\iff G\geq G_0-3{,}01\ \mathrm{dB}\approx G_0-3\ \mathrm{dB}$ .

3. Idée : comparer à $T_0/\sqrt2$ . $\dfrac{T_0}{\sqrt5}<\dfrac{T_0}{\sqrt2}$ (car $\sqrt5>\sqrt2$ ) : le filtre n'est pas passant à $2N_c$ ; en gain, $G=G_0-20\log\sqrt5=G_0-7\ \mathrm{dB}<G_0-3\ \mathrm{dB}$ .

2 Drill FI-A.2 — régler la fréquence de coupure d'un passe-bas actif

Entraînement 02 / 03

Drill FI-A.2 — régler la fréquence de coupure d'un passe-bas actif

2 questionsCorrigé masqué

Le filtre actif passe-bas de l'exercice a $R_1=800\ \Omega$ , $R_2=1{,}6\ \mathrm{k\Omega}$ , $C=1{,}0\ \mu\mathrm{F}$ . On veut transmettre (filtre passant) un signal de fréquence $N=250\ \mathrm{Hz}$ sans changer $T_0$ .

Le signal est-il transmis avec le réglage actuel ? Calculer $T(250\ \mathrm{Hz})$ .
Quel composant faut-il modifier, et quelle valeur lui donner pour que $N_c=500\ \mathrm{Hz}$ ?

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1. Idée : comparer $N$ à $N_c$ ou $T$ à $T_0/\sqrt2$ . $N_c=\dfrac{1}{2\pi R_2C}\approx100\ \mathrm{Hz}$ et $N=250\ \mathrm{Hz}>N_c$ : hors bande passante. $T(250)=\dfrac{2}{\sqrt{1+(2\pi\times250\times1600\times10^{-6})^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+2{,}51^2}}\approx\boxed{0{,}74}<\dfrac{2}{\sqrt2}=1{,}41$ : non transmis.

2. Idée : $T_0=R_2/R_1$ ne doit pas bouger, donc on touche à $C$ . $C'=\dfrac{1}{2\pi R_2N_c'}=\dfrac{1}{2\pi\times1600\times500}\approx\boxed{0{,}20\ \mu\mathrm{F}}$ . Modifier $R_2$ changerait aussi $T_0$ ; modifier $R_1$ ne changerait pas $N_c$ .

3 Drill FI-A.3 — de l'équation différentielle au gain et à la fréquence de coupure

Entraînement 03 / 03

Drill FI-A.3 — de l'équation différentielle au gain et à la fréquence de coupure

5 questionsCorrigé masqué

Un filtre est formé d'un amplificateur opérationnel idéal, d'un résistor $R_1=1{,}0\,\mathrm{k\Omega}$ entre l'entrée $E$ et l'entrée inverseuse, et, entre l'entrée inverseuse et la sortie $S$ , d'un résistor $R_2=2{,}0\,\mathrm{k\Omega}$ en parallèle avec un condensateur $C=0{,}10\,\mu\mathrm{F}$ . L'entrée non inverseuse est à la masse. On applique $u_E(t)=U_{Em}\sin(2\pi Nt)$ avec $U_{Em}=1{,}5\,\mathrm{V}$ ; la sortie est $u_S(t)=U_{Sm}\sin(2\pi Nt+\varphi_S)$ .

Justifier que ce filtre est actif et linéaire.
Montrer que $\dfrac{R_1}{R_2}u_S+R_1C\,\dfrac{\mathrm{d}u_S}{\mathrm{d}t}=-u_E$ .
À l'aide de la construction de Fresnel, établir la transmittance $T=\dfrac{R_2/R_1}{\sqrt{1+(2\pi NR_2C)^2}}$ , puis montrer que le gain s'écrit $G=G_0-10\log[1+(2\pi NR_2C)^2]$ ; exprimer et calculer $G_0$ .
Rappeler la condition sur $G$ pour que le filtre soit passant et en déduire l'expression puis la valeur de la fréquence de coupure $N_c$ . Préciser la nature du filtre.
Le filtre transmet-il un signal de fréquence $500\,\mathrm{Hz}$ ? de $1{,}5\,\mathrm{kHz}$ ? Quelle tension efficace indique un voltmètre branché à la sortie lorsque $N=N_c$ ?

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Idée : l'AOP idéal impose $\varepsilon=0$ et des courants d'entrée nuls ; tout se ramène à une équation du premier ordre, que Fresnel transforme en rapport d'amplitudes.

1. Il contient un composant actif alimenté (l'AOP) : filtre actif. Une entrée sinusoïdale donne une sortie sinusoïdale de même fréquence : filtre linéaire.

2. $i^-=0$ : le courant $i_1=u_E/R_1$ qui traverse $R_1$ se partage entre $R_2$ et $C$ (loi des nœuds $i_1=i_2+i_3$ ). L'entrée inverseuse est au potentiel de la masse ( $\varepsilon=0$ ), donc $u_S=-R_2i_2$ et $u_S=-u_C$ avec $i_3=C\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t=-C\,\mathrm{d}u_S/\mathrm{d}t$ . D'où $\dfrac{u_E}{R_1}=-\dfrac{u_S}{R_2}-C\dfrac{\mathrm{d}u_S}{\mathrm{d}t}$ , et en multipliant par $R_1$ : $\dfrac{R_1}{R_2}u_S+R_1C\dfrac{\mathrm{d}u_S}{\mathrm{d}t}=-u_E$ .

3. Vecteurs de Fresnel : $\dfrac{R_1}{R_2}U_{Sm}$ (phase $\varphi_S$ ) et $R_1C\,2\pi N\,U_{Sm}$ (phase $\varphi_S+\pi/2$ ), perpendiculaires, de somme le vecteur $U_{Em}$ de phase $\pi$ . Pythagore : $U_{Em}^2=\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2U_{Sm}^2\,[1+(2\pi NR_2C)^2]$ , donc $T=\dfrac{U_{Sm}}{U_{Em}}=\dfrac{R_2/R_1}{\sqrt{1+(2\pi NR_2C)^2}}$ . Alors $G=20\log T=20\log\dfrac{R_2}{R_1}-10\log[1+(2\pi NR_2C)^2]$ , avec $G_0=20\log\dfrac{R_2}{R_1}=20\log2=\boxed{6{,}0\,\mathrm{dB}}$ ( $T_0=2$ : amplification).

4. Passant si $G\ge G_0-3\,\mathrm{dB}$ . À la coupure $10\log[1+(2\pi N_cR_2C)^2]=3$ , soit $1+(2\pi N_cR_2C)^2=10^{0{,}3}\approx2$ , donc $2\pi N_cR_2C=1$ et $N_c=\dfrac{1}{2\pi R_2C}=\dfrac{1}{2\pi\times2{,}0\times10^{3}\times1{,}0\times10^{-7}}=\boxed{796\,\mathrm{Hz}}$ . $G\to G_0$ quand $N\to0$ et $G\to-\infty$ quand $N\to\infty$ : passe-bas, bande passante $[0\,;\,796\,\mathrm{Hz}]$ .

5. $500\,\mathrm{Hz}<N_c$ : transmis ( $T\approx1{,}69$ , $G\approx4{,}6\,\mathrm{dB}\ge3{,}0\,\mathrm{dB}$ ). $1{,}5\,\mathrm{kHz}>N_c$ : non transmis ( $T\approx0{,}94$ , $G\approx-0{,}6\,\mathrm{dB}<3{,}0\,\mathrm{dB}$ ) — il est pourtant à peine atténué : « non passant » compare à $G_0-3\,\mathrm{dB}$ , pas à $0\,\mathrm{dB}$ . À $N=N_c$ : $U_{Sm}=\dfrac{T_0}{\sqrt2}U_{Em}=\sqrt2\times1{,}5\approx2{,}12\,\mathrm{V}$ ; le voltmètre lit la valeur efficace $U_{Sm}/\sqrt2=\boxed{1{,}5\,\mathrm{V}}$ .

Piège : écrire $N_c=1/(2\pi R_1C)$ , ou décider « passant » en comparant $G$ à $0\,\mathrm{dB}$ au lieu de $G_0-3\,\mathrm{dB}$ .

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Filtre actif passe-bas à amplificateur opérationnel : qualifier le filtre, lire l'oscillogramme à la coupure, T0 = R2/R1 et Nc = 1/(2πR2C)

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill FI-A.1 — transmittance, gain en décibels et condition « passant »

Drill FI-A.2 — régler la fréquence de coupure d'un passe-bas actif

Drill FI-A.3 — de l'équation différentielle au gain et à la fréquence de coupure

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