FI-BFiltres électriques

Filtre passe-bande RLC série : T maximale à N0, gain en dB, bande passante lue à −3 dB, facteur de qualité, puis r, L et C

Idée directrice

Le filtre passe-bande du bac technique est un circuit RLC série dont la sortie est prise aux bornes du conducteur ohmique $R$ : $T=\dfrac{R}{Z}$ est maximale quand l'impédance $Z$ est minimale, c'est-à-dire à la résonance $N=N_0$ . Le sujet fournit une courbe de gain $G=20\log T$ et attend : la condition « passant » à $-3\ \mathrm{dB}$ , la lecture de $G_0$ , $N_0$ et de la bande passante $\Delta N$ , puis le facteur de qualité $Q=\dfrac{N_0}{\Delta N}=\dfrac{2\pi N_0L}{R+r}$ qui livre $L$ , et $N_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ qui livre $C$ . La résistance $r$ de la bobine sort de $T_0=\dfrac{R}{R+r}$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« prouver que la transmittance T prend sa valeur maximale T0 pour N = N0 » ; « donner la relation entre G et T » ; « écrire la condition que doit satisfaire le gain G pour que le filtre soit passant » ; « la largeur ΔN de la bande passante » ; « expressions du facteur de qualité Q » ; « déterminer les valeurs de L et C »

Sujet principal

Exercice 1 — filtre passe-bande (5 points), dans l'esprit des sessions principales 2017 et 2019 (Sciences techniques)

6 questionsCorrigé masqué

On réalise, avec une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ , un condensateur de capacité $C$ et un conducteur ohmique de résistance $R=48\ \Omega$ , un filtre passe-bande : les trois dipôles sont en série, l'entrée $u_E(t)$ est délivrée par un GBF (amplitude $U_{Em}$ constante, fréquence $N$ réglable) et la sortie $u_S(t)$ est prise aux bornes du conducteur ohmique. On note $T=U_{Sm}/U_{Em}$ la transmittance et $G=20\log T$ le gain du filtre. Ce filtre passif est au mieux un atténuateur ( $T_0\leq1$ ) ; sa bande passante est délimitée par une fréquence de coupure basse $N_b$ et une fréquence de coupure haute $N_h$ , comme pour tous les filtres passe-bande.

La courbe $G(N)$ relevée présente un maximum $G_0=-1{,}9\ \mathrm{dB}$ à $N_0=500\ \mathrm{Hz}$ ; le gain vaut $G_0-3\ \mathrm{dB}$ pour $N=450\ \mathrm{Hz}$ et $N=550\ \mathrm{Hz}$ . On rappelle que $Q=\dfrac{N_0}{\Delta N}=\dfrac{2\pi N_0L}{R+r}$ et que, pour $N=N_0$ , $T_0=\dfrac{R}{R+r}$ .

Exprimer $T$ en fonction de $R$ , $r$ , $L$ , $C$ et $N$ . Prouver que $T$ prend sa valeur maximale $T_0$ lorsque $N$ est égale à la fréquence propre $N_0$ du circuit, et retrouver $T_0=\dfrac{R}{R+r}$ .
Écrire la condition que doit satisfaire le gain $G$ pour que le filtre soit passant.
En exploitant la courbe, déterminer $T_0$ , $N_0$ et la largeur $\Delta N$ de la bande passante.
Montrer que $r=R\left(\dfrac{1}{T_0}-1\right)$ . Calculer sa valeur.
Déterminer les valeurs de $L$ et de $C$ .
On remplace $R$ par $R'=2R$ . Sans calcul, indiquer comment évoluent $T_0$ , $\Delta N$ et la sélectivité du filtre.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : le circuit est un diviseur d'amplitude ; $U_{Sm}=RI_m$ et $U_{Em}=ZI_m$ .

T=\frac{U_{Sm}}{U_{Em}}=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{(R+r)^2+\left(2\pi NL-\dfrac{1}{2\pi NC}\right)^2}}

Le numérateur est fixe ; $T$ est maximale quand le dénominateur est minimal, c'est-à-dire quand le terme au carré s'annule : $2\pi NL=\dfrac{1}{2\pi NC}\iff N=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=N_0$ , la fréquence propre. Alors $Z=R+r$ et $T_0=\dfrac{R}{R+r}$ : la sortie est en phase avec l'entrée et le courant est maximal (résonance d'intensité).

2. Idée : traduire $T\geq T_0/\sqrt2$ en gain. $20\log T\geq20\log T_0-20\log\sqrt2\iff\boxed{G\geq G_0-3\ \mathrm{dB}}$ .

3. Idée : lire le sommet, puis les deux fréquences à $-3\ \mathrm{dB}$ . $G_0=-1{,}9\ \mathrm{dB}\Rightarrow T_0=10^{G_0/20}=10^{-0{,}095}\approx\boxed{0{,}80}$ ; $N_0=\boxed{500\ \mathrm{Hz}}$ ; les fréquences de coupure sont $N_b=450\ \mathrm{Hz}$ et $N_h=550\ \mathrm{Hz}$ , donc $\Delta N=N_h-N_b=\boxed{100\ \mathrm{Hz}}$ .

4. Idée : inverser $T_0=R/(R+r)$ . $R+r=\dfrac{R}{T_0}\Rightarrow r=\dfrac{R}{T_0}-R=R\left(\dfrac{1}{T_0}-1\right)=48\times(1{,}25-1)=\boxed{12\ \Omega}$ . Un filtre passif ne peut qu'atténuer ( $T_0<1$ ) : la perte vient de $r$ .

5. Idée : $Q$ relie $\Delta N$ à $L$ , puis $N_0$ relie $L$ à $C$ . $Q=\dfrac{N_0}{\Delta N}=\dfrac{500}{100}=5$ . De $Q=\dfrac{2\pi N_0L}{R+r}$ : $L=\dfrac{Q(R+r)}{2\pi N_0}=\dfrac{5\times60}{2\pi\times500}\approx\boxed{95\ \mathrm{mH}}$ . De $N_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ : $C=\dfrac{1}{4\pi^2N_0^2L}=\dfrac{1}{4\pi^2\times500^2\times0{,}0955}\approx\boxed{1{,}1\ \mu\mathrm{F}}$ .

6. Idée : $R$ intervient dans $T_0$ et dans $Q$ , pas dans $N_0$ . $T_0=\dfrac{2R}{2R+r}$ augmente (moins de perte relative dans $r$ ) ; $Q=\dfrac{2\pi N_0L}{2R+r}$ diminue presque de moitié, donc $\Delta N=N_0/Q$ double environ : le filtre est moins sélectif. $N_0$ ne change pas.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill FI-B.1 — de la bande passante aux composants

2 questionsCorrigé masqué

Un filtre passe-bande RLC série (sortie sur $R_1=1{,}0\ \mathrm{k\Omega}$ , résistance de la bobine négligeable devant $R_1$ ) a une fréquence propre $N_0=2{,}0\ \mathrm{kHz}$ et une bande passante $\Delta N=200\ \mathrm{Hz}$ (écart entre la fréquence de coupure haute et la fréquence de coupure basse, où la transmittance vaut $T_0/\sqrt2$ et le gain $G_0-3\ \mathrm{dB}$ ).

Calculer le facteur de qualité $Q$ et la valeur de $T_0$ .
Montrer que $L=\dfrac{QR_1}{2\pi N_0}$ et calculer $L$ , puis $C$ .

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1. Idée : définitions. $Q=\dfrac{N_0}{\Delta N}=\dfrac{2000}{200}=\boxed{10}$ . Avec $r\ll R_1$ : $T_0=\dfrac{R_1}{R_1+r}\approx\boxed{1}$ (pas de perte hors du conducteur ohmique de sortie).

2. Idée : $Q=2\pi N_0L/R_1$ quand $r$ est négligée. $L=\dfrac{QR_1}{2\pi N_0}=\dfrac{10\times1000}{2\pi\times2000}\approx\boxed{0{,}80\ \mathrm{H}}$ ; $C=\dfrac{1}{4\pi^2N_0^2L}=\dfrac{1}{4\pi^2\times(2000)^2\times0{,}80}\approx7{,}9\times10^{-9}\ \mathrm{F}\approx\boxed{8{,}0\ \mathrm{nF}}$ .

Entraînement 02 / 02

Drill FI-B.2 — passant ou non ? décider avec le gain

2 questionsCorrigé masqué

Le filtre passe-bande de l'exercice ( $N_0=500\ \mathrm{Hz}$ , $\Delta N=100\ \mathrm{Hz}$ , $G_0=-1{,}9\ \mathrm{dB}$ ) reçoit successivement trois signaux de fréquences $470\ \mathrm{Hz}$ , $560\ \mathrm{Hz}$ et $1\ \mathrm{kHz}$ .

Lesquels sont transmis ? Justifier par la bande passante.
Pour le signal à $N_0$ , $U_{Em}=5{,}0\ \mathrm{V}$ : calculer $U_{Sm}$ .

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1. Idée : la bande passante est $[N_b\,;\,N_h]=[450\,;\,550]\ \mathrm{Hz}$ . $470\ \mathrm{Hz}$ est dans la bande : transmis ( $G\geq G_0-3\ \mathrm{dB}$ ). $560\ \mathrm{Hz}$ et $1\ \mathrm{kHz}$ sont hors bande : atténués (non passants) ; $1\ \mathrm{kHz}$ , très loin de $N_0$ , est fortement atténué.

2. Idée : à $N_0$ , $T=T_0$ . $T_0=10^{-1{,}9/20}\approx0{,}80$ , donc $U_{Sm}=T_0U_{Em}=0{,}80\times5{,}0=\boxed{4{,}0\ \mathrm{V}}$ : même à la résonance, ce filtre passif atténue à cause de $r$ .

Méthode / Automatismes

$T=R/Z$ : maximale à la résonance $N_0=1/(2\pi\sqrt{LC})$ , avec $T_0=R/(R+r)$ .
Gain : $G=20\log T$ ; passant $\iff G\geq G_0-3\ \mathrm{dB}$ ; $\Delta N=N_h-N_b$ lue à $-3\ \mathrm{dB}$ .
$Q=N_0/\Delta N=2\pi N_0L/(R+r)$ → $L$ ; puis $C=1/(4\pi^2N_0^2L)$ .
Sélectivité : $Q$ grand $\iff\Delta N$ petit ; augmenter $R$ élargit la bande.

Pièges classiques

Chercher la coupure à $T_0/2$ au lieu de $T_0/\sqrt2$ (soit $-6$ dB au lieu de $-3$ dB) ; oublier $r$ dans $R+r$ ; écrire $Q=\Delta N/N_0$ ; croire que $R$ modifie $N_0$ ; convertir $G_0$ en $T_0$ avec $10^{G_0}$ au lieu de $10^{G_0/20}$ .