Filtre passe-bande RLC série : T maximale à N0, gain en dB, bande passante lue à −3 dB, facteur de qualité, puis r, L et C

1. Idée : définitions. $Q=\dfrac{N_0}{\Delta N}=\dfrac{2000}{200}=\boxed{10}$. Avec $r\ll R_1$ : $T_0=\dfrac{R_1}{R_1+r}\approx\boxed{1}$ (pas de perte hors du conducteur ohmique de sortie).

2. Idée : $Q=2\pi N_0L/R_1$ quand $r$ est négligée. $L=\dfrac{QR_1}{2\pi N_0}=\dfrac{10\times1000}{2\pi\times2000}\approx\boxed{0{,}80\ \mathrm{H}}$ ; $C=\dfrac{1}{4\pi^2N_0^2L}=\dfrac{1}{4\pi^2\times(2000)^2\times0{,}80}\approx7{,}9\times10^{-9}\ \mathrm{F}\approx\boxed{8{,}0\ \mathrm{nF}}$.

1. Idée : la bande passante est $[N_b\,;\,N_h]=[450\,;\,550]\ \mathrm{Hz}$. $470\ \mathrm{Hz}$ est dans la bande : transmis ($G\geq G_0-3\ \mathrm{dB}$). $560\ \mathrm{Hz}$ et $1\ \mathrm{kHz}$ sont hors bande : atténués (non passants) ; $1\ \mathrm{kHz}$, très loin de $N_0$, est fortement atténué.

2. Idée : à $N_0$, $T=T_0$. $T_0=10^{-1{,}9/20}\approx0{,}80$, donc $U_{Sm}=T_0U_{Em}=0{,}80\times5{,}0=\boxed{4{,}0\ \mathrm{V}}$ : même à la résonance, ce filtre passif atténue à cause de $r$.

1. Idée : un filtre passif n'amplifie pas. $(\mathcal C_1)$ garde la valeur maximale $8\ \text{V}$ sur les deux figures : c'est l'entrée, de valeur maximale constante. $(\mathcal C_2)$ a une valeur maximale plus petite ($6{,}4\ \text{V}$ puis $4{,}5\ \text{V}$) qui dépend de $N$ : c'est la sortie $u_S(t)$.

2. Idée : $u_S=Ri$ est l'image du courant. D'après la figure 1, $u_S$ et $u_E$ sont en phase : le courant est en phase avec la tension d'entrée, c'est la résonance d'intensité, qui a lieu à la fréquence propre : $N_1=N_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$. D'où $L=\dfrac{1}{4\pi^2N_0^2C}=\dfrac{1}{4\pi^2\times250^2\times2{,}0\times10^{-6}}\approx\boxed{0{,}20\ \text{H}}$ ($0{,}2026\ \text{H}$).

3. Graphiquement : $T_1=\dfrac{6{,}4}{8}=\boxed{0{,}80}$ et $T_2=\dfrac{4{,}5}{8}\approx\boxed{0{,}56}$. $T=\dfrac{U_{Sm}}{U_{Em}}=\dfrac RZ$ est maximale quand l'impédance $Z$ est minimale, c'est-à-dire à la résonance : $T_0=T_1=0{,}80$.

4. $\dfrac{T_0}{\sqrt2}=\dfrac{0{,}80}{\sqrt2}\approx0{,}566$ et $T_2=0{,}5625$ : $T_2=\frac{T_0}{\sqrt2}$ à la précision de la lecture, donc $N_2$ est une fréquence de coupure. Comme $N_2<N_0$, c'est la coupure basse.

5. Idée : un décalage d'un huitième de période correspond à $\frac\pi4$. Sur la figure 2, la période vaut $5\ \text{ms}$ et le maximum de $u_S$ précède celui de $u_E$ de $0{,}625\ \text{ms}=\frac T8$ : $u_S$ est en avance, donc $\Delta\varphi=\varphi_E-\varphi_S=\boxed{-\dfrac\pi4\ \text{rad}}$ (circuit capacitif, cohérent avec $N_2<N_0$). Avec $\tan\Delta\varphi=-1$ :

$\dfrac{1}{2\pi N_2C}\approx397{,}9\ \Omega$ et $2\pi N_2L\approx254{,}6\ \Omega$ (valeur non arrondie de $L$), d'où $R+r\approx143\ \Omega$. Avec $L$ arrondie à $0{,}20\ \text{H}$ on trouverait $147\ \Omega$ : il faut garder la valeur non arrondie.

6. À la résonance, l'impédance se réduit à $Z_0=R+r$ : $T_0=\dfrac{R}{Z_0}=\dfrac{R}{R+r}$. Donc $R=T_0(R+r)=0{,}80\times143\approx\boxed{114\ \Omega}$ et $r=143-114\approx\boxed{29\ \Omega}$.

7. $\Delta N=\dfrac{N_0}{Q}=\dfrac{R+r}{2\pi L}=\dfrac{143}{2\pi\times0{,}2026}\approx\boxed{112\ \text{Hz}}$ ; la seconde coupure (haute) est $N_3=N_2+\Delta N\approx\boxed{312\ \text{Hz}}$. Contrôle : $\sqrt{N_2N_3}\approx\sqrt{200\times312}\approx250\ \text{Hz}=N_0$.

1. Le filtre n'est formé que de dipôles passifs (condensateur, bobine, conducteur ohmique), sans amplificateur ni source d'énergie : c'est un filtre passif ; d'ailleurs $T\leq1$ sur toute la courbe.

2. Idée : $T_0$ est le sommet de la courbe ; à la résonance, $T_0=\frac{R}{R+r}$. Graphiquement : $\boxed{T_0=0{,}75}$ pour $\boxed{N_0=120\ \text{Hz}}$. De $T_0=\dfrac{R}{R+r}$ : $r=R\left(\dfrac{1}{T_0}-1\right)=150\times\left(\dfrac43-1\right)=\boxed{50\ \Omega}$.

3. $\dfrac{T_0}{\sqrt2}=\dfrac{0{,}75}{\sqrt2}\approx0{,}53$ ; l'horizontale $T=0{,}53$ coupe la courbe en $\boxed{N_1\approx60\ \text{Hz}}$ et $\boxed{N_2\approx240\ \text{Hz}}$. Le filtre est passant entre deux fréquences de coupure : c'est un passe-bande, de bande passante $[60\ \text{Hz}\,;\,240\ \text{Hz}]$.

4. Idée : un filtre est sélectif si sa bande passante est étroite devant $N_0$, c'est-à-dire si $Q>1$. $\Delta N=N_2-N_1\approx180\ \text{Hz}$ et $Q=\dfrac{120}{180}\approx\boxed{0{,}67}$. $Q<1$ : la bande passante est plus large que la fréquence centrale elle-même ($\Delta N>N_0$), le filtre n'est pas sélectif.

5. $\sqrt{60\times240}=\sqrt{14\,400}=120\ \text{Hz}=N_0$, alors que $\frac{N_1+N_2}{2}=150\ \text{Hz}$. Les coupures sont symétriques par rapport à $N_0$ en échelle logarithmique ($\frac{N_0}{N_1}=\frac{N_2}{N_0}=2$), pas en échelle linéaire : tracée en fréquence linéaire, la courbe est dissymétrique, d'autant plus que $Q$ est petit.

6. $L=\dfrac{Q(R+r)}{2\pi N_0}=\dfrac{0{,}67\times200}{2\pi\times120}\approx\boxed{0{,}18\ \text{H}}$ ; puis $C=\dfrac{1}{4\pi^2N_0^2L}\approx\dfrac{1}{4\pi^2\times120^2\times0{,}177}\approx\boxed{1{,}0\times10^{-5}\ \text{F}}$.

1. Idée : lire le sommet, puis tracer l'horizontale $G_0-3\ \text{dB}$. D'après la courbe : $\boxed{G_0\approx-1{,}0\ \text{dB}}$ pour $\boxed{N_0=400\ \text{Hz}}$. L'horizontale $G=-4{,}0\ \text{dB}$ coupe la courbe en $\boxed{N_1\approx362\ \text{Hz}}$ et $\boxed{N_2\approx442\ \text{Hz}}$ (à 2 Hz près). Le filtre n'est passant qu'entre ces deux fréquences de coupure : c'est un filtre passe-bande.

2. $\Delta N=N_2-N_1\approx\boxed{80\ \text{Hz}}$ ; $Q=\dfrac{N_0}{\Delta N}=\dfrac{400}{80}=\boxed{5}$.

3. De $G_0=20\log\dfrac{R}{R+r}$ : $\dfrac{R}{R+r}=10^{G_0/20}=10^{-0{,}05}\approx0{,}89$, donc $R+r\approx\dfrac{71}{0{,}89}\approx80\ \Omega$ et $\boxed{r\approx9\ \Omega}$. Puis $L=\dfrac{Q(R+r)}{2\pi N_0}=\dfrac{5\times80}{2\pi\times400}\approx\boxed{0{,}16\ \text{H}}$ et $C=\dfrac{1}{4\pi^2N_0^2L}\approx\boxed{1{,}0\ \mu\text{F}}$.

4.a $N_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ ne dépend que de $L$ et de $C$ : elle n'est pas modifiée ($400\ \text{Hz}$).

4.b $R'+r=40\ \Omega$ : $G'_0=20\log\dfrac{31}{40}\approx\boxed{-2{,}2\ \text{dB}}$ ; $\Delta N'=\dfrac{N_0}{Q'}=\dfrac{R'+r}{2\pi L}=\dfrac{40}{2\pi\times0{,}159}\approx\boxed{40\ \text{Hz}}$ ; $Q'=\dfrac{N_0}{\Delta N'}=\boxed{10}$.

4.c Idée : la sélectivité se juge à l'étroitesse de la bande passante. $Q'=10>Q=5$ et $\Delta N'$ est deux fois plus petite : le filtre devient plus sélectif. En contrepartie, une plus grande part de la tension se perd dans la résistance $r$ de la bobine : le gain maximal baisse de $-1{,}0\ \text{dB}$ à $-2{,}2\ \text{dB}$ ($T_0$ passe de $0{,}89$ à $0{,}78$).

A.1 Idée : $u_S=Ri$ a la phase du courant. La phase initiale de $u_S$ est nulle, comme celle de $u_E$ : le courant est en phase avec la tension d'entrée, c'est la résonance d'intensité, qui se produit à la fréquence propre $N_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$. Donc $C=\dfrac{1}{4\pi^2N_0^2L}=\dfrac{1}{4\pi^2\times800^2\times0{,}050}\approx\boxed{7{,}9\times10^{-7}\ \text{F}}$.

A.2 $I_{m0}=\dfrac{U_{Sm0}}{R}=\dfrac{4{,}8}{60}=\boxed{0{,}080\ \text{A}}$ ; $Z_0=\dfrac{U_{Em}}{I_{m0}}=\dfrac{6{,}0}{0{,}080}=\boxed{75\ \Omega}$. À la résonance, l'impédance se réduit à la résistance totale : $Z_0=R+r$, d'où $r=75-60=\boxed{15\ \Omega}$.

A.3 $T_0=\dfrac{4{,}8}{6{,}0}=\boxed{0{,}80}$ (c'est bien $\frac{R}{R+r}=\frac{60}{75}$) ; $G_0=20\log0{,}80\approx\boxed{-1{,}9\ \text{dB}}$.

B.1 $T_1=\dfrac{3{,}39}{6{,}0}\approx\boxed{0{,}565}$ et $G_1=20\log0{,}565\approx\boxed{-5{,}0\ \text{dB}}$. $G_1-G_0\approx-3\ \text{dB}$ (ou $T_1\approx\frac{T_0}{\sqrt2}=0{,}566$) : $N_1$ est une fréquence de coupure.

B.2 $\Delta\varphi=\varphi_E-\varphi_S=0-\left(-\frac\pi4\right)=\boxed{+\dfrac\pi4\ \text{rad}}$ : la sortie, donc le courant, est en retard sur l'entrée ; le circuit est inductif ($2\pi N_1L>\frac{1}{2\pi N_1C}$), ce qui n'arrive qu'au-dessus de $N_0$ : $N_1$ est la coupure haute.

B.3 $\tan\frac\pi4=1$, donc $2\pi N_1L-\dfrac{1}{2\pi N_1C}=R+r=75\ \Omega$. Pour $N_1=928\ \text{Hz}$ : $2\pi N_1L\approx291{,}5\ \Omega$ et $\dfrac{1}{2\pi N_1C}\approx216{,}7\ \Omega$, soit une différence d'environ $75\ \Omega$ : la valeur convient.

B.4 $\Delta N=\dfrac{R+r}{2\pi L}=\dfrac{75}{2\pi\times0{,}050}\approx\boxed{239\ \text{Hz}}$ et $Q=\dfrac{N_0}{\Delta N}\approx\boxed{3{,}4}$ : le filtre est sélectif. La coupure basse est $N_b=N_1-\Delta N\approx928-239=\boxed{689\ \text{Hz}}$ (contrôle : $N_b\,N_1\approx800^2$). Le filtre transmet la bande $[689\ \text{Hz}\,;\,928\ \text{Hz}]$ et atténue les fréquences plus basses et plus hautes : c'est un filtre passe-bande.