FI-CFiltres électriques

Deux filtres passe-bas, l'un passif RC, l'autre actif : identifier les courbes T(N), lire T0 et Nc, retrouver R1, R' et C2, décider si un signal est transmis

Idée directrice

Le sujet 2020 met côte à côte un passe-bas passif RC ( $T_0=1$ ) et un passe-bas actif ( $T_0>1$ ) et fournit leurs courbes $T(N)$ . La lecture est mécanique si l'on sait quoi chercher : la courbe qui dépasse $1$ est celle du filtre actif (un filtre passif ne peut pas amplifier) ; $T_0$ est la valeur à $N\to0$ ; la fréquence de coupure est là où $T=T_0/\sqrt2$ . Ensuite $N_c=\dfrac{1}{2\pi RC}$ donne le composant manquant, et pour décider si un signal $u_E(t)=U_{Em}\sin(2\pi Nt)$ est transmis on compare $N$ à $N_c$ puis on calcule $U_{Sm}=T(N)\,U_{Em}$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« définir un filtre électrique » ; « identifier, parmi les courbes, celle qui correspond à l'évolution de la transmittance T2 » ; « déterminer graphiquement les transmittances maximales… les fréquences de coupure » ; « montrer que la fréquence de coupure s'écrit… en déduire la valeur de la résistance » ; « indiquer en le justifiant si cette tension sera transmise ou non »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

$T>1$ quelque part → filtre actif ; RC passif → $T_0=1$ .
Passe-bas : $T_0=T(0)$ ; coupure là où $T=T_0/\sqrt2$ ( $0{,}71\,T_0$ ).
$N_c=1/(2\pi RC)$ pour les deux montages ( $R'$ et $C_2$ pour l'actif) ; $T_{02}=R'/R$ .
Signal $U\sin(\omega t)$ : $N=\omega/2\pi$ ; transmis si $N\leq N_c$ ; $U_{Sm}=T(N)U_{Em}$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Lire $N=400\ \mathrm{Hz}$ dans $\sin(400\pi t)$ (c'est $200\ \mathrm{Hz}$ ) ; chercher la coupure à $T_0/2$ ; utiliser $R$ au lieu de $R'$ dans $N_{c2}$ ; croire qu'un filtre passif peut avoir $T_0>1$ ; oublier de multiplier $T$ par $U_{Em}$ pour obtenir l'amplitude de sortie.

Sujet principal

Exercice 2 — filtres passe-bas (5,25 points), dans l'esprit de la session principale 2020 (Sciences techniques)

5 questionsCorrigé masqué

On réalise deux filtres passe-bas $(F_1)$ et $(F_2)$ : $(F_1)$ est un filtre passif, $(F_2)$ un filtre actif ; on comparera leur bande passante et leur fréquence de coupure. $(F_1)$ est un circuit RC série (résistance $R_1$ , capacité $C_1=0{,}50\ \mu\mathrm{F}$ ), sortie aux bornes du condensateur. $(F_2)$ est construit autour d'un amplificateur opérationnel idéal avec une résistance d'entrée $R=1{,}0\ \mathrm{k\Omega}$ , une résistance de rétroaction $R'$ et un condensateur $C_2$ en parallèle sur $R'$ . Chaque filtre reçoit $u_E(t)$ sinusoïdale d'amplitude $U_{Em}$ constante et de fréquence $N$ réglable ; on mesure les amplitudes de sortie $U_{S1m}$ et $U_{S2m}$ et l'on trace les transmittances $T_1=U_{S1m}/U_{Em}$ et $T_2=U_{S2m}/U_{Em}$ :

$N$ (Hz)	0	100	200	400	800	1200
courbe $(\mathcal C_a)$	1,35	1,31	1,21	0,95	0,60	0,43
courbe $(\mathcal C_b)$	1,00	0,97	0,89	0,71	0,45	0,32

On rappelle qu'un filtre est passant lorsque $T\geq\dfrac{T_0}{\sqrt2}$ , $T_0$ étant la valeur maximale de $T$ , et l'on donne

T_1=\frac{1}{\sqrt{1+(2\pi NR_1C_1)^2}}\qquad T_2=\frac{T_{02}}{\sqrt{1+(2\pi NR'C_2)^2}}\quad\text{avec}\quad T_{02}=\frac{R'}{R}

Définir un filtre électrique. Rappeler la relation entre le gain $G$ et la transmittance $T$ .
Identifier, parmi $(\mathcal C_a)$ et $(\mathcal C_b)$ , celle qui correspond à $T_2$ . Justifier.
Déterminer les valeurs :
1. des transmittances maximales $T_{01}$ et $T_{02}$ ;
2. des fréquences de coupure $N_{c1}$ et $N_{c2}$ .
1. Montrer que $N_{c1}=\dfrac{1}{2\pi R_1C_1}$ . En déduire la valeur de $R_1$ .
2. En déduire la valeur de $R'$ .
3. Déterminer l'expression de $N_{c2}$ et en déduire la valeur de $C_2$ .
On applique à l'entrée de $(F_2)$ la tension $u_E(t)=2\sin(400\pi t)$ ( $u_E$ en V, $t$ en s). Indiquer, en le justifiant, si cette tension est transmise. Déterminer l'amplitude $U_{S2m}$ de la tension de sortie.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : un filtre trie selon la fréquence. Un filtre électrique est un quadripôle qui ne transmet (sans forte atténuation) que les signaux dont la fréquence appartient à un domaine déterminé, sa bande passante, et atténue les autres. Le gain est $G=20\log T$ (en décibels).

2. Idée : seul un filtre actif peut avoir $T>1$ . $(\mathcal C_a)$ atteint $1{,}35>1$ : il y a amplification du signal d'entrée, impossible pour le circuit passif RC dont $T_1\leq1$ . Donc $(\mathcal C_a)$ est $T_2$ (filtre actif) et $(\mathcal C_b)$ est $T_1$ .

3.a Idée : $T_0$ est la valeur à fréquence nulle (pour un passe-bas). $T_{01}=\boxed{1{,}00}$ et $T_{02}=\boxed{1{,}35}$ .

3.b Idée : chercher où $T=T_0/\sqrt2$ . $\dfrac{T_{01}}{\sqrt2}=0{,}71$ et $\dfrac{T_{02}}{\sqrt2}=\dfrac{1{,}35}{1{,}414}=0{,}95$ : ces deux valeurs sont atteintes pour $N=400\ \mathrm{Hz}$ dans le tableau. Donc $N_{c1}=N_{c2}=\boxed{400\ \mathrm{Hz}}$ .

4.a Idée : écrire $T_1(N_{c1})=1/\sqrt2$ . $\dfrac{1}{\sqrt{1+(2\pi N_{c1}R_1C_1)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt2}\iff(2\pi N_{c1}R_1C_1)^2=1\iff N_{c1}=\dfrac{1}{2\pi R_1C_1}$ . D'où $R_1=\dfrac{1}{2\pi N_{c1}C_1}=\dfrac{1}{2\pi\times400\times0{,}50\times10^{-6}}\approx\boxed{796\ \Omega}$ .

4.b Idée : $T_{02}=R'/R$ . $R'=T_{02}R=1{,}35\times1000=\boxed{1{,}35\ \mathrm{k\Omega}}$ .

4.c Idée : même calcul qu'en 4.a avec $R'$ et $C_2$ . $T_2=\dfrac{T_{02}}{\sqrt2}\iff2\pi N_{c2}R'C_2=1\iff N_{c2}=\dfrac{1}{2\pi R'C_2}$ , donc $C_2=\dfrac{1}{2\pi R'N_{c2}}=\dfrac{1}{2\pi\times1350\times400}\approx2{,}9\times10^{-7}\ \mathrm{F}\approx\boxed{0{,}29\ \mu\mathrm{F}}$ .

5. Idée : lire la fréquence dans $2\pi N=400\pi$ , puis comparer à $N_c$ . $N=200\ \mathrm{Hz}<N_{c2}=400\ \mathrm{Hz}$ : la fréquence est dans la bande passante du passe-bas, la tension est transmise. Sa transmittance vaut $T_2(200)=\dfrac{1{,}35}{\sqrt{1+(200/400)^2}}=\dfrac{1{,}35}{\sqrt{1{,}25}}\approx1{,}21$ (valeur du tableau), donc $U_{S2m}=T_2\,U_{Em}=1{,}21\times2=\boxed{2{,}4\ \mathrm{V}}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : oscillogrammes de $u_E$ et $u_S$ à deux fréquences au lieu de courbes $T(N)$ — pour un passif, l'entrée est la courbe de plus grande amplitude ; valeur limite de la capacité pour qu'un signal $N_2$ passe dans un passe-bas : $N_2\le\dfrac{1}{2\pi RC}$ , soit $C\le\dfrac{1}{2\pi RN_2}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill FI-C.1 — dimensionner un passe-bas RC

Entraînement 01 / 02

Drill FI-C.1 — dimensionner un passe-bas RC

2 questionsCorrigé masqué

Un filtre passe-bas RC passif (sortie sur $C$ ) est réalisé avec $R=1{,}0\ \mathrm{k\Omega}$ et $C=100\ \mathrm{nF}$ .

Calculer sa fréquence de coupure $N_c$ .
Calculer $T$ pour $N=2N_c$ et pour $N=N_c/4$ ; dans quel cas le filtre est-il passant ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : $N_c=1/(2\pi RC)$ . $N_c=\dfrac{1}{2\pi\times1000\times100\times10^{-9}}\approx\boxed{1{,}6\ \mathrm{kHz}}$ .

2. Idée : $T=1/\sqrt{1+(N/N_c)^2}$ . À $2N_c$ : $T=\dfrac{1}{\sqrt5}\approx0{,}45<0{,}71$ , non passant. À $N_c/4$ : $T=\dfrac{1}{\sqrt{1+1/16}}\approx0{,}97\geq0{,}71$ , passant.

2 Drill FI-C.2 — lire T0 et Nc dans un tableau

Entraînement 02 / 02

Drill FI-C.2 — lire T0 et Nc dans un tableau

2 questionsCorrigé masqué

Pour un filtre passe-bas, on relève :

$N$ (Hz)	0	500	1000	2000	4000
$T$	3,0	2,9	2,7	2,1	1,3

Le filtre est-il actif ou passif ? Donner $T_0$ .
Encadrer la fréquence de coupure par deux valeurs du tableau, puis la calculer sachant que $T=\dfrac{T_0}{\sqrt{1+(N/N_c)^2}}$ et $T(2000)=2{,}1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : $T>1$ . $T_0=3{,}0>1$ : filtre actif.

2. Idée : chercher $T_0/\sqrt2=2{,}1$ . $2{,}1$ est atteint à $N=2000\ \mathrm{Hz}$ : $N_c\approx2{,}0\ \mathrm{kHz}$ (entre 1000 et 4000 Hz, et exactement là où $T=2{,}12$ ). Vérification : $\dfrac{3{,}0}{\sqrt{1+1}}=2{,}12$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Deux filtres passe-bas, l'un passif RC, l'autre actif : identifier les courbes T(N), lire T0 et Nc, retrouver R1, R' et C2, décider si un signal est transmis

Exercice 2 — filtres passe-bas (5,25 points), dans l'esprit de la session principale 2020 (Sciences techniques)

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill FI-C.1 — dimensionner un passe-bas RC

Drill FI-C.2 — lire T0 et Nc dans un tableau

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