FI-FFiltres électriques

Du RLC série forcé au filtre passe-bande : oscillogrammes $u$ et $u_C$ , résonance d'intensité, $C$ , $L$ , $r$ , puis courbe $U_{Rm}(N)$ , bande passante, facteur de qualité et effet de $R$

Idée directrice

L'épreuve étudie souvent le même circuit RLC série deux fois. D'abord en régime sinusoïdal forcé, à une fréquence où les oscillogrammes de $u$ et de $u_C$ sont en quadrature : le courant, en avance de $\frac\pi2$ sur $u_C$ , est alors en phase avec $u$ — c'est la résonance d'intensité, d'où $C=\frac{I_m}{2\pi N_0U_{Cm}}$ , $L$ par $4\pi^2N_0^2LC=1$ et $r$ par $U_m=(R+r)I_m$ . Puis on prend la sortie aux bornes de $R$ : le circuit devient un filtre passe-bande de transmittance maximale $T_0=\frac{R}{R+r}$ à $N_0$ ; sur la courbe $U_{Rm}(N)$ on lit $N_0$ , les coupures à $\frac{U_{Rm0}}{\sqrt2}$ , la bande passante $\Delta N$ et le facteur de qualité $Q=\frac{N_0}{\Delta N}$ , qui doit redonner les valeurs de la première partie.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Représenter les branchements d'un oscilloscope permettant de visualiser simultanément $u(t)$ et $u_C(t)$ » ; « justifier que le circuit est en état de résonance d'intensité » ; « déterminer les valeurs de $C$ , $L$ et $r$ » ; « attribuer le ou les qualificatifs : linéaire, passif, actif » ; « en exploitant la courbe $U_{Rm}(N)$ , déterminer $N_0$ et $\Delta N$ » ; « on fait augmenter la valeur de la résistance $R$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Masse commune : le dipôle dont on veut la tension sur $Y_2$ doit avoir une borne commune avec le GBF.
Quadrature $u$ / $u_C$ ( $u_C$ en retard de $\frac\pi2$ ) ⟹ $i$ en phase avec $u$ ⟹ résonance d'intensité, $N_1=N_0$ .
À la résonance : $I_m=I\sqrt2$ ; $C=\frac{I_m}{2\pi N_0U_{Cm}}$ ; $L=\frac{1}{4\pi^2N_0^2C}$ ; $r=\frac{U_m}{I_m}-R$ .
Filtre (sortie sur $R$ ) : $T=\frac RZ$ , $T_0=\frac{R}{R+r}$ ; coupures à $\frac{U_{Rm0}}{\sqrt2}$ ; $Q=\frac{N_0}{\Delta N}=\frac{2\pi N_0L}{R+r}=\frac{U_{Cm}}{U_m}$ .
Augmenter $R$ : $N_0$ fixe, $Q$ diminue, $\Delta N$ augmente.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Prendre l'indication de l'ampèremètre (valeur efficace) pour l'amplitude $I_m$ ; chercher les coupures à $\frac{U_m}{\sqrt2}$ au lieu de $\frac{U_{Rm0}}{\sqrt2}$ (le filtre passif atténue déjà à la résonance) ; oublier $r$ dans $Z_0=R+r$ ; identifier $u_C$ par sa seule amplitude, alors que hors résonance elle peut être plus petite que $U_m$ ; croire qu'augmenter $R$ déplace $N_0$ .

Sujet principal

Exercice 2 — du circuit RLC forcé au filtre passe-bande (6 points), dans l'esprit des sessions principales 2025 et 2026 (Sciences techniques)

8 questionsFigure fournieCorrigé masqué

On réalise un circuit série comportant, dans l'ordre : un générateur basses fréquences (GBF) délivrant une tension $u(t)=U_m\sin(2\pi Nt)$ de valeur maximale $U_m$ constante et de fréquence $N$ réglable, un ampèremètre $(A)$ de résistance négligeable, un conducteur ohmique de résistance $R=40\ \Omega$ , une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ , et un condensateur de capacité $C$ dont une borne est reliée à la borne $M$ du GBF.

I- Étude en régime forcé. On dispose d'un oscilloscope bicourbe dont la masse est commune aux deux voies. Pour une valeur $N_1$ de la fréquence du GBF, l'ampèremètre indique $I_1=56{,}6\ \text{mA}$ et on obtient les oscillogrammes $(\mathcal C_1)$ et $(\mathcal C_2)$ de la figure 1.

Indiquer les branchements de l'oscilloscope (masse, voie $Y_1$ , voie $Y_2$ ) permettant de visualiser simultanément la tension $u(t)$ délivrée par le GBF sur la voie $Y_1$ et la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur sur la voie $Y_2$ .
Exploitation des oscillogrammes.
1. Identifier, en le justifiant, la courbe qui correspond à $u_C(t)$ .
2. Déterminer graphiquement les valeurs maximales $U_m$ et $U_{Cm}$ , la fréquence $N_1$ et le déphasage $\Delta\varphi=\varphi_u-\varphi_{u_C}$ .
3. Justifier que le circuit est en état de résonance d'intensité pour la fréquence $N_1$ .
Déterminer les valeurs de la capacité $C$ , de l'inductance $L$ et de la résistance $r$ .

II- Étude en filtre. On garde les mêmes composants et la même valeur maximale $U_m$ : la tension d'entrée est celle du GBF et la tension de sortie, de valeur maximale $U_{Rm}$ , est recueillie aux bornes du conducteur ohmique. En faisant varier $N$ , on trace la courbe $U_{Rm}(N)$ de la figure 2. On rappelle que la bande passante est l'ensemble des fréquences pour lesquelles $U_{Rm}\geq\dfrac{U_{Rm0}}{\sqrt2}$ , $U_{Rm0}$ étant la valeur de $U_{Rm}$ à la résonance d'intensité, et que le facteur de qualité s'écrit $Q=\dfrac{N_0}{\Delta N}=\dfrac{2\pi N_0L}{R+r}$ .

Attribuer, en le justifiant, le ou les qualificatifs qui conviennent à ce filtre parmi : linéaire, passif, actif.
Exprimer la transmittance $T$ du filtre en fonction de $R$ , $r$ , $L$ , $C$ et $N$ ; en déduire que sa valeur maximale est $T_0=\dfrac{R}{R+r}$ et la calculer.
En exploitant la courbe de la figure 2 :
1. déterminer $N_0$ et $U_{Rm0}$ , et vérifier leur cohérence avec la partie I ;
2. déterminer la fréquence de coupure basse $N_b$ et la fréquence de coupure haute $N_h$ , puis la largeur $\Delta N$ de la bande passante ; préciser la nature (passe-bas, passe-haut ou passe-bande) du filtre.
Calculer le facteur de qualité $Q$ et le comparer au rapport $\dfrac{U_{Cm}}{U_m}$ de la partie I. Recalculer $L$ à partir de $Q$ .
On augmente la valeur de la résistance $R$ . Préciser, en le justifiant et sans calcul, si chacune des grandeurs $N_0$ , $Q$ et $\Delta N$ est modifiée.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

I.1 Idée : les deux voies ont une masse commune ; le GBF et le condensateur doivent donc avoir une borne commune — c'est le cas ici (borne $M$ ). Masse de l'oscilloscope au point $M$ , commun au GBF et au condensateur ; voie $Y_1$ à l'autre borne du GBF : elle visualise $u(t)$ ; voie $Y_2$ au point commun au condensateur et à la bobine : elle visualise $u_C(t)$ .

I.2.a Idée : $u(t)=U_m\sin(2\pi Nt)$ est nulle et croissante à $t=0$ . $(\mathcal C_1)$ est nulle et croissante à $t=0$ : c'est $u(t)$ . $(\mathcal C_2)$ , qui vaut $-16\ \text{V}$ à $t=0$ et atteint son maximum un quart de période après $(\mathcal C_1)$ , correspond donc à $u_C(t)$ .

I.2.b Graphiquement : $U_m=\boxed{4\ \text{V}}$ (une division) et $U_{Cm}=\boxed{16\ \text{V}}$ (quatre divisions). La période vaut $1\ \text{ms}$ (quatre carreaux de $0{,}25\ \text{ms}$ ), donc $N_1=\boxed{1{,}0\times10^3\ \text{Hz}}$ . $u_C$ atteint son maximum $\frac T4$ après $u$ : elle est en retard de $\frac\pi2$ , et $\Delta\varphi=\varphi_u-\varphi_{u_C}=\boxed{+\dfrac\pi2\ \text{rad}}$ .

I.2.c Idée : comparer la phase du courant à celle de $u$ . $i=C\frac{du_C}{dt}$ est en avance de $\frac\pi2$ sur $u_C$ . Comme $u$ est aussi en avance de $\frac\pi2$ sur $u_C$ , $i$ et $u$ sont en phase : le circuit est en état de résonance d'intensité, et $N_1$ est la fréquence propre $N_0$ du circuit.

I.3 L'ampèremètre indique la valeur efficace : $I_m=I_1\sqrt2=56{,}6\times10^{-3}\times\sqrt2\approx0{,}080\ \text{A}$ . Idée : à la résonance, $U_{Cm}=\frac{I_m}{2\pi N_0C}$ . $C=\dfrac{I_m}{2\pi N_0U_{Cm}}=\dfrac{0{,}080}{2\pi\times1000\times16}\approx\boxed{8{,}0\times10^{-7}\ \text{F}}$ . La résonance impose $4\pi^2N_0^2LC=1$ : $L=\dfrac{1}{4\pi^2N_0^2C}\approx\boxed{3{,}2\times10^{-2}\ \text{H}}$ . Enfin, l'impédance se réduit à $R+r$ : $U_m=(R+r)I_m$ , d'où $r=\dfrac{U_m}{I_m}-R=\dfrac{4}{0{,}080}-40=\boxed{10\ \Omega}$ .

II.1 Le filtre est linéaire : à une entrée sinusoïdale de fréquence $N$ , il répond par une sortie sinusoïdale de même fréquence ; seules l'amplitude et la phase changent. Il est passif : il ne contient que des dipôles passifs (conducteur ohmique, bobine, condensateur), sans source d'énergie ; d'ailleurs $U_{Rm}\leq U_{Rm0}<U_m$ . Il n'est donc pas actif.

II.2 Idée : le même courant traverse tout le circuit. $U_{Rm}=RI_m$ et $U_m=ZI_m$ , $Z$ étant l'impédance du circuit, donc $T=\dfrac{U_{Rm}}{U_m}=\dfrac RZ$ , avec :

Z=\sqrt{(R+r)^2+\left(2\pi NL-\frac{1}{2\pi NC}\right)^2}

$T$ est maximale quand $Z$ est minimale, c'est-à-dire à la résonance d'intensité ( $2\pi N_0L=\frac{1}{2\pi N_0C}$ ), où $Z=R+r$ : $T_0=\dfrac{R}{R+r}=\dfrac{40}{50}=\boxed{0{,}80}$ .

II.3.a D'après la courbe de la figure 2, le maximum est atteint pour $\boxed{N_0=1{,}0\times10^3\ \text{Hz}}$ , avec $\boxed{U_{Rm0}=3{,}2\ \text{V}}$ . Cohérence : $N_0=N_1$ (résonance de la partie I) et $U_{Rm0}=RI_m=40\times0{,}080=3{,}2\ \text{V}$ ; on retrouve aussi $T_0=\frac{3{,}2}{4}=0{,}80$ .

II.3.b Idée : tracer l'horizontale $U_{Rm}=\frac{U_{Rm0}}{\sqrt2}$ . $\dfrac{3{,}2}{\sqrt2}\approx2{,}26\ \text{V}$ ; cette horizontale coupe la courbe en $N_b\approx\boxed{880\ \text{Hz}}$ et $N_h\approx\boxed{1130\ \text{Hz}}$ (lectures à quelques hertz près), d'où $\Delta N=N_h-N_b\approx\boxed{250\ \text{Hz}}$ . Le filtre ne transmet qu'une bande de fréquences limitée de part et d'autre de $N_0$ : c'est un filtre passe-bande.

II.4 $Q=\dfrac{N_0}{\Delta N}=\dfrac{1000}{250}=\boxed{4}$ , égal au rapport $\dfrac{U_{Cm}}{U_m}=\dfrac{16}{4}=4$ de la partie I : le facteur de qualité est aussi le facteur de surtension. De $Q=\dfrac{2\pi N_0L}{R+r}$ : $L=\dfrac{Q(R+r)}{2\pi N_0}=\dfrac{4\times50}{2\pi\times1000}\approx\boxed{3{,}2\times10^{-2}\ \text{H}}$ , la valeur trouvée en I.3.

II.5 Idée : repérer où $R$ intervient. $N_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ ne dépend pas de $R$ : elle est inchangée. $Q=\dfrac{2\pi N_0L}{R+r}$ diminue. $\Delta N=\dfrac{N_0}{Q}=\dfrac{R+r}{2\pi L}$ augmente : la bande passante s'élargit et le filtre devient moins sélectif.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : même circuit visualisé avec $u$ et $u_C$ , puis courbe $U_{Rm}(N)$ en annexe (principale 2025, Sciences techniques) ; courbe $I(N)$ , circuit capacitif à $N_1<N_0$ , puis $N_1$ reconnue comme coupure basse (principale 2026, Sciences techniques) ; sortie en phase avec l'entrée à $N_0$ , puis coupure haute lue sur deux oscillogrammes et sur $G(N)$ (contrôle 2020, Sciences de l'informatique) ; filtre CR passe-haut, puis RLC dont les tensions sont en phase à l'oscilloscope, $Q<1$ (contrôle 2018, Sciences de l'informatique) ; résonance d'intensité, puis $T(N)$ , $T_0$ et $Q$ (contrôle 2015, Sciences techniques).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill FI-F.1 — courbe

I(N)

: résonance, circuit capacitif à

N_1<N_0

, puis

N_1

coupure basse du filtre passe-bande

Entraînement 01 / 01

Drill FI-F.1 — courbe $I(N)$ : résonance, circuit capacitif à $N_1<N_0$ , puis $N_1$ coupure basse du filtre passe-bande

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un circuit série comporte un GBF délivrant une tension $u(t)=U\sqrt2\sin(2\pi Nt)$ de valeur efficace $U=3{,}0\ \text{V}$ constante et de fréquence $N$ réglable, un ampèremètre, un conducteur ohmique de résistance $R_1$ inconnue, une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ , et un condensateur de capacité $C=1{,}0\ \mu\text{F}$ . En faisant varier $N$ , on relève l'intensité efficace $I$ indiquée par l'ampèremètre et on trace la courbe $I(N)$ ci-dessous.

Exploitation de la courbe.
1. Déterminer la valeur maximale $I_0$ de l'intensité efficace et la fréquence $N_0$ correspondante.
2. Nommer le phénomène dont le circuit est le siège pour $N=N_0$ .
3. Déterminer l'inductance $L$ de la bobine.
4. Montrer que $R_1+r=100\ \Omega$ .
Pour $N_1=353\ \text{Hz}$ , un voltmètre branché aux bornes du conducteur ohmique indique $U_1=1{,}91\ \text{V}$ .
1. Préciser si le circuit est capacitif, résistif ou inductif à cette fréquence. Justifier.
2. Lire l'intensité $I_1$ à cette fréquence ; en déduire $R_1$ , puis $r$ .
Ce circuit est un filtre passe-bande : l'entrée est la tension du GBF, la sortie celle du conducteur ohmique. Son facteur de qualité s'écrit $Q=\dfrac{1}{2\pi N_0(R_1+r)C}$ ; il est passant lorsque sa transmittance $T=\dfrac{U_{R_1}}{U}$ vérifie $T\geq\dfrac{T_0}{\sqrt2}$ .
1. Préciser, en le justifiant, s'il s'agit d'un filtre passif ou actif.
2. Calculer $Q$ et justifier que ce filtre est sélectif.
3. Montrer que $N_1$ est la fréquence de coupure basse du filtre (on prendra $\frac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707$ ).
4. Déterminer graphiquement la fréquence de coupure haute $N_2$ et la largeur $\Delta N$ de la bande passante.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Graphiquement, le sommet de la courbe donne $\boxed{I_0=30\ \text{mA}}$ pour $\boxed{N_0=400\ \text{Hz}}$ .

1.b L'intensité efficace est maximale : le circuit est le siège d'une résonance d'intensité.

1.c À la résonance, $4\pi^2N_0^2LC=1$ : $L=\dfrac{1}{4\pi^2\times400^2\times1{,}0\times10^{-6}}\approx\boxed{0{,}16\ \text{H}}$ .

1.d À la résonance, l'impédance vaut $R_1+r$ ; la loi d'Ohm en valeurs efficaces donne $U=(R_1+r)I_0$ , d'où $R_1+r=\dfrac{3{,}0}{0{,}030}=100\ \Omega$ .

2.a Idée : en dessous de $N_0$ , la réactance du condensateur l'emporte. $N_1<N_0$ : $\dfrac{1}{2\pi N_1C}\approx451\ \Omega$ est supérieure à $2\pi N_1L\approx355\ \Omega$ (avec $L\approx0{,}16\ \text{H}$ ), le circuit est capacitif.

2.b Sur la courbe, pour $N_1=353\ \text{Hz}$ , on lit $I_1\approx21{,}2\ \text{mA}$ (un peu au-dessus de la ligne 21 mA). $R_1=\dfrac{U_1}{I_1}=\dfrac{1{,}91}{0{,}0212}\approx\boxed{90\ \Omega}$ et $r=(R_1+r)-R_1\approx\boxed{10\ \Omega}$ (une lecture arrondie à 21 mA donnerait 91 Ω et 9 Ω, écart dans la précision du graphe).

3.a Le filtre ne contient que des dipôles passifs (conducteur ohmique, bobine, condensateur), sans source d'énergie ni amplificateur : c'est un filtre passif ; sa transmittance ne dépasse jamais 1.

3.b $Q=\dfrac{1}{2\pi\times400\times100\times1{,}0\times10^{-6}}\approx\boxed{4{,}0}$ ; $Q>1$ : la bande passante $\Delta N=\frac{N_0}{Q}$ est nettement plus étroite que $N_0$ , le filtre est sélectif.

3.c Idée : $T=\frac{R_1I}{U}$ est proportionnelle à $I$ , donc maximale à $N_0$ . $T_0=\dfrac{R_1I_0}{U}=\dfrac{R_1}{R_1+r}=0{,}90$ et $\dfrac{T_0}{\sqrt2}\approx0{,}707\times0{,}90\approx0{,}636$ . À $N_1$ : $T(N_1)=\dfrac{U_1}{U}=\dfrac{1{,}91}{3{,}0}\approx0{,}637$ . La condition de coupure est vérifiée et $N_1<N_0$ : $N_1$ est la fréquence de coupure basse.

3.d Idée : $T$ proportionnelle à $I$ , donc les coupures sont là où $I=\frac{I_0}{\sqrt2}\approx21{,}2\ \text{mA}$ . Cette horizontale recoupe la branche décroissante de la courbe en $\boxed{N_2\approx453\ \text{Hz}}$ (contrôle : $\frac{N_0^2}{N_1}=\frac{400^2}{353}\approx453\ \text{Hz}$ ). $\Delta N=N_2-N_1\approx\boxed{100\ \text{Hz}}$ , en accord avec $\frac{N_0}{Q}$ .

Relier ce raisonnement au bac

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Du RLC série forcé au filtre passe-bande : oscillogrammes $u$ et $u_C$ , résonance d'intensité, $C$ , $L$ , $r$ , puis courbe $U_{Rm}(N)$ , bande passante, facteur de qualité et effet de $R$

Exercice 2 — du circuit RLC forcé au filtre passe-bande (6 points), dans l'esprit des sessions principales 2025 et 2026 (Sciences techniques)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill FI-F.1 — courbe $I(N)$ : résonance, circuit capacitif à $N_1<N_0$ , puis $N_1$ coupure basse du filtre passe-bande

Relier ce raisonnement au bac

Du RLC série forcé au filtre passe-bande : oscillogrammes uuu et uCu_CuC​, résonance d'intensité, CCC, LLL, rrr, puis courbe URm(N)U_{Rm}(N)URm​(N), bande passante, facteur de qualité et effet de RRR

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Du RLC série forcé au filtre passe-bande : oscillogrammes $u$ et $u_C$ , résonance d'intensité, $C$ , $L$ , $r$ , puis courbe $U_{Rm}(N)$ , bande passante, facteur de qualité et effet de $R$