FI-EFiltres électriques

Filtre RC passif : de l'équation différentielle à $T$ et $G$ par Fresnel, nature par les limites, $N_c=\frac{1}{2\pi RC}$ lue à −3 dB sur une courbe semi-logarithmique, signaux transmis, valeur limite de $R$ , permutation R–C

Idée directrice

Le quadripôle R–C des épreuves de Sciences techniques et de Sciences de l'informatique se traite par une même chaîne, dont chaque sujet reprend tout ou partie : loi des mailles → équation différentielle en $u_S$ ; construction de Fresnel (deux vecteurs perpendiculaires) → $T=\dfrac{1}{\sqrt{1+(2\pi NRC)^2}}$ et $G=-10\log[1+(2\pi NRC)^2]$ quand la sortie est prise aux bornes du condensateur ; les limites $N\to0$ et $N\to\infty$ donnent la nature (passe-bas ici, passe-haut si la sortie est aux bornes de $R$ ) ; la condition « passant » $T\geq\frac{T_0}{\sqrt2}$ , c'est-à-dire $G\geq G_0-3\ \text{dB}$ , donne $N_c=\dfrac{1}{2\pi RC}$ , que l'on lit à −3 dB sur une courbe $G(N)$ en échelle semi-logarithmique pour en tirer $R$ ou $C$ . On décide enfin quels signaux passent et comment régler $R$ pour en faire passer un autre.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Définir un filtre électrique » ; « justifier pourquoi le filtre est qualifié de linéaire » ; « établir l'équation différentielle régissant $u_S(t)$ » ; « montrer que la transmittance s'écrit $T=\frac{1}{\sqrt{1+(2\pi NRC)^2}}$ » ; « déterminer graphiquement la fréquence de coupure à −3 dB et en déduire la bande passante » ; « préciser celui qui sera transmis par le filtre » ; « valeur limite de la résistance permettant la transmission des deux signaux » ; « en permutant les positions des deux dipôles »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Loi des mailles → équation différentielle ; Fresnel : deux vecteurs perpendiculaires, Pythagore → $T$ ; puis $G=20\log T$ .
Nature : limites de $T$ pour $N\to0$ et $N\to\infty$ (sortie aux bornes de $C$ : passe-bas ; aux bornes de $R$ : passe-haut).
Passant $\iff T\geq\frac{T_0}{\sqrt2}\iff G\geq G_0-3\ \text{dB}$ ; pour un RC passif, $T_0=1$ , $G_0=0$ et $N_c=\frac{1}{2\pi RC}$ dans les deux montages.
Semi-log : repérer la décade, puis la graduation (2, 3, 5…) ; la coupure se lit à l'intersection avec l'horizontale $G_0-3\ \text{dB}$ .
Valeur limite : écrire l'inégalité sur $N_c$ imposée par le signal à transmettre, puis l'inverser en $R$ (ou en $C$ ) — le sens dépend de la nature du filtre.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Lire la coupure à $-3\ \text{dB}$ alors que $G_0\neq0$ (il faut $G_0-3\ \text{dB}$ ) ; lire l'échelle logarithmique comme une échelle linéaire (la graduation 5 de $[10^2\,;10^3]$ vaut 500 Hz, pas 550 Hz) ; donner l'amplitude $U_{Sm}$ quand on demande l'indication d'un voltmètre (valeur efficace) ; se tromper de sens dans l'inégalité sur $R$ : augmenter $R$ abaisse $N_c$ , ce qui rétrécit la bande d'un passe-bas mais élargit celle d'un passe-haut ; croire que permuter R et C change la fréquence de coupure.

Sujet principal

Exercice 2 — filtre RC passif (5,5 points), dans l'esprit des sessions 2021–2026 (Sciences techniques et Sciences de l'informatique)

7 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Le filtre électrique $(F)$ est un quadripôle formé d'un conducteur ohmique de résistance $R$ inconnue, monté en série entre la borne d'entrée et la borne de sortie, et d'un condensateur de capacité $C=0{,}47\ \mu\text{F}$ branché en dérivation à la sortie : la tension de sortie $u_S(t)$ est prise aux bornes du condensateur.

Un générateur basses fréquences (GBF) applique à l'entrée la tension $u_E(t)=U_{Em}\sin(2\pi Nt)$ , d'amplitude $U_{Em}=5{,}0\ \text{V}$ constante et de fréquence $N$ réglable ; la tension de sortie s'écrit $u_S(t)=U_{Sm}\sin(2\pi Nt+\varphi_S)$ . On note $T=\dfrac{U_{Sm}}{U_{Em}}$ la transmittance et $G=20\log T$ le gain du filtre.

La figure 1 représente, sur papier semi-logarithmique, deux courbes de gain $(\mathcal C_1)$ et $(\mathcal C_2)$ en fonction de la fréquence : l'une est celle du filtre $(F)$ , l'autre celle du filtre $(F')$ obtenu en permutant, dans $(F)$ , le conducteur ohmique et le condensateur.

Généralités.
1. Définir un filtre électrique.
2. Préciser, en le justifiant, si le filtre $(F)$ est actif ou passif.
3. Justifier que le filtre $(F)$ est qualifié de « linéaire ».
Étude théorique.
1. Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension de sortie $u_S(t)$ .
2. À l'aide de la construction de Fresnel relative à cette équation (sans échelle), montrer que la transmittance s'écrit $T=\dfrac{1}{\sqrt{1+(2\pi NRC)^2}}$ .
3. En déduire que le gain s'écrit $G=-10\log\left[1+(2\pi NRC)^2\right]$ .
Nature du filtre.
1. Préciser les limites de $T$ lorsque $N$ tend vers $0$ et lorsque $N$ tend vers l'infini. En déduire la nature du filtre $(F)$ : passe-bas, passe-haut ou passe-bande.
2. Identifier, en le justifiant, la courbe de la figure 1 qui correspond au filtre $(F)$ .
Fréquence de coupure.
1. On rappelle que le filtre est passant lorsque $T\geq\dfrac{T_0}{\sqrt2}$ , $T_0$ étant la valeur maximale de $T$ . Montrer que cette condition s'écrit $G\geq G_0-3\ \text{dB}$ et préciser la valeur de $G_0$ .
2. En déduire que la fréquence de coupure du filtre $(F)$ s'écrit $N_c=\dfrac{1}{2\pi RC}$ .
3. Déterminer graphiquement la valeur de $N_c$ et en déduire la bande passante du filtre $(F)$ .
4. Calculer la valeur de la résistance $R$ .
Pour $N=N_c$ , calculer l'amplitude $U_{Sm}$ de la tension de sortie, puis l'indication d'un voltmètre branché à la sortie du filtre.
Signaux transmis.
1. On applique successivement à l'entrée de $(F)$ deux signaux sinusoïdaux de fréquences $N_1=300\ \text{Hz}$ et $N_2=2{,}0\ \text{kHz}$ . Préciser, en le justifiant, celui qui est transmis par le filtre.
2. On remplace le conducteur ohmique de $(F)$ par un conducteur ohmique de résistance $R'$ réglable, sans changer le condensateur. Déterminer la valeur limite $R'_\ell$ de $R'$ permettant la transmission des deux signaux précédents.
On revient à la résistance $R$ et on réalise le filtre $(F')$ en permutant le conducteur ohmique et le condensateur. Préciser, sans calcul, la nature de $(F')$ et la valeur de sa fréquence de coupure, puis indiquer lequel des deux signaux de la question 6.a il transmet.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Un filtre électrique est un quadripôle qui transmet, sans les atténuer notablement, les signaux dont la fréquence appartient à un domaine déterminé — sa bande passante — et qui atténue fortement les autres.

1.b Idée : un filtre actif contient un composant alimenté (amplificateur opérationnel). $(F)$ n'est formé que d'un conducteur ohmique et d'un condensateur, deux dipôles passifs : le filtre est passif ; il n'amplifie jamais ( $U_{Sm}\leq U_{Em}$ ).

1.c Le conducteur ohmique ( $u_R=Ri$ ) et le condensateur ( $i=C\frac{du_C}{dt}$ ) obéissent à des relations linéaires à coefficients constants : à une entrée sinusoïdale de fréquence $N$ , le filtre répond par une sortie sinusoïdale de même fréquence ; seules l'amplitude et la phase changent. Le filtre est linéaire.

2.a Idée : loi des mailles, puis courant exprimé avec la tension du condensateur. D'après la loi des mailles, $u_E=u_R+u_S$ , avec $u_R=Ri$ et $i=C\dfrac{du_S}{dt}$ puisque la sortie est la tension du condensateur :

\boxed{RC\,\frac{du_S}{dt}+u_S=u_E}

2.b Idée : à chaque terme on associe un vecteur de Fresnel ; les deux vecteurs du premier membre sont perpendiculaires. $u_S\to\overrightarrow{V_1}\,[U_{Sm}\,;\,\varphi_S]$ ; $RC\frac{du_S}{dt}\to\overrightarrow{V_2}\,[2\pi NRC\,U_{Sm}\,;\,\varphi_S+\frac\pi2]$ ; $u_E\to\overrightarrow{V}\,[U_{Em}\,;\,0]$ , avec $\overrightarrow{V_1}+\overrightarrow{V_2}=\overrightarrow{V}$ . $\overrightarrow{V_2}$ étant en avance de $\frac\pi2$ sur $\overrightarrow{V_1}$ , le triangle est rectangle ; le théorème de Pythagore donne :

U_{Em}^2=U_{Sm}^2\left[1+(2\pi NRC)^2\right]

T=\frac{U_{Sm}}{U_{Em}}=\frac{1}{\sqrt{1+(2\pi NRC)^2}}

2.c $G=20\log T=-20\log\sqrt{1+(2\pi NRC)^2}$ , soit $\boxed{G=-10\log\left[1+(2\pi NRC)^2\right]}$ .

3.a Idée : comportement aux basses et aux hautes fréquences. Si $N\to0$ , $(2\pi NRC)^2\to0$ et $T\to1$ : les basses fréquences sont transmises. Si $N\to\infty$ , $T\to0$ : les hautes fréquences sont éliminées. $(F)$ est un filtre passe-bas (aux hautes fréquences, l'impédance $\frac{1}{2\pi NC}$ du condensateur devient très faible et court-circuite la sortie).

3.b Idée : un passe-bas a un gain nul (0 dB) aux basses fréquences, décroissant ensuite. D'après les courbes de la figure 1, $(\mathcal C_2)$ vaut 0 dB aux basses fréquences et décroît quand $N$ augmente : c'est la courbe du filtre $(F)$ . $(\mathcal C_1)$ , croissante, est celle du passe-haut $(F')$ .

4.a Idée : passer de $T$ à $G$ par $20\log$ , fonction croissante. $T\geq\frac{T_0}{\sqrt2}\iff20\log T\geq20\log T_0-20\log\sqrt2$ , soit $G\geq G_0-3\ \text{dB}$ car $20\log\sqrt2\approx3{,}0$ . Ici $T_0=1$ (limite aux basses fréquences), donc $\boxed{G_0=0\ \text{dB}}$ : le filtre est passant pour $G\geq-3\ \text{dB}$ .

4.b À la coupure, $T=\frac{1}{\sqrt2}$ : $1+(2\pi N_cRC)^2=2$ , d'où $2\pi N_cRC=1$ et $\boxed{N_c=\dfrac{1}{2\pi RC}}$ . Pour $N\leq N_c$ , on a bien $G\geq-3\ \text{dB}$ .

4.c Idée : tracer l'horizontale $G=-3\ \text{dB}$ et lire l'abscisse de son intersection avec $(\mathcal C_2)$ sur l'échelle logarithmique. Graphiquement, cette horizontale coupe $(\mathcal C_2)$ sur la graduation 5 de la décade $[10^2\,;10^3]$ : $\boxed{N_c=500\ \text{Hz}}$ . Bande passante du passe-bas : $[0\,;\,500\ \text{Hz}]$ .

4.d $R=\dfrac{1}{2\pi N_cC}=\dfrac{1}{2\pi\times500\times0{,}47\times10^{-6}}\approx\boxed{6{,}8\times10^2\ \Omega}$ (677 Ω).

5. À $N_c$ , $T=\frac{1}{\sqrt2}$ : $U_{Sm}=\dfrac{U_{Em}}{\sqrt2}=\dfrac{5{,}0}{\sqrt2}\approx\boxed{3{,}5\ \text{V}}$ . Un voltmètre indique la valeur efficace : $U_S=\dfrac{U_{Sm}}{\sqrt2}=\dfrac{U_{Em}}{2}=\boxed{2{,}5\ \text{V}}$ .

6.a Idée : comparer chaque fréquence à $N_c$ . $N_1=300\ \text{Hz}<N_c$ : $N_1$ appartient à la bande passante, le signal est transmis ( $G=-10\log1{,}36\approx-1{,}3\ \text{dB}\geq-3\ \text{dB}$ ). $N_2=2{,}0\ \text{kHz}>N_c$ : $G=-10\log17\approx-12\ \text{dB}$ , le signal est fortement atténué, non transmis.

6.b Idée : pour un passe-bas, transmettre $N_2$ exige $N_c\geq N_2$ ; or $N_c$ diminue quand la résistance augmente. $\dfrac{1}{2\pi R'C}\geq N_2\iff R'\leq\dfrac{1}{2\pi N_2C}=\dfrac{1}{2\pi\times2000\times0{,}47\times10^{-6}}$ , soit $\boxed{R'_\ell\approx1{,}7\times10^2\ \Omega}$ : il faut $R'\leq169\ \Omega$ . Le signal de 300 Hz reste transmis, puisque $N_c$ ne fait qu'augmenter.

7. Idée : la sortie passe aux bornes de la résistance. $(F')$ est un filtre passe-haut (courbe $(\mathcal C_1)$ ). Sa fréquence de coupure $\frac{1}{2\pi RC}$ ne dépend que de $R$ et de $C$ , inchangés : $N'_c=N_c=500\ \text{Hz}$ — sur la figure 1, les deux courbes se coupent justement au point $(500\ \text{Hz}\,;\,-3\ \text{dB})$ . $(F')$ transmet les fréquences supérieures à 500 Hz : il transmet le signal de $2{,}0\ \text{kHz}$ et atténue celui de $300\ \text{Hz}$ ( $G'\approx-5{,}8\ \text{dB}$ ).

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : filtre passe-haut CR à deux conducteurs ohmiques commutables, coupure lue sur $U_{Sm}(N)$ puis sur des chronogrammes, valeur limite de $R_2$ (principale 2024, Sciences de l'informatique) ; $D_1$ et $D_2$ identifiés à partir des expressions de $G_1$ et $G_2$ , indication du voltmètre à $N_c$ , permutation (principale 2024, Sciences techniques) ; construction de Fresnel fournie et $\tan\varphi_S=-\frac{N}{N_c}$ pour trouver $C$ (contrôle 2026, Sciences techniques) ; courbe $G(N)$ semi-logarithmique d'un passe-haut CR et valeur de $C$ pour transmettre deux signaux (contrôle 2018, Sciences de l'informatique) ; équation différentielle, gain et allure de la courbe du filtre permuté (principale 2021 et contrôle 2022, Sciences de l'informatique) ; équation différentielle et construction de Fresnel (contrôle 2022, Sciences techniques).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill FI-E.1 — passe-haut CR : équation intégro-différentielle, Fresnel,

\tan\varphi_S=\frac{N_c}{N}

, puis

C

par un déphasage de

\frac\pi4

Entraînement 01 / 03

Drill FI-E.1 — passe-haut CR : équation intégro-différentielle, Fresnel, $\tan\varphi_S=\frac{N_c}{N}$ , puis $C$ par un déphasage de $\frac\pi4$

6 questionsCorrigé masqué

Un filtre électrique est formé d'un condensateur de capacité $C$ inconnue, monté en série entre l'entrée et la sortie, et d'un conducteur ohmique de résistance $R=1{,}6\ \text{k}\Omega$ aux bornes duquel on recueille la tension de sortie $u_S(t)=U_{Sm}\sin(2\pi Nt+\varphi_S)$ . L'entrée reçoit la tension $u_E(t)=U_{Em}\sin(2\pi Nt)$ , de valeur maximale $U_{Em}=6{,}0\ \text{V}$ et de fréquence $N$ réglable.

Montrer que la tension de sortie vérifie l'équation $u_S+\dfrac{1}{RC}\int u_S\,dt=u_E$ .
À l'aide de la construction de Fresnel relative à cette équation, montrer que la transmittance s'écrit $T=\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{N_c}{N}\right)^2}}$ , avec $N_c=\dfrac{1}{2\pi RC}$ .
Préciser le comportement du filtre aux basses et aux hautes fréquences ; en déduire sa nature (passe-bas, passe-haut ou passe-bande) et sa transmittance maximale $T_0$ .
Montrer que $\tan\varphi_S=\dfrac{N_c}{N}$ et que la tension de sortie est en avance de phase sur la tension d'entrée.
Pour une fréquence $N_1$ , un oscilloscope bicourbe montre deux sinusoïdes de période $2{,}0\ \text{ms}$ ; le maximum de $u_S(t)$ précède celui de $u_E(t)$ de $0{,}25\ \text{ms}$ .
1. Déterminer $N_1$ et le déphasage $\varphi_S$ ; en déduire que $N_1$ est la fréquence de coupure $N_c$ .
2. Calculer la capacité $C$ et la valeur maximale $U_{Sm}$ de la tension de sortie à cette fréquence.
3. Donner la bande passante du filtre.
Pour $N=2{,}0\ \text{kHz}$ , calculer $\varphi_S$ et $T$ . Le signal est-il transmis ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : la sortie est l'image du courant. D'après la loi des mailles, $u_E=u_C+u_S$ avec $u_S=Ri$ , donc $i=\frac{u_S}{R}$ . Et $u_C=\frac qC=\frac1C\int i\,dt=\frac{1}{RC}\int u_S\,dt$ , d'où $\boxed{u_S+\dfrac{1}{RC}\int u_S\,dt=u_E}$ .

2. Idée : une primitive de $U_{Sm}\sin(\omega t+\varphi_S)$ est $\frac{U_{Sm}}{\omega}\sin(\omega t+\varphi_S-\frac\pi2)$ : son vecteur est en retard de $\frac\pi2$ . Vecteurs : $u_S\to[U_{Sm}\,;\,\varphi_S]$ ; $\frac{1}{RC}\int u_S\,dt\to\left[\frac{U_{Sm}}{2\pi NRC}\,;\,\varphi_S-\frac\pi2\right]$ ; $u_E\to[U_{Em}\,;\,0]$ . Les deux premiers sont perpendiculaires et leur somme est le vecteur de $u_E$ ; d'après le théorème de Pythagore :

U_{Em}^2=U_{Sm}^2\left[1+\frac{1}{(2\pi NRC)^2}\right]

Avec $\frac{1}{2\pi NRC}=\frac{N_c}{N}$ , on obtient $T=\dfrac{U_{Sm}}{U_{Em}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{N_c}{N}\right)^2}}$ .

3. Si $N\to0$ , $\frac{N_c}{N}\to\infty$ et $T\to0$ : les basses fréquences sont éliminées. Si $N\to\infty$ , $T\to1$ : les hautes fréquences passent. C'est un filtre passe-haut, de transmittance maximale $\boxed{T_0=1}$ .

4. Idée : dans le triangle rectangle de Fresnel, l'angle entre les vecteurs de $u_S$ et de $u_E$ a pour côté opposé $\frac{U_{Sm}}{2\pi NRC}$ et pour côté adjacent $U_{Sm}$ . $\tan\varphi_S=\dfrac{U_{Sm}/(2\pi NRC)}{U_{Sm}}=\dfrac{1}{2\pi NRC}=\boxed{\dfrac{N_c}{N}}>0$ . Le vecteur de $u_E$ s'obtient en ajoutant à celui de $u_S$ un vecteur en retard de $\frac\pi2$ : il est en retard sur celui de $u_S$ . Avec $\varphi_E=0$ , on a $0<\varphi_S<\frac\pi2$ : la sortie est en avance sur l'entrée.

5.a Idée : un décalage $\Delta t$ correspond à un déphasage $\frac{2\pi\,\Delta t}{T}$ . $N_1=\dfrac{1}{2{,}0\times10^{-3}}=\boxed{500\ \text{Hz}}$ . $u_S$ est en avance de $\Delta t=0{,}25\ \text{ms}=\frac T8$ : $\varphi_S=\dfrac{2\pi\times0{,}25}{2{,}0}=\boxed{\dfrac\pi4\ \text{rad}}$ . Alors $\tan\varphi_S=1=\dfrac{N_c}{N_1}$ , donc $N_1=N_c$ .

5.b $C=\dfrac{1}{2\pi RN_c}=\dfrac{1}{2\pi\times1600\times500}\approx\boxed{2{,}0\times10^{-7}\ \text{F}}$ , soit $0{,}20\ \mu\text{F}$ . À la coupure $T=\frac{1}{\sqrt2}$ : $U_{Sm}=\dfrac{6{,}0}{\sqrt2}\approx\boxed{4{,}2\ \text{V}}$ .

5.c Passe-haut de fréquence de coupure $500\ \text{Hz}$ : la bande passante est $[500\ \text{Hz}\,;\,+\infty[$ .

6. $\tan\varphi_S=\dfrac{500}{2000}=0{,}25$ , donc $\varphi_S\approx\boxed{0{,}245\ \text{rad}}$ (environ $14°$ ) ; $T=\dfrac{1}{\sqrt{1+0{,}0625}}\approx\boxed{0{,}97}$ . Comme $N>N_c$ , le signal est transmis, presque sans atténuation et presque en phase avec l'entrée.

2 Drill FI-E.2 — lire une courbe de gain en échelle semi-logarithmique : nature,

N_c

à −3 dB, bande passante, puis

G\to T\to U_{Sm}

Entraînement 02 / 03

Drill FI-E.2 — lire une courbe de gain en échelle semi-logarithmique : nature, $N_c$ à −3 dB, bande passante, puis $G\to T\to U_{Sm}$

6 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un filtre $(F)$ est constitué d'un condensateur de capacité $C$ et d'un conducteur ohmique de résistance $R=530\ \Omega$ ; il est alimenté par une tension sinusoïdale d'amplitude $U_{Em}=4{,}0\ \text{V}$ constante et de fréquence $N$ réglable. Pour chaque fréquence, on mesure l'amplitude $U_{Sm}$ de la tension de sortie et on calcule le gain $G=20\log\dfrac{U_{Sm}}{U_{Em}}$ ; on obtient la courbe ci-dessous, les fréquences étant portées en échelle logarithmique.

Préciser, en le justifiant, si le filtre $(F)$ est actif ou passif. Lire la valeur maximale $G_0$ du gain et en déduire la transmittance maximale $T_0$ .
Dire, en exploitant la courbe, s'il s'agit d'un filtre passe-bas, passe-haut ou passe-bande. Aux bornes de quel dipôle la sortie est-elle prise ?
Indiquer la condition sur le gain $G$ pour que le filtre soit passant. Déterminer graphiquement la fréquence de coupure $N_c$ du filtre à −3 dB et en déduire sa bande passante.
Sachant que $N_c=\dfrac{1}{2\pi RC}$ , calculer la capacité $C$ .
Lire le gain du filtre pour $N=1\ \text{kHz}$ ; en déduire la transmittance et l'amplitude $U_{Sm}$ de la tension de sortie à cette fréquence.
On applique successivement à l'entrée deux signaux de fréquences $N_1=1\ \text{kHz}$ et $N_2=10\ \text{kHz}$ . Lequel des deux signaux est transmis par le filtre ? Justifier.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : un filtre passif ne contient aucun composant alimenté. $(F)$ ne contient qu'un condensateur et un conducteur ohmique : il est passif. D'après la courbe, le gain maximal est atteint aux hautes fréquences : $\boxed{G_0=0\ \text{dB}}$ , donc $T_0=10^{0/20}=\boxed{1}$ : le filtre n'amplifie jamais.

2. Graphiquement, $G$ est très négatif aux basses fréquences (inférieur à $-20\ \text{dB}$ en dessous de 300 Hz) et tend vers 0 dB aux hautes fréquences : les basses fréquences sont atténuées, les hautes transmises. C'est un filtre passe-haut : le condensateur est en série et la sortie est prise aux bornes du conducteur ohmique.

3. Idée : le seuil est $G_0-3\ \text{dB}$ . Le filtre est passant pour $G\geq G_0-3\ \text{dB}=-3\ \text{dB}$ . L'horizontale $G=-3\ \text{dB}$ coupe la courbe sur la graduation 3 de la décade $[10^3\,;10^4]$ : $\boxed{N_c=3{,}0\ \text{kHz}}$ . Bande passante : $[3{,}0\ \text{kHz}\,;\,+\infty[$ .

4. $C=\dfrac{1}{2\pi RN_c}=\dfrac{1}{2\pi\times530\times3000}\approx\boxed{1{,}0\times10^{-7}\ \text{F}}$ , soit $0{,}10\ \mu\text{F}$ .

5. Idée : $T=10^{G/20}$ . Pour $N=10^3\ \text{Hz}$ (trait de la décade), on lit $G=-10\ \text{dB}$ . Donc $T=10^{-10/20}=10^{-0{,}5}\approx\boxed{0{,}32}$ et $U_{Sm}=T\,U_{Em}\approx0{,}32\times4{,}0\approx\boxed{1{,}3\ \text{V}}$ .

6. $N_1=1\ \text{kHz}<N_c$ : $G=-10\ \text{dB}<-3\ \text{dB}$ , le signal est atténué, non transmis. $N_2=10\ \text{kHz}>N_c$ : on lit $G\approx-0{,}4\ \text{dB}\geq-3\ \text{dB}$ , le signal est transmis.

3 Drill FI-E.3 — choisir

R

pour placer la fréquence de coupure : coupure lue sur un tableau

U_{Sm}(N)

, puis encadrement de

R

(passe-haut)

Entraînement 03 / 03

Drill FI-E.3 — choisir $R$ pour placer la fréquence de coupure : coupure lue sur un tableau $U_{Sm}(N)$ , puis encadrement de $R$ (passe-haut)

4 questionsCorrigé masqué

Un filtre passe-haut est formé d'un condensateur de capacité $C$ inconnue, monté en série, et d'un conducteur ohmique aux bornes duquel on recueille la tension de sortie ; un commutateur permet de choisir ce conducteur ohmique parmi quatre : $R_a=100\ \Omega$ , $R_b=150\ \Omega$ , $R_c=220\ \Omega$ et $R_d=470\ \Omega$ . L'entrée reçoit une tension $u_E(t)=U_{Em}\sin(2\pi Nt)$ de valeur maximale $U_{Em}=4{,}0\ \text{V}$ et de fréquence $N$ réglable. La transmittance maximale de ce filtre vaut $T_0=1$ et sa fréquence de coupure s'écrit $N_c=\dfrac{1}{2\pi RC}$ .

Expérience. Avec $R_a$ , on relève la valeur maximale $U_{Sm}$ de la tension de sortie pour différentes fréquences :

$N$ (Hz)	250	500	1000	2000	4000	8000
$U_{Sm}$ (V)	0,50	0,97	1,79	2,83	3,58	3,88

Montrer que le filtre est passant lorsque $U_{Sm}\geq\dfrac{U_{Em}}{\sqrt2}$ . En exploitant le tableau, déterminer la fréquence de coupure $N_{ca}$ obtenue avec $R_a$ et la bande passante correspondante.
En déduire la capacité $C$ du condensateur.
On veut transmettre deux signaux de fréquences $N'=1{,}2\ \text{kHz}$ et $N''=5{,}0\ \text{kHz}$ .
1. Préciser, en le justifiant, celui qui est transmis avec $R_a$ .
2. Déterminer la valeur limite $R_\ell$ de la résistance permettant la transmission des deux signaux.
On veut de plus que le filtre élimine une perturbation de fréquence $500\ \text{Hz}$ . Montrer que la résistance doit vérifier $R_\ell\leq R<\dfrac{1}{2\pi C\times500}$ , puis choisir, parmi $R_b$ , $R_c$ et $R_d$ , le seul conducteur ohmique qui convient. Calculer la fréquence de coupure obtenue.

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1. Idée : $T=\frac{U_{Sm}}{U_{Em}}$ et $T_0=1$ (les valeurs maximales tendent vers $U_{Em}$ aux hautes fréquences). Passant $\iff T\geq\frac{T_0}{\sqrt2}\iff U_{Sm}\geq\dfrac{U_{Em}}{\sqrt2}=\dfrac{4{,}0}{\sqrt2}\approx2{,}83\ \text{V}$ . Dans le tableau, $U_{Sm}=2{,}83\ \text{V}$ pour $\boxed{N_{ca}=2{,}0\ \text{kHz}}$ ; au-dessus, $U_{Sm}$ est plus grande : c'est bien un passe-haut, de bande passante $[2{,}0\ \text{kHz}\,;\,+\infty[$ .

2. $C=\dfrac{1}{2\pi R_aN_{ca}}=\dfrac{1}{2\pi\times100\times2000}\approx\boxed{8{,}0\times10^{-7}\ \text{F}}$ , soit $0{,}80\ \mu\text{F}$ .

3.a Le passe-haut transmet les fréquences $N\geq N_{ca}=2{,}0\ \text{kHz}$ : $N''=5{,}0\ \text{kHz}$ est transmis, $N'=1{,}2\ \text{kHz}$ est atténué.

3.b Idée : transmettre $N'$ exige $N_c\leq N'$ ; comme $N_c=\frac{1}{2\pi RC}$ diminue quand $R$ augmente, il faut augmenter $R$ . $\dfrac{1}{2\pi RC}\leq N'\iff R\geq\dfrac{1}{2\pi CN'}=\dfrac{1}{2\pi\times0{,}80\times10^{-6}\times1200}$ , soit $\boxed{R_\ell\approx1{,}7\times10^2\ \Omega}$ (environ 166 Ω). $N''$ , plus élevée, reste transmise.

4. Idée : éliminer 500 Hz impose $N_c>500\ \text{Hz}$ , c'est-à-dire une borne supérieure pour $R$ . $\frac{1}{2\pi RC}>500\iff R<\frac{1}{2\pi C\times500}\approx4{,}0\times10^2\ \Omega$ . Avec 3.b : $166\ \Omega\leq R<4{,}0\times10^2\ \Omega$ . $R_b=150\ \Omega$ est trop faible (coupure vers $1{,}3\ \text{kHz}$ : $N'$ serait atténué) ; $R_d=470\ \Omega$ est trop forte (coupure vers $4{,}2\times10^2\ \text{Hz}$ : la perturbation passerait). On choisit $\boxed{R_c=220\ \Omega}$ , qui donne $N_c=\dfrac{1}{2\pi\times220\times0{,}80\times10^{-6}}\approx\boxed{9{,}0\times10^2\ \text{Hz}}$ .

Relier ce raisonnement au bac

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Filtre RC passif : de l'équation différentielle à $T$ et $G$ par Fresnel, nature par les limites, $N_c=\frac{1}{2\pi RC}$ lue à −3 dB sur une courbe semi-logarithmique, signaux transmis, valeur limite de $R$ , permutation R–C

Exercice 2 — filtre RC passif (5,5 points), dans l'esprit des sessions 2021–2026 (Sciences techniques et Sciences de l'informatique)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill FI-E.1 — passe-haut CR : équation intégro-différentielle, Fresnel, $\tan\varphi_S=\frac{N_c}{N}$ , puis $C$ par un déphasage de $\frac\pi4$

Drill FI-E.2 — lire une courbe de gain en échelle semi-logarithmique : nature, $N_c$ à −3 dB, bande passante, puis $G\to T\to U_{Sm}$

Drill FI-E.3 — choisir $R$ pour placer la fréquence de coupure : coupure lue sur un tableau $U_{Sm}(N)$ , puis encadrement de $R$ (passe-haut)

Relier ce raisonnement au bac

Filtre RC passif : de l'équation différentielle à TTT et GGG par Fresnel, nature par les limites, Nc=12πRCN_c=\frac{1}{2\pi RC}Nc​=2πRC1​ lue à −3 dB sur une courbe semi-logarithmique, signaux transmis, valeur limite de RRR, permutation R–C

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Filtre RC passif : de l'équation différentielle à $T$ et $G$ par Fresnel, nature par les limites, $N_c=\frac{1}{2\pi RC}$ lue à −3 dB sur une courbe semi-logarithmique, signaux transmis, valeur limite de $R$ , permutation R–C