LU-BModèle ondulatoire de la lumière

Interférences lumineuses : fentes de Young, interfrange et exploitation

Idée directrice

La trajectoire de cet exercice est d'appliquer la formule de l'interfrange $i = \lambda D/a$ pour relier l'espacement des fentes $a$ , la distance écran $D$ , la longueur d'onde $\lambda$ et la largeur mesurée des franges, puis d'exploiter des mesures pour identifier une longueur d'onde inconnue ou vérifier la cohérence d'un montage.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Établir l'expression de l'interfrange » ; « Calculer la longueur d'onde à partir de l'interfrange mesuré » ; « Identifier la couleur de la lumière utilisée » ; « Décrire l'effet d'un changement de $D$ ou de $a$ sur les franges »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

On réalise une expérience de fentes de Young avec une source lumineuse monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ inconnue. Les fentes sont séparées d'une distance $a = 0{,}40\,\text{mm}$ et l'écran est placé à $D = 1{,}80\,\text{m}$ des fentes. On observe sur l'écran un système de franges alternées sombres et brillantes.

Rappeler la condition d'interférence constructive (frange brillante) et destructive (frange sombre) en fonction de la différence de marche $\delta$ et de $\lambda$ .
Établir l'expression de l'interfrange $i = \lambda D / a$ .
1. Exprimer la différence de marche $\delta$ en fonction de la position $x$ du point considéré, de $a$ et de $D$ (approximation des petits angles).
2. En déduire la position $x_p$ de la $p$ -ième frange brillante ( $\delta = p\lambda$ ), puis l'interfrange $i = x_{p+1} - x_p$ .
Sur l'écran, on mesure que 10 interfranges occupent une longueur $\ell = 26{,}1\,\text{mm}$ .
1. Calculer l'interfrange $i$ .
2. En déduire $\lambda$ et identifier la couleur de la lumière utilisée.
On remplace la source par une autre de longueur d'onde $\lambda' = 500\,\text{nm}$ , toutes choses égales par ailleurs. Calculer le nouvel interfrange $i'$ et décrire qualitativement la modification observée sur l'écran.
Sans changer $\lambda$ , on rapproche l'écran : $D$ passe de $1{,}80\,\text{m}$ à $0{,}90\,\text{m}$ . Décrire l'effet sur les franges.

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1. Idée : conditions d'interférences.
- Frange brillante : $\delta = p\lambda$ , $p \in \mathbb{Z}$ .
- Frange sombre : $\delta = (2p+1)\,\lambda/2$ .

2.(a) Idée : géométrie du montage ; en approximation des petits angles, $\tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta$ .
Soit $M$ un point de l'écran à la hauteur $x$ de la frange centrale. La différence de chemin optique vaut :

\delta = \frac{a\,x}{D}

2.(b) Frange brillante $p$ : $\delta = p\lambda \Rightarrow x_p = \dfrac{p\lambda D}{a}$ . Interfrange :

i = x_{p+1} - x_p = \frac{\lambda D}{a}

3.(a) 10 interfranges = $\ell = 26{,}1\,\text{mm}$ .

i = \frac{\ell}{10} = \frac{26{,}1}{10} = \boxed{2{,}61\,\text{mm}}

3.(b)

\lambda = \frac{i\,a}{D} = \frac{2{,}61\times10^{-3}\times0{,}40\times10^{-3}}{1{,}80} = \boxed{580\,\text{nm}}

$\lambda\approx580\,\text{nm}$ est dans le visible : lumière jaune (entre le vert $\approx550$ nm et l'orangé $\approx600$ nm).

i' = \frac{\lambda' D}{a} = \frac{500\times10^{-9}\times1{,}80}{0{,}40\times10^{-3}} = \boxed{2{,}25\,\text{mm}}

$i' > i$ : les franges sont plus espacées. L'écran paraît moins «serré» en franges.

5. Idée : $i \propto D$ — en divisant $D$ par 2, on divise $i$ par 2. Les franges se resserrent : $i_{\text{new}} = i/2 = 0{,}81\,\text{mm}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 04

Drill LU-B.1 — mesure de λ

1 questionCorrigé masqué

On mesure $5$ interfranges sur $30\text{ mm}$ ( $a=0{,}20\text{ mm}$ , $D=2{,}0\text{ m}$ ). En déduire $\lambda$ .

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Idée : mesurer plusieurs interfranges réduit l'erreur ; puis $i=\lambda D/a$ . $i=\dfrac{30}{5}=6{,}0\ \mathrm{mm}$ . $\lambda=\dfrac{a\,i}{D}=\dfrac{0{,}20\times10^{-3}\times6{,}0\times10^{-3}}{2{,}0}=\boxed{6{,}0\times10^{-7}\ \mathrm m=600\ \mathrm{nm}}$ : lumière orangée, dans le visible ( $400$ – $800\ \mathrm{nm}$ ).

Entraînement 02 / 04

Drill LU-B.2 — lumière blanche

1 questionCorrigé masqué

Avec une source de lumière blanche, qu'observe-t-on au centre de la figure d'interférences et de part et d'autre ?

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Idée : l'interfrange dépend de $\lambda$ ; seule la frange centrale est commune à toutes les couleurs. Au centre, la différence de marche est nulle pour toutes les longueurs d'onde : toutes les couleurs sont en interférence constructive, la frange centrale est blanche. De part et d'autre, chaque couleur a son propre interfrange $i=\lambda D/a$ (plus grand pour le rouge) : les franges se décalent et se superposent, on observe des franges irisées puis, plus loin, du blanc d'ordre supérieur.

Entraînement 03 / 04

Drill LU-B.3 — cohérence

1 questionCorrigé masqué

Pourquoi utilise-t-on une source unique (via deux fentes) pour observer des interférences lumineuses ?

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Idée : des interférences stables exigent un déphasage constant entre les deux ondes. Deux lampes distinctes émettent des ondes dont la phase relative varie au hasard : la figure se brouille. En éclairant deux fentes par une même source, on obtient deux sources secondaires cohérentes (même fréquence, déphasage constant, ici nul) et synchrones : les franges sont fixes et observables.

Entraînement 04 / 04

Drill LU-B.4 — interfrange (fentes de Young)

1 questionCorrigé masqué

Fentes de Young : $a=0{,}20\text{ mm}$ , $D=2{,}0\text{ m}$ , $\lambda=600\text{ nm}$ . Calculer l'interfrange $i$ .

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Idée : $i=\lambda D/a$ , tout en mètres. $i=\dfrac{600\times10^{-9}\times2{,}0}{0{,}20\times10^{-3}}=\boxed{6{,}0\times10^{-3}\ \mathrm m=6{,}0\ \mathrm{mm}}$ . Pour agrandir les franges on éloigne l'écran ( $D\uparrow$ ) ou l'on rapproche les fentes ( $a\downarrow$ ).

Méthode / Automatismes

Formule clé : $i = \lambda D/a$ . L'interfrange augmente si $\lambda$ augmente ou si $D$ augmente ; il diminue si $a$ augmente.
Mesure de l'interfrange : toujours mesurer $N$ interfranges et diviser par $N$ pour réduire l'incertitude de lecture.
Petits angles : valide si $a \ll D$ . Vérifier : $a/D \approx 2\times10^{-4} \ll 1$ .
Identification de $\lambda$ : violet $380$ – $450\,\text{nm}$ , bleu $450$ – $490\,\text{nm}$ , vert $490$ – $560\,\text{nm}$ , jaune $560$ – $590\,\text{nm}$ , orange $590$ – $620\,\text{nm}$ , rouge $620$ – $750\,\text{nm}$ .
La frange centrale (ordre $p=0$ ) est toujours brillante et blanche pour une source polychromatique.

Pièges classiques

Piège classique : confondre $a$ (distance inter-fentes) et $D$ (distance fentes–écran), ou oublier de convertir les unités ( $\text{mm}$ en $\text{m}$ , $\text{nm}$ en $\text{m}$ ) avant d'appliquer $i = \lambda D/a$ . Autre piège : mesurer la largeur d'une seule frange au lieu de $N$ interfranges, ce qui amplifie l'erreur de lecture.

Variantes rencontrées : on donne $i$ et $D$ et on demande $a$ (détermination de l'écartement des fentes) ; on utilise une source polychromatique et on demande d'expliquer les couleurs irisées observées aux bords ; on compare les interfranges pour deux longueurs d'onde et on demande la longueur d'onde inconnue par rapport ( $i_1/i_2 = \lambda_1/\lambda_2$ ) ; l'axe est incliné et on demande la correction géométrique.