ME-EMécanique énergétique (théorème de l'énergie cinétique)

Descente sans frottement puis freinage : conservation de l'énergie mécanique, puis théorème de l'énergie cinétique

Idée directrice

Le parcours est coupé en deux et chaque moitié appelle son propre outil. Sur la portion où seul le poids travaille, on écrit la conservation de l'énergie mécanique et on en tire la vitesse au point de raccordement. Sur la portion où une force de frottement ou une force motrice intervient, on écrit le théorème de l'énergie cinétique : la variation d'énergie cinétique est la somme algébrique des travaux, et c'est elle qui donne la distance d'arrêt ou l'intensité de la force cherchée.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Donner l'expression de l'energie potentielle Ep(A) du systeme (chariot, terre) au point A » ; « justifier que le systeme (chariot, terre) est conservatif » ; « Montrer alors que vB = racine de 2gh » ; « Enoncer le theoreme de l'energie cinetique » ; « Exprimer le travail W(f) de la force de frottement sur le trajet BC en fonction de d et f » ; « calculer la distance d » ; « Preciser en le justifiant, si le chariot (S) atteint le point C ou non »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Découper le parcours aux points où la liste des forces change : une portion sans frottement, une portion avec.
Sur la portion sans frottement : conservation de l'énergie mécanique, $E(A)=E(B)$ — la masse se simplifie et $v=\sqrt{2gh}$ .
Sur la portion avec frottement ou force motrice : théorème de l'énergie cinétique, $\Delta E_c = \sum W$ .
Écrire chaque travail avec son signe avant de remplacer les valeurs : $W(\vec f) = -f\,d$ , $W(\vec P) = \pm m\,\|\vec g\|\,h$ .
Comparer la distance d'arrêt calculée à la longueur réellement disponible : c'est cette comparaison qui répond à la question posée.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Appliquer la conservation de l'énergie mécanique sur la portion où le frottement travaille : elle n'y est plus valable.
Oublier le signe moins du travail de la force de frottement et trouver une distance d'arrêt négative.
Compter deux fois le travail du poids : une fois dans $E_{pp}$ , une fois dans la somme des travaux.
Faire travailler la réaction normale du plan alors qu'elle est perpendiculaire au déplacement.
Répondre « le chariot atteint C » sans comparer $d$ à $BC$ .

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

7 questionsCorrigé masqué

Un chariot (S), supposé ponctuel, de masse $m = 60\,\text{kg}$ , aborde une piste formée de deux trajets consécutifs :

le trajet AB, rectiligne et incliné, sur lequel le chariot descend d'une hauteur $H = 3{,}2\,\text{m}$ ; il y est parcouru sans frottement ;
le trajet BC, horizontal, de longueur $BC = 25\,\text{m}$ .

Le chariot est abandonné en A sans vitesse initiale à l'instant $t_A = 0$ . On se réfère à un repère terrestre supposé galiléen et on prend le plan horizontal contenant BC comme plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur ( $E_{pp} = 0$ ). On donne $\|\vec g\| = 10\,\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ .

Partie I — mouvement du chariot sur le trajet AB.

Énergies aux extrémités du trajet :
1. donner l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}(A)$ du système {chariot, Terre} en A en fonction de $m$ , $\|\vec g\|$ et $H$ , puis calculer sa valeur ;
2. donner l'expression de l'énergie cinétique $E_c(B)$ du chariot en B en fonction de $m$ et de la valeur $v_B$ de sa vitesse.
Conservation :
1. justifier que le système {chariot, Terre} est conservatif sur le trajet AB ;
2. en déduire l'égalité $E(A) = E(B)$ , puis montrer que $v_B = \sqrt{2\,\|\vec g\|\,H}$ et calculer $v_B$ .

Partie II — mouvement du chariot sur le trajet BC. Arrivé en B avec la vitesse précédente, le chariot est soumis, tout au long de BC, à une force de frottement $\vec f$ constante, de valeur $f = 96\,\text{N}$ , de même direction que le déplacement et de sens contraire. Il s'immobilise en un point M situé à la distance $d$ de B.

Citer les forces extérieures qui s'exercent sur le chariot sur le trajet BC et préciser, pour chacune, si son travail est moteur, résistant ou nul.
Application du théorème :
1. énoncer le théorème de l'énergie cinétique ;
2. exprimer le travail $W_{B\to M}(\vec f)$ de la force de frottement en fonction de $f$ et $d$ ;
3. en appliquant le théorème de l'énergie cinétique au chariot entre B et M, déterminer l'expression de $d$ en fonction de $m$ , $v_B$ et $f$ , puis calculer $d$ ;
4. préciser, en le justifiant, si le chariot atteint le point C.
On lâche maintenant le chariot, toujours sans vitesse initiale, d'une hauteur $h'$ telle qu'il s'immobilise exactement en C. La force de frottement sur BC garde la même valeur. Déterminer l'expression de $h'$ en fonction de $f$ , $BC$ , $m$ et $\|\vec g\|$ , puis calculer $h'$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

I.1.a. Idée : le plan de référence est le plan horizontal de BC, donc l'altitude de A vaut $H$ .

E_{pp}(A) = m\,\|\vec g\|\,H = 60 \times 10 \times 3{,}2 = \boxed{1{,}92\times10^{3}\ \text{J}}

b. En B le chariot est sur le plan de référence, donc $E_{pp}(B) = 0$ et $E_c(B) = \tfrac{1}{2}\,m\,v_B^2$ .

I.2.a. Idée : « conservatif » se justifie par la liste des forces, pas par l'énoncé. Sur AB, les forces extérieures sont le poids — force conservative, déjà comptée dans $E_{pp}$ — et la réaction du plan, perpendiculaire au déplacement donc de travail nul. Aucune force dissipative n'intervient : la variation d'énergie mécanique est nulle, le système {chariot, Terre} est conservatif sur AB.

b. Il en résulte $E(A) = E(B)$ , c'est-à-dire $m\,\|\vec g\|\,H + 0 = 0 + \tfrac{1}{2}m v_B^2$ , la vitesse en A étant nulle. La masse se simplifie :

v_B = \sqrt{2\,\|\vec g\|\,H} = \sqrt{2 \times 10 \times 3{,}2} = \boxed{8{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}

II.1. Sur BC s'exercent : le poids, vertical, perpendiculaire au déplacement horizontal, donc de travail nul ; la réaction normale du plan, également perpendiculaire au déplacement, de travail nul ; la force de frottement $\vec f$ , de sens contraire au déplacement, donc de travail résistant.

II.2.a. Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures et intérieures appliquées à ce système entre ces deux instants.

b. La force est constante et directement opposée au déplacement, de longueur $d$ :

W_{B\to M}(\vec f) = -\,f\,d

c. Entre B et M, le chariot passe de $v_B$ à une vitesse nulle, et seul $\vec f$ travaille :

0 - \tfrac{1}{2}m v_B^2 = -\,f\,d \quad\Longrightarrow\quad d = \dfrac{m\,v_B^{2}}{2f}

d = \dfrac{60 \times (8{,}0)^2}{2 \times 96} = \boxed{20\ \text{m}}

d. La distance parcourue avant l'arrêt, $20\,\text{m}$ , est inférieure à $BC = 25\,\text{m}$ : le chariot s'immobilise avant C, qu'il n'atteint donc pas.

II.3. Idée : imposer l'arrêt exactement en C fixe l'énergie à dissiper, donc la hauteur de lâcher. Entre le nouveau point de départ, à la hauteur $h'$ , et le point C, la vitesse est nulle aux deux extrémités. Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à tout le parcours donne $0 = W(\vec P) + W(\vec f)$ , soit $m\,\|\vec g\|\,h' = f \times BC$ :

h' = \dfrac{f \times BC}{m\,\|\vec g\|} = \dfrac{96 \times 25}{60 \times 10} = \boxed{4{,}0\ \text{m}}

La hauteur nécessaire est supérieure à $H = 3{,}2\,\text{m}$ , ce qui est cohérent avec le fait que, lâché de $H$ , le chariot s'arrêtait avant C.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill ME-E.1 — retrouver la force motrice sur la portion horizontale

Entraînement 01 / 07

Drill ME-E.1 — retrouver la force motrice sur la portion horizontale

3 questionsCorrigé masqué

Un cycliste et sa bicyclette, assimilés à un point matériel de masse totale $m = 80\,\text{kg}$ , abordent un trajet horizontal BM de longueur $d_1 = 40\,\text{m}$ . Le cycliste passe en B avec une vitesse de valeur $v_B = 6{,}0\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ et atteint M avec une vitesse de valeur $v_M = 10{,}0\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ .

Sur ce trajet il pédale : le mouvement est assuré par une force motrice $\vec F$ constante, de même direction et de même sens que le déplacement. Les frottements y sont négligés. On prend $\|\vec g\| = 9{,}8\,\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ .

Exprimer le travail $W_{B\to M}(\vec F)$ de la force motrice en fonction de sa valeur $F$ et de $d_1$ .
Citer les forces extérieures qui s'exercent sur le cycliste, puis préciser pourquoi le travail du poids et celui de la réaction du plan sont nuls sur ce trajet.
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique entre B et M, déterminer l'expression de $F$ en fonction de $m$ , $v_B$ , $v_M$ et $d_1$ , puis calculer sa valeur.

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Idée : sur une portion horizontale, une seule force travaille ; le théorème de l'énergie cinétique se réduit alors à une seule égalité.

1. La force motrice est constante, de même sens que le déplacement de longueur $d_1$ :

W_{B\to M}(\vec F) = +\,F\,d_1

2. Les forces extérieures sont le poids, la réaction du plan et la force motrice. Le déplacement est horizontal : le travail du poids est nul parce que le poids est vertical, et celui de la réaction du plan est nul parce qu'elle est normale au support, donc perpendiculaire au déplacement.

3. Le théorème de l'énergie cinétique entre B et M s'écrit $\tfrac{1}{2}m v_M^2 - \tfrac{1}{2}m v_B^2 = F\,d_1$ , d'où :

F = \dfrac{m\,(v_M^{2} - v_B^{2})}{2\,d_1} = \dfrac{80 \times (10{,}0^2 - 6{,}0^2)}{2 \times 40} = \boxed{64\ \text{N}}

La valeur est positive, ce qui est cohérent avec une force effectivement motrice : elle apporte l'énergie qui fait croître la vitesse.

2 Drill ME-E.2 — deux freinages à comparer

Entraînement 02 / 07

Drill ME-E.2 — deux freinages à comparer

4 questionsCorrigé masqué

Un traîneau de masse $m = 50\,\text{kg}$ aborde une piste horizontale avec une vitesse de valeur $v_0 = 12\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ . Il est alors soumis à une force de frottement constante, opposée au déplacement, de valeur $f = 150\,\text{N}$ , jusqu'à l'arrêt complet.

On envisage ensuite une seconde descente, identique, mais avec une vitesse d'arrivée deux fois plus grande, $v_0' = 24\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , la force de frottement gardant la même valeur.

Citer les forces extérieures qui s'exercent sur le traîneau et préciser laquelle fait partie des forces dissipatives.
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique entre l'entrée sur la piste et l'arrêt, déterminer l'expression de la distance d'arrêt $d$ en fonction de $m$ , $v_0$ et $f$ , puis calculer sa valeur.
Calculer la distance d'arrêt $d'$ dans le second cas et donner le rapport $d'/d$ .
Comparer l'énergie cinétique à dissiper dans les deux cas, puis préciser, pour chacun d'eux, si la consigne d'arrêt imposée par un panneau situé $60\,\text{m}$ après l'entrée sur la piste est respectée.

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Idée : la distance d'arrêt n'est pas proportionnelle à la vitesse mais à son carré ; c'est tout l'enjeu de la question 3.

1. Les forces extérieures sont le poids, la réaction normale de la piste et la force de frottement. Seule cette dernière fait partie des forces dissipatives : elle prélève de l'énergie mécanique au système et la convertit en transfert thermique.

2. Sur la piste horizontale, le poids et la réaction normale ne travaillent pas. Le théorème de l'énergie cinétique entre l'entrée et l'arrêt donne $0 - \tfrac{1}{2}m v_0^2 = -f\,d$ , soit :

d = \dfrac{m\,v_0^{2}}{2f} = \dfrac{50 \times 12^{2}}{2 \times 150} = \boxed{24\ \text{m}}

3. La même relation, appliquée à la seconde descente où seule la vitesse d'arrivée change :

d' = \dfrac{50 \times 24^{2}}{2 \times 150} = 96\ \text{m} \qquad ; \qquad \dfrac{d'}{d} = 4

Doubler la vitesse d'arrivée quadruple la distance nécessaire, parce que l'énergie cinétique à dissiper varie comme le carré de la vitesse alors que la force de freinage, elle, ne change pas.

4. Dans le premier cas $24\,\text{m} < 60\,\text{m}$ : le traîneau s'immobilise largement avant le panneau. Dans le second, $96\,\text{m} > 60\,\text{m}$ : la consigne n'est pas respectée, il faudrait un freinage plus intense — au moins $f' = m v_0'^2/(2 \times 60) = 240\,\text{N}$ .

3 Drill ME-E.3 — lancer vertical : poussée de la main puis montée libre, la balle touche-t-elle le plafond ?

Entraînement 03 / 07

Drill ME-E.3 — lancer vertical : poussée de la main puis montée libre, la balle touche-t-elle le plafond ?

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans un gymnase, un jongleur lance verticalement vers le haut une balle (M) de masse $m = 0{,}15\ \text{kg}$ . Il la tient d'abord au repos en un point A d'altitude $h_A = 1{,}0\ \text{m}$ par rapport au sol. À l'instant $t_A$ , sa main exerce sur la balle une force motrice $\vec F$ verticale, dirigée vers le haut, d'intensité constante, jusqu'au point B d'altitude $h_B = 1{,}6\ \text{m}$ , atteint à l'instant $t_B$ avec une vitesse verticale ascendante de valeur $\|\vec v_B\| = 8{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ . En B, la balle quitte la main et monte jusqu'à un point S d'altitude maximale $H$ . Le plafond du gymnase est à $4{,}5\ \text{m}$ du sol.

La balle est assimilée à un point matériel ; on néglige tout frottement ; le repère terrestre est supposé galiléen ; le plan horizontal du sol est le plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur ( $E_{pp} = 0$ ). On donne $\|\vec g\| = 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ .

Phase de poussée, de A à B :
1. Exprimer le travail $W_{A\to B}(\vec P)$ du poids de la balle en fonction de $m$ , $\|\vec g\|$ , $h_A$ et $h_B$ , puis le calculer.
2. Exprimer le travail $W_{A\to B}(\vec F)$ de la force motrice en fonction de $\|\vec F\|$ , $h_A$ et $h_B$ .
3. Calculer l'énergie cinétique $E_c(B)$ de la balle en B.
4. Énoncer le théorème de l'énergie cinétique.
5. En appliquant ce théorème entre les instants $t_A$ et $t_B$ , exprimer $W_{A\to B}(\vec F)$ en fonction de $E_c(B)$ , $m$ , $\|\vec g\|$ , $h_A$ et $h_B$ , puis calculer sa valeur. En déduire $\|\vec F\|$ .
Montée libre, de B à S :
1. Exprimer l'énergie mécanique $E_B$ du système {balle, Terre} en B, puis son énergie mécanique $E_S$ en S en fonction de $m$ , $\|\vec g\|$ et $H$ .
2. Sachant que le système {balle, Terre} est conservatif entre B et S, montrer que $H = h_B + \dfrac{\|\vec v_B\|^2}{2\|\vec g\|}$ et calculer $H$ .
3. La balle touche-t-elle le plafond ? Justifier.
Déterminer la valeur maximale de $\|\vec v_B\|$ pour que la balle ne touche pas le plafond, puis l'intensité maximale correspondante de la poussée $\vec F$ , exercée sur le même trajet AB.

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1.a Idée : la balle monte de $h_A$ à $h_B$ : le travail du poids est résistant.

W_{A\to B}(\vec P) = -m\|\vec g\|(h_B - h_A)

W_{A\to B}(\vec P) = -0{,}15\times9{,}8\times0{,}6 = \boxed{-0{,}882\ \text{J}}

b. La force est constante, verticale et de même sens que le déplacement : $W_{A\to B}(\vec F) = \|\vec F\|\,(h_B - h_A)$ .

c. $E_c(B) = \tfrac12 m\|\vec v_B\|^2 = 0{,}5\times0{,}15\times8{,}0^2 = \boxed{4{,}8\ \text{J}}$ .

d. Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures et intérieures appliquées à ce système entre ces deux instants : $\Delta E_c = \sum W$ .

e. Idée : en A la balle est au repos, donc $E_c(A) = 0$ ; deux forces travaillent, le poids et la poussée. Le théorème s'écrit $E_c(B) - 0 = W_{A\to B}(\vec P) + W_{A\to B}(\vec F)$ , d'où :

W_{A\to B}(\vec F) = E_c(B) + m\|\vec g\|(h_B - h_A)

W_{A\to B}(\vec F) = 4{,}8 + 0{,}882 \approx \boxed{5{,}68\ \text{J}}

\|\vec F\| = \dfrac{5{,}68}{0{,}6} \approx \boxed{9{,}5\ \text{N}}

Cette force dépasse le poids ( $1{,}47\ \text{N}$ ), ce qui est cohérent : pendant la poussée, la balle accélère vers le haut.

2.a $E_B = \tfrac12 m\|\vec v_B\|^2 + m\|\vec g\|h_B = 4{,}8 + 2{,}352 \approx 7{,}15\ \text{J}$ . En S, sommet d'un lancer vertical, la vitesse est nulle : $E_S = m\|\vec g\|H$ .

H = h_B + \dfrac{\|\vec v_B\|^2}{2\|\vec g\|}

H = 1{,}6 + \dfrac{64}{19{,}6} \approx \boxed{4{,}87\ \text{m}}

c. $H \approx 4{,}87\ \text{m} > 4{,}5\ \text{m}$ : la balle touche le plafond.

3. Idée : imposer $H = 4{,}5\ \text{m}$ fixe la vitesse au lâcher, qui fixe à son tour le travail de la poussée. Avec $H = 4{,}5\ \text{m}$ dans la relation précédente :

\|\vec v_B\|_{\max} = \sqrt{2\|\vec g\|(4{,}5 - h_B)}

\|\vec v_B\|_{\max} = \sqrt{2\times9{,}8\times2{,}9} \approx \boxed{7{,}5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}

Le théorème de l'énergie cinétique entre A et B donne alors $W(\vec F) = \tfrac12\times0{,}15\times56{,}84 + 0{,}882 \approx 5{,}15\ \text{J}$ , soit $\|\vec F\|_{\max} = \dfrac{5{,}15}{0{,}6} \approx \boxed{8{,}6\ \text{N}}$ : le jongleur doit pousser moins fort qu'au premier lancer.

4 Drill ME-E.4 — boule de pétanque : vol sans frottement, choc au sol puis roulage,

\Delta E = W(\vec f)

sur le tronçon horizontal

Entraînement 04 / 07

Drill ME-E.4 — boule de pétanque : vol sans frottement, choc au sol puis roulage, $\Delta E = W(\vec f)$ sur le tronçon horizontal

7 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un joueur de pétanque lance une boule de masse $m = 0{,}70\ \text{kg}$ à partir d'un point A situé à $h_A = 1{,}0\ \text{m}$ au-dessus d'un sol horizontal. La boule passe au sommet B de sa trajectoire, à la hauteur $H = 2{,}6\ \text{m}$ , avec une vitesse horizontale de valeur $\|\vec v_B\| = 4{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , puis retombe au point C du sol. Elle roule ensuite en ligne droite sur le sol et s'arrête en un point D. Le cochonnet est posé sur la droite CD, à $3{,}5\ \text{m}$ de C.

La boule est assimilée à un point matériel ; le repère terrestre est supposé galiléen ; le plan horizontal du sol, qui contient C et D, est le plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur ( $E_{pp} = 0$ ). On donne $\|\vec g\| = 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ .

I — Trajet aérien ABC (frottements de l'air négligeables).

Exprimer le travail du poids $W_{A\to B}(\vec P)$ en fonction de $m$ , $\|\vec g\|$ , $h_A$ et $H$ ; le calculer.
Énoncer le théorème de l'énergie cinétique puis, en l'appliquant entre A et B, calculer la valeur $\|\vec v_A\|$ de la vitesse de lancement.
En appliquant le même théorème entre B et C, montrer que $\|\vec v_C\| = \sqrt{\|\vec v_B\|^2 + 2\|\vec g\|H}$ et calculer $\|\vec v_C\|$ .
Calculer l'énergie mécanique $E(C)$ du système {boule, Terre} juste avant que la boule touche le sol en C.

II — Roulage CD. Au contact du sol en C, la boule s'enfonce légèrement : $85\ \%$ de son énergie mécanique est dissipée lors du choc, et elle aborde le trajet CD avec l'énergie mécanique $E'(C) = 0{,}15\,E(C)$ . Sur CD, les frottements sont équivalents à une force $\vec f$ constante, parallèle à CD, opposée au mouvement, de valeur $\|\vec f\| = 0{,}90\ \text{N}$ .

Donner la valeur de l'énergie mécanique $E(D)$ du système {boule, Terre} au point D. Justifier.
En exploitant la variation de l'énergie mécanique du système entre C et D, exprimer la distance CD en fonction de $E'(C)$ et $\|\vec f\|$ , puis la calculer.
La boule s'arrête-t-elle avant le cochonnet ? Quelle fraction de $E(C)$ aurait-elle dû conserver après le choc pour s'arrêter exactement au contact du cochonnet ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

I.1 Idée : de A à B, la boule s'élève de $H - h_A = 1{,}6\ \text{m}$ : travail résistant.

W_{A\to B}(\vec P) = -m\|\vec g\|(H - h_A)

W_{A\to B}(\vec P) = -0{,}70\times9{,}8\times1{,}6 \approx \boxed{-11{,}0\ \text{J}}

I.2 Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures et intérieures appliquées à ce système entre ces deux instants : $\Delta E_c = \sum W$ . Seul le poids travaille : $\tfrac12 m\|\vec v_B\|^2 - \tfrac12 m\|\vec v_A\|^2 = -m\|\vec g\|(H - h_A)$ , d'où :

\|\vec v_A\| = \sqrt{\|\vec v_B\|^2 + 2\|\vec g\|(H - h_A)}

\|\vec v_A\| = \sqrt{16 + 31{,}36} \approx \boxed{6{,}9\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}

Au sommet B, seule la composante verticale de la vitesse s'annule : on ne pose pas $\|\vec v_B\| = 0$ .

I.3 Entre B et C la boule descend de $H$ : $W_{B\to C}(\vec P) = +m\|\vec g\|H$ , et $\tfrac12 m\|\vec v_C\|^2 - \tfrac12 m\|\vec v_B\|^2 = m\|\vec g\|H$ donne la relation demandée.

\|\vec v_C\| = \sqrt{16 + 50{,}96} \approx \boxed{8{,}2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}

I.4 C est sur le plan de référence : $E(C) = \tfrac12 m\|\vec v_C\|^2 = 0{,}35\times66{,}96 \approx \boxed{23{,}4\ \text{J}}$ .

II.1 En D la boule est immobile ( $E_c = 0$ ) et sur le plan de référence ( $E_{pp} = 0$ ) : $\boxed{E(D) = 0}$ .

II.2 Idée : le poids est déjà compté dans $E_{pp}$ et la réaction normale ne travaille pas sur le sol horizontal : seule $\vec f$ fait varier l'énergie mécanique.

E(D) - E'(C) = W_{C\to D}(\vec f) = -\|\vec f\|\cdot CD

CD = \dfrac{E'(C)}{\|\vec f\|} = \dfrac{0{,}15\times23{,}44}{0{,}90}

CD \approx \boxed{3{,}9\ \text{m}}

II.3 $CD \approx 3{,}9\ \text{m} > 3{,}5\ \text{m}$ : la boule dépasse le cochonnet d'environ $0{,}4\ \text{m}$ . Pour s'arrêter à $3{,}5\ \text{m}$ de C, il faudrait $E'(C) = 0{,}90\times3{,}5 = 3{,}15\ \text{J}$ , soit $\dfrac{3{,}15}{23{,}4} \approx 0{,}13$ : la boule aurait dû conserver environ $13\ \%$ de $E(C)$ , donc dissiper $87\ \%$ de son énergie au choc.

5 Drill ME-E.5 — bille sur une piste à partie circulaire : atteint-elle le sommet S (

h = 2R

) ?

Entraînement 05 / 07

Drill ME-E.5 — bille sur une piste à partie circulaire : atteint-elle le sommet S ( $h = 2R$ ) ?

10 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Une bille (B), supposée ponctuelle, de masse $m = 80\ \text{g}$ , est abandonnée sans vitesse initiale en un point A d'une piste ANS formée :

d'une partie AN rectiligne inclinée, le point A étant à l'altitude $H = 1{,}20\ \text{m}$ au-dessus de N ;
d'une partie circulaire NS de centre O et de rayon $R = 0{,}40\ \text{m}$ , S étant le point le plus haut du cercle.

On néglige tout frottement et on suppose que la bille, abandonnée en A, reste constamment en contact avec la piste. Le plan horizontal passant par N est le plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur ( $E_{pp} = 0$ ) ; le repère terrestre est supposé galiléen. On donne $\|\vec g\| = 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ .

I — Trajet AN.

Citer les forces qui s'exercent sur la bille sur AN. Exprimer le travail $W_{A\to N}(\vec P)$ du poids en fonction de $m$ , $\|\vec g\|$ et $H$ ; le calculer et préciser s'il est moteur ou résistant.
Énoncer le théorème de l'énergie cinétique. En l'appliquant entre A et N, exprimer $E_c(N)$ en fonction de $m$ , $\|\vec g\|$ et $H$ , puis calculer la valeur $\|\vec v_N\|$ de la vitesse en N.
En déduire l'énergie mécanique $E_N$ du système {bille, Terre} en N.

II — Trajet circulaire NS. Le système {bille, Terre} est conservatif le long de NS. La bille passe en un point M d'altitude $h$ avec une vitesse de valeur $\|\vec v_M\|$ .

Exprimer l'énergie mécanique $E_M$ du système en M en fonction de $m$ , $\|\vec g\|$ , $h$ et $\|\vec v_M\|$ .
Montrer que $h = H - \dfrac{\|\vec v_M\|^2}{2\|\vec g\|}$ . Calculer $h$ pour $\|\vec v_M\| = 2{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ .
En déduire, en le justifiant, si la bille atteint le point S.
Le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi : calculer $W_{A\to S}(\vec P)$ et retrouver, par le théorème de l'énergie cinétique entre A et S, la vitesse de la bille en S.
On lâche maintenant la bille, sans vitesse, d'un point A' de la pente situé à $0{,}70\ \text{m}$ au-dessus de N. Peut-elle atteindre S ? Justifier par un argument énergétique.

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I.1 Sur AN s'exercent le poids $\vec P$ et la réaction $\vec R$ de la piste, normale à la piste puisque les frottements sont négligés. La bille descend de $H$ : le travail du poids est moteur.

W_{A\to N}(\vec P) = m\|\vec g\|H

W_{A\to N}(\vec P) = 0{,}080\times9{,}8\times1{,}20 \approx \boxed{0{,}941\ \text{J}}

I.2 Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures et intérieures appliquées à ce système entre ces deux instants : $\Delta E_c = \sum W$ . La réaction, perpendiculaire au déplacement, ne travaille pas et $E_c(A) = 0$ : $E_c(N) = W_{A\to N}(\vec P) = m\|\vec g\|H \approx 0{,}941\ \text{J}$ .

\|\vec v_N\| = \sqrt{2\|\vec g\|H} \approx \boxed{4{,}85\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}

I.3 N est sur le plan de référence : $E_N = E_c(N) + 0 = m\|\vec g\|H \approx 0{,}941\ \text{J}$ .

II.1 $E_M = \tfrac12 m\|\vec v_M\|^2 + m\|\vec g\|h$ .

h = 1{,}20 - \dfrac{2{,}8^2}{2\times9{,}8} = \boxed{0{,}80\ \text{m}}

II.3 Idée : comparer $h$ à l'altitude du sommet, $2R$ . $2R = 0{,}80\ \text{m} = h$ : le point M d'altitude $h$ est le sommet S. La bille atteint S, où elle passe avec une vitesse de $2{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ .

II.4 Idée : le travail du poids ne dépend que du dénivelé entre A et S, soit $H - 2R$ .

W_{A\to S}(\vec P) = m\|\vec g\|(H - 2R)

W_{A\to S}(\vec P) = 0{,}080\times9{,}8\times0{,}40 \approx 0{,}314\ \text{J}

Entre A et S la réaction ne travaille pas : $\tfrac12 m\|\vec v_S\|^2 = W_{A\to S}(\vec P)$ , d'où $\|\vec v_S\| = \sqrt{\dfrac{2\times0{,}3136}{0{,}080}} = \sqrt{7{,}84} = \boxed{2{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}$ : même valeur que celle trouvée en II.3, obtenue sans passer par N.

II.5 Idée : pour être en S, même à vitesse nulle, il faut une énergie mécanique au moins égale à $m\|\vec g\|\,2R$ . Lâchée de A', la bille a $E = m\|\vec g\|\times0{,}70 \approx 0{,}549\ \text{J}$ , énergie qui se conserve ; or $m\|\vec g\|\,2R \approx 0{,}627\ \text{J}$ . Comme $0{,}549 < 0{,}627$ , la bille ne peut pas atteindre S : elle ne peut jamais s'élever au-dessus de $0{,}70\ \text{m}$ .

6 Drill ME-E.6 — plongeur : théorème de l'énergie cinétique jusqu'au sommet, conservation jusqu'à la surface de l'eau

Entraînement 06 / 07

Drill ME-E.6 — plongeur : théorème de l'énergie cinétique jusqu'au sommet, conservation jusqu'à la surface de l'eau

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

À l'instant $t_0 = 0$ , un plongeur de masse $m = 65\ \text{kg}$ quitte un plongeoir. Son centre d'inertie G part de la position P₀, à la hauteur $h_0 = 5{,}0\ \text{m}$ au-dessus de la surface de l'eau, avec une vitesse de valeur $\|\vec v_0\| = 5{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ dirigée vers le haut et vers l'avant. G passe à l'instant $t_1$ par la position P₁, point le plus haut de sa trajectoire, à la hauteur $h_1 = 5{,}8\ \text{m}$ , puis atteint la surface de l'eau au point E.

On néglige tout frottement ; le repère terrestre est supposé galiléen ; le plan horizontal de la surface libre de l'eau est le plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur ( $E_{pp} = 0$ ). On donne $\|\vec g\| = 10\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ .

Donner les caractéristiques (direction, sens, valeur) du poids $\vec P$ du plongeur lorsque G est en P₁.
Exprimer le travail $W_{P_0\to P_1}(\vec P)$ du poids entre P₀ et P₁ en fonction de $m$ , $\|\vec g\|$ , $h_0$ et $h_1$ ; le calculer.
Théorème de l'énergie cinétique :
1. Énoncer le théorème de l'énergie cinétique.
2. En l'appliquant entre $t_0$ et $t_1$ , établir l'expression de $\|\vec v_1\|$ en fonction de $\|\vec v_0\|$ , $\|\vec g\|$ , $h_0$ et $h_1$ , puis la calculer.
3. La vitesse en P₁ est-elle nulle ? Interpréter.
Énergie mécanique :
1. Calculer l'énergie mécanique $E_1$ du système {plongeur, Terre} en P₁.
2. Justifier que ce système est conservatif entre P₁ et E.
3. En déduire la valeur $\|\vec v_E\|$ de la vitesse de G lorsqu'il atteint la surface de l'eau.
4. Retrouver $\|\vec v_E\|$ en écrivant directement la conservation de l'énergie mécanique entre P₀ et E.
Le même plongeur s'élance maintenant d'un plongeoir de $10\ \text{m}$ , avec la même vitesse initiale. Sa vitesse d'entrée dans l'eau est-elle doublée ? Justifier par le calcul.

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1. Le poids est appliqué en G, vertical, dirigé vers le bas, de valeur $\|\vec P\| = m\|\vec g\| = 65\times10 = \boxed{650\ \text{N}}$ .

2. Idée : de P₀ à P₁ le plongeur monte de $h_1 - h_0 = 0{,}8\ \text{m}$ : travail résistant.

W_{P_0\to P_1}(\vec P) = m\|\vec g\|(h_0 - h_1)

W_{P_0\to P_1}(\vec P) = 65\times10\times(-0{,}8) = \boxed{-520\ \text{J}}

3.a Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures et intérieures appliquées à ce système entre ces deux instants : $\Delta E_c = \sum W$ .

\|\vec v_1\| = \sqrt{\|\vec v_0\|^2 - 2\|\vec g\|(h_1 - h_0)}

\|\vec v_1\| = \sqrt{25 - 16} = \boxed{3{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}

c. Non : en P₁ seule la composante verticale de la vitesse s'annule. Aucune force horizontale ne s'exerce, la composante horizontale se conserve : $\|\vec v_1\|$ est la vitesse horizontale du plongeur.

4.a $E_1 = \tfrac12 m\|\vec v_1\|^2 + m\|\vec g\|h_1 = 292{,}5 + 3770 = \boxed{4062{,}5\ \text{J}}$ .

b. Les frottements étant négligés, la seule force est le poids, force conservative déjà comptée dans $E_{pp}$ : l'énergie mécanique ne varie pas, le système est conservatif.

c. En E, $E_{pp} = 0$ , donc $\tfrac12 m\|\vec v_E\|^2 = E_1 = \tfrac12 m\|\vec v_1\|^2 + m\|\vec g\|h_1$ :

\|\vec v_E\| = \sqrt{\|\vec v_1\|^2 + 2\|\vec g\|h_1}

\|\vec v_E\| = \sqrt{9 + 116} \approx \boxed{11{,}2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}

d. Le système est conservatif sur tout le saut : $\tfrac12 m\|\vec v_0\|^2 + m\|\vec g\|h_0 = \tfrac12 m\|\vec v_E\|^2$ , soit $\|\vec v_E\| = \sqrt{25 + 100} \approx 11{,}2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ : la montée jusqu'à P₁ ne change pas la vitesse d'entrée dans l'eau.

5. $\|\vec v'_E\| = \sqrt{\|\vec v_0\|^2 + 2\|\vec g\|\times10} = \sqrt{225} = 15\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , et $\dfrac{15}{11{,}2} \approx 1{,}34$ . La vitesse n'est pas doublée : $\|\vec v_E\| = \sqrt{\|\vec v_0\|^2 + 2\|\vec g\|h_0}$ n'est pas proportionnelle à la hauteur $h_0$ du plongeoir.

7 Drill ME-E.7 — bob : vitesse mesurée inférieure à la vitesse prévue, système non conservatif et force de frottement

Entraînement 07 / 07

Drill ME-E.7 — bob : vitesse mesurée inférieure à la vitesse prévue, système non conservatif et force de frottement

7 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un bob biplace et son équipage forment un système de masse $M = 380\ \text{kg}$ , assimilé à un point matériel. Le bob passe au point B d'une piste glacée avec une vitesse de valeur $\|\vec v_B\| = 10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , puis descend le trajet curviligne BC, de longueur $L = 280\ \text{m}$ , le point B étant à la hauteur $H = 30\ \text{m}$ au-dessus de C. Au-delà de C, une rampe de décélération rectiligne CE, montante, longue de $50\ \text{m}$ et inclinée d'un angle $\alpha$ tel que $\sin\alpha = 0{,}10$ , permet l'arrêt du bob.

Le repère terrestre est supposé galiléen ; le plan horizontal passant par C est le plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur ( $E_{pp} = 0$ ). On donne $\|\vec g\| = 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ .

I — Trajet BC.

Exprimer l'énergie mécanique $E_1$ du système {bob, Terre} en B en fonction de $M$ , $\|\vec g\|$ , $H$ et $\|\vec v_B\|$ ; la calculer.
En supposant le système conservatif sur BC, calculer la valeur de la vitesse que le bob devrait avoir en C.
Le chronométrage donne en réalité, en C, une vitesse de valeur $\|\vec v_C\| = 24{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ .
1. Calculer l'énergie mécanique $E_2$ du système en C.
2. Comparer $E_1$ et $E_2$ . Conclure.
3. Calculer la variation $\Delta E$ de l'énergie mécanique du système entre B et C.
Les frottements sur BC sont équivalents à une force $\vec f$ de valeur constante, toujours opposée au mouvement. Exprimer $\Delta E$ en fonction de $\|\vec f\|$ et $L$ , puis en déduire $\|\vec f\|$ .

II — Rampe de décélération CE. Sur la rampe, le pilote freine : l'ensemble des frottements et du freinage est équivalent à une force $\vec f'$ constante, parallèle à CE, opposée au mouvement, de valeur $\|\vec f'\| = 2000\ \text{N}$ . On note D le point de la droite CE où la vitesse du bob s'annule.

Exprimer le travail du poids $W_{C\to D}(\vec P)$ en fonction de $M$ , $\|\vec g\|$ , $\alpha$ et de la distance CD.
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique entre C et D, exprimer CD en fonction de $M$ , $\|\vec v_C\|$ , $\|\vec g\|$ , $\sin\alpha$ et $\|\vec f'\|$ , puis la calculer.
Le bob s'arrête-t-il avant l'extrémité E de la rampe ? Justifier.

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I.1 Idée : en B, le bob a à la fois de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle ( $B$ est à $H$ au-dessus du plan de référence).

E_1 = \tfrac12 M\|\vec v_B\|^2 + M\|\vec g\|H

E_1 = 19\,000 + 111\,720 \approx \boxed{1{,}31\times10^{5}\ \text{J}}

I.2 Si le système était conservatif, $\tfrac12 M v_{C,\text{th}}^2 = E_1$ (en C, $E_{pp} = 0$ ), soit :

v_{C,\text{th}} = \sqrt{\|\vec v_B\|^2 + 2\|\vec g\|H}

v_{C,\text{th}} = \sqrt{100 + 588} \approx \boxed{26{,}2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}

I.3.a $E_2 = \tfrac12 M\|\vec v_C\|^2 = 0{,}5\times380\times24{,}0^2 \approx \boxed{1{,}09\times10^{5}\ \text{J}}$ .

b. $E_2 < E_1$ : l'énergie mécanique a diminué entre B et C, le système {bob, Terre} n'est pas conservatif — des forces de frottement ont dissipé de l'énergie, ce que confirme la vitesse mesurée, inférieure aux $26{,}2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ prévus.

\Delta E = E_2 - E_1 = 109\,440 - 130\,720

\Delta E = \boxed{-2{,}13\times10^{4}\ \text{J}}

I.4 Idée : la variation de l'énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives ; le poids est déjà compté dans $E_{pp}$ et la réaction normale ne travaille pas. La force $\vec f$ , de valeur constante et toujours opposée au mouvement, travaille sur toute la longueur $L$ du trajet :

\Delta E = W_{B\to C}(\vec f) = -\|\vec f\|\,L

\|\vec f\| = \dfrac{21\,280}{280} = \boxed{76\ \text{N}}

II.1 De C à D le bob s'élève de $CD\,\sin\alpha$ : $W_{C\to D}(\vec P) = -M\|\vec g\|\,CD\,\sin\alpha$ .

II.2 En D, $E_c(D) = 0$ . La réaction normale ne travaille pas ; $W_{C\to D}(\vec f') = -\|\vec f'\|\,CD$ . Le théorème donne $0 - \tfrac12 M\|\vec v_C\|^2 = -M\|\vec g\|\,CD\,\sin\alpha - \|\vec f'\|\,CD$ , d'où :

CD = \dfrac{M\|\vec v_C\|^2}{2(M\|\vec g\|\sin\alpha + \|\vec f'\|)}

CD = \dfrac{109\,440}{372{,}4 + 2000} \approx \boxed{46\ \text{m}}

II.3 $CD \approx 46\ \text{m} < 50\ \text{m}$ : le bob s'arrête sur la rampe, environ $4\ \text{m}$ avant son extrémité, après s'être élevé de $46\times0{,}10 \approx 4{,}6\ \text{m}$ .

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Descente sans frottement puis freinage : conservation de l'énergie mécanique, puis théorème de l'énergie cinétique

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill ME-E.1 — retrouver la force motrice sur la portion horizontale

Drill ME-E.2 — deux freinages à comparer

Drill ME-E.3 — lancer vertical : poussée de la main puis montée libre, la balle touche-t-elle le plafond ?

Drill ME-E.4 — boule de pétanque : vol sans frottement, choc au sol puis roulage, $\Delta E = W(\vec f)$ sur le tronçon horizontal

Drill ME-E.5 — bille sur une piste à partie circulaire : atteint-elle le sommet S ( $h = 2R$ ) ?

Drill ME-E.6 — plongeur : théorème de l'énergie cinétique jusqu'au sommet, conservation jusqu'à la surface de l'eau

Drill ME-E.7 — bob : vitesse mesurée inférieure à la vitesse prévue, système non conservatif et force de frottement

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