ME-EMécanique énergétique (théorème de l'énergie cinétique)

Descente sans frottement puis freinage : conservation de l'énergie mécanique, puis théorème de l'énergie cinétique

Idée directrice

Le parcours est coupé en deux et chaque moitié appelle son propre outil. Sur la portion où seul le poids travaille, on écrit la conservation de l'énergie mécanique et on en tire la vitesse au point de raccordement. Sur la portion où une force de frottement ou une force motrice intervient, on écrit le théorème de l'énergie cinétique : la variation d'énergie cinétique est la somme algébrique des travaux, et c'est elle qui donne la distance d'arrêt ou l'intensité de la force cherchée.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Donner l'expression de l'energie potentielle Ep(A) du systeme (chariot, terre) au point A » ; « justifier que le systeme (chariot, terre) est conservatif » ; « Montrer alors que vB = racine de 2gh » ; « Enoncer le theoreme de l'energie cinetique » ; « Exprimer le travail W(f) de la force de frottement sur le trajet BC en fonction de d et f » ; « calculer la distance d » ; « Preciser en le justifiant, si le chariot (S) atteint le point C ou non »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

7 questionsCorrigé masqué

Un chariot (S), supposé ponctuel, de masse $m = 60\,\text{kg}$ , aborde une piste formée de deux trajets consécutifs :

le trajet AB, rectiligne et incliné, sur lequel le chariot descend d'une hauteur $H = 3{,}2\,\text{m}$ ; il y est parcouru sans frottement ;
le trajet BC, horizontal, de longueur $BC = 25\,\text{m}$ .

Le chariot est abandonné en A sans vitesse initiale à l'instant $t_A = 0$ . On se réfère à un repère terrestre supposé galiléen et on prend le plan horizontal contenant BC comme plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur ( $E_{pp} = 0$ ). On donne $\|\vec g\| = 10\,\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ .

Partie I — mouvement du chariot sur le trajet AB.

Énergies aux extrémités du trajet :
1. donner l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}(A)$ du système {chariot, Terre} en A en fonction de $m$ , $\|\vec g\|$ et $H$ , puis calculer sa valeur ;
2. donner l'expression de l'énergie cinétique $E_c(B)$ du chariot en B en fonction de $m$ et de la valeur $v_B$ de sa vitesse.
Conservation :
1. justifier que le système {chariot, Terre} est conservatif sur le trajet AB ;
2. en déduire l'égalité $E(A) = E(B)$ , puis montrer que $v_B = \sqrt{2\,\|\vec g\|\,H}$ et calculer $v_B$ .

Partie II — mouvement du chariot sur le trajet BC. Arrivé en B avec la vitesse précédente, le chariot est soumis, tout au long de BC, à une force de frottement $\vec f$ constante, de valeur $f = 96\,\text{N}$ , de même direction que le déplacement et de sens contraire. Il s'immobilise en un point M situé à la distance $d$ de B.

Citer les forces extérieures qui s'exercent sur le chariot sur le trajet BC et préciser, pour chacune, si son travail est moteur, résistant ou nul.
Application du théorème :
1. énoncer le théorème de l'énergie cinétique ;
2. exprimer le travail $W_{B\to M}(\vec f)$ de la force de frottement en fonction de $f$ et $d$ ;
3. en appliquant le théorème de l'énergie cinétique au chariot entre B et M, déterminer l'expression de $d$ en fonction de $m$ , $v_B$ et $f$ , puis calculer $d$ ;
4. préciser, en le justifiant, si le chariot atteint le point C.
On lâche maintenant le chariot, toujours sans vitesse initiale, d'une hauteur $h'$ telle qu'il s'immobilise exactement en C. La force de frottement sur BC garde la même valeur. Déterminer l'expression de $h'$ en fonction de $f$ , $BC$ , $m$ et $\|\vec g\|$ , puis calculer $h'$ .

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I.1.a. Idée : le plan de référence est le plan horizontal de BC, donc l'altitude de A vaut $H$ .

E_{pp}(A) = m\,\|\vec g\|\,H = 60 \times 10 \times 3{,}2 = \boxed{1{,}92\times10^{3}\ \text{J}}

b. En B le chariot est sur le plan de référence, donc $E_{pp}(B) = 0$ et $E_c(B) = \tfrac{1}{2}\,m\,v_B^2$ .

I.2.a. Idée : « conservatif » se justifie par la liste des forces, pas par l'énoncé. Sur AB, les forces extérieures sont le poids — force conservative, déjà comptée dans $E_{pp}$ — et la réaction du plan, perpendiculaire au déplacement donc de travail nul. Aucune force dissipative n'intervient : la variation d'énergie mécanique est nulle, le système {chariot, Terre} est conservatif sur AB.

b. Il en résulte $E(A) = E(B)$ , c'est-à-dire $m\,\|\vec g\|\,H + 0 = 0 + \tfrac{1}{2}m v_B^2$ , la vitesse en A étant nulle. La masse se simplifie :

v_B = \sqrt{2\,\|\vec g\|\,H} = \sqrt{2 \times 10 \times 3{,}2} = \boxed{8{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}

II.1. Sur BC s'exercent : le poids, vertical, perpendiculaire au déplacement horizontal, donc de travail nul ; la réaction normale du plan, également perpendiculaire au déplacement, de travail nul ; la force de frottement $\vec f$ , de sens contraire au déplacement, donc de travail résistant.

II.2.a. Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures et intérieures appliquées à ce système entre ces deux instants.

b. La force est constante et directement opposée au déplacement, de longueur $d$ :

W_{B\to M}(\vec f) = -\,f\,d

c. Entre B et M, le chariot passe de $v_B$ à une vitesse nulle, et seul $\vec f$ travaille :

0 - \tfrac{1}{2}m v_B^2 = -\,f\,d \quad\Longrightarrow\quad d = \dfrac{m\,v_B^{2}}{2f}

d = \dfrac{60 \times (8{,}0)^2}{2 \times 96} = \boxed{20\ \text{m}}

d. La distance parcourue avant l'arrêt, $20\,\text{m}$ , est inférieure à $BC = 25\,\text{m}$ : le chariot s'immobilise avant C, qu'il n'atteint donc pas.

II.3. Idée : imposer l'arrêt exactement en C fixe l'énergie à dissiper, donc la hauteur de lâcher. Entre le nouveau point de départ, à la hauteur $h'$ , et le point C, la vitesse est nulle aux deux extrémités. Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à tout le parcours donne $0 = W(\vec P) + W(\vec f)$ , soit $m\,\|\vec g\|\,h' = f \times BC$ :

h' = \dfrac{f \times BC}{m\,\|\vec g\|} = \dfrac{96 \times 25}{60 \times 10} = \boxed{4{,}0\ \text{m}}

La hauteur nécessaire est supérieure à $H = 3{,}2\,\text{m}$ , ce qui est cohérent avec le fait que, lâché de $H$ , le chariot s'arrêtait avant C.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill ME-E.1 — retrouver la force motrice sur la portion horizontale

3 questionsCorrigé masqué

Un cycliste et sa bicyclette, assimilés à un point matériel de masse totale $m = 80\,\text{kg}$ , abordent un trajet horizontal BM de longueur $d_1 = 40\,\text{m}$ . Le cycliste passe en B avec une vitesse de valeur $v_B = 6{,}0\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ et atteint M avec une vitesse de valeur $v_M = 10{,}0\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ .

Sur ce trajet il pédale : le mouvement est assuré par une force motrice $\vec F$ constante, de même direction et de même sens que le déplacement. Les frottements y sont négligés. On prend $\|\vec g\| = 9{,}8\,\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ .

Exprimer le travail $W_{B\to M}(\vec F)$ de la force motrice en fonction de sa valeur $F$ et de $d_1$ .
Citer les forces extérieures qui s'exercent sur le cycliste, puis préciser pourquoi le travail du poids et celui de la réaction du plan sont nuls sur ce trajet.
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique entre B et M, déterminer l'expression de $F$ en fonction de $m$ , $v_B$ , $v_M$ et $d_1$ , puis calculer sa valeur.

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Idée : sur une portion horizontale, une seule force travaille ; le théorème de l'énergie cinétique se réduit alors à une seule égalité.

1. La force motrice est constante, de même sens que le déplacement de longueur $d_1$ :

W_{B\to M}(\vec F) = +\,F\,d_1

2. Les forces extérieures sont le poids, la réaction du plan et la force motrice. Le déplacement est horizontal : le travail du poids est nul parce que le poids est vertical, et celui de la réaction du plan est nul parce qu'elle est normale au support, donc perpendiculaire au déplacement.

3. Le théorème de l'énergie cinétique entre B et M s'écrit $\tfrac{1}{2}m v_M^2 - \tfrac{1}{2}m v_B^2 = F\,d_1$ , d'où :

F = \dfrac{m\,(v_M^{2} - v_B^{2})}{2\,d_1} = \dfrac{80 \times (10{,}0^2 - 6{,}0^2)}{2 \times 40} = \boxed{64\ \text{N}}

La valeur est positive, ce qui est cohérent avec une force effectivement motrice : elle apporte l'énergie qui fait croître la vitesse.

Entraînement 02 / 02

Drill ME-E.2 — deux freinages à comparer

4 questionsCorrigé masqué

Un traîneau de masse $m = 50\,\text{kg}$ aborde une piste horizontale avec une vitesse de valeur $v_0 = 12\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ . Il est alors soumis à une force de frottement constante, opposée au déplacement, de valeur $f = 150\,\text{N}$ , jusqu'à l'arrêt complet.

On envisage ensuite une seconde descente, identique, mais avec une vitesse d'arrivée deux fois plus grande, $v_0' = 24\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , la force de frottement gardant la même valeur.

Citer les forces extérieures qui s'exercent sur le traîneau et préciser laquelle fait partie des forces dissipatives.
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique entre l'entrée sur la piste et l'arrêt, déterminer l'expression de la distance d'arrêt $d$ en fonction de $m$ , $v_0$ et $f$ , puis calculer sa valeur.
Calculer la distance d'arrêt $d'$ dans le second cas et donner le rapport $d'/d$ .
Comparer l'énergie cinétique à dissiper dans les deux cas, puis préciser, pour chacun d'eux, si la consigne d'arrêt imposée par un panneau situé $60\,\text{m}$ après l'entrée sur la piste est respectée.

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Idée : la distance d'arrêt n'est pas proportionnelle à la vitesse mais à son carré ; c'est tout l'enjeu de la question 3.

1. Les forces extérieures sont le poids, la réaction normale de la piste et la force de frottement. Seule cette dernière fait partie des forces dissipatives : elle prélève de l'énergie mécanique au système et la convertit en transfert thermique.

2. Sur la piste horizontale, le poids et la réaction normale ne travaillent pas. Le théorème de l'énergie cinétique entre l'entrée et l'arrêt donne $0 - \tfrac{1}{2}m v_0^2 = -f\,d$ , soit :

d = \dfrac{m\,v_0^{2}}{2f} = \dfrac{50 \times 12^{2}}{2 \times 150} = \boxed{24\ \text{m}}

3. La même relation, appliquée à la seconde descente où seule la vitesse d'arrivée change :

d' = \dfrac{50 \times 24^{2}}{2 \times 150} = 96\ \text{m} \qquad ; \qquad \dfrac{d'}{d} = 4

Doubler la vitesse d'arrivée quadruple la distance nécessaire, parce que l'énergie cinétique à dissiper varie comme le carré de la vitesse alors que la force de freinage, elle, ne change pas.

4. Dans le premier cas $24\,\text{m} < 60\,\text{m}$ : le traîneau s'immobilise largement avant le panneau. Dans le second, $96\,\text{m} > 60\,\text{m}$ : la consigne n'est pas respectée, il faudrait un freinage plus intense — au moins $f' = m v_0'^2/(2 \times 60) = 240\,\text{N}$ .

Méthode / Automatismes

Découper le parcours aux points où la liste des forces change : une portion sans frottement, une portion avec.
Sur la portion sans frottement : conservation de l'énergie mécanique, $E(A)=E(B)$ — la masse se simplifie et $v=\sqrt{2gh}$ .
Sur la portion avec frottement ou force motrice : théorème de l'énergie cinétique, $\Delta E_c = \sum W$ .
Écrire chaque travail avec son signe avant de remplacer les valeurs : $W(\vec f) = -f\,d$ , $W(\vec P) = \pm m\,\|\vec g\|\,h$ .
Comparer la distance d'arrêt calculée à la longueur réellement disponible : c'est cette comparaison qui répond à la question posée.

Pièges classiques

Appliquer la conservation de l'énergie mécanique sur la portion où le frottement travaille : elle n'y est plus valable.
Oublier le signe moins du travail de la force de frottement et trouver une distance d'arrêt négative.
Compter deux fois le travail du poids : une fois dans $E_{pp}$ , une fois dans la somme des travaux.
Faire travailler la réaction normale du plan alors qu'elle est perpendiculaire au déplacement.
Répondre « le chariot atteint C » sans comparer $d$ à $BC$ .