ME-DMécanique énergétique (théorème de l'énergie cinétique)

TEC sur une balle — travail du poids et vitesse

Idée directrice

Énoncer le théorème de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen, l'appliquer au travail du poids $W(\vec P)$ , et en déduire une vitesse ; identifier un système conservatif (pas de forces dissipatives).

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« référentiel Galiléen »

« variation de l'énergie cinétique »

« forces dissipatives »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Toujours préciser le référentiel et le système.
Poids = force conservative ⇒ $W=-\Delta E_{pp}$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier le signe de $W(\vec P)$ en montée ; confondre $E_c$ et $E_m$ .

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsCorrigé masqué

Une balle de tennis de masse $m=58\,\mathrm{g}$ est lancée verticalement vers le haut depuis le point $A$ avec la vitesse $v_A$ ; au point $B$ , situé à la hauteur $h$ au-dessus de $A$ , elle s'arrête momentanément avant de retomber jusqu'au sol en $D$ . On néglige les frottements et l'on prend $g=9{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ . Entre $A$ et $B$ , le travail du poids vaut $W_{A\to B}(\vec P)=-0{,}285\,\mathrm{J}$ .

Énoncer le théorème de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen entre deux instants.
Appliquer ce théorème entre $A$ et $B$ . En déduire l'expression de $v_A$ puis sa valeur.
Déduire la hauteur $h$ atteinte.
En l'absence de forces dissipatives, que peut-on dire de l'énergie mécanique entre $B$ et $D$ ? Quelle est la vitesse de la balle en $D$ si $D$ est $1{,}20\,\mathrm{m}$ plus bas que $A$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : c'est l'énoncé exigible du programme, mot pour mot. Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un système matériel entre deux instants est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces (extérieures et intérieures) qui s'exercent sur lui entre ces deux instants : $\Delta E_c=\sum W(\vec F)$ .

2. Idée : seule le poids travaille ; en $B$ la vitesse est nulle. $E_c(B)-E_c(A)=W_{A\to B}(\vec P)$ , soit $0-\tfrac12mv_A^2=-0{,}285$ , d'où $v_A=\sqrt{\dfrac{2\times0{,}285}{m}}=\sqrt{\dfrac{0{,}570}{0{,}058}}\approx\boxed{3{,}1\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}}$ .

3. Idée : le travail du poids en montée est $-mgh$ . $-mgh=-0{,}285\Rightarrow h=\dfrac{0{,}285}{0{,}058\times9{,}8}\approx\boxed{0{,}50\,\mathrm{m}}$ . Vérification par la cinématique : $h=\dfrac{v_A^2}{2g}=\dfrac{9{,}8}{19{,}6}=0{,}50\,\mathrm{m}$ .

4. Idée : sans frottement le système {balle, Terre} est conservatif. L'énergie mécanique se conserve : $E(D)=E(B)=E(A)$ . En prenant $E_{pp}=0$ en $D$ : $\tfrac12mv_D^2=\tfrac12mv_A^2+mg\times1{,}20$ , d'où $v_D=\sqrt{v_A^2+2g\times1{,}20}=\sqrt{9{,}8+23{,}5}\approx\boxed{5{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}}$ : la balle repasse en $A$ à $3{,}1\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ et accélère encore sur $1{,}20\,\mathrm{m}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill ME-D.1 — Force conservative

Entraînement 01 / 02

Drill ME-D.1 — Force conservative

1 questionCorrigé masqué

Le corrigé 2019 sport affirme que le poids est une force conservative. Quelle propriété du travail du poids justifie ce caractère, et quel lien avec l'énergie potentielle de pesanteur dans le théorème de l'énergie cinétique / bilan d'énergie mécanique ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Le travail du poids est indépendant du chemin suivi par son point d'application. On peut donc définir une énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}=mgh$ . Dans un système conservatif (pas de forces dissipatives), la variation d'énergie cinétique compense celle d'énergie potentielle et l'énergie mécanique se conserve.

2 Transfert — mesurer la force de frottement, puis dimensionner la piste

Entraînement 02 / 02

Transfert — mesurer la force de frottement, puis dimensionner la piste

4 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Sur une piste rectiligne, un lugeur et son engin, de masse totale $m=70\,\mathrm{kg}$ , partent sans vitesse initiale d'un point $A$ et descendent jusqu'en $B$ , avec $AB=40\,\mathrm{m}$ le long d'une piste inclinée d'un angle $\alpha=12^\circ$ sur l'horizontale. Une cellule chronométrique mesure en $B$ une vitesse $v_B=10\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ . On prend $g=9{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ . Le référentiel terrestre est supposé galiléen ; le lugeur et son engin sont modélisés par un mobile en translation, d’énergie cinétique $mv^2/2$ .

Les actions de la neige sur la luge se décomposent en une réaction normale au support, qui ne travaille pas, et une force de frottement $\vec f$ supposée constante, de même direction que le déplacement et de sens opposé. On ne néglige donc pas les forces dissipatives. Pour la seule vérification du départ, on suppose en plus que la force maximale de frottement statique ne dépasse pas la valeur f déterminée pendant le glissement. Cette hypothèse est propre au modèle et ne découle pas de la mesure de vitesse.

Énoncer le théorème de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen. Calculer le dénivelé $h$ entre $A$ et $B$ , puis le travail du poids $W_{A\to B}(\vec{P})$ .
Appliquer le théorème entre $A$ et $B$ : en déduire le travail de la force de frottement, puis l'intensité $f$ de cette force.
Calculer l'énergie mécanique du système en $A$ puis en $B$ , en prenant l'énergie potentielle de pesanteur nulle en $B$ . Le système est-il conservatif ? Qu'est devenue l'énergie manquante ?
Le règlement de la station impose une vitesse d'arrivée d'au plus $8{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ . En conservant la même pente et la même force de frottement, déterminer la longueur maximale de piste admissible. Vérifier au passage que la luge démarre bien toute seule.

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : c'est l'énoncé exigible, et il faut le poser avant tout calcul. Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un système matériel entre deux instants est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces, extérieures et intérieures, appliquées au système entre ces deux instants : $\Delta E_c=\sum W(\vec F)$ .

Dénivelé : $h=AB\,\sin\alpha=40\times\sin 12^\circ=40\times0{,}208\approx8{,}32\,\mathrm{m}$ . Le poids est moteur à la descente :

W_{A\to B}(\vec P)=+m\,g\,h=70\times9{,}8\times8{,}32\approx 5{,}71\times10^{3}\ \mathrm{J}

On peut aussi l'écrire $m g\sin\alpha\times AB=142{,}6\times40$ , ce qui donne la même valeur et fournit au passage la composante motrice $mg\sin\alpha=142{,}6\,\mathrm{N}$ , utile à la question 4.

2. Idée : trois forces agissent, mais une seule est inconnue. Le départ se fait sans vitesse, donc $\Delta E_c=\tfrac12 m v_B^2-0=\tfrac12\times70\times10^2=3{,}50\times10^{3}\,\mathrm{J}$ . La réaction normale est perpendiculaire au déplacement : $W(\vec R_N)=0$ . Le théorème donne alors

W(\vec f)=\Delta E_c-W(\vec P)\approx3\,500-5\,705\approx-2{,}21\times10^{3}\ \mathrm{J}

Le travail est négatif, comme il se doit pour une force opposée au déplacement. Comme $\vec f$ est constante et colinéaire au déplacement, $W(\vec f)=-f\times AB$ , d'où $f=\dfrac{2\,205}{40}\approx\mathbf{55\,N}$ . On mesure donc une force qu'aucun dynamomètre n'a touchée : c'est le bilan d'énergie qui la donne.

3. Idée : comparer l'énergie mécanique à deux instants, pas la calculer une fois. Avec $E_{pp}=0$ en $B$ : en $A$ , la vitesse est nulle et l'altitude vaut $h$ , donc $E_m(A)=0+mgh=5{,}71\times10^{3}\,\mathrm{J}$ ; en $B$ , l'altitude est nulle, donc $E_m(B)=\tfrac12mv_B^2=3{,}50\times10^{3}\,\mathrm{J}$ .

$\Delta E_m=E_m(B)-E_m(A)\approx-2{,}21\times10^3\,\mathrm{J}$ , égal au travail des frottements dans ce modèle. L’énergie mécanique n’est pas conservée. Elle est principalement convertie en énergie interne des surfaces en contact ; une baisse d’énergie mécanique ne signifie pas une disparition de l’énergie totale.

4. Idée : on garde le même bilan, mais l'inconnue change de place — c'est la longueur, pas la vitesse. Sur une longueur $L$ avec les mêmes $\alpha$ et $f$ :

\tfrac12 m v^2=\bigl(m g\sin\alpha-f\bigr)L\quad\Longrightarrow\quad L=\frac{\tfrac12 m v^2}{m g\sin\alpha-f}=\frac{\tfrac12\times70\times8{,}0^{2}}{142{,}6-55{,}1}=\frac{2\,240}{87{,}5}\approx 25{,}6\ \mathrm{m}

La piste actuelle de $40\,\mathrm{m}$ ne respecte donc pas le règlement : il faut la ramener à $25{,}6\,\mathrm{m}$ au plus, soit un raccourcissement de $36\,\%$ pour une réduction de vitesse de $20\,\%$ seulement — la vitesse varie comme $\sqrt L$ , pas comme $L$ .

La composante motrice vaut environ $142{,}6\,\mathrm{N}$ , supérieure à $f\approx55{,}1\,\mathrm{N}$ . Avec l’hypothèse supplémentaire que le seuil de frottement statique ne dépasse pas cette valeur, la force tangentielle ne peut être équilibrée au repos : le mobile démarre vers le bas. Sans cette hypothèse, la vitesse mesurée pendant le glissement ne suffirait pas à déterminer le seuil de démarrage. Une fois en glissement, $mg\sin\alpha-f>0$ donne une accélération positive et permet l’inversion du bilan énergétique pour obtenir une longueur admissible.

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