ME-CMécanique énergétique (théorème de l'énergie cinétique)

Travail du poids et hauteur atteinte

Idée directrice

Les sujets Sport (coup franc, service de tennis) combinent travail du poids $W(P)=\pm mgh$ et TEC pour décider si un obstacle est franchi.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« travail du poids »

« ne dépend pas du chemin suivi »

« variation de l'énergie cinétique »

Sujet principal

Coup franc — hauteur et théorème de l'énergie cinétique

3 questionsCorrigé masqué

Un ballon de masse $m$ quitte le point O avec la vitesse $v_O$ et passe au point A à la hauteur $h_A$ avec la vitesse $v_A$ . On néglige les frottements. Le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi.

Exprimer $W_{O\to A}(P)$ en fonction de $m$ , $g$ et $h_A$ (montée).
Appliquer le théorème de l'énergie cinétique entre O et A et en déduire $h_A$ en fonction de $v_O$ , $v_A$ et $g$ .
Application : $v_O=8{,}0\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}}$ , $v_A=4{,}0\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}}$ , $g=9{,}8\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}$ . Calculer $h_A$ . Un mur de hauteur $H=1{,}80\,\mathrm{m}$ arrête-t-il le ballon ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. En montée, le travail du poids est négatif :

W_{O\to A}(P)=-m g h_A.

2. Théorème de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen :

\frac{1}{2}m v_A^2-\frac{1}{2}m v_O^2=-m g h_A \implies h_A=\frac{v_O^2-v_A^2}{2g}.

3. Application numérique :

h_A=\frac{64-16}{2\times 9{,}8}=\frac{48}{19{,}6}=\boxed{2{,}45\ \mathrm{m}}.

Comme $h_A=2{,}45\,\mathrm{m}>H=1{,}80\,\mathrm{m}$ , le mur n'arrête pas le ballon.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill ME-C.1 — travail du poids descendant

2 questionsCorrigé masqué

Un corps de masse $m$ descend d'une hauteur $h$ de A vers B. Le travail du poids est celui d'une force conservative : il ne dépend pas du chemin. On se placera ensuite sous le théorème de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen.

Donner $W_{A\to B}(P)$ en descente.
Pourquoi ce travail ne dépend-il pas du chemin suivi ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. En descente : $W_{A\to B}(P)=+m g h$ (ou $P\cdot h$ avec $P=mg$ ).

2. Le poids est une force conservative : son travail entre deux points ne dépend que de la différence de hauteur, pas du trajet.

Entraînement 02 / 02

Drill ME-C.2 — service et distance horizontale (lecture d'un résultat)

2 questionsCorrigé masqué

Après application du théorème de l'énergie cinétique et conservation de l'énergie mécanique (pas de frottement, système conservatif), on a obtenu $v_D=32{,}0\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}}$ au niveau du sol. La durée de vol restante est $t_D=0{,}60\,\mathrm{s}$ . La ligne de fond est à $x_L=19{,}90\,\mathrm{m}$ .

Calculer la distance horizontale $x_D=v_D\,t_D$ .
Le service est-il réussi si l'on exige $x_D<x_L$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $x_D=32{,}0\times 0{,}60=\boxed{19{,}2\ \mathrm{m}}$ .

2. $19{,}2\,\mathrm{m}<19{,}90\,\mathrm{m}$ : le service est réussi.

Méthode / Automatismes

Fixer l'origine des hauteurs avant d'écrire $W(P)$ .
Comparer $h_A$ à la hauteur de l'obstacle, pas les vitesses seules.

Pièges classiques

Oublier le signe du travail du poids en montée conduit à une hauteur négative absurde.