NU-APhysique nucléaire

Décroissance radioactive : loi de désintégration, période et activité

Idée directrice

La loi de décroissance $N(t)=N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ est le cœur de tous les exercices de radioactivité. La trajectoire consiste à relier la constante radioactive $\lambda$ à la période $T_{1/2}$ , à calculer l'activité $A(t)=\lambda N(t)$ , puis à résoudre une équation en $t$ pour dater un échantillon ou prévoir l'état d'une source.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Montrer que $\lambda = \ln 2 / T_{1/2}$ » ; « Établir que $A(t) = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ » ; « Déterminer l'âge de l'échantillon »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsCorrigé masqué

Le carbone 14 ( $^{14}_6\text{C}$ ) est un isotope radioactif de période $T_{1/2} = 5\,730\text{ ans}$ . À l'époque où un être vivant meurt, la proportion de $^{14}\text{C}$ par rapport au $^{12}\text{C}$ dans ses tissus est $r_0 = N_0(\text{C}_{14})/N_0(\text{C}_{12})$ , considérée constante. Dans un échantillon de bois fossile, on mesure actuellement une activité $A = 0{,}144\,A_0$ où $A_0$ est l'activité initiale au moment de la mort de l'arbre.

Montrer que la constante radioactive $\lambda$ du $^{14}\text{C}$ vaut $\lambda \approx 1{,}21\times10^{-4}\text{ an}^{-1}$ .
En partant de $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ , montrer que l'activité vérifie $A(t) = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ .
Déterminer l'âge $t$ de l'échantillon de bois.
L'activité initiale $A_0$ vaut $2{,}40\times10^{4}\text{ désintégrations}\cdot\text{min}^{-1}$ . Calculer l'activité actuelle $A$ en becquerels.

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1. Idée : définition de la période — au bout de $T_{1/2}$ , il reste la moitié.

N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2} \implies N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{N_0}{2} \implies \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5730} \approx \boxed{1{,}21\times10^{-4}\text{ an}^{-1}}

2. Idée : dériver $N(t)$ en valeur absolue.
$A(t) = -\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = \lambda N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t} = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ avec $A_0 = \lambda N_0$ . $\square$

3. Idée : inverser la loi exponentielle par le logarithme naturel.
$A = 0{,}144\,A_0$ donc $\mathrm{e}^{-\lambda t} = 0{,}144$ .

t = -\frac{\ln(0{,}144)}{\lambda} = \frac{\ln(1/0{,}144)}{1{,}21\times10^{-4}} = \frac{1{,}938}{1{,}21\times10^{-4}} \approx \boxed{16\,000\text{ ans}}

4. Idée : convertir l'activité en becquerels ( $1\text{ Bq} = 1\text{ désintégration}\cdot\text{s}^{-1}$ ).

A = 0{,}144\times A_0 = 0{,}144\times2{,}40\times10^4\,\text{min}^{-1} = 3456\,\text{min}^{-1} = \frac{3456}{60}\,\text{s}^{-1} \approx \boxed{57{,}6\text{ Bq}}

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill NU-A.1 — loi de décroissance

1 questionCorrigé masqué

Un échantillon contient $N_0=8{,}0\times10^{20}$ noyaux, de constante radioactive $\lambda=2{,}3\times10^{-2}\text{ j}^{-1}$ . Combien en reste-t-il après $30$ jours ?

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Idée : loi de décroissance $N=N_0\,\e^{-\lambda t}$ , avec $\lambda t$ sans dimension. $\lambda t=2{,}3\times10^{-2}\times30=0{,}69\approx\ln2$ : trente jours correspondent à une demi-vie ( $T=\ln2/\lambda\approx30\ \mathrm j$ ). Donc $N=N_0\,\e^{-0{,}69}\approx\dfrac{N_0}{2}=\boxed{4{,}0\times10^{20}\ \text{noyaux}}$ . Après $60\ \mathrm j$ il en resterait le quart.

Entraînement 02 / 02

Drill NU-A.x — activité du fer 59 : de $A(t)/A(t+10)$ à $\lambda$ , $T$ , $A_0$ et la masse désintégrée (2016)

4 questionsCorrigé masqué

On mesure tous les dix jours l'activité $A(t)$ d'un échantillon de fer 59 radioactif de masse initiale $m_0=1\ \mathrm{mg}$ ; on constate que $\dfrac{A(t)}{A(t+10)}=1{,}17$ , $t$ en jours. Données : $M(\mathrm{Fe})=59\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ ; $\mathcal N_A=6{,}02\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ ; $1\ \mathrm j=86\,400\ \mathrm s$ .

Définir l'activité $A$ d'un échantillon radioactif et donner son expression en fonction de $A_0$ , de la constante radioactive $\lambda$ et du temps $t$ .
Déterminer la valeur de $\lambda$ et en déduire celle de la demi-vie $T$ .
Calculer $A_0$ en becquerels.
Déterminer la masse de fer 59 désintégrée à l'instant $t_1=10$ jours.

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1. Idée : l'activité est un nombre de désintégrations par seconde. $A=-\dfrac{\mathrm dN}{\mathrm dt}=\lambda N$ , en becquerels ( $1\ \mathrm{Bq}=1$ désintégration par seconde). Comme $N=N_0\e^{-\lambda t}$ , $A(t)=A_0\,\e^{-\lambda t}$ avec $A_0=\lambda N_0$ .

2. Idée : le rapport de deux activités séparées de $10$ jours ne dépend que de $\lambda$ . $\dfrac{A(t)}{A(t+10)}=\dfrac{A_0\e^{-\lambda t}}{A_0\e^{-\lambda(t+10)}}=\e^{10\lambda}=1{,}17\Rightarrow\lambda=\dfrac{\ln1{,}17}{10}\approx\boxed{1{,}57\times10^{-2}\ \mathrm j^{-1}}$ . $T=\dfrac{\ln2}{\lambda}\approx\boxed{44\ \mathrm j}$ .

3. Idée : $A_0=\lambda N_0$ avec $\lambda$ en $\mathrm s^{-1}$ . $N_0=\dfrac{m_0}{M}\mathcal N_A=\dfrac{10^{-3}}{59}\times6{,}02\times10^{23}\approx1{,}02\times10^{19}$ noyaux ; $\lambda=\dfrac{1{,}57\times10^{-2}}{86\,400}\approx1{,}82\times10^{-7}\ \mathrm s^{-1}$ ; $A_0\approx1{,}82\times10^{-7}\times1{,}02\times10^{19}\approx\boxed{1{,}9\times10^{12}\ \mathrm{Bq}}$ .

4. Idée : la masse restante suit la même exponentielle que $N$ . $m(t_1)=m_0\e^{-\lambda t_1}=\dfrac{m_0}{1{,}17}\approx0{,}855\ \mathrm{mg}$ , donc $m_d=m_0-m(t_1)\approx\boxed{0{,}15\ \mathrm{mg}}$ : en dix jours, environ $15\,\%$ des noyaux se sont désintégrés (cohérent avec $10\ \mathrm j<T$ ).

Méthode / Automatismes

Toujours commencer par calculer $\lambda = \ln2/T_{1/2}$ et conserver la même unité de temps tout au long du calcul.
L'activité $A$ suit la même loi exponentielle que $N$ car $A = \lambda N$ .
Pour dater : $t = -\ln(A/A_0)/\lambda = \ln(A_0/A)/\lambda$ .
Conversion d'activité : $1\text{ Bq} = 1\text{ désintégration}\cdot\text{s}^{-1}$ ; $1\text{ Ci} = 3{,}7\times10^{10}\text{ Bq}$ (rarement demandé).

Pièges classiques

Oublier de convertir les unités de temps (années ↔ secondes) avant de calculer $\lambda$ ou $A$ . Autre piège : écrire $A(t) = A_0\,\mathrm{e}^{+\lambda t}$ (signe positif erroné) ; l'activité décroît, donc l'exposant est négatif.

Variantes rencontrées : on fournit $A_0$ et $A$ et on demande $T_{1/2}$ ; la datation porte sur un fossile au carbone 14, une roche à l'uranium ou un médicament à usage médical ; on demande d'estimer la masse de noyaux restants à partir de $N(t)$ et de la masse molaire.

Où ce scénario est tombé

Bac 2018 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 3 (médecine nucléaire)attestéDocument: isotopes, périodes, rayonnements en médecine nucléaire.

Bac 2022 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 3 (document : neutrons / positons)attestéÉmission de neutrons et positons; radioactivité; équation de formation du noyau.

Bac 2023 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 3 (document nucléaire)attestéDocument scientifique nucléaire.

Bac 2025 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 3 (document : polonium / nucléaire)attestéPolonium 210; voies de production; transformations nucléaires spontanées vs provoquées.