OD-BOndes mécaniques

Onde progressive sinusoïdale : double périodicité, longueur d'onde et points en phase

Idée directrice

Une onde sinusoïdale est périodique à la fois dans le temps (période $T$ ) et dans l'espace (longueur d'onde $\lambda$ ). L'idée directrice est d'exploiter cette double périodicité pour identifier les points en phase, en opposition de phase ou en quadrature, et pour localiser les positions caractéristiques sur la corde à un instant donné.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer la longueur d'onde » ; « Montrer que $P$ et $Q$ vibrent en phase / en opposition de phase » ; « Déterminer les abscisses des points qui vibrent en phase avec la source »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

5 questionsCorrigé masqué

Une onde sinusoïdale se propage le long d'une corde dans le sens des $x$ croissants avec une célérité $v = 3{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ et une fréquence $f = 6{,}0\text{ Hz}$ . L'amplitude des oscillations est $A = 2{,}0\text{ cm}$ . L'équation horaire de la source $S$ (en $x=0$ ) est :

y_S(t) = 2{,}0\times10^{-2}\,\cos(12\pi t)\quad (\text{SI})

Calculer la longueur d'onde $\lambda$ .
Écrire l'équation horaire $y_M(t,x)$ d'un point $M$ quelconque situé à la distance $x$ de $S$ .
On considère les points $P$ (en $x_P = 0{,}25\text{ m}$ ) et $Q$ (en $x_Q = 0{,}75\text{ m}$ ).
1. Calculer le déphasage $\Delta\varphi = \varphi_P - \varphi_Q$ de $P$ par rapport à $Q$ .
2. En déduire si $P$ et $Q$ vibrent en phase, en opposition de phase ou en quadrature.
Déterminer toutes les abscisses $x$ (avec $0 < x < 2\lambda$ ) des points qui vibrent en phase avec la source $S$ .
À l'instant $t_0 = T/4$ , décrire qualitativement la forme de la corde entre $x=0$ et $x=\lambda$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : $\lambda = v/f$ .

\lambda = \frac{v}{f} = \frac{3{,}0}{6{,}0} = \boxed{0{,}50\text{ m}}

2. Idée : retard $\tau = x/v$ , donc remplacer $t$ par $(t-x/v)$ .

y_M(t,x) = 2{,}0\times10^{-2}\,\cos\!\left(12\pi t - \frac{2\pi x}{\lambda}\right) = 2{,}0\times10^{-2}\,\cos\!\left(12\pi t - 4\pi x\right)\quad (\text{SI})

3.(a) Idée : le déphasage entre deux points s'obtient en soustrayant leurs phases instantanées.
La phase de $P$ est $\varphi_P = -4\pi x_P = -\pi\text{ rad}$ ; celle de $Q$ est $\varphi_Q = -4\pi x_Q = -3\pi\text{ rad}$ .

\Delta\varphi = \varphi_P - \varphi_Q = -\pi - (-3\pi) = \boxed{2\pi\text{ rad}}

3.(b) Idée : $\Delta\varphi = 2\pi$ est un multiple entier de $2\pi$ , donc $P$ et $Q$ vibrent en phase.

4. Idée : deux points vibrent en phase si la distance qui les sépare est un multiple entier de $\lambda$ .
Les points en phase avec $S$ vérifient $x = k\lambda$ avec $k\in\mathbb{N}^*$ . Pour $0 < x < 2\lambda$ : $\boxed{x = \lambda = 0{,}50\text{ m}}$ .

5. Idée : à $t_0 = T/4$ , la phase temporelle vaut $12\pi\cdot(T/4) = 12\pi/(4f) = \pi/2$ . La forme est $\cos(\pi/2 - 4\pi x) = \sin(4\pi x)$ : une sinusoïde dont le premier maximum est en $x = \lambda/4 = 0{,}125\text{ m}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill OD-B.2 — élongation d'un point

1 questionCorrigé masqué

La source vibre selon $y_S(t)=a\sin(2\pi N t)$ . Écrire l'élongation d'un point $M$ à distance $d$ (onde non amortie).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : $M$ reproduit le mouvement de la source avec le retard $\theta=d/v$ . $y_M(t)=y_S(t-\theta)=a\sin\!\big(2\pi N(t-\tfrac dv)\big)$ pour $t\geq\dfrac dv$ , et $y_M=0$ avant (l'onde n'est pas encore arrivée). Comme $\dfrac{2\pi Nd}{v}=\dfrac{2\pi d}{\lambda}$ , on écrit aussi $y_M(t)=a\sin\!\big(2\pi Nt-\tfrac{2\pi d}{\lambda}\big)$ : le retard de phase de $M$ sur $S$ vaut $2\pi d/\lambda$ .

Méthode / Automatismes

Critère de phase : deux points sont en phase si $|x_1-x_2| = k\lambda$ ; en opposition de phase si $|x_1-x_2| = (2k+1)\lambda/2$ ; en quadrature si $|x_1-x_2| = (2k+1)\lambda/4$ .
Le déphasage de $M$ par rapport à $S$ est toujours négatif (retard) : $\Delta\varphi = -2\pi x/\lambda$ .
La forme spatiale à l'instant $t_0$ s'obtient en substituant $t=t_0$ dans $y_M(t,x)$ : on obtient une fonction de $x$ seule.
Ne pas confondre « périodicité spatiale $\lambda$ » et « périodicité temporelle $T$ » : $\lambda = vT$ relie les deux.

Pièges classiques

Croire que deux points séparés de $\lambda/2$ vibrent en phase : ils vibrent en opposition de phase ( $\Delta\varphi = \pi$ ). Autre piège : calculer le déphasage en valeur absolue et conclure qu'il est positif, alors que la propagation impose toujours un retard (déphasage négatif) pour le point le plus éloigné de la source.

Variantes rencontrées : on demande de trouver la distance minimale entre deux points en opposition de phase ; ou on fournit une représentation spatiale à deux instants différents pour retrouver le sens de propagation.

Où ce scénario est tombé

Bac 2018 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 2 (cuve à ondes)attestéOnde progressive sinusoïdale en cuve; longueur d’onde, stroboscopie.

Bac 2022 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 2 (ondes à la surface de l'eau)attestéOnde mécanique périodique en surface; élongations; célérité; lien ondes lumineuses.

Bac 2023 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 2 (onde surface)attestéOnde mécanique surface; longueur d’onde.