OD-BOndes mécaniques

Onde progressive sinusoïdale : double périodicité, longueur d'onde et points en phase

Idée directrice

Une onde sinusoïdale est périodique à la fois dans le temps (période $T$ ) et dans l'espace (longueur d'onde $\lambda$ ). L'idée directrice est d'exploiter cette double périodicité pour identifier les points en phase, en opposition de phase ou en quadrature, et pour localiser les positions caractéristiques sur la corde à un instant donné.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Calculer la longueur d'onde » ; « Montrer que $P$ et $Q$ vibrent en phase / en opposition de phase » ; « Déterminer les abscisses des points qui vibrent en phase avec la source »

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Critère de phase : deux points sont en phase si $|x_1-x_2| = k\lambda$ ; en opposition de phase si $|x_1-x_2| = (2k+1)\lambda/2$ ; en quadrature si $|x_1-x_2| = (2k+1)\lambda/4$ .
Le déphasage de $M$ par rapport à $S$ est toujours négatif (retard) : $\Delta\varphi = -2\pi x/\lambda$ .
La forme spatiale à l'instant $t_0$ s'obtient en substituant $t=t_0$ dans $y_M(t,x)$ : on obtient une fonction de $x$ seule.
Ne pas confondre « périodicité spatiale $\lambda$ » et « périodicité temporelle $T$ » : $\lambda = vT$ relie les deux.
Par rapport à la source : quadrature retard $x=(4k+1)\lambda/4$ , quadrature avance $x=(4k-1)\lambda/4$ ( $k\ge1$ ) ; réduire d'abord $2\pi x/\lambda$ à $2\pi$ près ( $\sin(\omega t-3{,}5\pi)=\sin(\omega t+\pi/2)$ ).

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Croire que deux points séparés de $\lambda/2$ vibrent en phase : ils vibrent en opposition de phase ( $\Delta\varphi = \pi$ ). Autre piège : calculer le déphasage en valeur absolue et conclure qu'il est positif, alors que la propagation impose toujours un retard (déphasage négatif) pour le point le plus éloigné de la source.

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

5 questionsCorrigé masqué

Une onde sinusoïdale se propage le long d'une corde dans le sens des $x$ croissants avec une célérité $v = 3{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ et une fréquence $f = 6{,}0\text{ Hz}$ . L'amplitude des oscillations est $A = 2{,}0\text{ cm}$ . L'équation horaire de la source $S$ (en $x=0$ ) est :

y_S(t) = 2{,}0\times10^{-2}\,\cos(12\pi t)\quad (\text{SI})

Calculer la longueur d'onde $\lambda$ .
Écrire l'équation horaire $y_M(t,x)$ d'un point $M$ quelconque situé à la distance $x$ de $S$ .
On considère les points $P$ (en $x_P = 0{,}25\text{ m}$ ) et $Q$ (en $x_Q = 0{,}75\text{ m}$ ).
1. Calculer le déphasage $\Delta\varphi = \varphi_P - \varphi_Q$ de $P$ par rapport à $Q$ .
2. En déduire si $P$ et $Q$ vibrent en phase, en opposition de phase ou en quadrature.
Déterminer toutes les abscisses $x$ (avec $0 < x < 2\lambda$ ) des points qui vibrent en phase avec la source $S$ .
À l'instant $t_0 = T/4$ , décrire qualitativement la forme de la corde entre $x=0$ et $x=\lambda$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : $\lambda = v/f$ .

\lambda = \frac{v}{f} = \frac{3{,}0}{6{,}0} = \boxed{0{,}50\text{ m}}

2. Idée : retard $\tau = x/v$ , donc remplacer $t$ par $(t-x/v)$ .

y_M(t,x) = 2{,}0\times10^{-2}\,\cos\!\left(12\pi t - \frac{2\pi x}{\lambda}\right) = 2{,}0\times10^{-2}\,\cos\!\left(12\pi t - 4\pi x\right)\quad (\text{SI})

3.(a) Idée : le déphasage entre deux points s'obtient en soustrayant leurs phases instantanées.
La phase de $P$ est $\varphi_P = -4\pi x_P = -\pi\text{ rad}$ ; celle de $Q$ est $\varphi_Q = -4\pi x_Q = -3\pi\text{ rad}$ .

\Delta\varphi = \varphi_P - \varphi_Q = -\pi - (-3\pi) = \boxed{2\pi\text{ rad}}

3.(b) Idée : $\Delta\varphi = 2\pi$ est un multiple entier de $2\pi$ , donc $P$ et $Q$ vibrent en phase.

4. Idée : deux points vibrent en phase si la distance qui les sépare est un multiple entier de $\lambda$ .
Les points en phase avec $S$ vérifient $x = k\lambda$ avec $k\in\mathbb{N}^*$ . Pour $0 < x < 2\lambda$ : $\boxed{x = \lambda = 0{,}50\text{ m}}$ .

5. Idée : à $t_0 = T/4$ , la phase temporelle vaut $12\pi\cdot(T/4) = 12\pi/(4f) = \pi/2$ . La forme est $\cos(\pi/2 - 4\pi x) = \sin(4\pi x)$ : une sinusoïde dont le premier maximum est en $x = \lambda/4 = 0{,}125\text{ m}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : on demande de trouver la distance minimale entre deux points en opposition de phase ; ou on fournit une représentation spatiale à deux instants différents pour retrouver le sens de propagation.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill OD-B.2 — élongation d'un point

Entraînement 01 / 02

Drill OD-B.2 — élongation d'un point

1 questionCorrigé masqué

La source vibre selon $y_S(t)=a\sin(2\pi N t)$ . Écrire l'élongation d'un point $M$ à distance $d$ (onde non amortie).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : $M$ reproduit le mouvement de la source avec le retard $\theta=d/v$ . $y_M(t)=y_S(t-\theta)=a\sin\!\big(2\pi N(t-\tfrac dv)\big)$ pour $t\geq\dfrac dv$ , et $y_M=0$ avant (l'onde n'est pas encore arrivée). Comme $\dfrac{2\pi Nd}{v}=\dfrac{2\pi d}{\lambda}$ , on écrit aussi $y_M(t)=a\sin\!\big(2\pi Nt-\tfrac{2\pi d}{\lambda}\big)$ : le retard de phase de $M$ sur $S$ vaut $2\pi d/\lambda$ .

2 Transfert — remonter d'une condition de phase à la longueur d'onde, puis dénombrer les points en phase

Entraînement 02 / 02

Transfert — remonter d'une condition de phase à la longueur d'onde, puis dénombrer les points en phase

5 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Une corde élastique tendue horizontalement est attachée en $S$ ( $x=0$ ) à un vibreur qui lui impose un mouvement sinusoïdal de fréquence $N=50\ \mathrm{Hz}$ . Une onde progressive sinusoïdale se propage le long de la corde dans le sens des $x$ croissants ; on néglige l'amortissement et la réflexion. En observant la corde une fois le régime établi, on constate que le troisième point (à partir de $S$ , $S$ exclu) qui vibre en opposition de phase avec $S$ est situé à l'abscisse $x_3=25\ \mathrm{cm}$ .

Rappeler la condition sur la distance $x$ entre $S$ et un point $M$ pour que $M$ vibre en opposition de phase avec $S$ . En déduire la longueur d'onde $\lambda$ .
Calculer la célérité $v$ de l'onde le long de la corde.
La partie utile de la corde a pour longueur $L=60\ \mathrm{cm}$ ; l'onde l'a entièrement parcourue. Déterminer les abscisses des points, autres que $S$ et d'abscisse strictement inférieure à $L$ , qui vibrent en phase avec $S$ . Combien y en a-t-il ?
Le point $M$ d'abscisse $x_M=12{,}5\ \mathrm{cm}$ vibre-t-il en phase, en opposition de phase ou en quadrature avec $S$ ? Justifier par le calcul du déphasage $\Delta\varphi=\varphi_M-\varphi_S$ .
On modifie la fréquence du vibreur, la célérité restant $v$ . Quelle fréquence $N'$ faut-il choisir pour que deux points consécutifs vibrant en phase soient distants de $5{,}0\ \mathrm{cm}$ ?

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : le retard de phase de $M$ sur $S$ vaut $2\pi x/\lambda$ ; l'opposition de phase correspond à un nombre impair de demi-longueurs d'onde. $M$ vibre en opposition de phase avec $S$ si et seulement si $\Delta\varphi=-\dfrac{2\pi x}{\lambda}=-(2k+1)\pi$ , soit $x=(2k+1)\dfrac{\lambda}{2}$ avec $k\in\mathbb N$ . Les points en opposition de phase sont donc en $\dfrac\lambda2$ , $\dfrac{3\lambda}{2}$ , $\dfrac{5\lambda}{2}$ , … Le troisième correspond à $k=2$ : $x_3=\dfrac{5\lambda}{2}$ , d'où

\lambda=\frac{2x_3}{5}=\frac{2\times25}{5}=\boxed{10\ \mathrm{cm}=0{,}10\ \mathrm{m}}

2. Idée : $\lambda$ est la distance parcourue pendant une période, donc $v=\lambda N$ .

v=\lambda N=0{,}10\times50=\boxed{5{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}}

3. Idée : en phase avec $S$ $\iff$ $x=k\lambda$ , $k$ entier non nul ; on compte les valeurs strictement inférieures à $L$ . Les points en phase avec $S$ ont pour abscisses $x=k\lambda=10k\ \mathrm{cm}$ avec $k\in\mathbb N^*$ . La condition $0<x<60\ \mathrm{cm}$ donne $0<k<6$ , soit $k\in\{1,2,3,4,5\}$ : les abscisses sont $10$ , $20$ , $30$ , $40$ et $50\ \mathrm{cm}$ . Il y a donc $\boxed{5\text{ points}}$ ( $x=60\ \mathrm{cm}$ est exclu par l'inégalité stricte, et $S$ lui-même n'est pas compté).

4. Idée : calculer le déphasage, puis le ramener modulo $2\pi$ . $\Delta\varphi=\varphi_M-\varphi_S=-\dfrac{2\pi x_M}{\lambda}=-\dfrac{2\pi\times12{,}5}{10}=-2{,}5\pi=-\dfrac{5\pi}{2}\ \mathrm{rad}$ . Or $-\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2}-2\pi$ : modulo $2\pi$ , $\Delta\varphi\equiv-\dfrac\pi2$ . Le point $M$ vibre donc en quadrature retard de phase par rapport à $S$ (il est à $x_M=\dfrac{5\lambda}{4}=\lambda+\dfrac\lambda4$ : un nombre impair de quarts de longueur d'onde).

5. Idée : deux points consécutifs en phase sont distants de $\lambda$ ; on impose $\lambda'=5{,}0\ \mathrm{cm}$ à $v$ fixée. $\lambda'=\dfrac{v}{N'}$ donne

N'=\frac{v}{\lambda'}=\frac{5{,}0}{5{,}0\times10^{-2}}=\boxed{1{,}0\times10^{2}\ \mathrm{Hz}}

Doubler la fréquence divise la longueur d'onde par deux : les points en phase se resserrent, la célérité — propriété de la corde et de sa tension — n'ayant pas changé.

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