OD-COndes mécaniques

Onde progressive sur une corde : vibreur, célérité et longueur d'onde

Idée directrice

L'exercice de bac part d'un dispositif (corde + vibreur) et d'observations chiffrées : retard d'un point, période du vibreur. On en tire nature, célérité puis longueur d'onde.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

Préciser la nature (transversale) de l'onde progressive sur la corde

Déterminer la célérité à partir d'un retard de propagation

Calculer la longueur d'onde λ = c/N

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

1) Qualifier l'onde (mécanique, progressive, transversale/longitudinale) en justifiant par le milieu et la direction de vibration. 2) Calculer $c=d/\Delta t$ . 3) Lire $N$ (ou $T$ ), puis $\lambda=c/N$ .

Lire $\varphi_S$ sur l'aspect de la corde à $t_1$ : un front qui se termine par une crête donne $\varphi_S=0$ , par un creux $\varphi_S=\pi$ (on raisonne à $t_1$ , pas à $t=0$ ).

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Confondre la direction de vibration des points de la corde avec le sens de propagation ; oublier de convertir cm et ms en unités SI avant le calcul de $c$ .

Sujet principal

Onde le long d'une corde — vibreur et retard de propagation

5 questionsCorrigé masqué

Une corde homogène, de longueur $L=1{,}0\,\mathrm{m}$ , est tendue horizontalement. Une extrémité $O$ est reliée à un vibreur qui impose des oscillations verticales sinusoïdales de période $T=4{,}0\times10^{-2}\,\mathrm{s}$ et d'amplitude $a=4{,}0\,\mathrm{mm}$ . L'autre extrémité est fixée via une pelote de coton destinée à empêcher la réflexion de l'onde progressive.

À $t=0$ , le vibreur démarre. Un point $A$ de la corde, situé à $OA=0{,}30\,\mathrm{m}$ de $O$ , commence à vibrer à l'instant $t_A=6{,}0\times10^{-2}\,\mathrm{s}$ . On néglige l'atténuation le long de la corde.

Justifier que l'onde qui se propage le long de la corde est une onde mécanique progressive transversale.
Indiquer le rôle de la pelote de coton.
Déterminer la fréquence $N$ du vibreur, puis la célérité $c$ de propagation de l'onde le long de la corde. Application numérique avec unités.
En déduire la longueur d'onde $\lambda$ . Comparer $\lambda$ à $L$ et indiquer si, à l'instant $t_1=0{,}10\,\mathrm{s}$ , l'onde a déjà affecté toute la corde.
Écrire l'élongation $y_A(t)$ du point $A$ pour $t\ge t_A$ , en prenant l'origine des élongations à la position de repos et en admettant que $O$ démarre vers le bas ( $\varphi_O=\pi$ ).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. L'onde nécessite un milieu matériel (la corde) pour se propager : elle est mécanique. Elle transporte de l'énergie sans transport global de matière le long de $Ox$ : elle est progressive. La direction des oscillations imposées par le vibreur est perpendiculaire à la direction de propagation : l'onde est transversale.

2. La pelote de coton sert à empêcher le phénomène de réflexion des ondes à l'extrémité de la corde (milieu « ouvert » côté absorption).

3. Fréquence du vibreur :

N=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{4{,}0\times10^{-2}}=25\,\mathrm{Hz}.

Célérité : le retard de propagation du front d'onde de $O$ à $A$ est $\Delta t=t_A$ :

c=\dfrac{OA}{\Delta t}=\dfrac{0{,}30}{6{,}0\times10^{-2}}=5{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.

4. Longueur d'onde :

\lambda=\dfrac{c}{N}=\dfrac{5{,}0}{25}=0{,}20\,\mathrm{m}=20\,\mathrm{cm}.

Distance parcourue à $t_1=0{,}10\,\mathrm{s}$ : $d=c t_1=5{,}0\times0{,}10=0{,}50\,\mathrm{m}<L=1{,}0\,\mathrm{m}$ . L'onde n'a pas affecté toute la corde à cet instant ; le front d'onde n'a parcouru que la moitié de $L$ .

5. Le point $A$ reproduit le mouvement de $O$ avec le retard $t_A$ . Avec $\varphi_O=\pi$ et $\omega=2\pi N=50\pi\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$ :

y_A(t)=a\sin\!\big(2\pi N(t-t_A)+\pi\big)=4{,}0\times10^{-3}\sin\!\big(50\pi(t-6{,}0\times10^{-2})+\pi\big)\quad(\mathrm{SI}),\quad t\ge t_A.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill OD-C.1 — nature et célérité d'une onde sur corde

Entraînement 01 / 03

Drill OD-C.1 — nature et célérité d'une onde sur corde

3 questionsCorrigé masqué

Un vibreur impose à l'extrémité $S$ d'une corde tendue des vibrations verticales de fréquence $N=50\,\mathrm{Hz}$ . Un point $M$ situé à $SM=40\,\mathrm{cm}$ de $S$ entre en mouvement $8{,}0\,\mathrm{ms}$ après $S$ . On néglige réflexion et amortissement.

Justifier que l'onde le long de la corde est transversale et progressive.
Calculer la célérité $c$ et la longueur d'onde $\lambda$ . Données en unités SI, résultat avec unités.
Deux points distants de $\lambda/2$ : vibrent-ils en phase ou en opposition de phase ? Justifier.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Les points de la corde vibrent verticalement alors que l'onde se propage le long de la corde : direction de vibration perpendiculaire à la propagation → onde transversale. L'énergie se propage de $S$ vers les points successifs sans transport global de matière le long de la corde → onde progressive (milieu matériel : corde).

2. Retard $\tau=8{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{s}$ , distance $d=0{,}40\,\mathrm{m}$ :

c=\dfrac{d}{\tau}=\dfrac{0{,}40}{8{,}0\times10^{-3}}=50\,\mathrm{m\cdot s^{-1}},\qquad \lambda=\dfrac{c}{N}=\dfrac{50}{50}=1{,}0\,\mathrm{m}.

3. Un écart de $\lambda/2$ correspond à un déphasage de $\pi$ : les deux points vibrent en opposition de phase.

2 Transfert — aspect de la corde à un instant donné : front d'onde, élongation d'un point et positions des crêtes

Entraînement 02 / 03

Transfert — aspect de la corde à un instant donné : front d'onde, élongation d'un point et positions des crêtes

4 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

L'extrémité $S$ ( $x=0$ ) d'une corde élastique tendue est reliée à un vibreur. À partir de $t=0$ , $S$ effectue des oscillations verticales sinusoïdales d'amplitude $a=3{,}0\ \mathrm{mm}$ et de fréquence $N=50\ \mathrm{Hz}$ , d'équation horaire $y_S(t)=a\sin(2\pi Nt)$ pour $t\geq0$ . Une onde progressive se propage le long de la corde sans amortissement ni réflexion. Un point de la corde situé à $40\ \mathrm{cm}$ de $S$ commence à vibrer à la date $t=40\ \mathrm{ms}$ : il reproduit le mouvement de $S$ avec ce retard.

Déterminer la célérité $c$ de l'onde, puis la longueur d'onde $\lambda$ .
On s'intéresse à l'aspect de la corde à la date $t_1=50\ \mathrm{ms}$ . Calculer l'abscisse $x_f$ du front d'onde à cette date et l'exprimer en nombre de longueurs d'onde. Décrire l'aspect de la corde : quelle portion est déformée, quelle portion est encore au repos ?
Établir l'équation horaire $y_M(t)$ d'un point $M$ d'abscisse $x$ (pour $t\geq x/c$ ). En déduire l'élongation à la date $t_1$ du point $A$ d'abscisse $x_A=30\ \mathrm{cm}$ .
Montrer qu'à la date $t_1$ , l'élongation des points de la partie déformée s'écrit $y(x,t_1)=a\sin(10\pi x)$ avec $x$ en mètres. En déduire les abscisses des points qui présentent à cet instant une crête (élongation $+a$ ).

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : le retard de mise en vibration d'un point est le temps mis par le front d'onde pour l'atteindre : $c=d/\Delta t$ .

c=\frac{d}{\Delta t}=\frac{0{,}40}{40\times10^{-3}}=\boxed{10\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}},\qquad \lambda=\frac{c}{N}=\frac{10}{50}=\boxed{0{,}20\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{cm}}

2. Idée : le front d'onde avance à la célérité $c$ depuis $t=0$ ; au-delà du front, la corde n'a pas encore reçu la perturbation. $x_f=c\,t_1=10\times50\times10^{-3}=0{,}50\ \mathrm{m}=50\ \mathrm{cm}$ , soit $\dfrac{x_f}{\lambda}=\dfrac{50}{20}=2{,}5$ : le front d'onde est à $\boxed{x_f=2{,}5\,\lambda}$ . Aspect de la corde à $t_1$ : entre $x=0$ et $x=50\ \mathrm{cm}$ la corde a la forme d'une sinusoïde d'amplitude $3{,}0\ \mathrm{mm}$ comportant deux longueurs d'onde et demie ; pour $x>50\ \mathrm{cm}$ elle est rectiligne, au repos (élongation nulle), car l'onde n'y est pas encore parvenue.

3. Idée : $M$ reproduit le mouvement de $S$ avec le retard $\theta=x/c$ . Pour $t\geq x/c$ : $y_M(t)=y_S\!\left(t-\dfrac xc\right)=a\sin\!\left(2\pi N t-\dfrac{2\pi N x}{c}\right)=a\sin\!\left(2\pi Nt-\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right)$ . Pour $A$ : $x_A/c=0{,}30/10=30\ \mathrm{ms}<t_1$ , donc $A$ vibre déjà à $t_1$ , et $2\pi N(t_1-x_A/c)=2\pi\times50\times(50-30)\times10^{-3}=2\pi\times50\times0{,}020=2\pi$ , d'où

y_A(t_1)=a\sin(2\pi)=\boxed{0}

À cet instant $A$ passe par sa position de repos : il vibre depuis exactement une période ( $t_1-x_A/c=20\ \mathrm{ms}=T$ ) et se trouve dans le même état que $S$ à $t=0$ .

4. Idée : fixer $t=t_1$ dans $y_M$ donne une fonction de $x$ seule ; on simplifie la phase modulo $2\pi$ . Pour $0\leq x\leq x_f$ : $y(x,t_1)=a\sin\!\left(2\pi Nt_1-\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right)$ avec $2\pi Nt_1=2\pi\times50\times0{,}050=5\pi$ et $\dfrac{2\pi x}{\lambda}=\dfrac{2\pi x}{0{,}20}=10\pi x$ ( $x$ en m). Donc $y(x,t_1)=a\sin(5\pi-10\pi x)=a\sin(\pi-10\pi x)$ car $5\pi=\pi+2\times2\pi$ ; et $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$ , d'où $y(x,t_1)=a\sin(10\pi x)$ . Une crête correspond à $\sin(10\pi x)=1$ , soit $10\pi x=\dfrac\pi2+2k\pi$ , c'est-à-dire $x=0{,}05+0{,}20k$ (en m), $k\in\mathbb N$ . Avec $0\leq x\leq0{,}50\ \mathrm{m}$ : $k\in\{0,1,2\}$ et

\boxed{x=5\ \mathrm{cm},\ 25\ \mathrm{cm},\ 45\ \mathrm{cm}}

Ces crêtes sont espacées de $\lambda=20\ \mathrm{cm}$ ; la première est à $\lambda/4$ de la source, et le front d'onde ( $x=50\ \mathrm{cm}$ ) est un point d'élongation nulle ( $\sin(5\pi)=0$ ), conformément au fait que la corde y est encore au repos.

3 Drill OD-C.3 — retrouver la phase initiale de la source sur l'aspect de la corde

Entraînement 03 / 03

Drill OD-C.3 — retrouver la phase initiale de la source sur l'aspect de la corde

3 questionsCorrigé masqué

Le long d'une corde élastique, une onde progressive sinusoïdale de fréquence $N=50\,\mathrm{Hz}$ et d'amplitude $a=4{,}0\,\mathrm{mm}$ est émise par la source $S$ à partir de $t=0$ . À la date $t_1=50\,\mathrm{ms}$ , le front d'onde a atteint $x_f=0{,}30\,\mathrm{m}$ et la portion de corde qui le précède immédiatement forme un creux (le point juste derrière le front est au-dessous de sa position de repos).

Calculer la célérité $v$ et la longueur d'onde $\lambda$ .
En déduire le sens du premier déplacement de la source et sa phase initiale $\varphi_S$ ; écrire $y_S(t)$ .
Donner les abscisses des points qui vibrent en opposition de phase et en phase avec $S$ à la date $t_1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : le point qui vient d'être atteint reproduit le premier mouvement de la source.

1. $v=x_f/t_1=0{,}30/0{,}050=\boxed{6{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}}$ ; $\lambda=v/N=\boxed{0{,}12\,\mathrm{m}}$ .

2. Le front se termine par un creux : les points qui viennent d'être atteints se déplacent d'abord vers le bas, comme la source à $t=0$ . Donc $\varphi_S=\pi\,\mathrm{rad}$ et $y_S(t)=4{,}0\times10^{-3}\sin(100\pi t+\pi)$ (m). On raisonne sur le front à $t_1$ , pas sur la valeur de $y_S$ à $t=0$ .

3. $\Delta\varphi=2\pi x/\lambda$ . Opposition : $x=(2k+1)\lambda/2=\boxed{0{,}06\,;\,0{,}18\,;\,0{,}30\,\mathrm{m}}$ (le dernier est le front lui-même, qui commence juste à vibrer). En phase : $x=k\lambda=\boxed{0{,}12\,;\,0{,}24\,\mathrm{m}}$ .

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