Onde à la surface de l'eau : nature, célérité et profondeur

1. Cinq rides consécutives délimitent quatre intervalles : $4\lambda=4{,}8\ \text{cm}$, d'où $\lambda=\boxed{12\ \text{mm}}$ et $v=\lambda N=12\times10^{-3}\times20=\boxed{0{,}24\ \text{m·s}^{-1}}$.

2. C'est la diffraction : la fente se comporte comme une source secondaire d'où partent des rides circulaires. Elle est nette lorsque la largeur de la fente est inférieure ou de l'ordre de la longueur d'onde : $\ell\le\lambda$. Ici $\ell=9\ \text{mm}<\lambda=12\ \text{mm}$ : la condition est vérifiée.

3. Idée : la fréquence est imposée par la source, la célérité par le milieu. La fréquence ne change pas : $N'=N=20\ \text{Hz}$. La profondeur de l'eau est la même de part et d'autre de la fente, donc $v'=v$ ; par suite $\lambda'=\frac{v'}{N'}=\lambda=\boxed{12\ \text{mm}}$.

4. Au-delà de la fente, les rides sont des demi-cercles centrés sur $F$, espacés de $\lambda'=\lambda=12\ \text{mm}$, le même espacement que les rides incidentes.

5. $\ell'=8\ \text{cm}$ est grande devant $\lambda$ (près de $7\lambda$) : la diffraction est négligeable. Les rides restent rectilignes et parallèles à l'obstacle, dans un faisceau de largeur voisine de $\ell'$ ; elles ne s'incurvent qu'à ses bords.

1. Idée : la fréquence est imposée par la source, pas par le milieu. Chaque point de la surface reproduit, avec un retard, le mouvement de la lame : il vibre à la fréquence du vibreur, $N=25\ \text{Hz}$, quelle que soit la profondeur de l'eau. Le stroboscope le confirme : avec $N_e=N$, chaque point est éclairé une fois par période, toujours dans le même état, d'où des rides immobiles dans toutes les zones.

2. Idée : $n$ rides consécutives délimitent $n-1$ longueurs d'onde. $3\lambda_1=d_1=3{,}6\ \text{cm}$, d'où $\lambda_1=\boxed{1{,}2\ \text{cm}}$ ; $4\lambda_2=d_2=3{,}2\ \text{cm}$, d'où $\lambda_2=\boxed{0{,}8\ \text{cm}}$.

Le liquide et la fréquence sont les mêmes ; seule la profondeur change, la plaque étant sous la zone $(2)$. La célérité dépend donc de la profondeur de l'eau : elle est plus grande là où l'eau est plus profonde ($v_1>v_2$).

3.a Idée : la direction de propagation est perpendiculaire aux rides. La frontière $(1)/(2)$ est parallèle à la lame, donc aux rides : l'onde arrive perpendiculairement à cette frontière. Elle la traverse sans changer de direction ; seules sa célérité et sa longueur d'onde changent ($\lambda_1\to\lambda_2$).

3.b C'est la réfraction : l'onde change de direction de propagation en passant d'une zone à une autre où sa célérité est différente.

4.a Idée : même profondeur que la zone $(1)$ et même fréquence, donc même célérité. $v_3=v_1=0{,}30\ \text{m·s}^{-1}$ et $\lambda_3=\dfrac{v_3}{N}=\boxed{1{,}2\ \text{cm}}$.

4.b Idée : deux conditions fixent les rides de la zone $(3)$ : elles partent des points où les rides de la zone $(2)$ atteignent la frontière, et deux rides consécutives sont distantes de $\lambda_3$. Les rides de la zone $(2)$ font $30^\circ$ avec la frontière ; deux rides consécutives, distantes de $\lambda_2$, la coupent en deux points distants de $\ell=\dfrac{\lambda_2}{\sin30^\circ}=1{,}6\ \text{cm}$ : $P_1$ sur la ride en avance (la plus éloignée de la lame), $P_2$ sur la ride qui la suit.

Construction : dans la zone $(3)$, la ride issue de $P_1$ est en avance de $\lambda_3$ sur la ride issue de $P_2$. On trace donc, du côté de la zone $(3)$, le cercle de centre $P_2$ et de rayon $\lambda_3=1{,}2\ \text{cm}$ ; la ride issue de $P_1$ est la tangente à ce cercle menée de $P_1$, qui le touche en un point $T$ de la zone $(3)$. Les autres rides lui sont parallèles et passent par $P_2$, $P_3$, … On obtient des rides rectilignes, plus espacées que dans la zone $(2)$. Dans le triangle $P_1TP_2$, rectangle en $T$, l'angle $\beta_3$ entre ces rides et la frontière vérifie $\sin\beta_3=\dfrac{P_2T}{P_1P_2}=\dfrac{\lambda_3}{\ell}=0{,}75$, soit $\beta_3\approx49^\circ$.

4.c L'angle entre la direction de propagation et la normale à la frontière est égal à l'angle entre les rides et la frontière (côtés perpendiculaires) : $30^\circ$ dans la zone $(2)$, environ $49^\circ$ dans la zone $(3)$. La direction de propagation s'écarte de la normale : l'onde passe dans une zone où elle est plus rapide ($v_3>v_2$). Quand l'énoncé rappelle la loi $\dfrac{\sin i_2}{v_2}=\dfrac{\sin i_3}{v_3}$ (session 2025), on trace ces rides à partir de $\sin i_3=\dfrac{v_3}{v_2}\sin30^\circ=0{,}75$ : c'est le même angle que celui de la construction.