OD-EOndes mécaniques

Cuve à ondes : stroboscopie, célérité et milieu dispersif

Idée directrice

Le bac couple souvent stroboscopie (aspect immobile de la surface) et un tableau distance parcourue / fréquence pour conclure à la dispersion.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

Déterminer la fréquence du vibreur par stroboscopie

Calculer v à partir d'une distance et d'un retard

Justifier qu'un milieu est dispersif à partir d'un tableau v(N)

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Fréquence du vibreur = plus grande fréquence d'éclairs donnant l'immobilité apparente (parmi les valeurs $N_e=N/k$ ). Puis $v=d/t$ ; comparer $v$ à plusieurs $N$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Prendre une sous-harmonique du stroboscope pour $N$ du vibreur ; conclure « dispersif » sans montrer que $v$ varie avec $N$ .

Sujet principal

Ondes de surface : stroboscope et dispersion

4 questionsCorrigé masqué

Une réglette mince entraînée par un vibreur de fréquence $N$ réglable perturbe perpendiculairement la surface libre d'une nappe d'eau dans une cuve rectangulaire, ce qui crée une onde progressive transversale. On suppose ni réflexion ni amortissement notable. L'amplitude des oscillations de surface est $a=2{,}0\,\mathrm{mm}$ .

Expérience 1 — stroboscopie. On règle le vibreur à une fréquence inconnue $N_1$ . En éclairant la surface par un stroboscope de fréquence d'éclairs $N_e$ réglable ( $N_e\le 40\,\mathrm{Hz}$ ), la surface paraît immobile uniquement pour $N_e\in\{36\,\mathrm{Hz};\,18\,\mathrm{Hz};\,12\,\mathrm{Hz}\}$ .

Expérience 2. On fixe $N=N_2=25\,\mathrm{Hz}$ . Une coupe verticale de la surface, prise à l'instant $t_1$ où le front d'onde a parcouru $d=2{,}5\,\lambda$ depuis la réglette, donne $\lambda=1{,}0\,\mathrm{cm}$ (mesurée entre crêtes successives sur la coupe).

Expérience 3. On fait varier $N$ et on mesure la distance $d$ parcourue par le front d'onde à un même instant de date $t_1=0{,}10\,\mathrm{s}$ :

$N$ (Hz)	12	25	48
$d$ (mm) à $t_1$	23	25	28

Justifier que l'onde à la surface de l'eau est une onde mécanique progressive transversale. Préciser ce que représente la longueur d'onde le long d'un rayon de propagation.
En exploitant l'expérience 1, préciser la valeur de la fréquence $N_1$ du vibreur. Justifier le choix parmi les fréquences d'éclairs.
À partir de l'expérience 2, déterminer $t_1$ (en fonction de $T_2=1/N_2$ ) puis calculer la célérité $v$ à $N_2=25\,\mathrm{Hz}$ . Application numérique.
En exploitant le tableau de l'expérience 3, calculer $v$ pour chaque fréquence. Conclure quant au caractère dispersif ou non du milieu (surface de l'eau).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. La propagation nécessite le milieu matériel « surface de l'eau » → onde mécanique. Le front d'onde s'éloigne de la réglette en transportant de l'énergie → onde progressive. La déformation des points de surface est verticale, perpendiculaire à la direction de propagation horizontale → onde transversale. La longueur d'onde $\lambda$ est la distance parcourue par l'onde pendant une période temporelle, ou l'écart spatial entre deux crêtes successives en phase.

2. L'aspect immobile apparaît lorsque la fréquence des éclairs est un sous-multiple de la fréquence du vibreur : $N_e=N_1/k$ ( $k$ entier). La plus grande valeur observée est $N_e=36\,\mathrm{Hz}$ , compatible avec $18=36/2$ et $12=36/3$ . D'où $N_1=36\,\mathrm{Hz}$ .

3. $d=2{,}5\,\lambda$ avec $\lambda=v T_2$ et $T_2=1/N_2$ , d'où $d=2{,}5\,v T_2$ et le temps pour parcourir $d$ à célérité $v$ est $t_1=d/v=2{,}5\,T_2$ :

t_1=2{,}5\times\dfrac{1}{25}=0{,}10\,\mathrm{s},\qquad v=\dfrac{d}{t_1}=\dfrac{2{,}5\times10^{-2}}{0{,}10}=0{,}25\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.

4. À $t_1$ commun, $v=d/t_1$ :

v(12\,\mathrm{Hz})=\dfrac{23\times10^{-3}}{0{,}10}=0{,}23\,\mathrm{m\cdot s^{-1}},\quad v(25)=0{,}25\,\mathrm{m\cdot s^{-1}},\quad v(48)=0{,}28\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.

La célérité dépend de la fréquence. Ce résultat est caractéristique d'un milieu dispersif. Il y a donc dispersion des ondes mécaniques à la surface de l'eau.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill OD-E.1 — milieu dispersif à partir d'un tableau

Entraînement 01 / 02

Drill OD-E.1 — milieu dispersif à partir d'un tableau

3 questionsCorrigé masqué

Des ondes progressives transversales se propagent à la surface de l'eau. On mesure la célérité pour trois fréquences du vibreur :

$N$ (Hz)	10	20	40
$v$ (m·s $^{-1}$ )	0,22	0,25	0,30

Le milieu est-il dispersif ? Justifier à partir du tableau.
Calculer la longueur d'onde $\lambda$ pour $N=20\,\mathrm{Hz}$ .
Comparer qualitativement avec les ondes sonores dans l'air, pour lesquelles la célérité ne dépend pas de la fréquence.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $v$ varie nettement avec $N$ (de $0{,}22$ à $0{,}30\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ ) : la célérité de l'onde progressive dépend de la fréquence. Le milieu (surface de l'eau) est donc dispersif ; il y a dispersion des ondes mécaniques de surface. La longueur d'onde $\lambda=v/N$ change donc avec $N$ même si le dispositif de propagation reste le même.

\lambda=\dfrac{v}{N}=\dfrac{0{,}25}{20}=1{,}25\times10^{-2}\,\mathrm{m}=1{,}25\,\mathrm{cm}.

3. Dans l'air, pour les ondes sonores, $v$ est indépendante de $N$ (milieu non dispersif pour le son). Ici $v=v(N)$ : comportement opposé, typique de la surface libre d'une nappe d'eau.

2 Transfert — stroboscopie : compter les crêtes, régler les éclairs et prévoir le mouvement apparent

Entraînement 02 / 02

Transfert — stroboscopie : compter les crêtes, régler les éclairs et prévoir le mouvement apparent

5 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Dans une cuve à ondes, une réglette liée à un vibreur de fréquence $N=40\ \mathrm{Hz}$ frappe la surface de l'eau et engendre des ondes progressives rectilignes. Les bords de la cuve sont garnis de mousse. On éclaire la surface avec un stroboscope dont la fréquence des éclairs $N_e$ est réglable. Pour $N_e=40\ \mathrm{Hz}$ la surface paraît immobile ; on place alors une règle graduée le long de la direction de propagation et l'on mesure que six crêtes rectilignes consécutives occupent une longueur de $4{,}0\ \mathrm{cm}$ (de la première crête à la sixième).

Quel est le rôle de la mousse sur les bords de la cuve ?
Déterminer la longueur d'onde $\lambda$ à partir de la mesure sur la règle (attention au nombre d'intervalles entre six crêtes), puis la célérité $v$ des ondes à la surface de l'eau.
Pour quelles autres valeurs de $N_e$ , inférieures à $40\ \mathrm{Hz}$ , la surface paraît-elle encore immobile ? Justifier.
Décrire le mouvement apparent des crêtes pour $N_e=39\ \mathrm{Hz}$ puis pour $N_e=41\ \mathrm{Hz}$ .
Deux points de la surface, situés sur une même direction de propagation, sont distants de $d=2{,}0\ \mathrm{cm}$ . Vibrent-ils en phase ou en opposition de phase ? Justifier.

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : une onde qui atteint un bord rigide se réfléchit et se superpose à l'onde incidente. La mousse absorbe l'onde qui arrive sur les bords et empêche le phénomène de réflexion, afin de n'observer que l'onde progressive issue de la réglette.

2. Idée : entre six crêtes consécutives il y a cinq intervalles, chacun égal à $\lambda$ . Six crêtes consécutives délimitent $6-1=5$ longueurs d'onde : $5\lambda=4{,}0\ \mathrm{cm}$ , d'où

\lambda=\frac{4{,}0}{5}=0{,}80\ \mathrm{cm}=8{,}0\times10^{-3}\ \mathrm{m},\qquad v=\lambda N=8{,}0\times10^{-3}\times40=\boxed{0{,}32\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}}

(Diviser $4{,}0\ \mathrm{cm}$ par $6$ donnerait $0{,}67\ \mathrm{cm}$ et une célérité fausse de $0{,}27\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ : l'erreur de comptage se propage directement sur $v$ .)

3. Idée : immobilité apparente $\iff$ entre deux éclairs chaque crête avance d'un nombre entier de $\lambda$ , c'est-à-dire $T_e=kT$ . La surface paraît immobile si $N_e=\dfrac{N}{k}$ avec $k$ entier non nul. Pour $N_e<40\ \mathrm{Hz}$ : $k=2$ donne $N_e=20\ \mathrm{Hz}$ , $k=3$ donne $N_e\approx13{,}3\ \mathrm{Hz}$ , $k=4$ donne $N_e=10\ \mathrm{Hz}$ , etc. La plus grande fréquence d'éclairs donnant l'immobilité est $N_e=N=40\ \mathrm{Hz}$ , ce qui justifie que $40\ \mathrm{Hz}$ est bien la fréquence du vibreur et non un sous-multiple.

4. Idée : comparer la période des éclairs à la période de l'onde. Pour $N_e=39\ \mathrm{Hz}<N$ , $T_e>T$ : entre deux éclairs chaque crête parcourt un peu plus que $\lambda$ ; on croit voir la crête précédente légèrement avancée : les crêtes semblent se déplacer au ralenti dans le sens réel de propagation. Pour $N_e=41\ \mathrm{Hz}>N$ , $T_e<T$ : chaque crête a parcouru un peu moins que $\lambda$ ; on la voit un peu en arrière de la position de la crête précédente : mouvement apparent au ralenti en sens inverse de la propagation.

5. Idée : le déphasage entre deux points distants de $d$ vaut $2\pi d/\lambda$ . $\dfrac{d}{\lambda}=\dfrac{2{,}0}{0{,}80}=2{,}5$ , donc $|\Delta\varphi|=2\pi\times2{,}5=5\pi=\pi+2\times2\pi$ . Comme $d=2{,}5\,\lambda=(2\times2+1)\dfrac{\lambda}{2}$ est un nombre impair de demi-longueurs d'onde, les deux points vibrent en opposition de phase : quand l'un est sur une crête, l'autre est dans un creux.

Relier ce raisonnement au bac

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