OD-FOndes mécaniques

L'exercice d'ondes complet : cuve à ondes, stroboscopie, équation horaire d'un point, dispersion

Idée directrice

L'exercice d'ondes mécaniques (4 à 5 points, le plus fréquent de l'épreuve de physique de la section) est construit en expériences successives sur un même dispositif : la stroboscopie fixe la fréquence de l'onde, une coupe de la surface à un instant $t_1$ donne la longueur d'onde et le front d'onde (donc la célérité), l'équation horaire de la source se transporte en un point $M$ par le retard $\theta=x/v$ , et un tableau $N\mapsto d$ révèle la dispersion. Chaque expérience réutilise la grandeur mesurée dans la précédente.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« la surface de l'eau paraît immobile pour … valeurs de la fréquence des éclairs » ; « dire pourquoi l'onde … est qualifiée d'onde mécanique » ; « déterminer la valeur de $t_1$ ; en déduire celle de $v$ » ; « déterminer l'élongation et la vitesse de ce point aux instants … » ; « justifier que les ondes … subissent le phénomène de dispersion ».

Sujet principal

Exercice 2 — ondes mécaniques (5 points), dans l’esprit de la session 2022

7 questionsCorrigé masqué

Une réglette mince, entraînée par un vibreur de fréquence $N$ réglable, perturbe perpendiculairement la surface libre de l'eau d'une cuve à ondes. Il en résulte une onde rectiligne progressive sinusoïdale d'amplitude $a=2\,\text{mm}$ et de fréquence $N$ , qui se propage à la surface de l'eau avec la célérité $v$ . La réglette débute son mouvement à $t=0$ à partir de sa position de repos, prise comme origine des élongations ; on néglige réflexion et amortissement. On note $O$ un point de la surface au contact de la réglette.

Expérience 1. La fréquence du vibreur est réglée à une valeur $N_1$ . Éclairée par un stroboscope de fréquence $N_e$ réglable ( $N_e\leq 40\,\text{Hz}$ ), la surface paraît immobile pour exactement trois valeurs : $N_e=36\,\text{Hz}$ , $18\,\text{Hz}$ et $12\,\text{Hz}$ .

Dire pourquoi l'onde qui se propage à la surface de l'eau est qualifiée d'onde mécanique, et préciser si elle est transversale ou longitudinale.
Préciser, en le justifiant, la valeur de la fréquence $N_1$ du vibreur.
Décrire l'aspect de la surface de l'eau lorsque la fréquence des éclairs est réglée à $N_e=35\,\text{Hz}$ .

Expérience 2. La fréquence du vibreur est maintenant $N_2=25\,\text{Hz}$ . Une coupe de la surface par un plan vertical perpendiculaire à la réglette, à l'instant $t_1$ , montre que le front de l'onde est à la distance $x_F=72\,\text{mm}$ de $O$ et que la distance entre deux crêtes consécutives vaut $12\,\text{mm}$ . À un instant immédiatement supérieur à $t_1$ , le point $F$ atteint par le front se déplace verticalement vers le bas.

1. Déterminer la longueur d'onde $\lambda$ , puis la valeur de $t_1$ . En déduire la célérité $v$ de l'onde.
2. Déterminer la phase initiale $\varphi_O$ du mouvement de $O$ et écrire l'équation horaire $y_O(t)$ .
Soit $M$ un point de la surface situé à la distance $x=OM=45\,\text{mm}$ de la réglette.
1. Établir l'équation horaire $y_M(t)$ du mouvement de $M$ en précisant l'instant $\theta$ à partir duquel $M$ entre en vibration.
2. Déterminer l'élongation et la vitesse de $M$ aux instants $t_2=0{,}14\,\text{s}$ et $t_3=0{,}21\,\text{s}$ .
3. En déduire l'élongation du point $O$ à l'instant $t_3$ , puis les positions des points de la surface qui vibrent en phase avec $O$ à cet instant.

Expérience 3. On fait varier la fréquence $N$ du vibreur et l'on mesure à chaque fois la distance $d$ parcourue par l'onde à l'instant $t_1$ : pour $N=12\,\text{Hz}$ , $d=55\,\text{mm}$ ; pour $N=25\,\text{Hz}$ , $d=72\,\text{mm}$ ; pour $N=48\,\text{Hz}$ , $d=82\,\text{mm}$ .

En exploitant ces données, justifier que les ondes qui se propagent à la surface de l'eau subissent le phénomène de dispersion.
Citer une expérience permettant d'observer ce phénomène avec les ondes lumineuses.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Exp. 1 — 1. Idée : le critère « milieu matériel ». L'onde nécessite un milieu matériel (l'eau) pour se propager : elle est mécanique. Les points de la surface vibrent verticalement alors que l'onde progresse horizontalement : la direction de vibration est perpendiculaire à la direction de propagation, l'onde est transversale.

Exp. 1 — 2. Idée : immobilité apparente $\iff N_1=k\,N_e$ ; la plus grande fréquence d'éclairs qui immobilise est $N_1$ elle-même. $36$ , $18$ et $12\,\text{Hz}$ sont $36/1$ , $36/2$ et $36/3$ ; la valeur suivante $36/4=9\,\text{Hz}$ n'apparaît pas dans la liste seulement parce que l'énoncé se limite à trois valeurs observées, tandis que $72\,\text{Hz}$ dépasse la limite du stroboscope. Donc

N_1=36\,\text{Hz}

Exp. 1 — 3. Idée : $N_e$ légèrement inférieure à $N_1$ $\Rightarrow$ mouvement apparent ralenti dans le sens de propagation. Entre deux éclairs, chaque point accomplit un peu plus d'une période : la surface semble se déplacer lentement dans le sens réel de propagation (rides qui s'éloignent de la réglette au ralenti).

Exp. 2 — 1.a Idée : la distance entre deux crêtes est $\lambda$ ; le front a parcouru $x_F$ en $t_1$ , soit un nombre entier de longueurs d'onde $\Rightarrow$ un nombre entier de périodes. $\lambda=12\,\text{mm}$ ; $x_F=72\,\text{mm}=6\lambda$ , donc $t_1=6T=\dfrac{6}{N_2}=\dfrac{6}{25}=0{,}24\,\text{s}$ . Célérité :

v=\lambda N_2=12\times10^{-3}\times25=\boxed{0{,}30\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}\qquad\Big(\text{contrôle : } v=\frac{x_F}{t_1}=\frac{0{,}072}{0{,}24}=0{,}30\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\Big)

Exp. 2 — 1.b Idée : le point du front reproduit, à $t_1$ , l'état de la source à $t=0$ . $F$ a une élongation nulle et descend ; donc $O$ à $t=0$ partait de $0$ vers le bas : $y_O(0)=0$ et $\dot y_O(0)<0$ . Avec $y_O(t)=a\sin(2\pi N_2 t+\varphi_O)$ : $\sin\varphi_O=0$ et $\cos\varphi_O<0$ , d'où $\varphi_O=\pi$ et

y_O(t)=2\sin(50\pi t+\pi)\ \ (\text{mm}),\quad t\geq 0

Exp. 2 — 2.a Idée : $M$ reproduit le mouvement de $O$ avec le retard $\theta=x/v$ . $\theta=\dfrac{0{,}045}{0{,}30}=0{,}15\,\text{s}$ . Pour $t<\theta$ , $M$ est au repos ; pour $t\geq\theta$ :

y_M(t)=2\sin\big(50\pi(t-0{,}15)+\pi\big)=2\sin(50\pi t-6{,}5\pi)\ \ (\text{mm})

Exp. 2 — 2.b À $t_2=0{,}14\,\text{s}<\theta$ : l'onde n'a pas atteint $M$ , élongation et vitesse nulles. À $t_3=0{,}21\,\text{s}$ : $50\pi(0{,}21-0{,}15)+\pi=3\pi+\pi=4\pi$ , donc $y_M(t_3)=2\sin(4\pi)=0$ ; vitesse $\dot y_M(t_3)=2\times50\pi\cos(4\pi)=100\pi\ \text{mm}\cdot\text{s}^{-1}\approx0{,}31\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , dirigée vers le haut.

Exp. 2 — 2.c $y_O(t_3)=2\sin(50\pi\times0{,}21+\pi)=2\sin(11{,}5\pi)=2\sin\big(\tfrac{3\pi}{2}\big)=-2\,\text{mm}$ (autre voie : $y_O(t_3)=y_M(t_3+\theta)$ ). Les points en phase avec $O$ sont à des distances $x=k\lambda$ ; à $t_3$ l'onde a atteint $vt_3=63\,\text{mm}$ , d'où $x\in\{0;\,12;\,24;\,36;\,48;\,60\}\,\text{mm}$ .

Exp. 3 — 1. Idée : la célérité $v=d/t_1$ dépend-elle de $N$ ? $v_{12}=\dfrac{0{,}055}{0{,}24}\approx0{,}23$ , $v_{25}=0{,}30$ , $v_{48}\approx0{,}34\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ : la célérité augmente avec la fréquence. Un milieu où la célérité dépend de la fréquence est dispersif ; les ondes à la surface de l'eau subissent donc la dispersion.

Exp. 3 — 2. La décomposition de la lumière blanche par un prisme (les radiations de fréquences différentes sont déviées différemment) est la manifestation de la dispersion pour les ondes lumineuses.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill OD-F.1 — onde progressive le long d’une corde : célérité, longueur d’onde, front d’onde

3 questionsCorrigé masqué

Une corde élastique horizontale de longueur $L=OE=1\,\text{m}$ est attachée en $O$ à une lame vibrante et en $E$ à un support fixe à travers une pelote de coton. La lame impose à $O$ un mouvement sinusoïdal vertical d'amplitude $a=4\,\text{mm}$ et de fréquence $N=50\,\text{Hz}$ à partir de $t=0$ ; la corde est le siège d'une onde progressive de célérité $c$ , sans amortissement. Le point $A$ situé à $x_A=OA=30\,\text{cm}$ commence à vibrer à l'instant $t_A=0{,}06\,\text{s}$ .

Préciser, en le justifiant, si l'onde qui se propage le long de la corde est longitudinale ou transversale, et indiquer le rôle de la pelote de coton.
Calculer la célérité $c$ de l'onde et sa longueur d'onde $\lambda$ .
Montrer qu'à l'instant $t_1=0{,}1\,\text{s}$ l'onde n'a pas atteint l'extrémité $E$ , et déterminer le nombre de longueurs d'onde présentes sur la corde à cet instant.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : comparer direction de vibration et direction de propagation. Les points de la corde vibrent verticalement tandis que l'onde progresse horizontalement le long de la corde : l'onde est transversale. La pelote de coton absorbe l'énergie de l'onde en $E$ et empêche sa réflexion : l'onde reste progressive.

2. Idée : le retard du point $A$ est $t_A=x_A/c$ . $c=\dfrac{x_A}{t_A}=\dfrac{0{,}30}{0{,}06}=5{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ ; $\lambda=\dfrac{c}{N}=\dfrac{5{,}0}{50}=0{,}10\,\text{m}=10\,\text{cm}$ .

3. À $t_1=0{,}1\,\text{s}$ le front est en $x_F=ct_1=0{,}50\,\text{m}<L=1\,\text{m}$ : l'onde n'a pas atteint $E$ . La portion perturbée mesure $0{,}50\,\text{m}=5\lambda$ : cinq longueurs d'onde sont présentes sur la corde.

Entraînement 02 / 02

Drill OD-F.2 — lire la fréquence d’une onde au stroboscope

3 questionsCorrigé masqué

À la surface de l'eau d'une cuve à ondes se propage une onde progressive sinusoïdale de fréquence $N$ inconnue. Éclairée par un stroboscope de fréquence réglable $N_e\leq 45\,\text{Hz}$ , la surface paraît immobile pour $N_e=40\,\text{Hz}$ , $20\,\text{Hz}$ et $10\,\text{Hz}$ seulement.

Rappeler la condition d'immobilité apparente et en déduire la fréquence $N$ de l'onde.
Décrire l'aspect de la surface pour $N_e=39\,\text{Hz}$ , puis pour $N_e=41\,\text{Hz}$ .
La longueur d'onde mesurée sur une photo vaut $\lambda=8\,\text{mm}$ . Calculer la célérité de propagation.

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1. La surface paraît immobile lorsque, entre deux éclairs, chaque point effectue un nombre entier de périodes : $N=kN_e$ , $k\in\N^*$ . La plus grande fréquence d'éclairs qui immobilise correspond à $k=1$ : $N=40\,\text{Hz}$ (et $20=40/2$ , $10=40/4$ ; $80\,\text{Hz}$ dépasse la limite du stroboscope).

2. Pour $N_e=39\,\text{Hz}<N$ : chaque point accomplit un peu plus d'une période entre deux éclairs, l'onde semble avancer au ralenti dans le sens réel de propagation. Pour $N_e=41\,\text{Hz}>N$ : un peu moins d'une période, mouvement apparent ralenti en sens inverse de la propagation.

3. $v=\lambda N=8\times10^{-3}\times40=0{,}32\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ .

Méthode / Automatismes

Stroboscopie : immobilité apparente pour $N=kN_e$ ; la plus grande $N_e$ qui immobilise donne $N$ ; $N_e$ un peu plus petite $\Rightarrow$ ralenti dans le sens de propagation, un peu plus grande $\Rightarrow$ ralenti en sens inverse.
Sur une coupe à l'instant $t_1$ : $\lambda=$ distance entre deux crêtes, $x_F=vt_1$ ; si $x_F=n\lambda$ alors $t_1=nT$ . Contrôler $v=\lambda N=x_F/t_1$ .
Phase initiale de la source : lire le sens du mouvement du front (il reproduit $O$ à $t=0$ ) ; $\sin\varphi=0$ et le signe de $\cos\varphi$ décident entre $0$ et $\pi$ .
Point $M$ : $y_M(t)=y_O(t-\theta)$ avec $\theta=x/v$ , et $y_M=0$ tant que $t<\theta$ — toujours comparer $t$ à $\theta$ avant de calculer.
Dispersion : calculer $v$ pour chaque $N$ ; si $v$ varie avec $N$ , le milieu est dispersif (l'eau, oui ; l'air pour le son, non).

Pièges classiques

Prendre pour $N$ la plus petite fréquence d'éclairs qui immobilise (c'est un sous-multiple) ; calculer $y_M(t_2)$ avec la formule alors que $t_2<\theta$ (le point n'a pas encore bougé) ; oublier le signe de la vitesse ou la convertir sans unité ; confondre « points en phase avec $O$ » ( $x=k\lambda$ ) et « points d'élongation nulle » ; enfin, conclure « dispersif » à partir d'un seul couple $(N,d)$ au lieu de comparer les célérités.