OD-JOndes mécaniques

Onde le long d'une corde au format du bac : rôles du dispositif, célérité par deux aspects, phase de la source, points en quadrature limités par le front, arrêt du vibreur

Idée directrice

Au bac, l'exercice de la corde enchaîne toujours les mêmes gestes : le dispositif (la lame vibrante est la source d'énergie, la corde le milieu de propagation, la pelote de coton l'absorbant qui évite la réflexion) ; la célérité tirée du déplacement du front d'onde entre deux aspects, ou d'un tableau d'instants de départ ; $\lambda$ lue sur l'aspect puis $N=\frac v\lambda$ ; la phase de la source, lue juste derrière le front, où la corde reproduit le premier mouvement de $S$ . Tout le reste en découle : $y_M(t)=y_S\left(t-\frac xv\right)$ pour $t\ge\frac xv$ , les points en phase, en opposition ou en quadrature entre $S$ et le front seulement, et, quand le vibreur s'arrête, un train d'ondes de longueur $vt_a$ qui glisse sans se déformer jusqu'à la pelote de coton.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« en attribuant à chacun des éléments du dispositif le rôle qui lui convient » ; « les deux aspects de la corde respectivement aux instants $t_1$ et $t_2$ » ; « Déterminer le nombre et les abscisses des points de la corde qui vibrent en quadrature retard de phase » ; « le vibreur s'arrête » ; « Représenter l'aspect de la corde à l'instant »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Dispositif : lame vibrante = source d'énergie ; corde = milieu de propagation ; pelote de coton = absorbant énergétique (pas de réflexion).
$v$ par le déplacement du front entre deux aspects, $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ , ou par $\frac xt$ d'un point au début de son mouvement ; $\lambda$ entre deux crêtes d'un aspect ; $N=\frac v\lambda$ .
$\varphi_S$ : la forme de la corde juste derrière le front donne le sens du premier mouvement de $S$ ; vérifier ensuite avec la position de $S$ sur l'aspect.
En phase : $x=k\lambda$ ; opposition : $x=\frac\lambda2+k\lambda$ ; quadrature retard : $x=\frac\lambda4+k\lambda$ — en ne gardant que les $x$ inférieurs à l'abscisse du front à la date demandée.
Vibreur arrêté à $t_a$ : train d'ondes de longueur $vt_a$ , queue en $v(t-t_a)$ , tête en $vt$ ; un point d'abscisse $x$ vibre de $\frac xv$ à $t_a+\frac xv$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Compter des points situés au-delà du front d'onde (ils sont encore au repos) ; lire $\lambda$ entre deux zéros consécutifs (c'est $\frac\lambda2$ ) ; chercher $\varphi_S$ sur la position de $S$ seule au lieu de la forme de la corde au voisinage du front ; oublier que $y_M(t)=0$ avant $\frac{x_M}{v}$ ; croire qu'à l'arrêt du vibreur toute la corde s'immobilise aussitôt, ou que le train d'ondes revient après la pelote de coton ; confondre quadrature retard ( $x=\frac\lambda4+k\lambda$ ) et quadrature avance ( $x=\frac{3\lambda}4+k\lambda$ ).

Sujet principal

Exercice 2 — onde progressive le long d'une corde (4,5 points), dans l'esprit des sessions 2017–2026

7 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Une corde élastique homogène, de longueur $L=1{,}20\ \text{m}$ , est tendue horizontalement suivant un axe $x'x$ dont l'origine coïncide avec son extrémité $S$ . Une lame vibrante impose à $S$ , à partir de l'instant $t=0$ , des vibrations verticales sinusoïdales d'amplitude $a=4\ \text{mm}$ et d'équation $y_S(t)=a\sin(2\pi Nt+\varphi_S)$ ; une onde progressive prend naissance en $S$ et se propage le long de la corde. L'autre extrémité de la corde est reliée à un support fixe à travers une pelote de coton. On néglige tout amortissement.

Les courbes $(f_1)$ et $(f_2)$ ci-dessous représentent les aspects de la corde aux instants $t_1$ et $t_2$ , avec $t_2-t_1=10\ \text{ms}$ .

Le dispositif.
1. Attribuer à chacun des éléments du dispositif — lame vibrante, corde tendue, pelote de coton — le rôle qui lui convient parmi : milieu de propagation, source d'énergie, absorbant énergétique.
2. Justifier que l'onde qui se propage le long de la corde est transversale.
En exploitant les courbes $(f_1)$ et $(f_2)$ :
1. déterminer la célérité $v$ de l'onde ;
2. préciser la valeur de la longueur d'onde $\lambda$ , puis en déduire la fréquence $N$ et la période $T$ ;
3. déterminer les dates $t_1$ et $t_2$ et les exprimer en fonction de $T$ .
Déterminer, en le justifiant, la phase initiale $\varphi_S$ de la source. Vérifier la cohérence de ce résultat avec la position de $S$ sur la courbe $(f_1)$ , puis écrire $y_S(t)$ .
On considère le point $M$ de la corde d'abscisse $x_M=30\ \text{cm}$ .
1. Écrire l'équation horaire $y_M(t)$ du mouvement de $M$ ; préciser sa valeur avant que l'onde ne l'atteigne.
2. Comparer l'état vibratoire de $M$ à celui de $S$ .
Déterminer le nombre et les abscisses des points de la corde qui, à l'instant $t_2$ , vibrent en quadrature retard de phase par rapport à la source $S$ .
Représenter l'aspect de la corde à l'instant $t_3=90\ \text{ms}$ et y placer le point $M$ .
À l'instant $t_a=100\ \text{ms}$ , alors que $S$ passe par sa position de repos, le vibreur s'arrête : $S$ reste désormais immobile.
1. Préciser la date à partir de laquelle $M$ est définitivement au repos, et le nombre d'oscillations qu'il a effectuées.
2. Représenter l'aspect de la corde à l'instant $t_4=160\ \text{ms}$ .
3. À quelle date toute la corde est-elle de nouveau au repos ? Justifier.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Lame vibrante : source d'énergie (elle impose les vibrations) ; corde tendue : milieu de propagation ; pelote de coton : absorbant énergétique — elle absorbe l'énergie qui arrive au bout de la corde et empêche la réflexion de l'onde.

1.b Chaque point de la corde vibre verticalement alors que l'onde se propage horizontalement le long de $x'x$ : la direction de vibration est perpendiculaire à la direction de propagation, l'onde est transversale.

2.a Idée : entre $t_1$ et $t_2$ , le front d'onde avance à la célérité $v$ . Sur $(f_1)$ , le front est en $x_1=42\ \text{cm}$ ; sur $(f_2)$ , en $x_2=48\ \text{cm}$ :

v=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\dfrac{0{,}06}{1{,}0\times10^{-2}}=\boxed{6\ \text{m·s}^{-1}}

2.b La période spatiale se lit entre deux crêtes consécutives de $(f_1)$ , en $x=0$ et $x=24\ \text{cm}$ (4 carreaux) : $\boxed{\lambda=24\ \text{cm}}$ . Alors $N=\dfrac v\lambda=\dfrac{6}{0{,}24}=\boxed{25\ \text{Hz}}$ et $T=\dfrac1N=\boxed{40\ \text{ms}}$ .

2.c Le front a parcouru $x_1$ depuis $t=0$ : $t_1=\dfrac{x_1}{v}=\dfrac{0{,}42}{6}=\boxed{70\ \text{ms}=1{,}75\,T}$ ; de même $t_2=\dfrac{0{,}48}{6}=\boxed{80\ \text{ms}=2\,T}$ , et l'on retrouve $t_2-t_1=10\ \text{ms}$ . La partie déformée mesure d'ailleurs $1{,}75\lambda$ sur $(f_1)$ et $2\lambda$ sur $(f_2)$ .

3. Idée : le point situé juste derrière le front d'onde vient de commencer à vibrer ; il reproduit le premier mouvement de $S$ . Sur $(f_1)$ comme sur $(f_2)$ , la corde arrive au front par-dessous : chaque point commence son mouvement vers le bas, donc $S$ aussi. À $t=0$ : $y_S(0)=a\sin\varphi_S=0$ et $\dfrac{dy_S}{dt}(0)=2\pi Na\cos\varphi_S<0$ , d'où $\boxed{\varphi_S=\pi\ \text{rad}}$ .

Cohérence : $y_S(t_1)=a\sin(2\pi\times1{,}75+\pi)=a\sin(4{,}5\pi)=+a$ ; sur $(f_1)$ , $S$ est bien en crête, à $+4\ \text{mm}$ . Ainsi :

y_S(t)=4\times10^{-3}\sin(50\pi t+\pi)\quad(\text{SI})

4.a Idée : $M$ reproduit le mouvement de $S$ avec le retard $\theta_M=\frac{x_M}{v}$ . $\theta_M=\dfrac{0{,}30}{6}=50\ \text{ms}$ . Pour $t<\theta_M$ , $y_M(t)=0$ ; pour $t\ge\theta_M$ , $y_M(t)=y_S(t-\theta_M)$ avec $50\pi\theta_M=2{,}5\pi$ :

y_M(t)=4\times10^{-3}\sin(50\pi t-1{,}5\pi)

soit $\boxed{y_M(t)=4\times10^{-3}\sin\left(50\pi t+\frac\pi2\right)}$ (SI), pour $t\ge50\ \text{ms}$ .

4.b $\varphi_M-\varphi_S=\dfrac\pi2-\pi=-\dfrac\pi2$ : $M$ vibre en quadrature retard de phase par rapport à $S$ , en accord avec $x_M=\dfrac{5\lambda}{4}=\lambda+\dfrac\lambda4$ . Sur $(f_2)$ , $M$ est en crête ( $y_M(t_2)=a\sin\left(4\pi+\frac\pi2\right)=+4\ \text{mm}$ ) pendant que $S$ passe par sa position de repos.

5. Idée : un point d'abscisse $x$ est en retard de phase de $\frac{2\pi x}{\lambda}$ sur $S$ ; seuls comptent les points déjà atteints, $0<x<x_2$ . Quadrature retard : $\dfrac{2\pi x}{\lambda}=\dfrac\pi2+2k\pi$ , soit $x=\dfrac\lambda4+k\lambda=6+24k$ (cm), avec $x<48\ \text{cm}$ : $k\in\{0\,;1\}$ . Il y a $\boxed{2\ \text{points}}$ , d'abscisses $\boxed{6\ \text{cm}\ \text{et}\ 30\ \text{cm}}$ ( $M$ en fait partie) ; le point d'abscisse $54\ \text{cm}$ n'est pas encore atteint à $t_2$ .

6. Idée : écrire l'élongation de tous les points à la date fixée, puis limiter la courbe au front d'onde. À $t_3=2{,}25\,T$ , le front est en $vt_3=54\ \text{cm}=2{,}25\lambda$ et, pour $0\le x\le54\ \text{cm}$ :

y(x,t_3)=a\sin\left(4{,}5\pi-\tfrac{2\pi x}{\lambda}+\pi\right)

soit $y(x,t_3)=-a\cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}$ , et $y=0$ au-delà du front. $S$ est en creux ( $-4\ \text{mm}$ ), les crêtes sont en $12$ et $36\ \text{cm}$ , les creux en $24$ et $48\ \text{cm}$ , la corde arrive au front par-dessous et $M$ passe par sa position de repos.

7.a Idée : la dernière perturbation émise par $S$ , à $t_a$ , atteint $M$ avec le retard $\theta_M$ . $M$ s'immobilise à $t_a+\theta_M=\boxed{150\ \text{ms}}$ . Il a vibré de $50$ à $150\ \text{ms}$ , soit $100\ \text{ms}=2{,}5\,T$ : $\boxed{2{,}5\ \text{oscillations}}$ , autant que $S$ , qui a vibré de $0$ à $t_a=2{,}5\,T$ .

7.b Idée : le vibreur a émis un train d'ondes de longueur $vt_a$ qui se propage sans se déformer. Longueur du train : $vt_a=6\times0{,}100=0{,}60\ \text{m}=2{,}5\lambda$ . À $t_4=160\ \text{ms}$ , sa tête est en $vt_4=96\ \text{cm}$ (avant la pelote de coton) et sa queue en $v(t_4-t_a)=36\ \text{cm}$ . La corde est au repos pour $x<36\ \text{cm}$ et pour $x>96\ \text{cm}$ ; entre les deux, $y(x,t_4)=a\sin\dfrac{2\pi x}{\lambda}$ : creux en $42$ , $66$ et $90\ \text{cm}$ , crêtes en $54$ et $78\ \text{cm}$ .

7.c La queue du train quitte $S$ à $t_a$ et parcourt toute la corde ; arrivée à la pelote de coton, elle est absorbée sans réflexion. La corde est entièrement au repos à $t_a+\dfrac Lv=0{,}100+\dfrac{1{,}20}{6}=\boxed{0{,}30\ \text{s}}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : rôles des éléments du dispositif, puis deux aspects séparés de $5\ \text{ms}$ et points en phase avec $S$ à $t_2$ (principale 2018, Sciences expérimentales) ; célérité d'un ébranlement par deux aspects, diagramme de $S$ , nombre et abscisses des points en quadrature retard à $t_3$ , fréquence pour laquelle deux points vibrent en phase pour la première fois (contrôle 2019, Sciences expérimentales) ; retard d'un point donné, aspect de la corde quand le front atteint la pelote de coton, points en quadrature avance par rapport à ce point (principale 2021, Sciences expérimentales) ; unique point en opposition de phase, arrêt du vibreur, diagramme de ce point et aspects ultérieurs (principale 2023, Mathématiques) ; deux cordes de propriétés différentes excitées à la même fréquence (principale 2024, Sciences expérimentales) ; tableau des instants de début de mouvement de trois points (contrôle 2026, Mathématiques) ; aspect en lumière ordinaire, rôle du coton et phases de deux points (principale 2017, Mathématiques).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill OD-J.1 — tableau des instants de début de mouvement :

v

\lambda

par le premier point en opposition de phase, points limités par le front

Entraînement 01 / 03

Drill OD-J.1 — tableau des instants de début de mouvement : $v$ , $\lambda$ par le premier point en opposition de phase, points limités par le front

4 questionsCorrigé masqué

Une corde élastique homogène, très longue, est tendue horizontalement suivant un axe $Ox$ dont l'origine est son extrémité $S$ . Une lame vibrante impose à $S$ , à partir de $t=0$ , des vibrations verticales sinusoïdales de fréquence $N'$ et d'amplitude $a=3\ \text{mm}$ : une onde progressive prend naissance en $S$ et se propage le long de la corde. Une pelote de coton à l'autre extrémité empêche toute réflexion et on néglige l'amortissement. On a mesuré les instants $t_1$ , $t_2$ et $t_3$ auxquels trois points $M_1$ , $M_2$ et $M_3$ de la corde commencent à vibrer ; une partie des résultats figure dans le tableau.

\begin{array}{c|c|c|c} \text{point} & M_1 & M_2 & M_3 \\ \hline x\ (\text{cm}) & 16 & x_2 & x_2+20 \\ t\ (\text{ms}) & t_1 & 45 & 70 \end{array}

En exploitant le tableau :
1. déterminer la célérité $v$ de l'onde ;
2. en déduire $t_1$ et $x_2$ .
On sait que $M_1$ est, parmi les points de la corde, le plus proche de $S$ qui vibre en opposition de phase avec $S$ .
1. Déterminer la longueur d'onde $\lambda$ .
2. En déduire la fréquence $N'$ .
À l'instant $t_3$ :
1. déterminer le nombre et les abscisses des points qui vibrent en opposition de phase avec $S$ ;
2. déterminer les abscisses des points, autres que $S$ , qui vibrent en phase avec $S$ .
On refait l'expérience en augmentant la fréquence à partir de $N'$ , la célérité restant $v$ .
1. Déterminer la plus petite fréquence $N''>N'$ pour laquelle $M_1$ vibre en phase avec $S$ .
2. Pour la fréquence $N''$ , déterminer le nombre de points, autres que $M_1$ , qui vibrent en phase avec $M_1$ à l'instant $t_3$ . Comparer avec le cas de la fréquence $N'$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : $M_3$ est atteint $t_3-t_2$ après $M_2$ , et la distance qui les sépare est connue.

v=\dfrac{x_3-x_2}{t_3-t_2}=\dfrac{0{,}20}{25\times10^{-3}}=\boxed{8\ \text{m·s}^{-1}}

1.b $t_1=\dfrac{x_1}{v}=\dfrac{0{,}16}{8}=\boxed{20\ \text{ms}}$ ; $x_2=vt_2=8\times0{,}045=\boxed{0{,}36\ \text{m}}$ , d'où $x_3=56\ \text{cm}$ .

2.a Idée : deux points vibrent en opposition de phase quand leur distance est un multiple impair de $\frac\lambda2$ ; le plus proche de $S$ est à $\frac\lambda2$ . $\dfrac\lambda2=x_1=16\ \text{cm}$ , donc $\boxed{\lambda=32\ \text{cm}}$ .

2.b $N'=\dfrac v\lambda=\dfrac{8}{0{,}32}=\boxed{25\ \text{Hz}}$ .

3.a Idée : à $t_3$ , le front d'onde est en $x_3=56\ \text{cm}$ ( $M_3$ commence tout juste à vibrer) ; seuls les points d'abscisse $x<56\ \text{cm}$ vibrent. Opposition de phase avec $S$ : $x=\dfrac\lambda2+k\lambda=16+32k$ (cm), avec $x<56\ \text{cm}$ : $k\in\{0\,;1\}$ . Il y a $\boxed{2\ \text{points}}$ : $M_1$ ( $16\ \text{cm}$ ) et le point d'abscisse $\boxed{48\ \text{cm}}$ ; celui d'abscisse $80\ \text{cm}$ n'est pas encore atteint.

3.b En phase avec $S$ : $x=k\lambda=32k$ avec $0<x<56\ \text{cm}$ : un seul point, d'abscisse $\boxed{32\ \text{cm}}$ .

4.a Idée : la distance $x_1$ est fixe ; c'est $\lambda=\frac vN$ qui change avec la fréquence. $M_1$ vibre en phase avec $S$ si $x_1=k\lambda=k\dfrac vN$ , soit $N=k\dfrac{v}{x_1}=50k$ (Hz). La plus petite valeur supérieure à $N'=25\ \text{Hz}$ est $\boxed{N''=50\ \text{Hz}}$ ( $k=1$ ).

4.b Pour $N''$ : $\lambda''=\dfrac{8}{50}=16\ \text{cm}$ , et à $t_3$ le front est toujours en $vt_3=56\ \text{cm}$ puisque la célérité n'a pas changé. En phase avec $M_1$ : $x=16+16k$ avec $0\le x<56\ \text{cm}$ , soit $x\in\{0\,;16\,;32\,;48\}$ : $\boxed{3\ \text{points}}$ autres que $M_1$ ( $S$ , $32\ \text{cm}$ et $48\ \text{cm}$ ). Avec $N'$ , il n'y en avait qu'un, en $48\ \text{cm}$ : à célérité constante, augmenter la fréquence diminue $\lambda$ et resserre les points en phase.

2 Drill OD-J.2 — deux cordes de propriétés différentes excitées à la même fréquence : identifier les courbes, comparer

v

\lambda

Entraînement 02 / 03

Drill OD-J.2 — deux cordes de propriétés différentes excitées à la même fréquence : identifier les courbes, comparer $v$ et $\lambda$

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

On étudie la propagation d'une onde progressive sinusoïdale le long de deux cordes élastiques homogènes $(\zeta_1)$ et $(\zeta_2)$ , de propriétés différentes, de même longueur $80\ \text{cm}$ et tendues horizontalement. Deux lames vibrantes identiques imposent à leurs extrémités $S_1$ et $S_2$ , à partir du même instant $t=0$ , des vibrations sinusoïdales verticales de même fréquence $N$ et de même amplitude $a=2\ \text{mm}$ ; chaque corde se termine par une pelote de coton et on néglige l'amortissement. Les ondes se propagent avec les célérités $v_1$ et $v_2$ telles que $v_1<v_2$ ; l'abscisse $x$ d'un point est comptée à partir de la source de sa corde.

La figure 1 représente l'aspect de l'une des cordes à l'instant $t_0=70\ \text{ms}$ ; la figure 2 représente le diagramme du mouvement d'un point $M$ de l'autre corde, d'abscisse au repos $x_M=30\ \text{cm}$ .

Les deux célérités.
1. Sans calcul, expliquer pourquoi les deux ondes n'ont pas la même célérité.
2. Montrer que la figure 1 est l'aspect de la corde $(\zeta_2)$ .
Longueurs d'onde.
1. Déterminer la longueur d'onde $\lambda_2$ et la période $T$ ; en déduire $N$ .
2. En déduire la longueur d'onde $\lambda_1$ le long de $(\zeta_1)$ . Justifier que, pour une même fréquence, la longueur d'onde est proportionnelle à la célérité.
On s'intéresse à la corde $(\zeta_2)$ et à son point $A$ d'abscisse $x_A=\dfrac{\lambda_2}{2}$ .
1. Déterminer, à l'instant $t_0$ , les abscisses des points de $(\zeta_2)$ qui vibrent en opposition de phase avec $A$ .
2. On fait varier la fréquence de la lame vibrante de $(\zeta_2)$ entre $20\ \text{Hz}$ et $100\ \text{Hz}$ , la célérité restant $v_2$ . Déterminer les fréquences pour lesquelles $A$ vibre en phase avec $S_2$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a La célérité d'une onde le long d'une corde dépend du milieu de propagation (tension et masse par unité de longueur de la corde), pas de la source : les deux cordes étant différentes, $v_1\ne v_2$ bien que les sources soient identiques.

1.b Idée : calculer une célérité sur chaque figure, puis utiliser $v_1<v_2$ . Figure 1 : à $t_0=70\ \text{ms}$ , le front est en $56\ \text{cm}$ , d'où $v=\dfrac{0{,}56}{0{,}070}=8\ \text{m·s}^{-1}$ . Figure 2 : $M$ commence à vibrer à $60\ \text{ms}$ , d'où $v'=\dfrac{0{,}30}{0{,}060}=5\ \text{m·s}^{-1}$ . Comme $v_1<v_2$ : $\boxed{v_2=8\ \text{m·s}^{-1}}$ et $\boxed{v_1=5\ \text{m·s}^{-1}}$ ; la figure 1 est bien l'aspect de $(\zeta_2)$ .

2.a Sur la figure 1, la corde coupe l'axe en $16$ , $36$ et $56\ \text{cm}$ : deux passages consécutifs par zéro sont distants de $\frac{\lambda_2}{2}=20\ \text{cm}$ , et les deux crêtes, en $6$ et $46\ \text{cm}$ , de $\boxed{\lambda_2=40\ \text{cm}}$ . Sur la figure 2, $M$ repasse par zéro dans le même sens à $60$ puis $110\ \text{ms}$ : $T=50\ \text{ms}$ , donc $\boxed{N=20\ \text{Hz}}$ ; on vérifie $\dfrac{v_2}{\lambda_2}=\dfrac{8}{0{,}40}=20\ \text{Hz}$ .

2.b $\lambda_1=\dfrac{v_1}{N}=\dfrac{5}{20}=\boxed{25\ \text{cm}}$ . Les deux sources ont la même fréquence, donc $\lambda=\dfrac vN$ est proportionnelle à $v$ : $\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}=\dfrac{v_2}{v_1}=1{,}6$ .

3.a Idée : à $t_0$ , seuls les points situés avant le front ( $x<56\ \text{cm}$ ) vibrent. $x_A=20\ \text{cm}$ . Opposition de phase avec $A$ : $|x-x_A|=(2k+1)\dfrac{\lambda_2}{2}=20(2k+1)$ (cm), d'où $x=0$ ou $x=40\ \text{cm}$ ; $x=60\ \text{cm}$ dépasse le front. Les points cherchés sont $\boxed{S_2\ \text{et le point d'abscisse}\ 40\ \text{cm}}$ .

3.b Idée : $x_A$ est fixe ; $A$ vibre en phase avec $S_2$ si $x_A$ est un multiple de $\lambda$ , et $\lambda$ dépend de $N$ . $x_A=k\lambda=k\dfrac{v_2}{N}$ donne $N=k\dfrac{v_2}{x_A}=k\dfrac{8}{0{,}20}=40k$ (Hz). Dans l'intervalle $[20\ \text{Hz}\,;100\ \text{Hz}]$ : $\boxed{N=40\ \text{Hz}\ \text{ou}\ N=80\ \text{Hz}}$ ; à $20\ \text{Hz}$ , $A$ vibrait en opposition de phase avec $S_2$ .

3 Drill OD-J.3 — le vibreur s'arrête : un seul point en opposition, diagramme de ce point et train d'ondes jusqu'à son absorption

Entraînement 03 / 03

Drill OD-J.3 — le vibreur s'arrête : un seul point en opposition, diagramme de ce point et train d'ondes jusqu'à son absorption

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Une corde élastique homogène de longueur $L=80\ \text{cm}$ est tendue horizontalement suivant un axe $x'x$ dont l'origine est son extrémité $S$ . Une lame vibrante impose à $S$ , à partir de $t=0$ , des vibrations sinusoïdales verticales d'amplitude $a=2\ \text{mm}$ et d'équation $y_S(t)=a\sin(2\pi Nt+\varphi_S)$ ; l'onde progressive transversale ainsi créée se propage à la célérité $v=4\ \text{m·s}^{-1}$ . L'autre extrémité est reliée à un support fixe à travers une pelote de coton ; on néglige l'amortissement. La figure représente l'aspect de la corde à un instant $t_1$ .

En exploitant la figure :
1. préciser la longueur d'onde $\lambda$ ;
2. déterminer la fréquence $N$ et l'instant $t_1$ ;
3. déterminer $\varphi_S$ .
Montrer qu'à l'instant $t_1$ , un seul point de la corde, noté $A$ , vibre en opposition de phase avec $S$ ; préciser son abscisse $x_A$ .
À l'instant $t_2=75\ \text{ms}$ , le vibreur s'arrête et $S$ reste immobile dans sa position de repos.
1. Représenter, en le justifiant, le diagramme du mouvement du point $A$ entre $0$ et $150\ \text{ms}$ .
2. Représenter les aspects de la corde aux instants $t_3=100\ \text{ms}$ et $t_4=225\ \text{ms}$ .
3. Quelle longueur du train d'ondes a déjà été absorbée par la pelote de coton à l'instant $t_4$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Deux creux consécutifs sont en $x=0$ et $x=20\ \text{cm}$ : $\boxed{\lambda=20\ \text{cm}}$ .

1.b $N=\dfrac v\lambda=\dfrac{4}{0{,}20}=\boxed{20\ \text{Hz}}$ , soit $T=50\ \text{ms}$ . Le front est en $x_f=25\ \text{cm}=1{,}25\lambda$ : $t_1=\dfrac{x_f}{v}=\dfrac{0{,}25}{4}=\boxed{62{,}5\ \text{ms}=1{,}25\,T}$ .

1.c Idée : juste derrière le front, la corde montre le premier mouvement de la source. La corde arrive au front par-dessous : chaque point, donc $S$ , commence par descendre. $a\sin\varphi_S=0$ et $2\pi Na\cos\varphi_S<0$ : $\boxed{\varphi_S=\pi\ \text{rad}}$ . Vérification : $y_S(t_1)=a\sin(2{,}5\pi+\pi)=-a$ , et $S$ est bien en creux sur la figure.

2. Idée : à $t_1$ , seuls vibrent les points d'abscisse $x<x_f$ . Opposition de phase avec $S$ : $x=\dfrac\lambda2+k\lambda=10+20k$ (cm). Avec $x<25\ \text{cm}$ , seul $k=0$ convient : un seul point, $\boxed{x_A=10\ \text{cm}}$ , en crête quand $S$ est en creux ; le suivant, à $30\ \text{cm}$ , n'est pas encore atteint.

3.a Idée : $A$ reproduit, avec le retard $\theta_A=\frac{x_A}{v}$ , tout le mouvement de $S$ , arrêt compris. $\theta_A=\dfrac{0{,}10}{4}=25\ \text{ms}$ . $A$ reste au repos jusqu'à $25\ \text{ms}$ , puis vibre comme $S$ a vibré de $0$ à $t_2$ , c'est-à-dire pendant $75\ \text{ms}=1{,}5\,T$ , en commençant vers le bas : $y_A(t)=2\times10^{-3}\sin(40\pi t)$ (SI) pour $25\le t\le100\ \text{ms}$ . Il est de nouveau au repos à partir de $t_2+\theta_A=100\ \text{ms}$ .

3.b Idée : le train d'ondes a pour longueur $vt_2=30\ \text{cm}=1{,}5\lambda$ ; à la date $t$ , sa queue est en $v(t-t_2)$ et sa tête en $vt$ . À $t_3=100\ \text{ms}$ : queue en $10\ \text{cm}$ , tête en $40\ \text{cm}$ ; entre les deux, $y=a\sin\dfrac{2\pi x}{\lambda}$ : creux en $15$ et $35\ \text{cm}$ , crête en $25\ \text{cm}$ . À $t_4=225\ \text{ms}$ : la queue est en $v(t_4-t_2)=60\ \text{cm}$ ; la tête a atteint la pelote de coton à $\dfrac Lv=200\ \text{ms}$ et y est absorbée sans réflexion. Seule la portion $60\le x\le80\ \text{cm}$ reste déformée, avec $y=-a\sin\dfrac{2\pi x}{\lambda}$ : creux en $65\ \text{cm}$ , crête en $75\ \text{cm}$ .

3.c Sans la pelote de coton, la tête du train serait en $vt_4=90\ \text{cm}$ , soit $10\ \text{cm}$ au-delà de l'extrémité : une longueur $\boxed{10\ \text{cm}=\frac\lambda2}$ du train a été absorbée, et il reste $20\ \text{cm}=\lambda$ sur la corde.

Relier ce raisonnement au bac

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Onde le long d'une corde au format du bac : rôles du dispositif, célérité par deux aspects, phase de la source, points en quadrature limités par le front, arrêt du vibreur

Exercice 2 — onde progressive le long d'une corde (4,5 points), dans l'esprit des sessions 2017–2026

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill OD-J.1 — tableau des instants de début de mouvement : $v$ , $\lambda$ par le premier point en opposition de phase, points limités par le front

Drill OD-J.2 — deux cordes de propriétés différentes excitées à la même fréquence : identifier les courbes, comparer $v$ et $\lambda$

Drill OD-J.3 — le vibreur s'arrête : un seul point en opposition, diagramme de ce point et train d'ondes jusqu'à son absorption

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