OD-IOndes mécaniques

Onde sur une corde : identifier le diagramme du mouvement et l'aspect, les croiser ( $a$ , $T$ , $\lambda$ , $v$ , $t_1$ , $\varphi_S$ ) et tracer le diagramme d'un autre point

Idée directrice

L'épreuve donne souvent deux courbes non étiquetées : le diagramme du mouvement d'un point, $y(t)$ , nul tant que l'onde ne l'a pas atteint, et l'aspect de la corde à une date $t_1$ , $y(x)$ , nul au-delà du front d'onde. Les identifier puis les croiser — $a$ et $T$ sur l'une, $\lambda$ sur l'autre, $v=\lambda N$ pour relier retard et distance — donne toute l'onde : phase de la source, équation horaire d'un point, points en phase ou en quadrature, diagramme d'un autre point.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Identifier, en le justifiant, parmi les figures celle qui correspond au diagramme du mouvement du point M et celle qui correspond à l'aspect de la corde » ; « Déduire la distance $x_M$ et l'instant $t_1$ » ; « Préciser l'état de mouvement de M par rapport à S » ; « Représenter sur la figure de la page annexe le diagramme de mouvement du point » ; « les points de la corde dont le diagramme de mouvement est identique à celui du point P »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Diagramme du mouvement $y(t)$ d'un point : nul avant le retard $\theta=\frac xv$ , puis sinusoïdal — on y lit $a$ , $T$ et $\theta$ . Aspect $y(x)$ à une date $t_1$ : sinusoïdal de $S$ au front d'onde, nul au-delà — on y lit $\lambda$ et $x_f=v\,t_1$ .
Croiser les deux lectures : $v=\lambda N=\frac{x}{\theta}=\frac{x_f}{t_1}$ .
Phase initiale de la source : le premier déplacement de n'importe quel point atteint (ou du front d'onde) est celui de $S$ à $t=0$ .
$y_M(t)=y_S(t-\theta)$ ; déphasage $-\frac{2\pi x}{\lambda}$ : en phase si $x=k\lambda$ , opposition si $x=(2k+1)\frac\lambda2$ , quadrature retard si $x=\frac\lambda4+k\lambda$ , quadrature avance si $x=\frac{3\lambda}4+k\lambda$ — toujours entre $S$ et le front d'onde.
Stroboscope : $N_e=\frac Nk$ donne l'immobilité apparente ; $N_e$ légèrement inférieure à $N$ , un mouvement ralenti dans le sens réel de propagation.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Identifier les courbes sans justification, ou par le nom de l'axe alors que les deux axes sont gradués en divisions ; confondre le retard $\theta$ avec une période ; lire $\lambda$ sur le diagramme du mouvement ou $T$ sur l'aspect ; prendre la phase de $M$ pour celle de $S$ ; oublier de limiter les points en phase ou en quadrature à la portion déjà atteinte ( $x<x_f$ ) ; tracer le diagramme de $A$ sans son segment nul initial ; confondre quadrature avance ( $x=\frac{3\lambda}4+k\lambda$ ) et quadrature retard ( $x=\frac\lambda4+k\lambda$ ).

Sujet principal

Exercice 2 — onde progressive le long d'une corde (5 points), dans l'esprit des sessions 2017–2026 (Sciences techniques, Sciences de l'informatique)

7 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Une corde élastique de longueur $L=1{,}20\ \text{m}$ , tendue horizontalement, est attachée par son extrémité $S$ à une lame vibrante qui lui impose, à partir de l'instant $t=0$ , des vibrations verticales sinusoïdales d'équation $y_S(t)=a\sin(2\pi Nt+\varphi_S)$ pour $t\ge0$ . L'autre extrémité est reliée à un support fixe à travers une pelote de coton. On néglige tout amortissement ; l'origine des abscisses est le point $S$ .

L'une des courbes $(\mathcal{C}_1)$ et $(\mathcal{C}_2)$ ci-dessous représente le diagramme du mouvement d'un point $M$ de la corde d'abscisse $x_M$ ; l'autre représente l'aspect de la corde à un instant de date $t_1$ . Les axes horizontaux sont gradués en divisions : pour le diagramme du mouvement, $1\ \text{div}\to10\ \text{ms}$ ; pour l'aspect de la corde, $1\ \text{div}\to8\ \text{cm}$ .

Préciser le rôle de la pelote de coton, puis justifier que l'onde qui se propage le long de la corde est progressive et transversale.
Identifier, en le justifiant, parmi $(\mathcal{C}_1)$ et $(\mathcal{C}_2)$ , celle qui correspond au diagramme du mouvement du point $M$ et celle qui correspond à l'aspect de la corde à l'instant $t_1$ .
Exploitation des courbes.
1. Déterminer l'amplitude $a$ , la période $T$ et la fréquence $N$ des vibrations, ainsi que la longueur d'onde $\lambda$ .
2. En déduire la célérité $v$ de propagation de l'onde.
3. Déterminer la distance $x_M$ , puis l'instant $t_1$ .
Équations horaires.
1. Déterminer, en le justifiant, la phase initiale $\varphi_S$ de la source. Vérifier la cohérence de ce résultat avec l'aspect de la corde au voisinage du front d'onde.
2. Écrire l'équation horaire $y_S(t)$ du mouvement de $S$ .
3. En déduire l'équation horaire $y_M(t)$ du mouvement de $M$ et préciser l'état de mouvement de $M$ par rapport à $S$ .
À l'instant $t_1$ :
1. déterminer les abscisses des points de la corde qui vibrent en phase avec $S$ ;
2. placer sur $(\mathcal{C}_1)$ les points qui vibrent en quadrature avance de phase par rapport à $S$ et déterminer leurs abscisses. Le point $M$ en fait-il partie ?
Soit $A$ le point de la corde d'abscisse $x_A=16\ \text{cm}$ .
1. Représenter, dans le système d'axes de la courbe $(\mathcal{C}_2)$ , le diagramme du mouvement du point $A$ .
2. Comparer les mouvements de $A$ et de $S$ pour $t\ge20\ \text{ms}$ .
Toute la corde étant en vibration, décrire ce qu'on observe :
1. en lumière ordinaire ;
2. en lumière stroboscopique, pour une fréquence des éclairs $N_e=25\ \text{Hz}$ ;
3. pour $N_e=24\ \text{Hz}$ , légèrement inférieure à $N$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. La pelote de coton absorbe l'énergie transportée par l'onde et évite sa réflexion à l'extrémité de la corde : on n'étudie que l'onde issue de $S$ . L'onde est progressive : chaque point reproduit, avec un retard, le mouvement de la source (courbe nulle puis sinusoïdale de $M$ , voir 2). Elle est transversale car la direction de vibration des points de la corde (verticale) est perpendiculaire à la direction de propagation (horizontale).

2. Idée : un point n'entre en mouvement que lorsque l'onde l'atteint ; au-delà du front d'onde, la corde est encore au repos. $(\mathcal{C}_2)$ est nulle pendant les 7 premières divisions puis sinusoïdale : c'est le diagramme du mouvement de $M$ , qui reste au repos jusqu'à l'arrivée de l'onde (retard $\theta$ ) puis reproduit le mouvement de $S$ . $(\mathcal{C}_1)$ est sinusoïdale dès l'origine puis nulle au-delà de la 10ᵉ division : c'est l'aspect de la corde à $t_1$ , les points situés au-delà du front d'onde n'étant pas encore atteints.

3.a Sur $(\mathcal{C}_2)$ : $a=3\ \text{mm}$ ; une période occupe 4 div, donc $T=4\times10=\boxed{40\ \text{ms}}$ et $N=\frac1T=\boxed{25\ \text{Hz}}$ . Sur $(\mathcal{C}_1)$ , la période spatiale occupe 4 div : $\lambda=4\times8=\boxed{32\ \text{cm}}$ .

3.b $v=\lambda N=0{,}32\times25=\boxed{8\ \text{m·s}^{-1}}$ .

3.c Idée : le retard de $M$ est la durée de propagation de $S$ à $M$ ; à $t_1$ , le front d'onde a parcouru $v\,t_1$ . $M$ démarre après 7 div : $\theta=70\ \text{ms}$ , donc $x_M=v\theta=8\times0{,}070=\boxed{0{,}56\ \text{m}}$ (soit $1{,}75\lambda$ ). Le front d'onde est à la 10ᵉ division de $(\mathcal{C}_1)$ : $x_f=80\ \text{cm}$ , d'où $t_1=\frac{x_f}{v}=\frac{0{,}80}{8}=\boxed{0{,}10\ \text{s}}$ (soit $2{,}5\,T$ ).

4.a Idée : $M$ reproduit le mouvement de $S$ avec le retard $\theta$ ; son premier déplacement est donc celui de la source à $t=0$ . D'après $(\mathcal{C}_2)$ , $M$ démarre vers les élongations positives. À $t=0$ : $y_S(0)=a\sin\varphi_S=0$ et $S$ part vers le haut, $\frac{dy_S}{dt}(0)=2\pi Na\cos\varphi_S>0$ , d'où $\boxed{\varphi_S=0}$ . Cohérence : sur $(\mathcal{C}_1)$ , le point situé juste derrière le front d'onde (fin de la 10ᵉ division) est au-dessus de sa position de repos : le front, comme la source, part vers le haut.

4.b $y_S(t)=3\times10^{-3}\sin(50\pi t)$ (en m), pour $t\ge0$ .

4.c $y_M(t)=0$ pour $t<\theta$ et $y_M(t)=y_S(t-\theta)$ pour $t\ge\theta$ . Or $50\pi\theta=3{,}5\pi$ et $-3{,}5\pi\equiv\frac\pi2\ [2\pi]$ :

y_M(t)=3\times10^{-3}\sin\left(50\pi t+\frac{\pi}{2}\right)

pour $t\ge70\ \text{ms}$ . $\varphi_M-\varphi_S=+\frac\pi2$ : $M$ vibre en quadrature avance de phase par rapport à $S$ (en accord avec $x_M=\frac{7\lambda}{4}$ ).

5.a Idée : un point d'abscisse $x$ est déphasé de $\Delta\varphi=-\frac{2\pi x}{\lambda}$ par rapport à $S$ ; seuls comptent les points déjà atteints, $0<x<x_f$ . En phase : $x=k\lambda$ , d'où $\boxed{x=32\ \text{cm}\ \text{et}\ 64\ \text{cm}}$ ( $96\ \text{cm}$ dépasse le front d'onde).

5.b Quadrature avance : $-\frac{2\pi x}{\lambda}\equiv\frac\pi2\ [2\pi]$ donne $x=\frac{3\lambda}{4}+k\lambda$ , d'où $\boxed{x=24\ \text{cm}\ \text{et}\ 56\ \text{cm}}$ ( $88\ \text{cm}>x_f$ ). Sur $(\mathcal{C}_1)$ , ce sont les creux situés aux divisions 3 et 7. Le point $M$ ( $x_M=56\ \text{cm}$ ) en fait partie, en accord avec 4.c.

6.a Idée : $A$ reproduit le mouvement de $S$ avec le retard $\theta_A=\frac{x_A}{v}$ . $\theta_A=\frac{0{,}16}{8}=20\ \text{ms}$ , soit 2 div. Le diagramme de $A$ est nul jusqu'à 2 div, puis sinusoïdal d'amplitude $3\ \text{mm}$ et de période 4 div, en partant vers le haut comme $S$ : maximum à 3 div, zéro à 4 div, minimum à 5 div, etc.

6.b $x_A=\frac\lambda2$ , donc $\theta_A=\frac T2$ et $y_A(t)=y_S\left(t-\frac T2\right)=-y_S(t)$ pour $t\ge20\ \text{ms}$ : $A$ et $S$ vibrent en opposition de phase.

7.a En lumière ordinaire, l'œil ne peut suivre des vibrations de $25\ \text{Hz}$ : la corde paraît sous forme d'une bandelette floue de largeur $2a=6\ \text{mm}$ , uniforme puisqu'il n'y a pas d'amortissement.

7.b $N_e=N$ : entre deux éclairs, chaque point effectue exactement une oscillation et l'onde progresse de $\lambda$ ; la corde est éclairée toujours dans le même état : immobilité apparente, sous la forme d'une sinusoïde de période spatiale $\lambda$ .

7.c $N_e$ légèrement inférieure à $N$ : entre deux éclairs, l'onde progresse d'un peu plus de $\lambda$ ; on observe un mouvement apparent ralenti de la corde, dans le sens réel de propagation (de $S$ vers la pelote de coton), à la fréquence apparente $N-N_e=1\ \text{Hz}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : identification des courbes $(\mathcal{C}_1)$ et $(\mathcal{C}_2)$ , puis points en quadrature avance à $t_1$ (principale 2017, Sciences techniques) ; courbe I et courbe II graduées en divisions, $x_M$ et $t_1$ déduits, état de $M$ par rapport à $S$ (contrôle 2021, Sciences de l'informatique) ; aspect et diagramme de $P$ donnés ensemble, points de même diagramme que $P$ , arrêt du vibreur (contrôle 2025, Sciences techniques) ; diagramme d'un autre point à représenter sur l'annexe (principale 2018, Sciences de l'informatique ; contrôle 2018, Sciences techniques) ; lumière ordinaire et stroboscope (principale 2019 et contrôle 2021, Sciences techniques) ; fréquence modifiée à célérité constante (contrôle 2023, Sciences techniques). Le rôle du coton, l'aspect au front d'onde et la phase de la source lue sur l'aspect sont déjà travaillés en OD-C.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill OD-I.1 — cliché de la corde à

t_1=2{,}75\,T

: compter les longueurs d'onde, puis

\lambda

v

\varphi_S

Entraînement 01 / 04

Drill OD-I.1 — cliché de la corde à $t_1=2{,}75\,T$ : compter les longueurs d'onde, puis $\lambda$ , $v$ et $\varphi_S$

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Une corde élastique très longue, tendue horizontalement, est attachée par son extrémité $S$ à une lame vibrante qui lui impose, à partir de $t=0$ , des vibrations verticales sinusoïdales d'équation $y_S(t)=2\times10^{-3}\sin(80\pi t+\varphi_S)$ , avec $y$ en m et $t$ en s. On néglige tout amortissement et toute réflexion ; une onde progressive transversale prend naissance en $S$ et se propage le long de la corde. La figure donne l'aspect de la corde à un instant de date $t_1$ ; l'axe des abscisses n'est pas gradué.

Longueur d'onde et date du cliché.
1. Définir la longueur d'onde $\lambda$ .
2. Montrer que $t_1=2{,}75\,T$ et calculer $t_1$ .
Sachant que le front d'onde a parcouru $55\ \text{cm}$ à l'instant $t_1$ , déterminer $\lambda$ et la célérité $v$ de l'onde.
Préciser l'élongation de $S$ à l'instant $t_1$ . En déduire la phase initiale $\varphi_S$ ; vérifier ce résultat à l'aide du front d'onde.
Déterminer les abscisses des points de la corde qui ont, à l'instant $t_1$ , une élongation égale à $+2\ \text{mm}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a La longueur d'onde $\lambda$ est la distance parcourue par l'onde pendant une période $T$ ; c'est aussi la plus petite distance séparant deux points qui vibrent en phase.

1.b Idée : l'onde avance d'une longueur d'onde par période ; il suffit de compter les longueurs d'onde de corde ébranlée. Du creux en $S$ à la dernière crête, on compte $2{,}5\lambda$ ; de cette crête au front d'onde, $\frac\lambda4$ : la corde est ébranlée sur $2{,}75\lambda$ , et le front a voyagé pendant $2{,}75\,T$ . Avec $N=\frac{80\pi}{2\pi}=40\ \text{Hz}$ , $T=25\ \text{ms}$ et $t_1=2{,}75\times25=\boxed{68{,}75\ \text{ms}}$ .

2. $2{,}75\lambda=55\ \text{cm}$ , d'où $\lambda=\boxed{20\ \text{cm}}$ et $v=\frac\lambda T=\frac{0{,}20}{0{,}025}=\boxed{8\ \text{m·s}^{-1}}$ (vérification : $\frac{0{,}55}{0{,}06875}=8\ \text{m·s}^{-1}$ ).

3. Idée : l'élongation de $S$ se lit en $x=0$ sur l'aspect. $y_S(t_1)=-2\ \text{mm}$ , donc $\sin(80\pi t_1+\varphi_S)=-1$ . Or $80\pi t_1=5{,}5\pi\equiv\frac{3\pi}2\ [2\pi]$ : $\frac{3\pi}2+\varphi_S\equiv-\frac\pi2\ [2\pi]$ , d'où $\boxed{\varphi_S=0}$ . Vérification : juste derrière le front d'onde, la corde est au-dessus de sa position de repos ; le front part vers le haut, comme $S$ à $t=0$ avec $\varphi_S=0$ .

4. Pour $0\le x\le55\ \text{cm}$ , le point d'abscisse $x$ a l'élongation $y_S\left(t_1-\frac xv\right)$ :

y(x,t_1)=a\sin\left(5{,}5\pi-\frac{2\pi x}{\lambda}\right)

$y=+a$ pour $5{,}5\pi-\frac{2\pi x}{\lambda}=\frac\pi2+2k\pi$ , soit $x=(2{,}5-k)\lambda$ : $\boxed{x=10\ \text{cm},\ 30\ \text{cm},\ 50\ \text{cm}}$ — les trois crêtes du cliché.

2 Drill OD-I.2 — source qui démarre vers le bas :

\varphi_S=\pi

lue sur le diagramme d'un point, puis aspect de la corde

Entraînement 02 / 04

Drill OD-I.2 — source qui démarre vers le bas : $\varphi_S=\pi$ lue sur le diagramme d'un point, puis aspect de la corde

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

L'extrémité $S$ d'une corde élastique tendue horizontalement est reliée à un vibreur qui lui impose, à partir de $t=0$ , des vibrations transversales sinusoïdales $y_S(t)=a\sin(2\pi Nt+\varphi_S)$ . Une onde progressive prend naissance en $S$ à $t=0$ ; une pelote de coton placée à l'autre extrémité empêche toute réflexion et on néglige l'amortissement. La figure représente le diagramme du mouvement d'un point $B$ de la corde situé à $x_B=27\ \text{cm}$ de $S$ .

Déterminer l'amplitude $a$ , la période $T$ et le retard $\theta_B$ avec lequel $B$ commence à vibrer. En déduire la célérité $v$ et la longueur d'onde $\lambda$ .
Déterminer, en le justifiant, la phase initiale $\varphi_S$ et écrire $y_S(t)$ .
Écrire $y_B(t)$ et préciser l'état de mouvement de $B$ par rapport à $S$ .
Représenter l'aspect de la corde à l'instant $t_2=50\ \text{ms}$ et vérifier que la position de $B$ sur cet aspect est en accord avec son diagramme.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $a=2{,}5\ \text{mm}$ ; deux minimums successifs sont séparés de $20\ \text{ms}$ : $T=\boxed{20\ \text{ms}}$ ( $N=50\ \text{Hz}$ ) ; $B$ reste au repos jusqu'à $\theta_B=\boxed{45\ \text{ms}}$ . Donc $v=\frac{x_B}{\theta_B}=\frac{0{,}27}{0{,}045}=\boxed{6\ \text{m·s}^{-1}}$ et $\lambda=vT=\boxed{12\ \text{cm}}$ .

2. Idée : $B$ reproduit, avec le retard $\theta_B$ , le mouvement de $S$ — y compris son premier déplacement. $B$ démarre vers les élongations négatives, donc $S$ aussi à $t=0$ : $y_S(0)=a\sin\varphi_S=0$ et $\cos\varphi_S<0$ , soit $\boxed{\varphi_S=\pi}$ . Ainsi $y_S(t)=2{,}5\times10^{-3}\sin(100\pi t+\pi)$ (en m), pour $t\ge0$ .

3. $y_B(t)=y_S(t-\theta_B)$ pour $t\ge45\ \text{ms}$ ( $y_B=0$ avant). $100\pi\theta_B=4{,}5\pi$ et $\pi-4{,}5\pi=-3{,}5\pi\equiv\frac\pi2\ [2\pi]$ :

y_B(t)=2{,}5\times10^{-3}\sin\left(100\pi t+\frac\pi2\right)

$\varphi_B-\varphi_S=-\frac\pi2$ : $B$ vibre en quadrature retard de phase par rapport à $S$ ( $x_B=2{,}25\lambda$ ).

4. Idée : à $t_2$ , le front d'onde est en $x_f=v\,t_2$ et le point d'abscisse $x$ a l'élongation $y_S\left(t_2-\frac xv\right)$ . $x_f=6\times0{,}050=0{,}30\ \text{m}=2{,}5\lambda$ et, pour $0\le x\le x_f$ :

y(x,t_2)=-2{,}5\times10^{-3}\sin\frac{2\pi x}{\lambda}

La corde part de $S$ vers le bas : creux en $x=3\ \text{cm}$ , crête en $9\ \text{cm}$ , …, dernier creux en $27\ \text{cm}$ , front d'onde en $30\ \text{cm}$ , repos au-delà.

En $x_B=27\ \text{cm}$ , l'aspect donne $y=-2{,}5\ \text{mm}$ ; le diagramme de $B$ présente bien un minimum à $t=50\ \text{ms}$ .

3 Drill OD-I.3 — corde en lumière ordinaire puis au stroboscope : immobilité apparente et mouvement ralenti

Entraînement 03 / 04

Drill OD-I.3 — corde en lumière ordinaire puis au stroboscope : immobilité apparente et mouvement ralenti

5 questionsCorrigé masqué

Une corde élastique tendue horizontalement est excitée par un vibreur de fréquence $N=30\ \text{Hz}$ ; une onde progressive sinusoïdale transversale se propage le long de la corde, de l'extrémité $S$ vers une pelote de coton, avec une longueur d'onde $\lambda=15\ \text{cm}$ . Toute la corde est en vibration.

Observée en lumière ordinaire, la corde paraît sous forme d'une bandelette floue de largeur constante $\ell=5\ \text{mm}$ . Qu'en déduit-on pour l'amortissement ? Déterminer l'amplitude $a$ et la célérité $v$ de l'onde.
On éclaire la corde avec un stroboscope dont la fréquence des éclairs $N_e$ est réglable de $8\ \text{Hz}$ à $100\ \text{Hz}$ . Déterminer les valeurs de $N_e$ pour lesquelles la corde paraît immobile sous la forme d'une seule sinusoïde.
Décrire ce qu'on observe pour $N_e=60\ \text{Hz}$ .
On règle $N_e=29\ \text{Hz}$ .
1. Décrire le mouvement apparent de la corde et préciser son sens.
2. Calculer la fréquence du mouvement apparent et la célérité apparente de l'onde.
Qu'observe-t-on pour $N_e=31\ \text{Hz}$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. La largeur de la bandelette est la même tout le long de la corde : tous les points vibrent avec la même amplitude, l'onde se propage sans amortissement. La bandelette a pour largeur $2a$ : $a=\frac\ell2=\boxed{2{,}5\ \text{mm}}$ . Et $v=\lambda N=0{,}15\times30=\boxed{4{,}5\ \text{m·s}^{-1}}$ .

2. Idée : la corde paraît immobile si, entre deux éclairs, chaque point effectue un nombre entier d'oscillations : $T_e=kT$ . $N_e=\frac Nk$ avec $k\in\N^*$ et $8\le\frac{30}{k}\le100$ , soit $k\in\{1,2,3\}$ : $\boxed{N_e=30\ \text{Hz},\ 15\ \text{Hz},\ 10\ \text{Hz}}$ .

3. $N_e=2N$ : entre deux éclairs, $T_e=\frac T2$ et chaque point passe d'une élongation $y$ à l'élongation $-y$ . Par persistance rétinienne, on voit deux sinusoïdes immobiles, symétriques par rapport à la position de repos.

4.a $T_e=\frac1{29}\ \text{s}$ est légèrement supérieure à $T$ : entre deux éclairs, l'onde progresse de $vT_e$ , un peu plus d'une longueur d'onde. La corde paraît animée d'un mouvement ralenti dans le sens réel de propagation, de $S$ vers la pelote de coton.

4.b Fréquence apparente $N_a=N-N_e=\boxed{1\ \text{Hz}}$ ; célérité apparente $v_a=\lambda N_a=0{,}15\times1=\boxed{0{,}15\ \text{m·s}^{-1}}$ . On le vérifie : l'avance apparente par éclair, $vT_e-\lambda$ , divisée par $T_e$ , vaut $v-\lambda N_e=4{,}5-4{,}35=0{,}15\ \text{m·s}^{-1}$ .

5. $T_e$ est alors légèrement inférieure à $T$ : l'onde progresse d'un peu moins de $\lambda$ entre deux éclairs ; la corde paraît se déplacer lentement en sens inverse, vers $S$ , à la fréquence apparente $N_e-N=1\ \text{Hz}$ .

4 Drill OD-I.4 — même corde, fréquence doublée :

\lambda

divisée par deux et états vibratoires de deux points

Entraînement 04 / 04

Drill OD-I.4 — même corde, fréquence doublée : $\lambda$ divisée par deux et états vibratoires de deux points

4 questionsCorrigé masqué

Une lame vibrante impose à l'extrémité $S$ d'une corde élastique, tendue horizontalement, des vibrations transversales sinusoïdales de fréquence $N_1=20\ \text{Hz}$ à partir de $t=0$ ; on néglige amortissement et réflexion. Un point $P$ situé à $x_P=42\ \text{cm}$ de $S$ commence à vibrer à la date $t_P=70\ \text{ms}$ . On considère aussi le point $Q$ d'abscisse $x_Q=57\ \text{cm}$ .

Calculer la célérité $v$ de l'onde et sa longueur d'onde $\lambda_1$ .
Comparer les états vibratoires de $P$ et de $Q$ . Justifier.
On refait l'expérience, la corde étant tendue de la même façon, avec la fréquence $N_2=2N_1$ .
1. Justifier que la célérité garde la même valeur et exprimer $\lambda_2$ en fonction de $\lambda_1$ .
2. La date à laquelle $Q$ commence à vibrer est-elle modifiée ? La calculer.
3. Préciser, en le justifiant, si l'état vibratoire de $P$ par rapport à $Q$ dépend de la fréquence.
Pour chacune des deux fréquences, déterminer les abscisses des points situés entre $S$ et $Q$ qui vibrent en phase avec $S$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $v=\frac{x_P}{t_P}=\frac{0{,}42}{0{,}070}=\boxed{6\ \text{m·s}^{-1}}$ ; $\lambda_1=\frac v{N_1}=\frac6{20}=\boxed{30\ \text{cm}}$ .

2. Idée : deux points distants de $d$ sont déphasés de $\frac{2\pi d}{\lambda}$ . $x_Q-x_P=15\ \text{cm}=\frac{\lambda_1}2$ : $P$ et $Q$ vibrent en opposition de phase.

3.a La célérité dépend du milieu de propagation (la corde et sa tension), non de la fréquence imposée par la source : même corde, même tension, donc même $v$ . $\lambda_2=\frac v{N_2}=\frac v{2N_1}=\frac{\lambda_1}2=\boxed{15\ \text{cm}}$ .

3.b Non : la date d'arrivée de l'onde ne dépend que de la distance et de $v$ . $t_Q=\frac{x_Q}v=\frac{0{,}57}6=\boxed{95\ \text{ms}}$ pour les deux fréquences.

3.c Avec $N_2$ : $x_Q-x_P=15\ \text{cm}=\lambda_2$ : $P$ et $Q$ vibrent désormais en phase. L'état vibratoire relatif de deux points fixés dépend du rapport $\frac{x_Q-x_P}{\lambda}$ , donc de la fréquence.

4. En phase avec $S$ : $x=k\lambda$ avec $0<x<x_Q$ . Pour $N_1$ : $\boxed{x=30\ \text{cm}}$ seulement. Pour $N_2$ : $\boxed{x=15\ \text{cm},\ 30\ \text{cm},\ 45\ \text{cm}}$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Onde sur une corde : identifier le diagramme du mouvement et l'aspect, les croiser ( $a$ , $T$ , $\lambda$ , $v$ , $t_1$ , $\varphi_S$ ) et tracer le diagramme d'un autre point

Exercice 2 — onde progressive le long d'une corde (5 points), dans l'esprit des sessions 2017–2026 (Sciences techniques, Sciences de l'informatique)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill OD-I.1 — cliché de la corde à $t_1=2{,}75\,T$ : compter les longueurs d'onde, puis $\lambda$ , $v$ et $\varphi_S$

Drill OD-I.2 — source qui démarre vers le bas : $\varphi_S=\pi$ lue sur le diagramme d'un point, puis aspect de la corde

Drill OD-I.3 — corde en lumière ordinaire puis au stroboscope : immobilité apparente et mouvement ralenti

Drill OD-I.4 — même corde, fréquence doublée : $\lambda$ divisée par deux et états vibratoires de deux points

Relier ce raisonnement au bac

Onde sur une corde : identifier le diagramme du mouvement et l'aspect, les croiser (aaa, TTT, λ\lambdaλ, vvv, t1t_1t1​, φS\varphi_SφS​) et tracer le diagramme d'un autre point

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Onde sur une corde : identifier le diagramme du mouvement et l'aspect, les croiser ( $a$ , $T$ , $\lambda$ , $v$ , $t_1$ , $\varphi_S$ ) et tracer le diagramme d'un autre point